23.1 一次函数的概念（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦一次函数概念及与正比例函数的区别联系，通过复习函数定义导入，结合登山气温、铁块质量等实际问题情境，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生逐步理解概念。 其亮点在于以现实问题为载体培养数学眼光，通过归纳解析式特征发展数学思维，用函数模型表达实际问题强化数学语言。包含辨析练习、实例应用等环节，助力学生深化理解，也为教师提供具体教学实例，提升教学效率。

23.1 一次函数的概念 第二十三章 一次函数 人教版八年级(下) 1. 结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式. (重点) 2. 能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系，感悟一般与特殊之间的关系. 3. 会从实际问题中建立一次函数模型解决简单的问题. (难点) 素养目标 在某个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 问题：什么是函数？ 复习导入 问题1：某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃. (1) 用函数解析式表示 y 与x 的关系； 探究点：一次函数的概念 分析：原大本营所在地气温为_____， 因为当海拔增加 1 km 时，气温减少______. 所以当海拔增加 x km 时，气温减少______. 因此 y 与 x 的函数解析式为____________. 5 ℃ 6 ℃ 6x ℃ y = 5 - 6x 新知探究 问题1：某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃. (2) 并求当登山队员向上登高 2 km 时，他们所在位置的气温. 当登山队员由大本营向上登高 2 km 时，他们所在位置的气温就是当 x = 2 时函数 y = －6x＋5 的值，即 y = －6×2＋5 = －7 (℃). 探究点：一次函数的概念 新知探究 问题2：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式. 这些函数解析式有哪些共同特征？ (1) 铁的密度约为 7.9 g/cm3，铁块的质量 m (单位：g)随它的体积 V (单位：cm3) 的变化而变化. 是函数关系，函数解析式为 m = 7.9V. 探究点：一次函数的概念 新知探究 (2) 每个练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h (单位：cm) 随练习本的个数 n 的变化而变化. (3) 一种计算成年人标准体重 m (单位：kg) 的方法是：以厘米为单位量出身高 h，再减去常数 105，所得差是 m 的值，m 随 h 的变化而变化. 是函数关系，函数解析式为 h = 0.5n. 是函数关系，函数解析式为 m = h - 105. 探究点：一次函数的概念 新知探究 (4) 把一个长 10 cm，宽 5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形的面积 y (单位：cm) 随 x 的变化而变化. 是函数关系，函数解析式为 y = (10 - x)×5， 即 y = -5x + 50 (0≤x＜10). 探究点：一次函数的概念 新知探究 发现：它们都是常数 k 与自变量的_____与常数 b 的 的形式. 观察以上出现的函数解析式，它们有什么共同特征呢？ (1) m = 7.9V (2) h = 0.5n (3) m = h - 105 (4) y = -5x + 50 积 和 探究点：一次函数的概念 新知探究 形如 y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0) 的函数，叫作一次函数. 特别地，当 b = 0 时， y＝kx＋b 即 y＝kx. 形如 y＝kx ( k 为常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中 k 叫作比例系数. 一次函数 正比例函数 探究点：一次函数的概念 新知探究 1. 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx； (6) y＝8x2＋x(1－8x). 解：(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数； (3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数． 探究点：一次函数的概念 新知探究 1. 判定一个函数是一次函数的条件： 一次函数 正比例函数 正比例函数是一种特殊的一次函数。 【归纳总结】 ① k 是常数，k ≠ 0； ② x 的次数是 1. ① k 是常数，k ≠ 0； ② x 的次数是 1. ③ b = 0. 2. 判定一个函数是正比例函数的条件： 探究点：一次函数的概念 新知探究 例1 已知函数 y = (m - 1)x + 1 - m2. (1) 当 m 为何值时，这个函数是一次函数? 解：(1) 由题意可得 m - 1≠0，解得 m≠1. 即 m≠1 时，这个函数是一次函数. (2) 当 m 为何值时，这个函数是正比例函数? (2) 由题意可得 m - 1≠0，1- m2 = 0，解得 m = -1. 即 m = -1 时，这个函数是正比例函数. 探究点：一次函数的概念 新知探究 【练一练】 2. 已知 y 与 x－3 成正比例，当 x＝4 时，y＝3. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数； (2)求 x＝2.5 时，y 的值． ∴ y＝3x－9， y 是 x 的一次函数． y＝3×2.5 - 9＝ -1.5． 解：(1) 设 y＝k(x－3)， 把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)， 解得 k＝3. (2) 当 x＝2.5 时， ∴ y＝3(x－3). 探究点：一次函数的概念 新知探究 例2 一个弹簧不挂物体时长 12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂 1 kg 的物体，弹簧伸长 2 cm. (1) 求弹簧的长度 y (单位：cm) 关于所挂物体质量 x (单位：kg) 的函数解析式； (2)当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是多少? 解：(1) 由每挂 1 kg 的物体，弹簧伸长 2 cm 可知，挂 x kg 的物体时，弹簧伸长 2x cm. 因此，关于 x 的函数解析式为 y = 2x + 12. (2) 把 x = 5 代人 y = 2x + 12，得 y = 2×5 + 12 = 22. 因此，当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是 22 cm. 探究点：一次函数的概念 新知探究 【练一练】 3. 汽车油箱中原有油 50 升，如果汽车每行驶 50 千米耗油 9 升， 求油箱中剩余的油量 y (单位：升)随行驶路程 x (单位：千米) 变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围，y 是 x 的一次函数吗？ 解：剩余油量 y 与行驶路程 x 的函数关系式为 自变量 x 的取值范围是 函数 是 x 的一次函数. 探究点：一次函数的概念 新知探究 一次函数的概念 形如 y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0) 的函数，叫作一次函数 一次函数的简单应用 当 b = 0 时， y＝kx＋b 即 y＝kx. 形如 y＝kx ( k 为常数，k≠0) 的函数，叫作正比例函数 课堂小结 1. 下列函数中不是一次函数的是(　C　) A. y＝x B. y＝2x－1 C. y＝ D. y＝1－0.5x C 2. 以下y关于x的函数中，是正比例函数的为(　C) A. y＝x2 B. y＝ C. y＝ D. y＝ C 当堂反馈 3. 某公司制作毕业纪念册的收费如下：设计费与加工费共 1000 元，另外每册收取材料费 4 元，则总收费 y 与制作纪念册的册数 x 的函数关系式为 ，该函数 (填“是”或“不是”)一次函数. y＝4x＋1000 是　 当堂反馈 (1)汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(km) 与行驶时间x(h)之间的关系； 解：(1)由题意，得y＝60x，y是x的一次函数，也 是正比例函数. (2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系； 解：(2)由题意，得y＝πx2，y不是x的一次函数， 也不是正比例函数. 解：(1)由题意，得y＝60x，y是x的一次函数，也 是正比例函数. 解：(2)由题意，得y＝πx2，y不是x的一次函数， 也不是正比例函数. 4. 写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断： y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ 当堂反馈 (3)某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度 为 5 m3/h，x h 后这个水池内有水 y m3. 解：(3)由题意，得y＝5x＋15，y是x的一次函 数，不是正比例函数. 解：(3)由题意，得y＝5x＋15，y是x的一次函数， 不是正比例函数. 4. 写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断： y是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？ 当堂反馈 5. [高频易错]已知关于x的函数y＝(m＋1)x｜m｜＋n－3. (1)m取何值时，该函数是关于x的一次函数？ 解：(1)∵函数y＝(m＋1)x｜m｜＋n－3是关于x的一 次函数， ∴｜m｜＝1，m＋1≠0. ∴m＝1. ∴当m＝1时，该函数是关于x的一次函数. 当堂反馈 (2)m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数？ 解：(2)由(1)知m＝1， ∵该函数是关于x的正比例函数， ∴n－3＝0. ∴n＝3. ∴当m＝1，n＝3时，该函数是关于x的正比例函数. 5. [高频易错]已知关于x的函数y＝(m＋1)x｜m｜＋n－3. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $