精品解析：湖北蕲春县第一高级中学2025-2026学年第二学期高一年级4月教学质量检测数学试题

2025-2026学年第二学期高一年级4月教学质量检测 数学试题 满分：150分，考试时间：120分钟命题学校：蕲春一中 ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数，且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，已知.若，则实数（ ） A. 不存在 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 已知点A，B，C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则 B. 已知向量，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 C. 已知点G为三条边的中线的交点，则 D. 已知，则在上的投影向量的坐标为 10. 在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则以下说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 对于一个方格图，我们定义一种新的分割方式：“四方均衡剖分”，要求：①将方格图划分为4个互不重叠的连通区域②每个区域的形状完全相同；③且每个相邻最小正方形有一条边重合；④每个区域里恰好出现1个A，1个B．以下可以实现“四方均衡剖分”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数，则______. 13. 已知正实数满足，则______. 14. 以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. △ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，求b的取值范围． 16. 如图，为平面内两定点，点在线段上，点是以为圆心的单位圆上的动点，线段与圆交于，． （1）若，求； （2）当面积最大时，求的长． 17. 在中，分别为角的对边，向量，，且. （1）求角； （2）若角的平分线交于点，，，求的周长． 18. 如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积记为S，且，D是的中点，点E在线段上且，线段与线段交于点M. （1）求角A的大小； （2）若，求的值； （3）若，且点G是的重心，求线段的最小值. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一年级4月教学质量检测 数学试题 满分：150分，考试时间：120分钟命题学校：蕲春一中 ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的知识求得正确答案. 【详解】因为集合，，所以. 2. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数三角形式的乘法法则可得. 【详解】由题可知. 故选：C. 3. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法公式求解即可. 【详解】由， 故选：C. 4. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据，结合二次函数的性质求解. 【详解】由题意可得， 由于在上单调递增，故， 因此恒成立，故， 由于，故， 故选：B 5. 若函数，且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得函数递增，递增，，据此可得答案. 【详解】对任意的实数都有成立，则在R上递增. 则函数递增，递增，，即. 故选：D 6. 将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的平移变换求解即可. 【详解】函数向左平移个单位长度， 得到， 横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 向上平移1个单位长度，得到， 纵坐标变为原来的3倍，得到， 则，又， 解得， 则. 故选：A. 7. 在中，已知.若，则实数（ ） A. 不存在 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，进而得到，借助三角形内角和与两角和的正切公式可得，设，有，可得该方程无解，故不存在这样的. 【详解】由，即，则， 由，知， 则，则， 又， 故，设，则， 有，即，， 即该方程无解，故不存在这样三角形，即无解. 故选：A. 8. 若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设得到是周期为的周期函数且关于对称，利用周期性、 对称性求得，最后应用周期性求结果. 【详解】由偶函数，知的图象关于直线对称， 因图象关于点成中心对称，则①，且， 所以 ， 所以是周期为的周期函数. 令代入①，可得，而， 所以， 综上，. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 已知点A，B，C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则 B. 已知向量，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 C. 已知点G为三条边的中线的交点，则 D. 已知，则在上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量共线的性质，结合平面向量夹角坐标公式、三角形重心的性质、投影向量的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为点是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且， 所以有，A正确； B：，当与共线且同向时，， 此时与的夹角为零，而，B不正确； C：设边上的中线为， 于是， 因为点G为三条边的中线的交点， 所以点G是三角形的重心，因此有， 于是有，C正确；    D：因为， 所以在上的投影向量的坐标为： ，D正确， 故选：ACD. 10. 在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则以下说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用面积公式和正余弦定理化简条件，得到角的关系，再结合锐角三角形定义确定的范围，最后将转化为关于的函数求值域. 【详解】已知在锐角中，，其中面积， ，因为，所以，即，选项A正确； 由余弦定理，，代入得：， 由正弦定理，，，代入得：， 继续化简得， 因为是锐角三角形，所以，，故，即，选项B正确； 因为是锐角三角形，且，所以：，解得：，选项C错误； ，而，代入得： ，因为，所以， 令，则，该函数是开口向上，对称轴为的二次函数， 因为区间在对称轴右侧，所以函数在该区间上单调递增， 而，，所以，选项D正确. 11. 对于一个方格图，我们定义一种新的分割方式：“四方均衡剖分”，要求：①将方格图划分为4个互不重叠的连通区域②每个区域的形状完全相同；③且每个相邻最小正方形有一条边重合；④每个区域里恰好出现1个A，1个B．以下可以实现“四方均衡剖分”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】列举出符合条件的“四方均衡剖分”图，结合“四方均衡剖分”的定义逐项判断即可 【详解】对于ACD项，可以实现“四方均衡剖分”如图： 对于B项，对于的方格，其可行的“四方均衡剖分”，仅有以下种情形或其旋转图形， 经验证，不满足每个区域里恰好出现1个A，1个B，故符合条件的分割方式不存在，故B错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的性质，结合范围，按照分段函数每段的对应关系来逐步化简计算. 【详解】由题意得，故. 故答案为：. . 13. 已知正实数满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】对等式两边取对数后构造关于的方程，求出其解后可求的值. 【详解】因为，易知且，故， 故，即， 故， 故答案为：. 14. 以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先得出的规律，再根据等差数列的和求解. 【详解】由题意 【点睛】方法点睛：非常见数列的求和的突破在于找到规律，由特殊到一般是找规律的常用方法． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. △ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，求b的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及得，进而得到，即可求出； （2）由余弦定理结合基本不等式即可求出b的取值范围． 【小问1详解】 由正弦定理及可得，又， 则，即， 则，因为，所以，，因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理得，因为，，所以，当且仅当时取等号． 又因为，所以．综上所述，，b的取值范围是． 16. 如图，为平面内两定点，点在线段上，点是以为圆心的单位圆上的动点，线段与圆交于，． （1）若，求； （2）当面积最大时，求的长． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角形的边角关系进行计算. （2）先根据面积最大，确定的值，再根据余弦定理求的长. 【小问1详解】 当时，在中，，，， 由正弦定理：. 又为三角形内角，所以或（舍去，因为）. 所以，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以. 所以当时，取得最大值. 此时. 在中，，，， 由余弦定理，， 所以. 17. 在中，分别为角的对边，向量，，且. （1）求角； （2）若角的平分线交于点，，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合两角和差的正弦公式化简可得出.结合角的范围，即可得出答案； （2）根据已知可设，则.根据余弦定理化简即可得出.然后根据等面积，代入化简求解得出的值，即可得出各边长，求出周长. 【小问1详解】 因为， 所以． 因为， 所以， 整理可得． 因为， 所以， 从而，即有. 又，所以. 【小问2详解】 在，角A的平分线交于点，， 由三角形内角平分线定理可知：. 设，则. 由（1）知，， 由余弦定理可得：， 整理可得. 又，，， 即， 解得， 所以周长为. 18. 如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积记为S，且，D是的中点，点E在线段上且，线段与线段交于点M. （1）求角A的大小； （2）若，求的值； （3）若，且点G是的重心，求线段的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用面积公式和余弦定理化简得到，求出，可得； （2）由三点共线得到，，从而得到方程组，求出，得到答案； （3）由重心定义得到，进而求出，根据三角形面积公式得到， 两边平方，结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 因为，则， 可得， 则，可得， 又因为，则， 则，所以； 【小问2详解】 由题意可得：，， 由D、M、C三点共线得， 由B、M、E三点共线可得， 则，解得， 可得，可得， 所以； 【小问3详解】 由重心定义得，则， 又因为，可得， 可得 ， 当且仅当时，等号成立， 即，所以线段GM的最小值为. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题设且、的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律求向量模长； （2）由题设，，且，应用向量数量积的运算律求的数量积和模长，再由夹角公式求夹角余弦值，即可得； （3）设、（，），且，，，进而有、，可得，在中应用正余弦定理及三角恒等变换化简并求出的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以. 【小问2详解】 由，，得，， 且， 所以，， 则， ， 因为与的夹角为，所以，解得. 又，，所以； 【小问3详解】 依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $