19.1 第1课时 二次根式的概念（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦二次根式的概念、有意义条件及字母取值范围，通过复习平方根和算术平方根性质导入，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生自然过渡到二次根式的学习。 其亮点在于结合实际问题抽象二次根式概念，培养数学眼光，通过分类讨论求字母取值范围发展数学思维，用符号表达和实际应用强化数学语言。学生能提升抽象能力与推理意识，教师可借助清晰逻辑提升教学效率。

第十九章 二次根式 19.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念 人教版 八年级(下) 1 1. 理解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式，感悟利用数学符号表示实际问题的意义. (重点) 2. 掌握二次根式有无意义的条件，领会数学分类讨论思想. (重点) 3. 会求二次根式的被开方数中字母的取值范围，在解题过程中利用不等式（组）模型来培养全面思考问题的正确习惯.(难点) 素养目标 (1) 16 的平方根是什么？16 的算术平方根是什么？ (2) 0 的平方根是什么？0 的算术平方根是什么？ (3) －7 有没有平方根？有没有算术平方根？ (4) 表示什么? 回答下列问题： ±4 4 0 0 没有 没有 7 的算术平方根 复习导入 平方根的性质 (1) 正数有 个平方根且互为 数 (2) 0 的平方根是_____ (3) 负数_____平方根 (4) 非负数 a 的平方根表示为 . 算术平方根的性质 (1) 正数只有____个算术平方根 (2) 0 的算术平方根是___ (3) 负数_____算术平方根 (4) 非负数 a 的算术平方根表示为 . 两 相反 0 没有 没有 0 一 复习导入 自学提示 自学教材第2页： 完成教材思考上提出的问题. 复习导入 思考：用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征： (1) 一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m²，则它的宽为 m. 探究点1：二次根式的概念 解析： 长方形的面积 130＝长(2x)×宽(x) 2x2＝130 x2＝65 新知探究 (2)一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 . 解析： S大正方形 = a2 ＋1 边长 = 探究点1：二次根式的概念 新知探究 (3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t (单位：s) 与开始落下时离地面的高度 h (单位：m) 的关系近似为 h = 5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为 开始落下的高度 h = 5t2 (t＞0) 解析： h = 5t2 ． 探究点1：二次根式的概念 新知探究 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示 65，S， 的算术平方根． ①根指数都为 2; ②被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ． 探究点1：二次根式的概念 新知探究 注意：a 可以是数，也可以是式. 两个必备特征 ①外在特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数(式) a≥0 二次根式的定义 探究点1：二次根式的概念 一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫作二次根式. 二次根式也是代数式. 新知探究 通过上述的学习，同学们可以自己举出具体的二次根式吗？ 问题3：在二次根式 中，为什么 a 不能是负数？ 因为实数范围内，负数没有算术平方根. 探究点1：二次根式的概念 新知探究 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： √ √ √ × × 探究点1：二次根式的概念 √ × × × 新知探究 当 x≥2 时， 在实数范围内有意义. 有意义 例2 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义? 解：由 x－2≥0，得 x≥2. 探究点2：二次根式有意义的条件 a≥0 新知探究 练一练：当 x 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ x≥3 x≤0 全体实数 x≠0 x＞0 x≥0 探究点2：二次根式有意义的条件 新知探究 【变式题1】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) x≤5. 总结 (1) 单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； 探究点2：二次根式有意义的条件 新知探究 答案：2≤x≤3. 多个二次根式相加如 有意义的 条件： 总结 探究点2：二次根式有意义的条件 新知探究 (3) x＞1. 二次根式要求： x - 1＞0 二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0。 总结 x - 1≥0 分式要求： 探究点2：二次根式有意义的条件 新知探究 分式要求：x - 1≠0 二次根式要求：x + 3≥0 二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0 且 B≠0. 总结 x≥-3 且 x≠1 探究点2：二次根式有意义的条件 新知探究 (2) ∵ 无论 x 为何实数，-x2 - 2x - 3 = -(x + 1)2 - 2＜0， ∴ 无论 x 为何实数， 在实数范围内都无意义. 【变式题2】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：(1) ∵无论 x 为何实数，-x² + 2x - 1 = -(x - 1)²≤0， ∴ 当 x = 1 时， 在实数范围内有意义. 探究点2：二次根式有意义的条件 新知探究 答：前者 x 为全体实数；后者 x≥0. 探究点2：二次根式有意义的条件 归纳:被开方式是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论. 问题 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 新知探究 探究点3：二次根式的求值 例3 (1) 当 a＝－2 时，二次根式 的值是 ； (2) 当 a＝ 时，二次根式 的值是 ； (3) 当 a＝4 时，二次根式 的值是 ； 2 3 1 归纳总结：把未知数的值代入二次根数求值，注意化简 新知探究 探究点3：二次根式的求值 练一练 (1) 当 x＝－6 时，二次根式 的值是 ； (2) 当 a＝7 时，二次根式 的值是 ； (3) 当 x＝－1 时，二次根式 的值是 . 2 2 新知探究 概念 二次根式 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式 代入求值 有意义的条件 被开方数大于等于0，即a≥0 若二次根式出现在分母位置时，还需保证分母不为0 数的 算术 平方根 课堂小结 1. 下列各式中，不是二次根式的是(　B　) A. B. C. D. B 2. 要使式子 有意义，则x的取值范围 是(　D　) A. x＞0 B. x≥－202 C. x≥202 D. x≤202 D 当堂反馈 3. 当m＝2时， ＝ 　 　. 4. [高频易错]若a＝ ＋ ＋2，则a ＝ ，b＝ ⁠. 　 2　 1　 (1) ； (2) . 解：∵2x2＋1＞0， ∴x为一切实数. 5. [教材变式]求使下列各式有意义的x的取值范围： 解：(1) 由题意得4－3x＞0，解得x＜ . (2) ∵2x2＋1＞0，∴x为一切实数. 当堂反馈 6. [教材变式]有一个面积为360cm2的正方形纸片， 将正方形纸片裁剪后拼出一个长宽之比为4∶3的长方 形，若正方形纸片和拼出的长方形纸片面积相等， 试求出长方形纸片的长与宽. 解：设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm， 则4x·3x＝360， 解得x＝ 或x＝－ (舍去). 则4x＝4 ，3x＝3 . 即长方形纸片的长和宽分别是4 cm，3 cm. 解：设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm， 则4x·3x＝360， 解得x＝ 或x＝－ (舍去). 则4x＝4 ，3x＝3 . 即长方形纸片的长和宽分别是4 cm，3 cm. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $