专题10.1 分式的概念（知识梳理+9个考点讲练+真题演练+分层训练 共52题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦初中数学“分式的概念”核心知识点，系统梳理分式的定义、有意义及值为零的条件，通过知识梳理、9个考点讲练（含判断、规律、构造等）、中考真题及分层训练，构建从基础到应用的完整学习支架。 资料以分层设计（基础夯实与创新拓展）和核心素养培养为亮点，如规律性问题培养抽象能力，构造分式发展创新意识，课中辅助教师教学，课后助力学生通过52道题查漏补缺，提升运算与推理能力。

2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.1 分式的概念 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共52题） 解析版 【第十章 分式】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 分式的概念 1 知识点二 分式有意义，无意义或等于零的条件 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 分式的判断 2 考点讲练二 分式的规律性问题 5 考点讲练三 按要求构造分式 7 考点讲练四 分式无意义的条件 9 考点讲练五 分式有意义的条件 10 考点讲练六 分式值为零的条件 11 考点讲练七 分式的求值 13 考点讲练八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 15 考点讲练九 求使分式值为整数时未知数的整数值 18 中考真题 实战演练 20 难度分层 闯关训练 22 【基础夯实 能力提升】 22 【创新拓展 拔尖冲刺】 26 知识点一 分式的概念 1. 分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母。 【微点拨】 （1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母. （2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果。 知识点二 分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零。 2.分式无意义的条件：分母等于零。 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。 【微点拨】 （1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零。 （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零。 （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值。 考点讲练一 分式的判断 【典例分析】（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列判断中，正确的是（    ） A．分式的分子中一定含有字母 B．对于任意有理数x，分式总有意义 C．分数一定是分式 D．当时，分式的值为0（A，B为整式） 【答案】B 【思路引导】本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式值为0的条件等知识，根据相关知识逐项判断即可求解． 【规范解答】解：A. 分式的分母中一定含有字母，分子中不一定含有字母，如是分式，但分子中不含有字母，故原选项错误，不合题意； B. ∵，∴，∴对于任意有理数x，分式总有意义，故原选项正确，符合题意； C. 分数的分母不含有字母，一定不是分式，故原选项错误，不合题意； D. 当时，分式的值为0（A，B为整式）,故原选项错误，不合题意． 故选：B 【变式训练1】（24-25八年级下·山西临汾·期末）下列各式：，，，，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【规范解答】A、，分母为，含有字母，符合分式定义，是分式； B、，分母为常数，不含字母，属于整式中的系数形式，不是分式； C、，分母为常数（圆周率），不含字母，不是分式； D、，分母为常数，不含字母，不是分式． 故选：A． 【变式训练2】综合与实践 在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，，一名这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：． 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ． (1)分式是_________分式．（填“真”或“假”） (2)参考上面的方法，将分式化为带分式． (3)如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)真； (2)； (3)或或或． 【思路引导】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 【规范解答】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：原式 ． ； （3）解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 【考点剖析】本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 考点讲练二 分式的规律性问题 【典例分析】（25-26八年级上·云南怒江·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查规律探究，观察代数式的系数和x的指数，第1个代数式为，第2个代数式为，第3个代数式为，据此找出规律，即可求解． 【规范解答】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， ... 第n个代数式为； 故选：A． 【变式训练1】（25-26八年级上·北京延庆·期末）一组按照规律排列的分式：，，，（，），则第个分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了数式类规律探索，解答本题的关键是发现每一项的变化特点，求出相应的项．观察分式的规律：符号交替为负、正、负、正，的指数为奇数序列，，，，，的指数为，，，，，归纳出第项公式，再代入计算即可． 【规范解答】解：第个分式的符号为，的指数为，的指数为， 第个分式为， 当时，第个分式为． 故选：D． 【变式训练2】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照上述规律，回答下列问题： (1)写出第6个等式：　　　； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示）； (3)计算：. 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了数字类规律探索，实数的运算，熟练掌握运算法则得出规律是解题的关键． （1）根据所给第1到4个等式的规律，写出第6的等式； （2）根据第个等式与等式内的数字对应规律，写出第个等式； （3）依据第（2）问中的规律，应用规律计算可得出答案． 【规范解答】（1）解：根据规律第6个等式：． （2）解： 根据规律，猜想的第个等式： ． （3）解：原式 ． 考点讲练三 按要求构造分式 【典例分析】（25-26七年级上·上海松江·期末）一个分式同时满足：①字母仅含有；②当时，分式的值为；③当时，分式的值为,这个分式可以是_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于是解题的关键． 根据分式值为的条件，分子为且分母不为，因此分子需包含因式；再根据分式值为的条件，代入建立方程求解分母． 【规范解答】解：设分式为 ，其中 和 是关于 的多项式， 由 时分式值为， 得 且 ， 故 含有因式 ， 令 ， 由 时分式值为-2，得 ， 即 ，解得 ， 故可设 ， 验证当 时，，满足条件， 因此分式可为 ． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练1】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于真分式的是_____；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式； (3)若假分式的值是整数，求整数x的值． 【答案】(1)③ (2)2+ (3)整数x的值为或或或． 【思路引导】本题考查了分式的性质、分式的加减运算，理解题中的定义和转化方法是解答的关键． （1）直接根据真分式的定义判断即可； （2）仿照例题进行转化即可； （3）根据题意只需是整数，进而求解或即可． 【规范解答】（1）根据真分式的定义，属于真分式的是③． 故答案为：③； （2）解：； （3）解：由（2），得， ∵假分式的值是整数， ∴是整数． ∴或． ∴或或或． ∴整数x的值为或或或． 【变式训练2】（24-25八年级下·河北保定·月考）某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【思路引导】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 考点讲练四 分式无意义的条件 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 【答案】0 【思路引导】本题考查的是分式值为零的条件、分式有意义的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零、分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式无意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零，由此可求出、，代入即可求出的值． 【规范解答】解：当 时，分式无意义，则分母 ，即 ，解得 ； 当 时，分式值为零，则分子 ，即 ，解得 ； 因此 ． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【思路引导】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【规范解答】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义．求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式值为0和分式无意义的条件，掌握分式值为的条件是分子为且分母不为，分式无意义的条件是分母为是解题的关键． 根据分式值为的条件求出的值和的限制，再根据分式无意义的条件求出的值，最后代入计算． 【规范解答】解：当时，分式的值为， 且，解得，． 当时，分式没有意义， ，解得， ． 考点讲练五 分式有意义的条件 【典例分析】（25-26八年级下·河南周口·月考）分式有意义的条件是_____． 【答案】 【思路引导】根据分式有意义，分母不为，即可得出结果． 【规范解答】解：若分式有意义， 则， 得． 【变式训练1】（2026八年级下·全国·专题练习）下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是判断分母是否恒不为零． 分别分析每个选项的分母，判断其是否可能为零，若分母恒不为零，则该分式无论取何值都一定有意义． 【规范解答】解：A、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意； B、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意； C、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意； D、， ，分母恒不为零，无论取何值，分式都有意义，此选项符合题意． 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式． (1)当时，分式的值为 ． (2)当满足什么条件时，分式有意义？ 【答案】(1) (2)且 【思路引导】本题考查了分式的求值和分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为零，代入求值时注意符号计算是解题的关键． （1）将代入分式，分别计算分子与分母的值，再求比值； （2）根据分母不为零的条件确定的取值范围． 【规范解答】（1）解： 将代入分式中， 计算分子的值为， 计算分母的值为 ， 分式的值为，化简得 ． （2）解：分式有意义， 且， 解得且． 考点讲练六 分式值为零的条件 【典例分析】（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】分式值为零需同时满足两个条件，分子为零，分母不为零，分别计算两个条件即可得到结果． 【规范解答】解：∵分式的值为零， ∴分子，且分母， 由得，即， 由得， 综上，． 【变式训练1】（25-26八年级上·甘肃定西·月考）对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1)当时，分式有意义 (2)当时，分式的值为零 【思路引导】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件，即分母不为0，列式求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，即分子为0，且分母不为0，列式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得， 答：当时，分式有意义； （2）∵分式的值为零， ∴且， 即且， ∴， 答：当时，分式的值为零． 【变式训练2】（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，， 【思路引导】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键； （1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分子为0，列出方程即可得到c的值； （2）把的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）把，代入得 因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，． 整数的值可能为，，． 考点讲练七 分式的求值 【典例分析】（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，则分式的值为______． 【答案】 【思路引导】先根据已知等式得到a与b的数量关系，再通过代入消元将分式转化为只含单一字母的式子，最后依据分式的基本性质约分求值． 【规范解答】解：∵ ∴，且（若，则，与矛盾） 将代入，得 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·福建·自主招生）设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【思路引导】此题考查了完全平方公式，分式的求值，利用平方根解方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 由条件，利用完全平方公式求出和，再计算其比值的平方，结合 确定符号，得到最终结果． 【规范解答】解：∵ ∴， ， ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 【变式训练2】（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 【答案】(1)假分式 (2)， (3) 【思路引导】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，分式是假分式； （2）解：； ． （3）解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ∴， ∴符合条件的负整数的值为． 考点讲练八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【典例分析】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) ， (2) (3) 或 【思路引导】（1）根据分式无意义的条件即可得到值，再根据，根据方程求解即可； （2）先把（1）中算出来，的值代入式子，再根据分式的值为1，求出的值，即可得出答案； （3）根据分式不等式解方程即可求解． 本题考查了分式的值、分式有意义和无意义的条件，根据分式的值求出字母的值及分式有意义是解题关键． 【规范解答】（1）解：时，分式无意义， ， 当时，得 ， 故答案为：，． （2）解： 将（1）中求的,代入分式得 由题可得：当时候，, 解得, 经检验，当时，原方程有解， 则， 故答案为：． （3）解：, ∴或 解得：或． 故答案为：或． 【变式训练1】（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 【答案】24 【思路引导】本题主要考查了解一元一次不等式组、分式，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．先求解不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个整数解的条件确定的取值范围；再根据分式值为非负数的条件，得到的另一取值范围，求交集后得到整数的值，最后求和． 【规范解答】解： 不等式组的解集为， 有且仅有2个整数解，即整数解为1和2， ， 解得， 整数可为，，，， 又分式，恒成立， ，得， 满足条件的整数为， ， 故答案为：． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 【答案】(1)，不等式组无解， (2) 【思路引导】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出两个不等式组的解集，即可解答； （2）先根据有理数的除法法则得出③或④，分别求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：解不等式组①，得， 解不等式组②，得不等式组无解， 故当x满足时，分式的值为正． 故答案为：；不等式组无解；； （2）解：∵分式的值为负， ∴分子、分母异号， 原式可转化为③或④， 解不等式组③： 由，得，由，得， ∴不等式组③无解； 解不等式组④： 由，得，由，得， ∴不等式组④的解集为． 综上所述，若分式的值为负，则x的取值范围为． 考点讲练九 求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例分析】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数列式计算是解题的关键．根据分式的值为整数，则分母 必须是分子的约数，即，，，分别求解，并筛选出整数解，最后求和即可． 【规范解答】解：分式的值为整数， 是的约数，即，，， 当时，； 当时，； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数， 符合条件的整数为和， 它们的和为； 故答案为：． 【变式训练1】（25-26八年级上·重庆荣昌·期末）关于的多项式，（为常数），下列说法：①若中不含和项，则；②当时，；③当时，若的值为正整数，则此时所有整数的值的和为20．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【思路引导】本题考查整式混合运算中的无关型问题、分式的化简．求出，再根据中不含和项，可判断①；求出，可判断②；求出，可判断③． 【规范解答】解：①∵， ∴， ∵中不含和项， ∴， 解得：，故①错误； ②当时， ，故②错误； ③当时， ， ∵的值为正整数， ∴9是的整数倍， ∴取， ∴x的值为， ∵的值为正整数， ∴x取3，5，11， ∴此时所有整数的值的和为，故③错误． 故选：D 【变式训练2】（25-26八年级上·广东汕头·月考）解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，设．若均为非零整数，则的值为_____． 【答案】或27 【思路引导】本题考查了代数式求值，求使分式值为整数时未知数的整数值,掌握知识点是解题的关键． 化简得，根据均为非零整数进行分类讨论，即可求解． 【规范解答】解：由题意得 ， 均为非零整数， 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 故答案为：或． 【真题演练1】（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 . 【规范解答】∵ 分式 有意义需分母 ， ∴ ， 故选： A． 【真题演练2】2025·四川德阳·中考真题）函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【思路引导】此题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定x的取值范围． 【规范解答】解：使分式有意义的条件是分母不为0， 因此， 解得． 故答案为：． 【真题演练3】（2025·江苏淮安·中考真题）若分式有意义，则a的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不等于零，即可求解． 【规范解答】解：若分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 【真题演练4】（2025·江苏常州·中考真题）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式的分母不为0即可求解． 【规范解答】解：要使分式有意义， 则， 解得， 故选：A． 【真题演练5】（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 【答案】(1)的值为； (2)当时，；当时，． 【思路引导】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，代入函数即可求解； （）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可． 【规范解答】（1）解：把，代入函数得， ， ∴的值为； （2）解：将，代入函数得， ， 整理得：， 当时，即， ∴， 当时，， 则有，， ， ∴ ， 综上可知：当时，；当时，． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·山东济南·月考）在代数式中，分式共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题考查分式的定义，根据分式定义逐一判断即可，需注意是常数不是字母. 【规范解答】根据分式定义：若 是整式，且式子的分母中含有字母，则该式子是分式. 逐个判断给出的代数式： ∵ ，的分母均为常数，中是常数，分母不含字母，这三个都是整式，不是分式； ∵ ，，这三个的分母都含有字母，符合分式定义，都是分式. ∴ 分式共有3个，故选B. 2．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【规范解答】解：若有意义，则，解得． 3．（25-26八年级下·四川内江·月考）在、、、、中分式的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【规范解答】解：在、、、、中分式有、、，共个． 4．（25-26八年级下·河北张家口·月考）若，则（　　） A．81 B．119 C．11 D．123 【答案】B 【思路引导】先对已知等式平方求出，再对平方即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴对等式两边平方得 ， 则化简得， ∴， 则 ， ， ∴． 5．若分式的值为0，则_____ ． 【答案】 【思路引导】根据分式的值为零，分子为零，而分母不为0，列式计算即可． 【规范解答】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：． 6．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）已知，则的值是________． 【答案】0 【思路引导】利用完全平方公式得到，则可求出的值，再代入求值即可． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 【答案】 【思路引导】将斗换算为升，计算出个民夫和个士兵携带的总粮食为升，再结合总人数得出每天消耗升，最后用总粮食除以日消耗量，约分后可得到行军天数． 【规范解答】解：据题可知， 每个士兵与个民夫共可携带粮食升， 每天消耗的粮食为升， 则背负的粮食最多可以支持天． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）自习课上，小明遇到下面一道题，刚写了两步，就去辅导其他同学了，请把小明的解题过程补充完整． 题目：不论取何实数，分式总有意义，求的取值范围． 解： 【答案】，过程见解析 【思路引导】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，则可推出，根据平方的非负性可得当，即时，的值不可能为0，据此可得答案． 【规范解答】解：，且分式总有意义， ∴ ， 当，即时，的值不可能为0， 当时，不论取何实数，分式总有意义． 9．（2026八年级下·全国·专题练习）仔细阅读下面的材料并解答问题． 例：当取何值时，分式的值为正数？ 解：由题意，得，则有①或②解不等式组①，得；解不等式组②，得该不等式组无解．∴当时，分式的值为正数． 按照上面的方法，求当取何值时，分式的值为负数． 【答案】当且时 【思路引导】此题考查了已知分式的值求未知数的范围，解不等式组，解题的关键是正确列出不等式组． 首先将因式分解为，然后类比题干的方法得到①或②，然后分别求解即可． 综合运用因式分解、分式值为负，解不等式等知识． 【规范解答】解：∵， ∵分式的值为负数， ∴或， ∴①或② 解不等式组①，得且； 解不等式组②，得该不等式组无解． ∴当且时，分式的值为负数． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 【答案】5 【思路引导】本题考查的是分式的值为零的条件，分式无意义的条件，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分母为是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算求出、的值，然后代入求出代数式的值即可． 【规范解答】解：由题意，得， 解得 ． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25八年级下·甘肃白银·月考）若分式的值为，则等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据分式的值为零的条件，分子为零，分母不为零，进行求解即可． 【规范解答】解：， 且， 解得． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值为（） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了分式化简求值，先提取公因式，再对分式进行通分，结合已知条件化简计算，即可得出结果． 【规范解答】解：∵ ∴原式 ∵， ∴ 代入得： 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·周测）若分式的值为零，则的值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【思路引导】要使分式的值为零，需同时满足以下两个条件： ①分子为零：； ②分母不为零：． 【规范解答】解：A、当时：分子，分母，分式值为，符合题意； B、当时：分母，分式无意义，不符合题意； C、当时：分子，分式值不为，不符合题意； D、当时：符合条件，但使分母为，分式无意义，不符合题意． 故选：A． 【考点剖析】本题考查了分式值为零的条件，解题关键是牢记“分子为零且分母不为零”这两个条件，缺一不可，避免只看分子而忽略分母的限制． 4．（25-26八年级上·重庆·期末）若，则分式的值为_____． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了分式的化简求值、代数式求值等知识点，利用分式的性质对分式变形是解题的关键． 由已知条件可得，然后整体代入所求分式化简即可解答． 【规范解答】解：由 ，得，即． 所以分式为 ． 故答案为：． 5．（25-26八年级下·全国·周测）请你写出一个分式，同时满足以下三个条件：①当时，分式无意义；②当时，分式的值为0；③当时，分式的值为4．这个分式可以是____________． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了最简分式，分式值为零的条件，分子为分式的值为，分母为分式无意义． 根据条件①，分式在时无意义，故分母包含因式 ；根据条件②，分式在时值为 0，故分子包含因式 ，且分母在时不为零；根据条件③，分式在时值为 4，代入分式方程求解系数． 【规范解答】解：设分式为 ， 由条件③，当时，， 解得 ， 取 ，则 ，故分式为 ， 验证满足所有条件， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 【答案】且， 【思路引导】根据零指数幂的底数不能为零，负整数指数幂的底数不能为零，可得的取值范围，再把代入代数式计算即可求解． 【规范解答】解：∵式子有意义， ∴且， 解得且， 当时， ． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】此题考查了分式为零的条件，解二元一次方程组，分式的求值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到的值为0，然后根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0求解即可； （2）首先根据绝对值和平方的非负性得到，求出，然后代入求解即可． 【规范解答】（1）解：∵当时，分式的值为0， ∴的值为0， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵ ∴ 解得 ∴． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，其中、是常数，且当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求当时，分式的值． 【答案】当时，分式的值为． 【思路引导】本题主要考查了分式的求值，分式无意义的条件，分式的值为零的条件，分式无意义的条件是分母为0，分式的值为零的条件是分子为0且分母不为0，据此求出m、n的值，再代入求值即可得到答案． 【规范解答】解：由题意，得，且， 解得． 当时，， 即当时，分式的值为． 9．（25-26八年级上·福建莆田·期末）阅读材料：分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和，如：或．阅读下面拆分成几个不同单位分数之和的过程： 拆法一：设正整数满足：，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 拆法二：． (1)参考上述方法，直接写出拆分成几个不同单位分数相加的形式；（要求：写出三种拆分形式即可） (2)对于任意质数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式． 【答案】(1)，，； (2) 【思路引导】本题考查了分式规律性问题， 第一小题参考阅读材料中的拆法，通过解方程或选择乘数分解分子得到三种拆分形式； 第二小题仿照拆法一，利用因式分解推导出对于任意质数 的拆分公式． 【规范解答】（1）解：参考拆法一：设正整数满足：，则 ， 整理得 ， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 参考拆法二：选择分子分母同时乘 ，则 ，∵ ，且 均为 的因数，∴ ． 选择分子分母同时乘 ，则 ，∵ ，且 均为 的因数，∴ ， ∴ 可以拆分成为 ，，． （2）证明：设正整数满足 ， ∵ 为质数且 ， ∴， ∴ ∴， ∴ 的正因数对为 或 ，但， ∴ ，， ∴ 解得，． ∵ 为质数，∴ 为奇数， 为偶数， 和 均为整数． ∴ ． 10．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得：，根据、为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的一组正整数解． (2)若为正整数，求满足条件的正整数的值． (3)2020-2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的笔记本与单价为6元的钢笔两种奖品，共花费56元，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)（答案不唯一） (2)或6或7或10或13或22 (3)共有4种购买方案：①笔记本购买11本，钢笔2支，②笔记本8本，钢笔4支，③笔记本5本，钢笔6支，④笔记本2本，钢笔8支． 【思路引导】（1）由题意可得，再由x，y均为正整数，即可求解； （2）由为正整数，可得为1，2，3，6，9，18，即可求解； （3）设购买m本笔记本，n支钢笔，可得，计算即可求解． 本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵、为正整数， ∴（答案不唯一）． （2）解：∵为正整数，为正整数， ∴或或或或或， 解得：或6或7或10或13或22． （3）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 依题意，， ∴， 又∵m，n为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案：①笔记本购买11本，钢笔2支，②笔记本8本，钢笔4支，③笔记本5本，钢笔6支，④笔记本2本，钢笔8支． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.1 分式的概念 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共52题） 原卷版 【第十章 分式】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 分式的概念 1 知识点二 分式有意义，无意义或等于零的条件 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 分式的判断 2 考点讲练二 分式的规律性问题 5 考点讲练三 按要求构造分式 7 考点讲练四 分式无意义的条件 9 考点讲练五 分式有意义的条件 10 考点讲练六 分式值为零的条件 11 考点讲练七 分式的求值 13 考点讲练八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 15 考点讲练九 求使分式值为整数时未知数的整数值 18 中考真题 实战演练 20 难度分层 闯关训练 22 【基础夯实 能力提升】 22 【创新拓展 拔尖冲刺】 26 知识点一 分式的概念 1. 分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母。 【微点拨】 （1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母. （2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果。 知识点二 分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零。 2.分式无意义的条件：分母等于零。 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。 【微点拨】 （1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零。 （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零。 （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值。 考点讲练一 分式的判断 【典例分析】（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列判断中，正确的是（    ） A．分式的分子中一定含有字母 B．对于任意有理数x，分式总有意义 C．分数一定是分式 D．当时，分式的值为0（A，B为整式） 【变式训练1】（24-25八年级下·山西临汾·期末）下列各式：，，，，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】综合与实践 在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，，一名这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：． 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ． (1)分式是_________分式．（填“真”或“假”） (2)参考上面的方法，将分式化为带分式． (3)如果分式的值为整数，求x的整数值． 考点讲练二 分式的规律性问题 【典例分析】（25-26八年级上·云南怒江·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·北京延庆·期末）一组按照规律排列的分式：，，，（，），则第个分式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照上述规律，回答下列问题： (1)写出第6个等式：　　　； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示）； (3)计算：. 考点讲练三 按要求构造分式 【典例分析】（25-26七年级上·上海松江·期末）一个分式同时满足：①字母仅含有；②当时，分式的值为；③当时，分式的值为,这个分式可以是_____（写出一个即可）． 【变式训练1】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于真分式的是_____；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式； (3)若假分式的值是整数，求整数x的值． 【变式训练2】（24-25八年级下·河北保定·月考）某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 考点讲练四 分式无意义的条件 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 【变式训练1】（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义．求的值． 考点讲练五 分式有意义的条件 【典例分析】（25-26八年级下·河南周口·月考）分式有意义的条件是_____． 【变式训练1】（2026八年级下·全国·专题练习）下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式． (1)当时，分式的值为 ． (2)当满足什么条件时，分式有意义？ 考点讲练六 分式值为零的条件 【典例分析】（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·甘肃定西·月考）对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 【变式训练2】（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 考点讲练七 分式的求值 【典例分析】（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，则分式的值为______． 【变式训练1】（24-25九年级下·福建·自主招生）设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【变式训练2】（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 考点讲练八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【典例分析】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 【变式训练1】（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 考点讲练九 求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例分析】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【变式训练1】（25-26八年级上·重庆荣昌·期末）关于的多项式，（为常数），下列说法：①若中不含和项，则；②当时，；③当时，若的值为正整数，则此时所有整数的值的和为20．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式训练2】（25-26八年级上·广东汕头·月考）解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，设．若均为非零整数，则的值为_____． 【真题演练1】（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【真题演练2】2025·四川德阳·中考真题）函数中自变量的取值范围是_____． 【真题演练3】（2025·江苏淮安·中考真题）若分式有意义，则a的取值范围是______． 【真题演练4】（2025·江苏常州·中考真题）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【真题演练5】（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·山东济南·月考）在代数式中，分式共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川内江·月考）在、、、、中分式的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26八年级下·河北张家口·月考）若，则（　　） A．81 B．119 C．11 D．123 5．若分式的值为0，则_____ ． 6．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）已知，则的值是________． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）自习课上，小明遇到下面一道题，刚写了两步，就去辅导其他同学了，请把小明的解题过程补充完整． 题目：不论取何实数，分式总有意义，求的取值范围． 解： 9．（2026八年级下·全国·专题练习）仔细阅读下面的材料并解答问题． 例：当取何值时，分式的值为正数？ 解：由题意，得，则有①或②解不等式组①，得；解不等式组②，得该不等式组无解．∴当时，分式的值为正数． 按照上面的方法，求当取何值时，分式的值为负数． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25八年级下·甘肃白银·月考）若分式的值为，则等于（   ） A．3 B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值为（） A．2025 B． C．2026 D． 3．（25-26八年级下·全国·周测）若分式的值为零，则的值为（    ） A．5 B． C． D． 4．（25-26八年级上·重庆·期末）若，则分式的值为_____． 5．（25-26八年级下·全国·周测）请你写出一个分式，同时满足以下三个条件：①当时，分式无意义；②当时，分式的值为0；③当时，分式的值为4．这个分式可以是____________． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，其中、是常数，且当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求当时，分式的值． 9．（25-26八年级上·福建莆田·期末）阅读材料：分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和，如：或．阅读下面拆分成几个不同单位分数之和的过程： 拆法一：设正整数满足：，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 拆法二：． (1)参考上述方法，直接写出拆分成几个不同单位分数相加的形式；（要求：写出三种拆分形式即可） (2)对于任意质数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式． 10．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得：，根据、为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的一组正整数解． (2)若为正整数，求满足条件的正整数的值． (3)2020-2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的笔记本与单价为6元的钢笔两种奖品，共花费56元，问有哪几种购买方案？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $