专题10.2 分式的基本性质（知识梳理+9个考点讲练+真题演练+分层训练 共52题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.2 分式的基本性质 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共52题） 解析版 【第十章 分式】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 分式的基本性质 1 知识点二 约分 2 知识点三 通分 2 知识点四 最简分式 3 知识点五 最简公分母 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 判断分式变形是否正确 3 考点讲练二 求使分式变形成立的条件 5 考点讲练三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 7 考点讲练四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 9 考点讲练五 将分式的分子分母各项系数化为整数 10 考点讲练六 约分 12 考点讲练七 最简分式 13 考点讲练八 最简公分母 15 考点讲练九 通分 17 中考真题 实战演练 19 难度分层 闯关训练 21 【基础夯实 能力提升】 21 【创新拓展 拔尖冲刺】 25 知识点一 分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 知识点二 约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 知识点三 通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 知识点四 最简分式 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． 知识点五 最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 考点讲练一 判断分式变形是否正确 【典例分析】（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 【答案】A 【思路引导】本题考查最简分式的判断，分式有意义的条件及分式的基本性质，解题的关键是根据最简分式的定义、分式有意义的条件及分式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【规范解答】解：A．∵该分式的分子为，分母为，分子分母无公因式， ∴是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意； B．当时，得：，与分式的基本性质不符，变形不成立， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； C．若分式有意义，则，得， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； D．， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式训练1】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了分式的基本性质，需依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项的变形是否正确，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵分式的基本性质为：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变， ∴、将的分子分母同乘，得，与不相等，故该选项变形错误，不符合题意； 、，又，故该选项变形正确，符合题意； 、化简得（），与选项中的结果符号相反，故该选项变形错误，不符合题意； 、当时，无意义，不满足分式基本性质中“乘不为的整式”的要求，故该选项变形错误，不符合题意； 故选：． 【变式训练2】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分子、分母同乘 (2)分子、分母同除以 (3)分子、分母同除以 (4)分子、分母同乘 【思路引导】根据分式的基本性质逐一解答即可． 【规范解答】（1）解：分子、分母同乘， ； （2）解：分子、分母同除以， ； （3）解：分子、分母同除以， ； （4）解：分子、分母同乘， ． 【考点剖析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘或除一个不等于零的数，分式的值不变是解题的关键． 考点讲练二 求使分式变形成立的条件 【典例分析】若，则的值为__________． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26八年级上·四川南充·期末）无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了分式的值，由于分式值恒不变，可设其值为常数，进而根据多项式恒等条件列出方程求解． 【规范解答】解：∵分式值恒不变， ∴设（为常数）， 则， 整理得， ∵该等式对任意恒成立， ∴系数对应相等：，， 由得， 代入得， ∴ 故选：C． 【变式训练2】已知分式；试解答下列问题： 阅读材料：若分式的值大于0（即），则或 (1)根据上面这段阅读材料，若分式，求x的取值范围 (2)根据以上内容，自主採究：若分式，求x的取值范围（要求：写出探究过程）． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】（1）仿照题意得到或，然后解不等式组即可得到答案； （2）仿照题意得到或，然后解不等式组即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴或， 解不等式组得，解不等式组得，即不等式组无解， ∴； （2）解：∵， ∴或， 解不等式组得，解不等式组得， ∴或． 【考点剖析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的性质，正确理解题意是解题的关键． 考点讲练三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例分析】（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的6倍 【答案】A 【思路引导】将扩大后的结果代入原分式，化简后和原分式比较即可得到结论． 【规范解答】解：将同时扩大为原来的3倍后， 新分式为， 所以新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大到原来的3倍． 【变式训练1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）下列说法正确的是（） A．代数式是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式中都扩大3倍，分式的值不变 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了分式的定义、最简分式的定义、分式值为0的条件、分式的基本性质，熟练掌握分式相关概念及性质的应用条件是解题的关键．根据分式的定义、最简分式的定义、分式值为0的条件、分式的基本性质，对每个选项逐一分析判断即可． 【规范解答】解：∵分式的定义是分母中含有字母的整式，π是常数， ∴的分母不含字母，是整式不是分式，故A错误． ∵的分子与分母没有公因式， ∴该分式是最简分式，故B正确． ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，由得，又时，分母，分式无意义， ∴，故C错误． 将都扩大3倍后，新分式为，是原分式的3倍，分式的值改变，故D错误． 故选：B． 【变式训练2】（24-25八年级上·北京·期末）已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了不等式的性质，有理数符号的判断及其利用分式的基本性质判断分式值的大小； 由且 ，可得，，故，比较各选项与的大小即可． 【规范解答】解：∵且 ， ∴，， 故， A、∵，， ∴， ∴比小，故此选项不符合题意； B、∵且， ∴， ∴一定比大，故此选项符合题意； C、∵，故此选项不符合题意； D、∵，但可能大于或小于，故与大小不确定， ∴不一定比大； 故选：B． 考点讲练四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了分式的符号性质，掌握通过提取负号调整分子或分母的符号，使最高次项系数为正，同时保持分式值不变是解题的关键． （1）分母最高次项系数为负，将分母提取负号变形，同时调整分式符号，使分母最高次项系数为正； （2）先将分子、分母分别提取负号，使最高次项系数为正，再整理降幂排列． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【思路引导】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【规范解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 考点讲练五 将分式的分子分母各项系数化为整数 【典例分析】（25-26八年级上·青海西宁·期末）下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了有理数的乘方运算，分式的化简等知识，逐项计算验证，A、B、C均不成立，D选项化简后成立． 【规范解答】解：A：∵，， ∴ ，而， ∴，A错误． B：∵， ∴，而， ∴，B错误． C：左边分式分子分母同乘10，得 ，右边为， ∵分母不同， ∴除非，否则不相等，C错误． D：， ∵左边右边， ∴D正确． 故选：D． 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练2】（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键； （1）根据分式的基本性质变形即可； （2）根据分式的基本性质变形即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：． 考点讲练六 约分 【典例分析】下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】对各选项分子进行因式分解，判断分子分母是否存在公因式，无公因式的即为最简分式． 【规范解答】解：选项：分子分母中不含有能约分的式子，是最简分式； 选项：，不是最简分式； 选项：，不是最简分式； 选项：，不是最简分式． 【变式训练1】（25-26八年级下·河北张家口·月考）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先对分式分子分母因式分解，再找公因式约分验证． 【规范解答】解：A、的分子分母没有公因式，不能约分，选项约分错误； B、，分母为，可得，，选项约分错误； C、，分母为，可得，，选项约分正确； D、，选项约分错误． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路引导】先将分子、分母因式分解后约分化简，然后将，变形得到整体代入化简后的分式即可. 【规范解答】解：原式， ∵， ， 原式． 考点讲练七 最简分式 【典例分析】（25-26八年级下·四川宜宾·月考）下列分式中，最简分式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据最简分式的定义，逐一分析每个选项的分子与分母是否存在公因式，若不存在公因式则为最简分式，反之则不是，最终确定正确选项． 【规范解答】解：选项A， 分式的分子与分母没有公因式， 该分式是最简分式； 选项B， ， 分式，分子与分母有公因式， 该分式不是最简分式； 选项C， 分式的分子与分母有公因式， 该分式可约分为，不是最简分式； 选项D， ， 分式，分子与分母有公因式， 该分式不是最简分式． 【变式训练1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【思路引导】本题考查了分式的定义，最简分式的判断． 判断每个表达式是否为分式且是否为最简分式即可． 【规范解答】解：①，不是最简分式； ②，不是最简分式； ③，分子与分母无公因式，是最简分式； ④，分母是常数，无变量，不是分式； ⑤，分子与分母无公因式，是最简分式； 综上，是分式且是最简分式的有③和⑤，共2个． 故选：A． 【变式训练2】（25-26八年级上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为0，则 D．分式中的x，y的值同时扩大2倍，则分式的值保持不变 【答案】C 【思路引导】本题考查分式的定义、最简分式的判断、分式值为零的条件以及分式的基本性质． 根据分式的定义、最简分式的判断、分式值为零的条件以及分式的基本性质逐一判断即可． 【规范解答】解：A：分式定义要求分母中含有字母，而的分母是常数3，不含字母，不是分式，A错误； B：分母，与分子有公因式，不是最简分式，B错误； C：分式值为零需分子为零且分母不为零，中，分子时或，但时分母为零，只有时满足，C正确； D：当同时扩大2倍，新分式为，值变为原来的2倍，不保持不变，D错误； 故选：C． 考点讲练八 最简公分母 【典例分析】（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【思路引导】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质． 【规范解答】解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是，∴A错误； 对于B选项，∵确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误； 对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴，不是，∴C错误； 对于D选项，∵对任意都有，∴，分子，∴恒成立，∴D正确． 故选：D． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键． 先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确． 【规范解答】解：A、最简公分母为， 正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、正确通分应为，但选项D中分子为，错误，符合题意； 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)， ， (2)，， 【思路引导】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先对原分式的分母用提公因式法、平方差公式进行因式分解，求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）解：最简公分母为， ， ， ； （2）解：，，， 最简公分母为， ， ， ． 考点讲练九 通分 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）通分： (1)，． (2)，． (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【思路引导】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，以及对分母因式分解和处理互为相反因式的变形技巧是解题的关键． （1）确定各分母系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂，得到最简公分母，再将每个分式的分子分母同乘相应因式，使分母统一为最简公分母； （2）先对分母因式分解，确定最简公分母，注意处理与的符号关系，再通分； （3）确定各分母系数的最小公倍数和字母的最高次幂，得到最简公分母，再对每个分式变形． 【规范解答】（1）解：最简公分母是， ， ． （2）解：最简公分母是， ， ． （3）解：最简公分母是， ， ， ． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【思路引导】本题考查了分式的通分． （1）找出最简公分母，进而通分即可； （2）找出最简公分母，进而通分即可； （3）找出最简公分母，进而通分即可． 【规范解答】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【思路引导】本题考查了通分，通分的定义：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式的变形叫做分式的通分． （1）根据通分的定义把分式变形即可； （2）根据通分的定义把分式变形即可； （3）根据通分的定义把分式变形即可． 【规范解答】（1）解：， （2）解：， （3）解：， ， ． 【真题演练1】（2024·贵州铜仁·中考真题）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则求解即可． 【规范解答】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，计算错误，符合题意； 故选D． 【考点剖析】本题主要考查了绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则，熟知相关知识是解题的关键． 【真题演练2】（2024·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【思路引导】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【规范解答】解： ， 当时， ∴原式=． 【考点剖析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 【真题演练3】（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A． B． C．5 D．a 【答案】D 【思路引导】分子分解因式，再约分得到结果． 【规范解答】解： ， 故选：D． 【考点剖析】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【真题演练4】（2025·湖南·中考真题）约分：______； 【答案】 【思路引导】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键． 直接约去分子与分母的公因式即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【真题演练5】（2024·湖南株洲·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解． 【规范解答】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【考点剖析】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此进行判断即可． 【规范解答】解：分式，的最简公分母是． 2．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【规范解答】解：． 3．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）将分式中的、都扩大到倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大到倍 C．扩大到倍 D．扩大到倍 【答案】B 【思路引导】将原分式中的、分别替换为、，根据分式的基本性质化简，再和原分式比较即可得到结果． 【规范解答】解：∵把、都扩大到3倍后，则用替换，替换， ∴ ∵原分式为， ∴新分式的值是原分式的倍， 即分式的值扩大到倍． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）把分式中的x、y都扩大4倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大4倍 C．扩大8倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【思路引导】本题考查分式的基本性质，将扩大后的x、y代入原分式，根据分式的基本性质化简，再和原分式对比即可得到结果． 【规范解答】解：将、都扩大为原来的倍后，变为，变为，代入原分式得， 新分式为， ∴新分式的值和原分式的值相等，即分式的值不变． 故选：A． 5．（25-26八年级下·山东济南·月考）分式的最简公分母是_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式的最简公分母，解题的关键是掌握确定最简公分母的方法，即取各分母系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积． 分别分析三个分母、、的系数与字母部分，系数取最小公倍数，字母取最高次幂，组合得到最简公分母． 【规范解答】解：分式、、的分母分别为、、． 系数的最小公倍数为． 字母的最高次幂为． 字母的最高次幂为． 字母的最高次幂为． 故最简公分母为． 故答案为：． 6．（25-26八年级下·江苏常州·月考）分式，的最简公分母________． 【答案】 【思路引导】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，求解即可．． 【规范解答】解：由题意得，分式与的最简公分母为． 7．（2026八年级下·江苏·专题练习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【思路引导】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【规范解答】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了约分，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用分式的基本性质约分； （2）先将分子、分母分别分解因式，再约分． 【规范解答】（1）解：． （2）解：． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据分式的分子分母同时扩大10倍，分式的值不变，据此解答即可； （2）根据分式的分子分母同时扩大20倍，分式的值不变，据此解答即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：． 10．（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可． 根据题干中的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：第一步：1，，，； 第二步：，c，，； 第三步：，，，； ∴，，的最简公分母是； （2）解：第一步：1，，，； 第二步：，3，，； 第三步：，，，； 第四步：，，，； ∴，，的最简公分母是． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（2023八年级下·江苏无锡·竞赛）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．不变 【答案】D 【规范解答】解：把分式中的、都扩大为原来的3倍可得： ， ∴分式的值不变． 2．（25-26八年级下·河南南阳·月考）下列说法正确的是（    ） A．当时，分式无意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【思路引导】本题考查分式的相关基础概念，包括分式有无意义的条件、最简公分母的确定、分式值为0的条件以及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式的基本性质． 【规范解答】解：A，∵分式无意义的条件是分母，当时，分母，分式有意义， ∴A错误； B，∵最简公分母取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积， ∴分式与的最简公分母是，不是， ∴B错误； C，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即， ∴，不是， ∴C错误； D，∵对任意都有， ∴，分子， ∴恒成立， ∴D正确． 3．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 【答案】D 【思路引导】根据分式的性质，对各选项进行判断即可． 【规范解答】解：选项A：当时，分式分母为，分式无意义，即选项A错误； 选项B：当时，分式无意义，故选项B错误； 选项C：当，都扩大倍，分式转变为，即分式的值也扩大三倍，故选项C错误； 选项D：无法再进行化简，故是最简分式，选项D正确． 4．（25-26九年级上·山东烟台·期末）分式与的最简公分母为____． 【答案】 【思路引导】此题考查了分式的最简公分母，掌握将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了分式的最简公分母是解题的关键．对分母进行因式分解，找到不同因式的乘积解题即可． 【规范解答】解：，， ∴分式与的最简公分母是， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江西赣州·期末）约分：__________． 【答案】 【思路引导】本题考查了约分，关键是找到分子、分母的公因式；先对分子和分母因式分解，最后约去公因式． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 6．某中学计划对甲、乙、丙三个校区进行绿化改造，校区内种植银杏和紫叶李．初步预算，这三个校区各需两种树木数量和之比为，需银杏数量之比为，并且甲、乙两校区需紫叶李数量之比为．在实际购买时，银杏的价格比预算高，紫叶李购买数量增加了，紫叶李的价格比预算低，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买银杏的总费用与实际购买紫叶李的总费用之比为_____． 【答案】/ 【思路引导】根据已知比例设参数表示各部分数量，利用甲、乙两校区紫叶李的数量比得到参数关系，再设单价，根据总费用相等得到单价关系，最后计算实际总费用之比． 本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理． 【规范解答】解：设三个校区需两种树木总数量分别为，，，设三个校区需银杏数量分别为，，． 则甲校区紫叶李数量为，乙校区紫叶李数量为． 由题意得 交叉相乘得 整理得，解得． 三个校区树木总数量为，总银杏数量为，预算紫叶李总数量为． 设预算银杏单价为，预算紫叶李单价为，则预算总费用为． 实际银杏总费用为． 实际紫叶李总数量为，实际紫叶李单价为，因此实际紫叶李总费用为． 由实际总费用等于预算总费用得： 约去整理得． 因此实际购买银杏总费用与实际购买紫叶李总费用之比为： ． 故答案为：． 7．（25-26九年级下·北京·开学考试）已知，求代数式的值． 【答案】 【思路引导】先对等式进行变形，再对分式进行约分，最后代入求值即可． 【规范解答】解：由得，， 将代入上式得， 原式． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知为整数，求能使分式的值为整数的的值． 【答案】或或或 【思路引导】先根据分式的性质进行化简，结果为，再结合题意判断出是的因数，计算出结果，同时注意需要让原分式有意义． 【规范解答】解：∵原分式有意义， ∴， ∴， ， ∵分式的值为整数，且为整数， ∴是的因数， ∴或， ∴或或或． 9．（25-26八年级下·河南周口·月考）一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)0或1或3或4 【思路引导】（1）把原式先变形为，再利用平方差公式分解因式得到，据此可得答案； （2）把式子变形为，进一步可变形为，根据题意可得是整数，则或，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴是整数，且是整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或． 10.计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）． 【答案】 【思路引导】首先将原式第三项约分，再把前两项括号展开，最后合并同类项即可得到结果． 【规范解答】解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1） =（x﹣2）2﹣x（x﹣1） = =． 【考点剖析】此题主要考查了乘法公式和分式的约分，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.2 分式的基本性质 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共52题） 原卷版 【第十章 分式】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 分式的基本性质 1 知识点二 约分 2 知识点三 通分 2 知识点四 最简分式 3 知识点五 最简公分母 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 判断分式变形是否正确 3 考点讲练二 求使分式变形成立的条件 4 考点讲练三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 4 考点讲练四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 5 考点讲练五 将分式的分子分母各项系数化为整数 6 考点讲练六 约分 6 考点讲练七 最简分式 7 考点讲练八 最简公分母 7 考点讲练九 通分 8 中考真题 实战演练 8 难度分层 闯关训练 9 【基础夯实 能力提升】 9 【创新拓展 拔尖冲刺】 10 知识点一 分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 知识点二 约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 知识点三 通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 知识点四 最简分式 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． 知识点五 最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 考点讲练一 判断分式变形是否正确 【典例分析】（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 【变式训练1】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1) ； (2)； (2) ； (4)． 考点讲练二 求使分式变形成立的条件 【典例分析】若，则的值为__________． 【变式训练1】（25-26八年级上·四川南充·期末）无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知分式；试解答下列问题： 阅读材料：若分式的值大于0（即），则或 (1)根据上面这段阅读材料，若分式，求x的取值范围 (2)根据以上内容，自主採究：若分式，求x的取值范围（要求：写出探究过程）． 考点讲练三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例分析】（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的6倍 【变式训练1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）下列说法正确的是（） A．代数式是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式中都扩大3倍，分式的值不变 【变式训练2】（24-25八年级上·北京·期末）已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 考点讲练五 将分式的分子分母各项系数化为整数 【典例分析】（25-26八年级上·青海西宁·期末）下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【变式训练2】（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 考点讲练六 约分 【典例分析】下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级下·河北张家口·月考）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 考点讲练七 最简分式 【典例分析】（25-26八年级下·四川宜宾·月考）下列分式中，最简分式是（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练2】（25-26八年级上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为0，则 D．分式中的x，y的值同时扩大2倍，则分式的值保持不变 考点讲练八 最简公分母 【典例分析】（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1) ，，； (2)，，． 考点讲练九 通分 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）通分： (1) ，． (2)，． (3)，，． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1) 与； (2)与； (3)，，． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1) ； (2)； (3)． 【真题演练1】（2024·贵州铜仁·中考真题）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2024·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【真题演练3】（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A． B． C．5 D．a 【真题演练4】（2025·湖南·中考真题）约分：______； 【真题演练5】（2024·湖南株洲·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 2．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 3．将分式中的、都扩大到倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大到倍 C．扩大到倍 D．扩大到倍 4．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）把分式中的x、y都扩大4倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大4倍 C．扩大8倍 D．缩小为原来的 5．（25-26八年级下·山东济南·月考）分式的最简公分母是_____． 6．（25-26八年级下·江苏常州·月考）分式，的最简公分母________． 7．（2026八年级下·江苏·专题练习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 10．（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（2023八年级下·江苏无锡·竞赛）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．不变 2．（25-26八年级下·河南南阳·月考）下列说法正确的是（    ） A．当时，分式无意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论为何值，的值总为正数 3．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 4．（25-26九年级上·山东烟台·期末）分式与的最简公分母为____． 5．（25-26八年级上·江西赣州·期末）约分：__________． 6．某中学计划对甲、乙、丙三个校区进行绿化改造，校区内种植银杏和紫叶李．初步预算，这三个校区各需两种树木数量和之比为，需银杏数量之比为，并且甲、乙两校区需紫叶李数量之比为．在实际购买时，银杏的价格比预算高，紫叶李购买数量增加了，紫叶李的价格比预算低，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买银杏的总费用与实际购买紫叶李的总费用之比为_____． 7．（25-26九年级下·北京·开学考试）已知，求代数式的值． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知为整数，求能使分式的值为整数的的值． 9．（25-26八年级下·河南周口·月考）一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 10.计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $