精品解析：广西崇左市天等县高级中学2025-2026学年高三第二学期3月月考数学试题

2025-2026学年第二学期3月月考试题 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的虚轴的长为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 4 4. 已知随机变量，若，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知直线与轴和轴分别交于A，两点，以点A为圆心，2为半径的圆与轴的交点为（在点A右侧），点在圆上，当最大时，的面积为（ ） A. B. 8 C. D. 6. 定义“等积数列”:在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列且，前项的和为，则这个数列的公积为 A. B. C. D. 7. 已知数列为等差数列，，则（ ） A. 16 B. 19 C. 25 D. 29 8. 已知函数的部分图象如图所示（为图象与轴的一个交点，为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 二.多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上运动，点在轴上运动，且，动点满足，记动点的轨迹为，则（ ） A. 的方程为 B. C. 的最大值为9 D. 曲线上有且仅有两点到直线的距离为1 11. 如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，为上一点，且，则下列结论正确的有（ ） A. 正三棱台的高为 B. 点的轨迹长度为 C. 高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内 D. 过点，，的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，，若，则______． 13. 已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为_____. 14. 2025年春晚，魔术师表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子.魔术师让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位.假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动.完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是__________. 四.解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，， （1）求b的值； （2）求的值； （3）若△ABC的面积为14，求. 16. 某科研机构为完成国家级课题，从4个实验室抽调10名研究员组成项目组.各实验室参与人数如下： 实验室 人工智能实验室 生物医学实验室 量子计算实验室 环境工程实验室 人数 3 2 2 3 （1）从这10名研究员中随机抽取两人合作实验，求两人来自同一实验室的概率； （2）课题完成后需选派3人撰写结题报告，设被选中的生物医学实验室研究员的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，， ，，是的中点，在棱上，且平面. （1）求证：是的中点； （2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 18. 已知抛物线的准线交x轴于点K，垂直于x轴的直线l与C交于M，N两点，且，. （1）求抛物线C的标准方程； （2）若在第一象限内C上有个不同的点，满足，且，点为点关于y轴的对称点. （i）求数列的通项公式； （ii）令，为数列的前n项和，求使不等式恒成立的最大整数n的值. 19. 已知， （1）求在处的切线方程； （2）若不等式对任意成立，求a的最大整数解． （3）的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期3月月考试题 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到集合，利用补集概念求出答案. 【详解】或， 故. 故选：B 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数运算法则验证即可. 【详解】， 故选：D 3. 与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的虚轴的长为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，设双曲线的方程为，将点的坐标代入可求．即可求解. 【详解】解：设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为， 该双曲线经过点， ． 所求的双曲线方程为：，即．所以，所以虚轴长为：4. 故选：D 4. 已知随机变量，若，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以，又，， 所以，解得. 故选：C. 5. 已知直线与轴和轴分别交于A，两点，以点A为圆心，2为半径的圆与轴的交点为（在点A右侧），点在圆上，当最大时，的面积为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当BP为圆的一条位于AB下方的切线时满足最大，通过计算得的方程再通过面积公式计算即可. 【详解】如图所示，不难发现当BP为圆的一条位于AB下方的切线时满足最大， 由题意可得，不妨设， 则A到BP的距离为，或（舍去）. 则， 此时到BP的距离为， 所以的面积为 故选：A 6. 定义“等积数列”:在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列且，前项的和为，则这个数列的公积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可得， ，先由题求出 ，则公积为. 【详解】由题可知等积数列的各项以2为一个周期循环出现，每相邻两项的和相等，前项的和为 则 即，解得 所以公积是 故选C. 【点睛】本题考查数列，解题的关键是理解等积数列的各项以2为一个周期循环出现，每相邻两项的和相等，考查学生的类比能力． 7. 已知数列为等差数列，，则（ ） A. 16 B. 19 C. 25 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及性质，进行计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A. 8. 已知函数的部分图象如图所示（为图象与轴的一个交点，为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得函数的周期和振幅，进而可得函数的一个对称中心. 【详解】由，得，，所以， 所以，令，得， 所以当时，，所以是函数的一个对称中心. 故选：B. 二.多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用幂函数的单调性判断B；利用不等式性质判断C；作差判断D. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，函数在R上单调递增，由，得，即，B正确； 对于C，由，得，，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：BCD 10. 在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上运动，点在轴上运动，且，动点满足，记动点的轨迹为，则（ ） A. 的方程为 B. C. 的最大值为9 D. 曲线上有且仅有两点到直线的距离为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出轨迹方程，结合椭圆定义和性质可判断A,B,C，求出椭圆的切线，结合切线和直线间的距离可判断D. 【详解】设，由可得， 因为， ，所以， 解得，所以，整理得，A不正确； ，因为，所以，，B正确； 因为的方程为，所以，为其焦点， 由可得，，当且仅当时，取到最大值，C正确； 设直线与相切，联立，， 由可得，即. 当时，与的距离为； 当时，与的距离为； 曲线上有且仅有两点到直线的距离为1，D正确. 11. 如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，为上一点，且，则下列结论正确的有（ ） A. 正三棱台的高为 B. 点的轨迹长度为 C. 高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内 D. 过点，，的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】延长正三棱台的侧棱相交于点，根据题意可得三棱锥为正四面体，设为等边三角形的中心，再求出正四面体的高，进而得到正三棱台的高即可判断A；由与平面所成角的正切值为，得到，则点在等边三角形的内切圆上，再求周长即可判断B；根据三棱台的高及上底面内切圆的半径即可判断C；设正四面体的内切球的半径为，利用等体积法得到，再结合题意可知过点，，的平面正好过该内切球的球心，进而得到截面面积即可判断D． 【详解】如图，延长正三棱台的侧棱相交于点，由题意可知，. 在等腰梯形中，因为，，，所以， 即为等边三角形，所以三棱锥为正四面体，且. 对于A，设为等边三角形的中心， 由正四面体的性质可知，侧面，且， 即点到底面的距离为， 又因为，，所以正三棱台的高为，故A错误； 对于B，因为与平面所成角的正切值为， 所以，解得， 且等边三角形的内切圆的半径为，可知点在等边三角形的内切圆上， 又，， 故该圆与相切，所以点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，因为正三棱台的高为，的内切圆的半径为，且， 所以高为、底面半径为的圆柱可以放进该棱台内，故C正确； 对于D，设正四面体的内切球的半径为， 由等体积法可得，解得， 因为，所以该棱台内最大的球即正四面体的内切球， 又因为，，，所以为的中点，过点，，的平面正好过该内切球的球心， 所以截面面积为，故D正确． 故选：BCD． 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示求得，再由向量线性运算的坐标表示计算． 【详解】因为，， 所以由，有，解得， 所以， 故答案为：． 13. 已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设有关于对称，在上为严格增函数，利用对称性和单调性有，即可求解. 【详解】由，即关于对称， 又在上为严格减函数，则在上为严格增函数， 由，则，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14. 2025年春晚，魔术师表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子.魔术师让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位.假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动.完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件概率知识即可求解. 【详解】我们不妨把勺子、筷子和杯子的第一个字的拼音的第一个小写英文字母来代替这三个东西， 例如代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位， 一开始的状态有六种情况，我们用表示一次调换， 那么根据题意有，第一种初始状态下的变换过程为：， 第二种初始状态下的变换过程为：， 第三种初始状态下的变换过程为：， 第四种初始状态下的变换过程为：， 第五种初始状态下的变换过程为：，（本质上没有调换）， 第六种初始状态下的变换过程为：， 从以上可以看出来，末状态杯子在右边对应的初始状态有：第一、二、三、五、六种初始状态共5种情况， 在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的末状态只能是（对应的初始状态是第二种初始状态）， 故所求概率为. 故答案为：. 四.解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，， （1）求b的值； （2）求的值； （3）若△ABC的面积为14，求. 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系以及正弦定理求解即可. （2）根据两角和的余弦公式以及二倍角公式求解即可. （3）根据三角形面积公式、余弦定理以及正弦定理求解即可 【小问1详解】 因为，，即， 可得， 所以 ； 【小问2详解】 由（1）可得， ， 可得； 【小问3详解】 因为，△ABC的面积为14， 可得 ， 由（1）可知， 所以， 可得. 16. 某科研机构为完成国家级课题，从4个实验室抽调10名研究员组成项目组.各实验室参与人数如下： 实验室 人工智能实验室 生物医学实验室 量子计算实验室 环境工程实验室 人数 3 2 2 3 （1）从这10名研究员中随机抽取两人合作实验，求两人来自同一实验室的概率； （2）课题完成后需选派3人撰写结题报告，设被选中的生物医学实验室研究员的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式与组合数公式，计算随机选取两人来自同一实验室的概率； （2）确定随机变量X的所有可能取值，求出对应概率，进而得出分布列与数学期望． 【小问1详解】 根据题意，从这10名研究员中随机抽取两人，有种选法， 其中两人来自同一实验室的有种，则要求概率． 【小问2详解】 根据题意，X可取的值为0、1、2， 则， , , 故X的分布列为： X 0 1 2 P 则． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，， ，，是的中点，在棱上，且平面. （1）求证：是的中点； （2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质与平行公理，通过已知的中点条件证明另一组边的中点关系； （2）条件①：运用面面垂直的性质定理将空间垂直关系转化为线面垂直，从而建立空间直角坐标系；通过向量坐标运算求平面法向量，再利用法向量夹角公式计算平面夹角的余弦值；条件②：基于已证的中点关系和垂直条件，建立坐标系，用向量法求平面法向量及夹角. 【小问1详解】 取的中点，连接，因为是的中点，所以， 又平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面平面， 又平面ABCD∩平面EFG＝EG，平面ABCD∩平面PCD＝CD， 所以∥， 因为是的中点，所以是的中点. 【小问2详解】 选择条件①： 因为，平面平面，平面平面平面， 所以平面， 故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则, 取，则，所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 选择条件②： 在矩形中，，所以， 又，所以，即， 因为平面， 所以平面， 后续过程同条件①． 18. 已知抛物线的准线交x轴于点K，垂直于x轴的直线l与C交于M，N两点，且，. （1）求抛物线C的标准方程； （2）若在第一象限内C上有个不同的点，满足，且，点为点关于y轴的对称点. （i）求数列的通项公式； （ii）令，为数列的前n项和，求使不等式恒成立的最大整数n的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）6 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知不妨设，结合直线垂直可得，即可得抛物线方程； （2）（i）分析可知数列是以为首项，为公差的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解；（ii）整理可得，利用错位相减法可得，结合数列单调性解不等式即可. 【小问1详解】 由题意可知：抛物线C的准线方程为，则点， 因为垂直于x轴的直线l与C交于M，N两点，， 把代入得，解得， 不妨设M在第一象限，则，， 因为，即， 则，整理可得，解得， 所以抛物线C的标准方程为. 【小问2详解】 （i）因为，在抛物线C上， 则，即， 因为，则， 整理可得， 因为，则，即， 且，可知数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即； （ii）由（i）可知：，则，可得， 则，可得， 两式相减得 ， 则，即， 因为点为点关于y轴的对称点，则，可得， 不等式即为，等价于， 令，则， 令，即，解得； 令，即，解得； 且，，，则， 可知不等式的解集为， 所以使不等式成立的最大整数n的值为6. 19. 已知， （1）求在处的切线方程； （2）若不等式对任意成立，求a的最大整数解． （3）的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：． 【答案】（1） （2）3 （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，利用导数几何意义得到切线方程； （2）参变分离得到对任意成立，令，，求导，结合零点存在性定理得到的最小值为，从而，a的最大整数解为3； （3），求导得到的单调性，要使得有两个零点，需满足，求出，，令，由得，要证，只需证，令，二次求导，得到的单调性，，所以. 【小问1详解】 的定义域为， ，，又， 所以在处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 ，， ， 即， 即对任意成立， 令，，则， 令，， 故，所以在上单调递增， ，， 由零点存在性定理得，使得，即， 所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为， 所以，a的最大整数解为3； 【小问3详解】 ，定义域为， 当时，在上单调递增，此时不存在两个零点， 所以，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，故， 要使得有两个零点，需满足， 即，解得， 因为，所以， 令，由得， 所以， 要证，只需证， 即证，即证， ，只需证， 令，则， 令，则， 当时，，故在上单调递增，， 故在上单调递增，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $