精品解析：广西崇左市凭祥市高级中学2025-2026学年高三下学期3月素质检测数学试题

2025-2026学年高三下学期3月素质检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到集合，利用补集概念求出答案. 【详解】或， 故. 故选：B 2. 复数的实部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算进行化简，进而求得复数的实部. 【详解】，实部为. 故选：B 3. 设，分别为双曲线（，）的上，下焦点，过点的直线与的一条渐近线交于点，若轴，且点到的距离为，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程与焦点坐标，依题意求出点坐标，即可求出直线的方程，再由点到直线的距离公式及得到、的关系，即可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为，上焦点，下焦点， 由，解得，不妨取， 则直线的方程为，即， 又点到的距离为，则， 即，又，所以，即， 所以离心率. 故选：B 4. 设随机变量，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性进行求解即可. 【详解】由正态分布关于均值对称，知，解得. 故选：C 5. 已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切，动圆圆心的轨迹为.为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为3 C. 为曲线上的两点，点为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出轨迹的方程，然后根据抛物线的定义、中点公式等知识逐项计算即可. 【详解】圆的半径为，圆心，设动圆圆心，半径为，则根据题意可得 ，化简得，所以准线方程为，A错误； 根据抛物线的定义可知等于点到准线的距离， 所以的最小值为点到准线的距离，即，B错误； 因为为线段的中点，根据抛物线的对称性可知，直线的斜率存在， 设，因为为线段的中点， 则，由相减可得 ，所以. 所以直线的方程为，即，C错误； 设，则的中点为，中点到轴的距离为， 而，故圆的半径为，等于中点到轴的距离， 因此该圆与轴相切，D正确. 故选：D. 6. 自然界元素的相对原子质量的计算需要知道丰度，计算公式为：，小丁同学发现，，他根据这一科学事实，构造出严格增数列，其中均为正整数且中所有项的和为100，则关于数列说法正确的是（ ） A. 可能为等差数列，不可能为等比数列 B. 可能为等比数列，不可能为等差数列 C. 既可能是等差数列，也可能为等比数列 D. 既不可能为等差数列，又不可能为等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合等差等比数列的性质和公式即可判断. 【详解】由严格增数列，其中均为正整数且中所有项的和为100， （1）：判断可能为等差数列： 若可能为等差数列，则， 则等差数列的前n项和公式为，且， 不妨设，，取， 则此数列为满足严格增数列定义，所以可能为等差数列 （2）：判断是否为等比数列； 设公比为，首项为，等比数列的前n项和公式为，已知均为正整数且中所有项的和为100，即， 则 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时， 当时， 当时， 当时， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，计算首项都是小于1的不可能为正整数， 故不可能为等比数列. 故选：A. 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，分别讨论当，时，得到满足的方程，解方程即可得结论. 【详解】由题意，当时，可得， 故，即，解得； 当时，可得，故，， 即，此时无解，因此. 故选：A. 8. 已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴交点且满足为等边三角形，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出相邻两条对称轴方程，进而求出值. 【详解】观察图象得，正的高为，则，又，因此， 线段中垂线方程分别为，即是函数图象相邻两条对称轴， 则函数的最小正周期，所以. 故选：C 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合作差法与反例，可得答案. 【详解】对于A，由，则且，得，故A正确； 对于B，当时，若，有，不满足条件，故B错误； 对于C，由，因此，C错误； 对于D，当，则，D正确． 故选：AD． 10. 已知平面内动点到定点的距离与到定直线l：的距离之和等于6，其轨迹为曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是以为焦点的抛物线的一部分 B. 点横坐标的取值范围是 C. 若过点的直线与曲线的部分图象和部分图象分别交于，则 D. 对给定的点（），用表示的最小值，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知确定动点满足的方程为，整理可得轨迹为曲线：，根据曲线分析，当时，即可判断A；讨论，时，确定的范围，从而可得点横坐标的取值范围，即可判断B；确定曲线的端点，从而得直线的斜率，设直线的方程为，从而得的范围，从而联立直线与曲线，得的横坐标，从而确定关系，即可判断C；确定直线与曲线的交点的坐标，分别讨论，，，结合三角形三边关系即可得最值情况，从而判断D. 【详解】由于平面内动点到定点的距离与到定直线l：的距离之和等于6， 则，所以， 整理得轨迹为曲线：； 对于A，若，则轨迹为曲线化简得， 则点的轨迹是以为焦点的抛物线的一部分，故A正确； 对于B，若，则曲线为，可得，则， 若，则轨迹为曲线化简得，可得，， 综合，可得，解得，所以点横坐标的取值范围是，故B不正确； 对于C，由选项B，可得曲线的图象如图所示： 设曲线的左右端点为， 又，所以， 设直线的方程为，则，即， 联立，解得， 联立，解得， 当时，则，，所以，故； 当时，则，，所以，故； 综上，恒成立，故C正确； 对于D，如图，设直线与曲线的交点为， 当时，代入曲线中可得或，则， 如图1：当时，， 则； 如图2：当时，， 则 如图3：当时，因为，则，所以， 综上，的最小值为. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 11. 如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，为上一点，且，则下列结论正确的有（ ） A. 正三棱台的高为 B. 点的轨迹长度为 C. 高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内 D. 过点，，的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】延长正三棱台的侧棱相交于点，根据题意可得三棱锥为正四面体，设为等边三角形的中心，再求出正四面体的高，进而得到正三棱台的高即可判断A；由与平面所成角的正切值为，得到，则点在等边三角形的内切圆上，再求周长即可判断B；根据三棱台的高及上底面内切圆的半径即可判断C；设正四面体的内切球的半径为，利用等体积法得到，再结合题意可知过点，，的平面正好过该内切球的球心，进而得到截面面积即可判断D． 【详解】如图，延长正三棱台的侧棱相交于点，由题意可知，. 在等腰梯形中，因为，，，所以， 即为等边三角形，所以三棱锥为正四面体，且. 对于A，设为等边三角形的中心， 由正四面体的性质可知，侧面，且， 即点到底面的距离为， 又因为，，所以正三棱台的高为，故A错误； 对于B，因为与平面所成角的正切值为， 所以，解得， 且等边三角形的内切圆的半径为，可知点在等边三角形的内切圆上， 又，， 故该圆与相切，所以点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，因为正三棱台的高为，的内切圆的半径为，且， 所以高为、底面半径为的圆柱可以放进该棱台内，故C正确； 对于D，设正四面体的内切球的半径为， 由等体积法可得，解得， 因为，所以该棱台内最大的球即正四面体的内切球， 又因为，，，所以为的中点，过点，，的平面正好过该内切球的球心， 所以截面面积为，故D正确． 故选：BCD． 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由向量的坐标运算求，再结合平行关系可得，再由向量的模长公式结合两点之间的距离、点到直线的距离可得. 【详解】由题意知， ，即， ， 可看作点到点的距离， . 故答案为：. 13. 中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值.现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产500件、300件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为2%，4%，4%.现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是________. 【答案】##0.03 【解析】 【分析】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率. 【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互斥，且， 设任取一件产品，取到的是次品为事件，则 故答案为：. 14. 已知函数，若，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】易得是奇函数，且在R上单调递增，将原不等式求解. 【详解】因为， 所以是奇函数，且在R上单调递增， 所以不等式化为， 则，即，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C满足． （1）求； （2）若边上的高等于，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理与余弦定理求解即可； （2）由几何图形分析，设边上的高为，为垂足，在中，，，，设，从而求出，，进而求解即可. 【小问1详解】 设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c， 因为， 由正弦定理得：， 由余弦理得 又因为， 所以，． 【小问2详解】 如图： 设边上的高为，为垂足， 在中，； 在中，，，， 设，则，， 所以， 所以. 16. 甲有50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择： 项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的；如果投资失败，一年后将丧失本金的，这两种状况发生的概率分别为． 项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的，可能丧失本金的，也可能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为． （1）设随机变量X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求X，Y的分布列； （2）针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由． 【答案】（1）的分布列见解析 （2）甲应该选择项目二，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意分析X、Y可取的值，进而可得X，Y的分布列； （2）分别求X，Y的期望和方差，进而比较大小，即可分析判断. 【小问1详解】 由题意可知：X可取的值为：，10， 其分布列为 X 10 P Y可取的值为：，0，6， 其分布列为 Y 0 6 P 【小问2详解】 对于项目一：（万元）， ； 对于项目二：（万元）， ； 因为，， 即两个项目的期望值相同，但项目一的波动性较大，所以甲应该选择项目二． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1） 证明：如图，取的中点为，连接，，． 因为底面是菱形，，， 所以，，所以是等边三角形， 又为的中点，所以，且，． 在中，，，，由余弦定理，得， 又，所以，即． 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取中点 ，由菱形性质及角度、边长条件得出 及 长度，进而得 ，然后根据线面垂直及面面垂直的判定即得： （2）过作交延长线于，由面面垂直性质得平面，以 所在直线为轴建系，求平面和平面的法向量，再用向量夹角公式求两平面夹角余弦值进而可得正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过作，与的延长线交于点，连接． 在中，，，，所以，． 在中，，，，由余弦定理，得， 所以，即． 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 又平面，所以，即两两垂直． 以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，． 所以，，，． 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，，即平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，，即平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为 ，则， 所以，即平面与平面夹角的正弦值为． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线，直线，且l与C交于P，Q两点.构造点列如下：设的坐标为，直线，与C的另一个交点分别为，，直线与x轴的交点为.设点的坐标为. （1）若的面积为，求l的斜率； （2）用，表示直线的方程； （3）设的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出，再求点到直线的距离，由列方程，由此求得直线的斜率； （2）设直线上的任意一点为，再求，，即可表示出直线的方程，再利用化简即可； （3）联立直线与抛物线方程，求出的坐标，再结合第（2）问化简直线的方程，求出和坐标，再通过构造等比数列求出的通项公式以及利用面积公式求出并化简，最后利用的范围即可求出的最大值. 【小问1详解】 设，联立，得， 则， 则 ， 又点到直线的距离， 则， 解得，满足，所以直线的斜率. 【小问2详解】 因，在抛物线上，则， 设直线上的任意一点为， 则，， 则直线的方程为， 则， 则，即， 故直线的方程为. 【小问3详解】 直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，则，同理可得， 则，， 则由（2）可得，直线的方程为， ， 又点到直线的距离为， 则 又直线与轴的交点为，则，则， 因及以上递推关系可知，，则， 则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故， 则， 故， 因，则当时，有最大值. 19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与x轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：，，，…，，….在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点r. （1）若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后一位）； （2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：； （3）若，若关于x的方程的两个根分别为，，证明：. 【答案】（1）1.8 （2），证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意分别计算出，取得近似值即为方程的二次近似值； （2）分别求出，，即可写出函数在点处的切线方程；设，，证明出，得出，即可证明； （3）先判断出，然后辅助证明两个不等式和即可． 【小问1详解】 ， 当时，，在点处的切线方程为， 与x轴的交点横坐标为，所以， ，在点处的切线方程为， 与x轴的交点为，所以方程的二次近似值为1.8. 【小问2详解】 由题可知，，，， 所以在处的切线为，即； 设，， 则，显然单调递减，令，解得， 所以当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以 所以，即. 【小问3详解】 由， 得， 当时，；当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，也是的最大值点，即， 又时，，时，， 所以当方程有两个根时，必满足； 曲线过点和点的割线方程为 下面证明： 设，则 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增， 在上单调递减，， 所以当时，，即（当且仅当或时取等号）， 由于，所以，解得；① 下面证明当时，， 设，，因为， 所以当时，（当且仅当时取等号）， 由于所以，解得，② ①+②，得. 【点睛】关键点点睛：第三问的难点在于辅助构造出两个函数不等式，这样再利用函数单调性，得到相关不等式，然后进行估计的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期3月素质检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的实部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 设，分别为双曲线（，）的上，下焦点，过点的直线与的一条渐近线交于点，若轴，且点到的距离为，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 设随机变量，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. -1 5. 已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切，动圆圆心的轨迹为.为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为3 C. 为曲线上的两点，点为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 6. 自然界元素的相对原子质量的计算需要知道丰度，计算公式为：，小丁同学发现，，他根据这一科学事实，构造出严格增数列，其中均为正整数且中所有项的和为100，则关于数列说法正确的是（ ） A. 可能为等差数列，不可能为等比数列 B. 可能为等比数列，不可能为等差数列 C. 既可能是等差数列，也可能为等比数列 D. 既不可能为等差数列，又不可能为等比数列 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴交点且满足为等边三角形，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知平面内动点到定点的距离与到定直线l：的距离之和等于6，其轨迹为曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是以为焦点的抛物线的一部分 B. 点横坐标的取值范围是 C. 若过点的直线与曲线的部分图象和部分图象分别交于，则 D. 对给定的点（），用表示的最小值，则的最小值为 11. 如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，为上一点，且，则下列结论正确的有（ ） A. 正三棱台的高为 B. 点的轨迹长度为 C. 高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内 D. 过点，，的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则的最小值为______. 13. 中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值.现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产500件、300件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为2%，4%，4%.现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是________. 14. 已知函数，若，则实数a的取值范围是______． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C满足． （1）求； （2）若边上的高等于，求． 16. 甲有50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择： 项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的；如果投资失败，一年后将丧失本金的，这两种状况发生的概率分别为． 项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的，可能丧失本金的，也可能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为． （1）设随机变量X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求X，Y的分布列； （2）针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线，直线，且l与C交于P，Q两点.构造点列如下：设的坐标为，直线，与C的另一个交点分别为，，直线与x轴的交点为.设点的坐标为. （1）若的面积为，求l的斜率； （2）用，表示直线的方程； （3）设的面积为，求的最大值. 19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与x轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：，，，…，，….在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点r. （1）若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后一位）； （2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：； （3）若，若关于x的方程的两个根分别为，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $