专题10.3 分式的加减（知识梳理+6个考点讲练+真题演练+分层训练 共43题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦分式的加减这一核心知识点，系统梳理同分母分式（分母不变、分子相加减）和异分母分式（先通分再加减）的运算法则，通过知识梳理的易错点拨与考点讲练的典例、变式构建学习支架，为分式混合运算学习奠定基础。 该资料以分层设计与实际应用为特色，如盐水浓度问题引导学生用数学眼光观察现实世界，不等式证明环节发展推理思维，分层训练与中考真题助力学生用数学语言表达运算过程，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺、提升应用能力。

2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.3 分式的加减 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共43题） 原卷版 【第十章 分式】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 同分母分式的加减 1 知识点二 异分母分式的加减 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 同分母分式减法 2 考点讲练二 异分母分式减法 3 考点讲练三 整式与分式相加减 4 考点讲练四 已知分式恒等式，确定分子或分母 4 考点讲练五 分式减混合运算 5 考点讲练六 分式加减的实际应用 6 中考真题 实战演练 7 难度分层 闯关训练 7 【基础夯实 能力提升】 7 【创新拓展 拔尖冲刺】 9 知识点一 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 【易错点拨】 （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点二 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 【易错点拨】 （1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 考点讲练一 同分母分式减法 【典例分析】（25-26八年级下·河南周口·月考）化简 的结果是_______． 【变式训练1】（25-26八年级下·山东济南·月考）计算： (1) (2) 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1) ． (2)． (3)． 考点讲练二 异分母分式减法 【典例分析】（25-26八年级下·江苏常州·月考）【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学，在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． (1)现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为，加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：________（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 (2)将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为________，由此得到新的不等式________（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南周口·月考） 已知 ，， (1)当时，判断与的关系，并说明理由； (2)设 ，若是整数，求的正整数值． 【变式训练2】已知，求，的值． 考点讲练三 整式与分式相加减 【典例分析】（25-26九年级上·河南三门峡·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·周测）计算： (1) ． (2)． (2) ． (4)． 【变式训练2】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如： ． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 考点讲练四 已知分式恒等式，确定分子或分母 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求整数，的值． 【变式训练1】（25-26八年级上·山东滨州·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：m为何值时，多项式有一个因式是． 解：设它的另一个因式为（a为常数）， 则 比较两边的系数，得，解得． (1)已知多项式有一个因式是，求m的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值； (3)已知是的一个因式，分解因式：________． 【变式训练2】（25-26八年级上·山西阳泉·期末）已知，其中、为常数，求的值． 考点讲练五 分式减混合运算 【典例分析】（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么________，________． 【变式训练1】（2025·辽宁丹东·二模）计算 (1) ； (2)． 【变式训练2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为______； (2)若可以分式分解为（其中是常数），则______，______； (3)当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 考点讲练六 分式加减的实际应用 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司组织活动，个人参加，公司拿出活动经费百元（为正整数），且．现在又有个人参加活动，公司决定增加经费百元，则增加经费后人均经费比原来__________（填“增加”或“减少”）了__________百元． 【变式训练1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）一瓶水，每次倒一点，是否一定能倒完？有人肯定觉得不管怎么倒，一定能倒完．真是这样吗？下面我们用所学的数学知识来分析解决． (1)用简便方法计算下题：； (2)利用（1）中得出的规律解决以下问题，一个容器装有1升水，按如下要求倒水：第1次倒出升水，第2次倒出升的，第3次倒出升的，第4次倒出升的……第n次倒出的水量是升的……，按照这种倒水的方法，这1升水可以倒完吗？为什么？ 【变式训练2】（25-26八年级上·山东泰安·期中）有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式__________合算．（填“甲”或“乙”或“一样”） 【真题演练1】（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【真题演练2】（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【真题演练3】（2025·四川乐山·中考真题）计算：的结果为（   ） A． B． C． D．1 【真题演练4】（2024·青海西宁·中考真题）计算：______． 【真题演练5】（2025·河南·中考真题）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）计算 的结果是（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D． 4．（25-26八年级下·河南南阳·月考）化简：______． 5．计算：__________． 6．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·内蒙古兴安·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 9．化简： (1)； (2)． 10．（25-26八年级下·吉林长春·月考）阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如： ． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于假分式的是________；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式； (3)若假分式的值是整数，则整数x的值为________． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）化简，的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·模拟预测）多项式中，现对其中，，，这四个单项式进行以下操作，选择个单项式进行变符号，再对整个多项式加绝对值化简，称这个操作为“变号绝对操作”，比如对与变号，则多项式为，当时，化简结果为，当时，化简结果为，以下结论： ①至少存在2种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样 ②当，多项式时，且使得为整数，则符合整数x的值共有4个 ③所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26八年级下·山东济南·月考）已知，则的值是_________． 5．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）已知可以写成，根据这一做法解决：当整数的值为______时，分式的值为整数． 6．（25-26八年级下·河南周口·月考）若，则________． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知A，B，为整数，求证：． 8．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n差分式”． 例如： 我们称 是 的“3差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“2差分式”． ① （含x的代数式表示）； ②若A的值为正整数，x为正整数，求x的值． 9．（25-26八年级下·山东济南·月考）计算： (1) (2) 10．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； ②当为整数时，请求出正整数x的值； (3)当时，求代数式值的范围． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.3 分式的加减 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共43题） 解析版 【第十章 分式】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 同分母分式的加减 1 知识点二 异分母分式的加减 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 同分母分式减法 2 考点讲练二 异分母分式减法 4 考点讲练三 整式与分式相加减 7 考点讲练四 已知分式恒等式，确定分子或分母 10 考点讲练五 分式减混合运算 12 考点讲练六 分式加减的实际应用 14 中考真题 实战演练 17 难度分层 闯关训练 19 【基础夯实 能力提升】 19 【创新拓展 拔尖冲刺】 25 知识点一 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 【易错点拨】 （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点二 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 【易错点拨】 （1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 考点讲练一 同分母分式减法 【典例分析】（25-26八年级下·河南周口·月考）化简 的结果是_______． 【答案】 【思路引导】先化成同分母分式，再根据同分母分式加减法法则计算即可． 【规范解答】解： ． 【变式训练1】（25-26八年级下·山东济南·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：； （2）解： ． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)-1 (2)-1 (3) 【思路引导】本题考查了分式的加减法，熟记“同分母分式的加减法法则”是解答本题的关键． （1）将变形为，然后按照同分母分式的加减法法则计算即可； （2）将变形为，然后按照同分母分式的加减法法则计算即可； （3）将变形为，然后按照同分母分式的加减法法则计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 考点讲练二 异分母分式减法 【典例分析】（25-26八年级下·江苏常州·月考）【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学，在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． (1)现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为，加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：________（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 (2)将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为________，由此得到新的不等式________（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【答案】(1) (2)，，见解析 【思路引导】（1）盐水加水后会变淡可知加水后的盐水浓度小于未加水时盐水的浓度，据此可得答案； （2）根据盐水浓度等于盐的质量除以盐水的质量可得第一空答案，根据加盐后会变咸可知加盐后的盐水浓度大于未加盐时盐水的浓度，据此可得第二空的答案；再利用作差法进行证明即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，此时盐水浓度为， ∵盐水变得更咸了， ∴， 证明如下： ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南周口·月考） 已知 ，， (1)当时，判断与的关系，并说明理由； (2)设 ，若是整数，求的正整数值． 【答案】(1)当时，，则， 当时，， 当时，，则，理由见解析； (2)的正整数值为． 【思路引导】（1）先根据分式的混合运算法则计算出，结合的取值范围判断、、的大小，从而判断不同情况下与的关系； （2）先求出，令，结合是整数，是正整数找出的可能取值，代入求解． 【规范解答】（1）解：当时，，则； 当时，； 当时，，则，理由如下： ， 又， ，， 当时，，则； 当时，； 当时，，则． （2）解： ， 令， 是整数，且， 为整数且不为， 则 ， 是整数， 是的约数，即，，，， 又是正整数， 当时， (舍去) ； 当时， (舍去)； 当时， (舍去) ； 当时， (舍去) ； 当时， (舍去) ； 当时， (符合)； 当时， (舍去) ； 当时， (舍去) ， 综上，的正整数值为． 【变式训练2】已知，求，的值． 【答案】． 【思路引导】先计算，然后由，从而可得，再解方程组即可． 【规范解答】解：， ， ∵，即， ∴， 解得． 考点讲练三 整式与分式相加减 【典例分析】（25-26九年级上·河南三门峡·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【规范解答】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·周测）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）本题是整式和分式相加的运算，把分母看成即可； （2）把分母化为进行同分母分式相加减进行运算即可； （3）先对分母进行因式分解，利用最简公分母进行通分化简即可； （4）把分母化为，再利用最简公分母进行通分化简即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）原式 ． ． （3）原式 ． （4）原式 ． 【考点剖析】本题考查了分式的加减运算，正确的运算是解题的关键． 【变式训练2】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如： ． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【答案】(1)①是；②否 (2)2或8 (3)或 【思路引导】本题主要考查分式化简，新定义运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）①根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； ②根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）设，则，且a为整数，，则有，然后根据或解方程，进而可求解． 【规范解答】（1）解：①由题意可得：，①正确， 故答案为：是； ② ，②错误， 故答案为：否； （2）解： ， ∵该分式的值为整数， ∴的值可为，， 又∵a为正整数， ∴a的值为2或8； （3）解：∵分式和的值同时为整数， ∴设，则，且a为整数，， ∴ ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴或． 考点讲练四 已知分式恒等式，确定分子或分母 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求整数，的值． 【答案】 【思路引导】先对等式左边进行通分，与等式右边的分子比较系数，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可． 【规范解答】解： ． ， ， ，解得． 【变式训练1】（25-26八年级上·山东滨州·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：m为何值时，多项式有一个因式是． 解：设它的另一个因式为（a为常数）， 则 比较两边的系数，得，解得． (1)已知多项式有一个因式是，求m的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值； (3)已知是的一个因式，分解因式：________． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）由题意设它的另一个因式为 ，则，再利用多项式的乘法法则展开，比较系数即可求解； （2）把等式右边两个分式通分相加，再比较两边分子的系数即可求得A、B的值，从而可求解； （3）由题意设它的另一个因式为（为常数），则，再把右边展开，合并同类项，比较系数即可． 【规范解答】（1）解：设它的另一个因式为 ， 则 比较两边的系数，得， 解得； （2）解：， ， ， 比较分子的系数得， ∴ ； （3）解：设它的另一个因式为（为常数） 则 ， 比较两边的系数，得，解得， ． 【变式训练2】（25-26八年级上·山西阳泉·期末）已知，其中、为常数，求的值． 【答案】7 【思路引导】本题考查了分式的减法运算，解二元一次方程，代数式求值，先将通分计算得，再根据题意得关于、的二元一次方程，解方程求得、的值，再代入求值即可． 【规范解答】解： ， ， ， 解得：， ． 考点讲练五 分式减混合运算 【典例分析】（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么________，________． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 【变式训练1】（2025·辽宁丹东·二模）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了含有开方运算的实数混合运算，零指数幂，负整数指数幂，分式的加减混合运算，解题关键是注意运算的顺序． （1）先计算立方根，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，再计算加减； （2）先将括号里面的通分计算，同时将后面的分式约分，再与后面的分式相加即可． 【规范解答】（1）解：原式= ； （2）原式= = =． 【变式训练2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为______； (2)若可以分式分解为（其中是常数），则______，______； (3)当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 【答案】(1) (2)1，3 (3)，证明过程见详解 【思路引导】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ， ， 解得， 故答案为：1，3； （3） 证明： ， 当时，，，， ． 考点讲练六 分式加减的实际应用 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司组织活动，个人参加，公司拿出活动经费百元（为正整数），且．现在又有个人参加活动，公司决定增加经费百元，则增加经费后人均经费比原来__________（填“增加”或“减少”）了__________百元． 【答案】 增加 【思路引导】先将原来与增加后的人均经费分别表示出来，通过作差法比较两者大小，判断人均经费的变化趋势，再利用分式的运算法则计算出具体的变化金额，即可求解． 【规范解答】解：原来的人均经费为百元，增加经费后的人均经费为百元， 计算两者的差值， 由题意可知，，且均为正整数， ， ， 则增加经费后人均经费比原来增加了百元． 故答案为：①增加，②． 【变式训练1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）一瓶水，每次倒一点，是否一定能倒完？有人肯定觉得不管怎么倒，一定能倒完．真是这样吗？下面我们用所学的数学知识来分析解决． (1)用简便方法计算下题：； (2)利用（1）中得出的规律解决以下问题，一个容器装有1升水，按如下要求倒水：第1次倒出升水，第2次倒出升的，第3次倒出升的，第4次倒出升的……第n次倒出的水量是升的……，按照这种倒水的方法，这1升水可以倒完吗？为什么？ 【答案】(1) (2)倒不完，理由见解析 【思路引导】（1）裂项相消法进行计算即可； （2）根据题意，列出算式求出倒出去的水的和，利用裂项相消法进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：倒不完，理由如下： ； 故倒不完． 【变式训练2】（25-26八年级上·山东泰安·期中）有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式__________合算．（填“甲”或“乙”或“一样”） 【答案】甲 【思路引导】本题考查分式混合运算的应用，读懂题意，掌握分式混合运算的应用是解题的关键． 求出甲乙两人分别购买两次的平均价格，进行比较即可解答． 【规范解答】解：甲采购两次总支付金额为1600元， 总购买数量为（千克）， 平均价格为（元/千克）． 乙采购两次总支付金额为元， 总购买数量为200千克， 平均价格为（元/千克）． ， ∵，，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴甲的平均价格较低，购货方式更合算． 故答案为：甲． 【真题演练1】（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可． 【规范解答】解：； 故选B． 【真题演练2】（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出． 【规范解答】解：∵ ， ∵， ∴，，， ∴， ∴． 【真题演练3】（2025·四川乐山·中考真题）计算：的结果为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了异分母分式加法，先把异分母分式转化成同分母分式进行运算，再约分即可得出答案． 【规范解答】解： 故选：D 【真题演练4】（2024·青海西宁·中考真题）计算：______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则成为解题的关键． 先通分，然后再按同分母分式加减法计算即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 【真题演练5】（2025·河南·中考真题）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可． 【规范解答】解： ， 故选：A． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解： ． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）计算 的结果是（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【思路引导】将异分母分式转化为同分母分式，再根据同分母分式加减法则计算 本题考查了分式的运算法则，能熟记分式的运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解：∵ ∴原式 = = 故选：A． 3．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【思路引导】先通分，再根据同分母分式加减法则化简计算即可． 【规范解答】解： 原式． 4．（25-26八年级下·河南南阳·月考）化简：______． 【答案】 【思路引导】先化为同分母，再计算即可． 【规范解答】 ． 5．计算：__________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了分式的加减运算．先把加号后面的代数式看成整体，再通分，然后按照同分母分式加减法的法则进行计算即可解答． 【规范解答】解：， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【规范解答】解： 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【思路引导】分母不变，将分子相减，再约分即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：． 8．（25-26八年级上·内蒙古兴安·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 【答案】(1)真 (2) (3) 【思路引导】本题考查阅读理解，读懂题意，理解真分式与假分式定义及假分式化为真分式的方法是解决问题的关键． （1）由材料中真分式的定义直接判断即可得到答案； （2）由材料中将假分式化为带分式的方法计算即可得到答案； （3）由（2）知，当的值为整数时，是整数，列方程求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由真分式定义，在分式中，对于只含有一个字母的分式，分子的次数小于分母的次数，可知分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：， 故答案为：； （3）解：由（2）知， 当的值为整数时，是整数， 的取值是的因数， 即取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，整数的值为． 9．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 10．（25-26八年级下·吉林长春·月考）阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如： ． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于假分式的是________；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式； (3)若假分式的值是整数，则整数x的值为________． 【答案】(1)①②④ (2) (3)1或0或4或． 【思路引导】本题考查了分式的加减运算，真分式的概念，假分式的概念，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，再进行逐个式子分析，即可作答． （2）先整理，结合对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，进行分析，即可作答． （3）根据假分式的值是整数，得是整数，即是整数，所以的值为，分别算出对应的的值，即可作答． 【规范解答】（1）解：， 则的分子的次数为0，其中分母的次数为1， ∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，且， ∴是真分式， 故①是假分式； ， 则的分子的次数为0，其中分母的次数为2， ∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，且， ∴是真分式， 故②是假分式； 则中的分子的次数为1，其中分母的次数为2， ∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，且， ∴③是真分式，不是假分式； ， 故④是假分式； （2）解：依题意， 则的分子的次数为0，其中分母的次数为1， ∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，且， ∴是真分式， ∴化为整式与真分式的和的形式，即 （3）解：依题意，由（2）得， ∵假分式的值是整数， ∴是整数， 则是整数， ∴的值为， ∴对应的分别是； 即整数x的值为1或0或4或． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查分式的加减运算．先统一分母符号，再通过通分将分式化为同分母分式，最后合并分子并化简得到结果即可解答． 【规范解答】解：原式可变形为， 确定最简公分母为，通分后得： ， 合并分子并展开得：， 化简分子：， 原式， 故选：． 2．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）化简，的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先分解分母确定最简公分母，通分后合并约分即可得到结果. 【规范解答】解：原式 ． 3．（2024·重庆·模拟预测）多项式中，现对其中，，，这四个单项式进行以下操作，选择个单项式进行变符号，再对整个多项式加绝对值化简，称这个操作为“变号绝对操作”，比如对与变号，则多项式为，当时，化简结果为，当时，化简结果为，以下结论： ①至少存在2种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样 ②当，多项式时，且使得为整数，则符合整数x的值共有4个 ③所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】将所有“变号绝对操作”的化简结果列举出来，可判断①和③；解不等式得到，利用分式的运算法则变形得到，结合为整数，可知是6的因数，结合的范围确定符合条件的x的值的个数可判断②，即可得出答案． 【规范解答】解：当时， 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为7； 对与变号，则多项式为，化简结果为7； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 当时， 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为7； 当时，则多项式为，化简结果为或； ∴所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果，故③正确； ∵原多项式， ∴只有1种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样，故①错误； 多项式，即， 解得， ， ∴整数可取0，1，2，3，4，5， ∵为整数， ∴是6的因数， ∴符合条件的整数的值为0，1，2，5，共有4个，故②正确； ∴正确结论的个数为2个， 故选：C． 【考点剖析】本题考查了新定义、整式加减的应用、绝对值的化简、分式的运算、求不等式的解集，理解“变号绝对操作”的定义是解题的关键． 4．（25-26八年级下·山东济南·月考）已知，则的值是_________． 【答案】 【思路引导】将已知通分可推导得到，将该式整体代入所求分式，化简后即可得到结果． 【规范解答】解：由，通分可得， ， ． 5．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）已知可以写成，根据这一做法解决：当整数的值为______时，分式的值为整数． 【答案】3或1或7或-3 【思路引导】先将分式通过拆分变形为整式与真分式相加的形式，转化为；再根据分式的值为整数，得出必须为整数，进而确定是5的约数，最后通过枚举5的所有整数约数求出的整数值． 【规范解答】解：， 是整数， 应是整数， ， 或或或， 解得：或或或． 6．（25-26八年级下·河南周口·月考）若，则________． 【答案】 2 【思路引导】先对等式右边进行通分，根据分式相等的性质得到分子相等，再利用多项式相等对应系数相等建立方程组，求解得到B的值． 【规范解答】解：对等式右边通分，得， 已知， 分母相同且分式相等，因此分子相等，即， 将等式右边整理为多项式的形式，得， 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得方程组， 将， 代入第二个方程，得， ， 解得． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知A，B，为整数，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】证明即可． 【规范解答】证明： ， ∴． 8．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n差分式”． 例如： 我们称 是 的“3差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“2差分式”． ① （含x的代数式表示）； ②若A的值为正整数，x为正整数，求x的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【思路引导】（1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； 根据，为正整数，即可解答． 【规范解答】（1）解：， 所以分式是分式的“差分式”； （2）解：， ， 解得； 为正整数， 当时，，则； 当时，，则； 的值为或． 9．（25-26八年级下·山东济南·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先对分式通分，再合并分子中的同类项，最后约分得到最简结果； （2）先对分式通分，再合并分子中的同类项，最后约分得到最简结果． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； ②当为整数时，请求出正整数x的值； (3)当时，求代数式值的范围． 【答案】(1)减少，减小 (2)①2；②2、3、5 (3) 【思路引导】本题考查分式的性质. （1）由、的变化情况，判断、的变化情况即可； （2）①由，即可求解； ②由，即可求解； （3）由，再结合的取值范围即可求解. 【规范解答】（1）解：∵当时，随着的增大而减小， ∴随着的增大，的值减小； ∵当时，随着的增大减小， ∵ ∴随着的增大，的值减小. 故答案为：减小；减小； （2）解：①∵， ∴当时，的值无限接近， ∴的值无限接近； ②∵为整数，x的值为正整数， ∴为整数，， ∴或2或4， ∴x的值可为2、3、5； （3）解：∵，， ∴， ∴. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $