4.3《公式法》课后巩固练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2026 年春季北师大版八年级(下) 第四章 因式分解 4.3公式法  一、 单选题   1.（2026·江苏月考）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 2.（25-26·广东期中）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 需明确平方差公式的形式为 ，即多项式需是两个平方项的差（一正一负）. 【解答】 解：A选项： 是两个平方项的和，不符合条件； B选项： ，是两个平方项的和的相反数，不符合条件； C选项： ，是两个平方项的差，符合平方差公式形式，可分解为（ ，符合条件； D选项： 中y不是平方项，不符合条件. 3.（25-26·湖南期中）若多项式在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则的值不可能是（       ） A.1 B.5 C.9 D.16 【答案】 B 【解析】 本题考查了公式法分解因式，根据平方差公式的公式结构对各选项分析判断即可.熟记平方差公式的公式结构是解题的关键. 【解答】 解：A、m=1时， ，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； B、m=5时， ，不可以用平方差公式分解因式，故该选项符合题意； C、m=9时， ，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； D、m=16时， ，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； 故选：B.   4.（25-26·湖南期中）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值为() A.12 B. C.6 D. 【答案】 B 【解析】 本题考查了完全平方公式因式分解；多项式能用完全平方公式因式分解，需匹配形式 ，通过比较系数求k. 【解答】 解： 多项式 能用完全平方公式因式分解， 故k的值为 故选：B.   5.（25-26·山东月考）设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（       ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.无法确定 【答案】 A 【解析】 本题考查了公式法分解因式，勾股定理的逆定理，正确分组并灵活运用公式是解题的关键. 把 、 、 组合在一起，用完全平分公式分解因式，再与 一起用平方差分解因式，根据因式的积为0，可得 ，用勾股定理的逆定理判定即可. 【解答】 解： 、b、c是三角形的三边， 这个三角形是直角三角形， 故选：A.   6.（25-26·山东月考）分解因式，结果正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 ． 故选：．   7.（24-25·陕西期中）已知，则的值为（       ） A. B. C. D.无法确定 【答案】 B 【解析】 本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【解答】 解：，， ， 即， ， ， ． 故选：．   8.（25-26·福建期末）用4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用 ，可得出a、b之间的关系. 【解答】 解：如下图： 则空白部分的面积 代入化简得： 化简得： 二、 填空题   9.（24-25·福建期中）计算：____1012_________． 【答案】 【解析】 本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 【解答】 解：原式 ； 故答案为：．   10.（25-26·甘肃期中）已知，，则的值为___3_____． 【答案】 3 【解析】 此题考查了平方差公式，熟练掌握 是关键.根据题意得到 m-n=2， 即可求出答案. 【解答】 解： 即 故答案为：3   11.（25-26·湖南期中）分解因式 =___ _____． 【答案】 【解析】 本题考查了因式分解. 将（a-2b）看做整体，直接根据完全平方公式分解即可. 【解答】 解： . 故答案为：   12.（25-26·河南月考）如果，，那么代数式的值为____49____． 【答案】 49 【解析】 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用完全平方公式计算. 先利用已知条件 和 ，通过加法求出 的值，再因式分解代数式 ，代入 的值即可求解. 【解答】 解： 据题意得 由 得： 故答案为：49.   13.（24-25·山东月考）若，，则的值是_____2______． 【答案】 【解析】 根据完全平方公式以及平方差公式将进行因式分解，再整体代入求值即可． 【解答】 解：， ， ， ， ， ； 故答案为：2   14.（25-26·黑龙江开学）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为________． 【答案】 【解析】 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟记平方差、完全平方公式。由于边长为 的正方形纸片剪出一个边长为m+2的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而长方形一边长为 m+1，利用长方形的面积公式即可求出另一边长. 【解答】 解：依题意得剩余部分为： 拼成的长方形一边长为 另一边长为： 若拼成的长方形一边长为 ，则另一边长为： 故答案为： 三、 解答题   15.（25-26·陕西月考）因式分解 （1） （2） 【答案】 【详解】 (1) 解： (2) 解：   16.（25-26·河南期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】 【解析】 本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键. (1) 根据题中所给方法可进行因式分解； (2) 根据题中所给方法可进行因式分解. 【解答】   17.（25-26·江苏月考）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， ∴ 多项式的最小值是4． （1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是___完全平方公式___； 当取最小值4时，___-3___，__3____． （2）求多项式的最小值． 【答案】 完全平方公式，-3，3 -5 【解析】 （1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出 、 的值； （2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最小值. 【解答】 （1）解：过程中使用了完全平方公式. 当 ， 时，式子取到最小值， 此时， m=-n， n=3， m=-3； （2）解： 当且仅当 时， 有最小值-5.   18.（25-26·四川月考）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如（）的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例：． ． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】 -18 12 【解析】 （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质即可求解. 【解答】 （1）解： （2） 多项式 的最小值为-18； （3） 即 的周长为3+4+5=12.   19.（25-26·湖南期中）【阅读材料】因式分解方法除了有提公因式法和公式法外，还有分组分解法和添项法．“分组分解法”是将多项式适当分组，使每组能分解，再用提公因式法或公式法因式分解． 例如： “添项法”是添加并减去一个合适的项，创造分组或用公式的条件． 例如： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）因式分解：． 【答案】 【解析】 （1）先根据“添项法”原式添加 ，再分组利用完全平方公式因式分解，即可求解； （2）将5化为9-4，进而根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解. （3）先分组，再根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解. 【解答】（1）解： （2）解： （3）解：   20.（25-26·湖南期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请把表示图2面积的多项式因式分解：                             ；（直接写出等式即可） （2）若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】 -64 图见解析 【解析】 （1）用两种方法表示出图2的面积，得出式子 （2）由 得 ， ，代入数据计算即可； （3）作出图形，根据图形进行因式分解即可. 【解答】 （1）解：图2面积表示为： 或表示为： 所以有： 故答案为： （2） （3）如图所示. 故答案为： 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年春季北师大版八年级(下) 第四章 因式分解 4.3公式法  一、 单选题   1.（2026·江苏月考）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A. B. C. D. 2.（25-26·广东期中）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（       ） A. B. C. D. 3.（25-26·湖南期中）若多项式在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则的值不可能是（       ） A.1 B.5 C.9 D.16   4.（25-26·湖南期中）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值为() A.12 B. C.6 D.   5.（25-26·山东月考）设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（       ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.无法确定   6.（25-26·山东月考）分解因式，结果正确的是（       ） A. B. C. D.   7.（24-25·陕西期中）已知，则的值为（       ） A. B. C. D.无法确定   8.（25-26·福建期末）用4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是（       ） A. B. C. D. 二、 填空题   9.（24-25·福建期中）计算：_____________．   10.（25-26·甘肃期中）已知，，则的值为_______．   11.（25-26·湖南期中）分解因式 =___ _____．   12.（25-26·河南月考）如果，，那么代数式的值为_______．   13.（24-25·山东月考）若，，则的值是___________．   14.（25-26·黑龙江开学）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为________． 三、 解答题   15.（25-26·陕西月考）因式分解 （1） （2）   16.（25-26·河南期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 17.（25-26·江苏月考）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， ∴ 多项式的最小值是4． （1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是______； 当取最小值4时，_____，_____． （2）求多项式的最小值．   18.（25-26·四川月考）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如（）的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例：． ． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长．   19.（25-26·湖南期中）【阅读材料】因式分解方法除了有提公因式法和公式法外，还有分组分解法和添项法．“分组分解法”是将多项式适当分组，使每组能分解，再用提公因式法或公式法因式分解． 例如： “添项法”是添加并减去一个合适的项，创造分组或用公式的条件． 例如： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）因式分解：．   20.（25-26·湖南期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请把表示图2面积的多项式因式分解：                             ；（直接写出等式即可） （2）若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $