第20章 勾股定理 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学勾股定理单元复习课件系统梳理了勾股定理及其逆定理的核心内容，通过知识要点明确定理定义、应用条件及勾股数概念，结合考点模块（定理应用、逆定理应用、折叠问题、解题思想）构建知识网络，课堂小结以逻辑箭头串联知识联系，帮助学生形成完整认知体系。 其亮点在于融入丰富现实情境案例，如海防哨所航行问题、蚂蚁爬行最短路径等，培养学生用数学眼光抽象几何模型的能力，通过方程思想、分类讨论等解题方法训练推理意识，分层设计的“练一练”从基础到综合，适配不同学生需求，既巩固知识又提升思维，助力教师精准开展复习教学。

小结与复习 第二十章 勾股定理 人教版八年级(下) 1. 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边 为 c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用 2. 勾股定理的应用条件 一、勾股定理 3. 勾股定理表达式的常见变形： a2＝c2－b2，b2＝c2－a2， A B C c a b 知识要点 二、勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数. 2. 勾股数 A B C c a b 知识要点 例1 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°， CD⊥AB 于 D，AC = 20，BC = 15. (1) 求 AB 的长； (2) 求 BD 的长． 解：(1) ∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°， (2) 方法一：∵ S△ABC = AC • BC = AB • CD， ∴ 20×15 = 25CD，∴ CD = 12． ∴ 在 Rt△BCD 中， 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 方法二：设 BD = x，则 AD = 25 - x. 解得 x = 9. ∴ BD = 9. 【方法总结】对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的高常需结合面积的两种表示方法来考查，若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解. ∵AC²－AD²＝CD²，BC²－BD²＝CD²， ∴AC²－AD²＝BC²－BD². ∴20²－(25－x)²＝15²－x²，即 50x＝450. 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 1. Rt△ABC 中，斜边 BC = 2，则 AB2 + AC2 + BC2 的值为 （　　） A. 8 B. 4 C. 6 D. 无法计算 A 3. 一直角三角形的三边分别为 2、3、x，那么以 x 为边长的正方形的面积为___________. 2. 如图，∠C =∠ABD = 90°，AC = 4，BC = 3，BD = 12，则 AD 的长为____． 13 或 5 13 【练一练】 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 4．已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a + b = 14 cm， c = 10 cm，求△ABC 的面积. 解：∵ a + b = 14， ∴ (a + b)2 = 196. 又∵ a2 + b2 = c2 = 100， ∴ 2ab = 196 - (a2 + b2) = 96. ∴ ab = 24. ∴△ABC 的面积为 24． 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 例2 在 O 处的某海防哨所发现在它的北偏东 60° 方向相距 1000 米的 A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的 B 处. (1) 此时快艇航行了多少米？ 分析：将实际问题转化为几何问题 已知： OA = 1000 米，∠AOC = 30°，∠COB = 45° ，AB⊥OC. 求解： AB 的长. 北 东 O A B 60° 45° C 30° 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 解：根据题意得∠AOC = 30°，∠COB = 45°，AO = 1000 米. ∴ AC = 500 米，BC = OC. 在 Rt△AOC 中，由勾股定理得 ∴ BC = OC = (米). 北 东 O A B 60° 45° C 已知： OA = 1000 米，∠AOC = 30°， ∠COB = 45° ，AB⊥OC. 求解： AB 的长. 30° ∴ AB = AC + BC = (米). 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 (2) 此时快艇距离哨所多少米？ 解：在 Rt△BOC 中，由勾股定理得 北 东 O A B 60° 45° C 分析：将实际问题转化为几何问题，即求 OB 的长. 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 解析：蚂蚁由 A 点沿长方体的表面爬行到 C1 点，有三种方式： ①沿 ABB1A1 和 A1 B1C1D1 面；②沿 ABB1A1 和 BCC1B1面；③沿 AA1D1D 和 A1B1C1D1 面，把三种方式分别展成平面图形，如下： ① ② ③ 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 11 11 解：① 在 Rt△ABC1中， ②在 Rt△ACC1 中， ③在 Rt△AB1C1中， ∴沿路径①走路径最短，最短路径长为5. ① ② ③ 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 【方法总结】化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短. 5.现有一长 5 米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们的底部在地面的水平距离是 3 米，则梯子可以到达建筑物的高度是______米． 4 【练一练】 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 在 Rt△AOB 中，OA＝2，OB＝DC＝1.4， ∴ AB2＝22－1.42＝2.04，解得 AB ≈ 1.43. ∴ AC＝AB + BC ≈ 1.43 + 2.6＝4.03＞4． 答：卡车可以通过，但要小心． 解：过半圆的圆心 O，作直径的垂线交地面于点 D，在地面取点 C，使 CD＝1.4 米，过 C 作 OD 的平行线交半圆直径于点 B ，交半圆于点 A，连接 OA. 6. 如图，某住宅小区在相邻两楼之间修建一个上方是半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高 4 米，宽 2.8 米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？ 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 例4 在△ABC中，AB = c，BC = a，AC=b， ，2c - b = 12，求△ABC 的面积． 解：由题意可设 a = 3k，则 b = 4k，c = 5k， ∵ 2c - b = 12， ∴ 10k - 4k = 12，∴k = 2， ∴ a = 6，b = 8，c = 10， ∵ 62 + 82 = 102， ∴ a2 + b2 = c2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 的面积为 ×6×8=24． 考点二 勾股定理的逆定理及其应用 考点讲练 例5 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60° 方向以每小时 8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 n mile 的速度前进，2 h 后，甲船到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 解：甲船航行的距离为 BM = 16（n mile）， 乙船航行的距离为 BP = 30（n mile）． ∵162 + 302 = 1156，342 =1156， ∴BM2 + BP2 = MP2， ∴△MBP 为直角三角形，∴∠MBP = 90° ， ∴乙船是沿着南偏东 30° 方向航行的． 考点二 勾股定理的逆定理及其应用 考点讲练 7.下列各组数中，是勾股数的为（　　） A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，9 8.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________． (2)(4) C 【练一练】 考点二 勾股定理的逆定理及其应用 考点讲练 9. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 20 cm，BC = 15 cm，CD = 7 cm，AD = 24 cm，∠ABC = 90°．猜想∠BAD 与∠BCD 的关系，并加以证明． 解：猜想∠BAD + ∠BCD = 180°． 证明如下：连接AC. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 ∴ AD2 + DC2 = 625 = 252 = AC2． ∴△ADC 是直角三角形，且∠D = 90°． ∵∠DAC+∠D +∠DCA+∠CAB+∠B+∠ACB= 180°×2， ∴∠BAD+∠BCD=180°． 考点二 勾股定理的逆定理及其应用 考点讲练 考点三 勾股定理与折叠问题 例6 如图，在长方形 ABCD 中，AB = 3 cm，AD = 9 cm，将此长方形折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF，求 △ABE 的面积. 解：由折叠可知 ED = BE. 设 AE = x cm，则 ED = BE = (9 - x) cm． 在 Rt△ABE 中，AB2 + AE2 = BE2， ∴ 32 + x2 = (9 - x)2，解得 x = 4. ∴ △ABE 的面积为 ×3×4 = 6 (cm2). 考点讲练 【方法总结】勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，往往要通过勾股定理列方程去求解． 10.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，将 △ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕是 DE，则 CD 的长为 cm． 1.75 【练一练】 考点三 勾股定理与折叠问题 考点讲练 考点四 本章解题思想方法 【方程思想】 例7 如图，在 △ABC 中，AB = 17，BC = 9，AC = 10，AD⊥BC 于 D. 试求 △ABC 的面积． 解：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中， AB2 - BD2 = AD2，AC2 - CD2 = AD2． 设 DC = x，则 BD = 9 + x． 故 172 - (9 + x)2 = 102 - x2，解得 x = 6. ∴AD2 = AC2 − CD2 = 64．∴ AD = 8. ∴S△ABC = ×9×8 = 36． 考点讲练 解：当高AD在△ABC内部时，如图①. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴BD＝16. 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60. 例8 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 【分类讨论思想】 考点四 本章解题思想方法 考点讲练 【方法总结】题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高 AD 在△ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ABC 外的情形． 当高 AD 在△ABC 外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为 7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为 42 或 60. 考点四 本章解题思想方法 考点讲练 例9 有一圆柱体高为 8 cm，底面圆的半径为2 cm，如 图 在 AA1 上的点 Q 处有一只蜘蛛， QA1 = 3 cm，在 BB1 上的点 P 处有粘住了一只苍蝇，PB = 2 cm. 求蜘蛛爬到苍蝇处的最短路径长 (π 取 3). 解：如图，沿AA1剪开，过Q作QM⊥BB1于M，连接QP. 则 PM = 8 - 3 - 2 = 3 (cm)， QM = A1B1 = ×2×π×2= 6 (cm)． 在 Rt△QMP 中，由勾股定理得 答：蜘蛛爬行的最短路径长是 cm． 【转化思想】 考点四 本章解题思想方法 考点讲练 勾股定理　 直角三角形边 长的数量关系　　 勾股定理 的逆定理　　 直角三角 形的判定　　 互逆定理 课堂小结 见教材章末练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $