第23章 数学活动 水龙头的滴水量与纸杯厚度（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦函数关系的建立与应用，通过复习函数及一次函数定义导入，以旧知为支架，引导学生探究水龙头滴水量与纸杯高度的函数关系，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合生活实例（滴水实验、纸杯叠放），通过实验收集数据、描点分析、推导解析式，体现数学眼光（观察生活数量关系）、数学思维（推理函数规律）、数学语言（建立模型解决问题）。采用探究式教学，小结梳理建模流程，助力学生提升数学建模与实践能力，教师可直接用于课堂活动设计。

数学活动　 水龙头的滴水量与纸杯高度 第二十二章 函数 人教版 八年级(下) 1.学会通过实验探究进行数据收集，提升数学建模能力.(重点) 2.掌握函数关系的推导，强化数形结合素养. 3.理解数学在生活中的应用，培养实践与创新思维.(难点) 素养目标 在某个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 问题1：什么是函数？ 问题2：什么是一次函数？ 形如 y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0) 的函数，叫作一次函数. 复习导入 例1 学校开展“珍惜水资源，从点滴做起”的主题活动，八年级同学们积极响应，参与到一项关于水龙头滴水情况的实践调查中，旨在了解日常生活中被忽视的水资源浪费问题. 同学们领取一个带有精确刻度、能显示水量的容器，放置在一个关闭不严、正在滴水的水龙头下方，以下是同学们记录的不同时间下容器内的水量数据： 时间 t/min 0 5 10 15 20 水量 V/mL 0 10 20 30 40 探究点1：水龙头滴水量的函数关系（活动1） 新知探究 【任务一】（1）建立平面直角坐标系，以横轴表示时间 t，纵轴表示水量 V，描出表格每组数据所对应的点，连接这些点， 观察它们的分布规律； 解：(1)描点并连线如图所示. 由图象可知，这些点分布在同一条直线上. 时间 t/min 0 5 10 15 20 水量 V/mL 0 10 20 30 40 探究点1：水龙头滴水量的函数关系（活动1） 新知探究 【任务二】 (2) 试写出漏水量 V 关于时间 t 的函数解析式； (2) ∵这些点分布在同一条直线上， ∴ V 与 t 之间是一次函数的关系. 设 V 关于 t 的函数解析式为 V＝kt ( k 为常数，且 k ≠ 0). 将坐标 (5，10) 代入V＝kt， 得 5k＝10，解得 k＝2. ∴V 关于 t 的函数解析式为 V＝2t. 探究点1：水龙头滴水量的函数关系（活动1） 新知探究 【任务三】 (3) 依据函数解析式，估算在这种状态下一天 ( 24 h) 会浪费多少升水. (3) 60×24＝1440 (min)， 当 t＝1440 时，V＝2×1440＝2880， 2880mL＝2.88L. 答：在这种状态下一天(24h)会浪费2.88L水. 探究点1：水龙头滴水量的函数关系（活动1） 新知探究 【归纳总结】 通过“实验记录→描点→找规律→求解析式→应用”，建立滴水问题的函数模型，体现数学建模流程. 探究点1：水龙头滴水量的函数关系（活动1） 新知探究 【练一练】1.为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔 1 min 测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下： （1）根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出（t，l）对应的点。 燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ... 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ... 探究点1：水龙头滴水量的函数关系（活动1） 新知探究 （2）估计燃烧 10 min 后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。 燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ... 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ... 由题意得，香每分钟缩短 0.5 cm， 那么燃烧 10 分钟时，总共减少的长度是0.5×10 = 5 cm。 则燃烧 10 分钟后香可燃烧部分的长度为 22.4 - 5=17.4 cm。 O 1 2 3 4 5 20 20.5 21 21.5 22 22.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 探究点1：水龙头滴水量的函数关系（活动1） 新知探究 （3）估计这根香可燃烧的时间，并说明理由. （4）试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 的关系式. (3) 香初始长 22.9 cm，燃尽需 45.8 min. 燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ... 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ... -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 (4) l 与 t 的关系式为 l = 22.9 - 0.5t. 探究点1：水龙头滴水量的函数关系（活动1） 新知探究 例2 如图是 1 个纸杯和 6 个叠放在一起的纸杯示意图，一个纸杯高为 8.5 cm，6 个纸杯高为 18.5 cm. (1) 如图叠放纸杯，每多一个杯子高度增加多少厘米？ 解：(1) ∵(18.5－8.5)÷5＝10÷5＝2 (cm)， ∴叠放纸杯，每多一个杯子高度增加 2 cm. 探究点2：纸杯高度的函数模型（活动2） 新知探究 (2) 根据题意得 y＝8.5＋2(n－1)＝2n＋6.5. (2) 当有 n 个杯子按如图方式叠放在一起时，高度为y cm，求 y 与 n 之间的数量关系. (3) 若有 20 个杯子按如图方式叠放，高度是多少厘米？ 探究点2：纸杯高度的函数模型（活动2） (3) 当 n＝20 时， y＝2×20＋6.5＝46.5. 答：20个杯子按如图方式叠放，高度是 46.5 cm. 新知探究 【归纳总结】 自主定义变量，测量分析数据， 构建“总高＝单个增量×个数＋基础高度”的函数模型，解决叠放高度问题. 探究点2：纸杯高度的函数模型（活动2） 新知探究 生活中的 函数模型 水龙头滴水 纸杯叠放 流程：实验记录→描点→解析式(V=kt)→应用 思想：数学建模、数形结合 流程：定义变量→测量→模型(h = an + b)→预测 思想：自主探究、函数建模 课堂小结 1. 水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某数学兴趣小组进行了以下的试验与研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器(如图)，每 5 min 记录一次容器中的水量，并填写表格.以横轴表示时间t，纵轴表示水量V，建立直角坐标系，描出以上述试验所得数据为坐标的各点，观察它们的分布规律，估算这种漏水状态下一天 ( 24 h) 的漏水量为（　　） 时间t/min 0 5 10 15 20 25 30 水量V/mL 0 30 60 90 120 150 180 A. 4320 mL B. 864 mL C. 1440 mL D. 8640 mL D 当堂反馈 2. 如图是 1 个纸杯和 6 个纸杯叠放在一起的示意图.小红想探究叠放在一起的杯子的总高度随杯子数量的变化关系. 她将 50 个同样的纸杯叠放在一起，则这 50 个纸杯的总高度为（　　） A. 50 cm B. 56 cm C. 57 cm D. 58 cm C 当堂反馈 3.(1) 图①是某型号的 1 个纸杯的高度为 9.1 cm，4 个叠在一起的纸杯总高度为 10.9 cm，求杯子的总高度 y (cm) 与杯子数量 n 的函数关系式. 解：(1) 设函数关系式为 y＝h＋an. ∵ 1 个纸杯的高度为 9.1 cm，4 个叠在一起的纸杯总高度为 10.9 cm， ∴ y 与 n 的函数关系式为 y＝0.6n＋8.5. 当堂反馈 (2) 根据题意得 8.5＋0.6x≤40， 解得 x≤52.5. ∵ x 为整数，∴x 最大取 52. ∴最多能将 52 个纸杯叠放在一起. (2) 图② 是某品牌饮水机的示意图，储藏柜的高度是40 cm. 若要将该型号纸杯叠放后竖直 (杯口向上) 放入储藏柜，最多能将多少个纸杯叠放在一起？ 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $