第20章 综合与实践：利用勾股定理绘制图案（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦勾股定理在图案绘制中的应用，通过视频欣赏图形特点导入，引导学生从勾股树基础图形出发，经重复构造、斜边长规律推导，构建从具体操作到抽象原理的学习支架。 其亮点在于结合视频情境与几何画板操作，以勾股树绘制、斜边长公式推导及面积规律探究为实例，培养学生数学眼光（创新意识）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。学生能提升审美与实践创新素养，教师可借助分层练习和案例优化教学。

数学活动 利用勾股定理绘制图案 第二十章 勾股定理 人教版 八年级(下) 1.理解勾股定理在图案绘制中的应用原理.(重点) 2.掌握利用勾股定理创作图案的方法. (难点) 3.提升数学审美与实践创新素养. 素养目标 欣赏视频中的图形，它有什么样的特点？ 情境导入 探究1：利用勾股定理绘制图案 探究 利用勾股定理，可以绘制出各种不同的图案，下图中的图案均与勾股定理有关，不仅体现出勾股定理在图案设计中的应用，还彰显出数学的 “无限”之美，这些图案是如何利用勾股定理绘制的呢? 新知探究 问题1：图(1) 是如何绘制的呢？ 图 (1) 形如一棵树，有人称之为“勾股树”， 绘制这个图案，需要先画一个如图（2） 所示的图形 （1） （2） 新知探究 再以图形中的两个较小的正方形为基础，在两个小正方形的上方，分别作出两个形状与图（2） 相同的图形，如图（3） 所示. （3） 如此重复下去，最后填充颜色，就可以得到类似于图（1）的“勾股树”. 新知探究 像上面这样，按照相同的方法画图，并在新生成的图形上多次重复这个过程，就形成一幅无限生长的树形图案. 点击打开几何画板 新知探究 探究点2：图案的绘制逻辑 问题2：你知道下图是如何利用勾股定理绘制的吗? 解：第 1 个直角三角形两直角边长分别是 1 和 1， 以第 1 个直角三角形的斜边作为直角边， 另一条外侧的直角边为 1，画出第 2 个直角三角形；以第 2 个直角三角形的斜边作为直角边， 另一条外侧的直角边为 1， 画出第 3 个直角三角形， ··· 新知探究 第 1 个三角形的斜边长 ， 第 2 个三角形的斜边长是 ， 第 3 个三角形的斜边长是 ， 第 n 个三角形的斜边长是 . 以此类推即可完成构图. 新知探究 利用勾股定理绘制图案 应用：创意设计新图案 原理：勾股定理 (a2＋b2＝c2) 案例 勾股树：正方形面积关系＋重复构造直角三角形 边长拓展＋重复图形模块组合＋勾股关系 当堂反馈 1. 如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则 （用含有 a，b 和 c 的式子表示三者之间的等量关系）. a2＋b2＝c2 2. 如图以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 . S1＋S2＝S3 当堂反馈 3. 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为 S1，S2，直角三角形面积为 S3，请判断 S1，S2，S3 的关系并说明理由. 解：S1＋S2＝S3. 理由如下： ∵ S1＋S2＝ ∴ S1＋S2＝ ∴a2＋b2＝c2. ∴S1＋S2＝S3. 当堂反馈 4. 有一个边长为 1 的正方形，经过 1 次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过 1 次这样的“生长”后，如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2 所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了 2025 次后形成的图形中所有正方形的面积和. 当堂反馈 解：由勾股定理知：“生长” 1 次，“生长”出的两个正方形面积和等于原来正方形的面积，所有正方形面积和为 2；“生长”2 次，“生长”出的四个正方形面积和等于等于第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为 3；经过 n 次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是 n＋1； 经过2025 次“生长”后形成的图形中 所有正方形的面积和是2026. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 Lavf59.6.100 $