专题01 相交线与平行线（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材浙教版

专题01 相交线与平行线 相交线 1.对顶角：两个角有公共顶点，两边互为反向延长线；性质：对顶角相等 ★★★ 2.邻补角：有公共顶点、公共边，另一边互为反向延长线；性质：和为180° ★★ 3.垂线：两条直线相交所成四个角中有一个是直角，则互相垂直；符号：⊥ 垂线性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ★★ 垂线段最短 ★★★ 4.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度 ★★ 三线八角（两条直线被第三条所截） 1.同位角：位置相同，同旁同侧（形如“F”）； 2.内错角：内部两侧，交错位置（形如“Z”）； 3.同旁内角：内部同旁，相邻位置（形如“U”） 。 平行线的判定与性质 1.平行线的判定：★★★ ①同位角相等 → 两直线平行 ②内错角相等 → 两直线平行 ③同旁内角互补 → 两直线平行 ④判定推论1：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行传递性）（例：若a∥b，b∥c，则a∥c） ⑤判定推论2：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （例：若a⊥c，b⊥c，则a∥b。） 2. 平行线的性质：★★★ ①两直线平行 → 同位角相等 ②两直线平行 → 内错角相等 ③两直线平行 → 同旁内角互补 ④性质推论1：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条 （例：若a∥b，c⊥a，则c⊥b） ⑤性质推论2：平行线间的距离处处相等 （平行线间垂线段的长度，叫做平行线间的距离） 图形的平移 1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 2.平移的性质：★★★ 平移后，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等； 平移后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； 平移后，对应角相等。 3.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离。 4.平移的画法：先确定平移的方向和距离，再找出图形的关键点，将关键点按指定方向平移指定距离，最后连接各关键点的对应点，得到平移后的图形。 对顶角与邻补角的计算 【例1】（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图， 直线与相交于点， 若． 则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等代入计算即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】（25-26七年级上·河南信阳·期末）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴减小时，减小， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，用量角器测得的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角的性质，解题关键是利用“对顶角相等”． 观察可知与是对顶角，由此求出的度数． 【详解】解：∵点、、共线，点、、共线， ∴与互为对顶角， ∴． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·广西崇左·月考）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中，，则光的传播方向改变的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，利用直角的性质求出光沿直线传播时在水中对应的角度为，再结合实际折射角，计算角度差得到传播方向改变的度数． 【详解】解：如图，延长到点． ∵， ∴， ∴． 又， ∴． 故光的传播方向改变的度数为． 【变式1】（2025·江西·一模）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对顶角，根据“对顶角相等”得，代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：D． 【例3】（24-25七年级下·宁夏固原·月考）如图，直线相交于点平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据平角的定义结合角的数量关系求出的度数，再根据角平分线的定义和对顶角相等即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴. 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，已知直线与直线相交于点，，． (1)则； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查对顶角、邻补角、角平分线的性质，正确的识图和推理是解决问题的关键． （1）由对顶角的概念可知； （2）由邻补角及角分线的性质可得，再根据计算即可． 【详解】（1）由题可知，（对顶角相等）； 故答案为：； （2）， ， 平分， ， ． 【变式2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点，将一个直角三角板的直角顶点放置在点处，且平分． (1)若，求的度数； (2)判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差计算，对顶角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 对于（1），先由对顶角相等和角平分线定义求出，进而求解即可； 对于（2），根据题意证明出，即可得到平分． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴； （2）解：是，理由如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 垂线与距离 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件利用角度和差关系求出的度数，再利用对顶角的性质即可得出结果． 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， ∵直线、相交于点O， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·广西崇左·月考）如图所示，为直线上一点，平分，于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据角平分线的定义求出的度数，再由垂直的性质得到，最后结合平角为，通过角度的和差关系计算出的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵于点， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）点是直线外一点，，，分别是直线上三点，已知，，，若点到直线的距离记为，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键．利用点到直线的距离定义求解即可． 【详解】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 点到直线的距离， 的取值范围为． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，直线相交于点O，，若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了对顶角的性质、垂直的定义、角的和差等知识．由对顶角相等得，进而得，由垂直定义得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式4】（25-26七年级上·北京延庆·期末）已知点是直线上的一点，平分． (1)如图1，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：， ___________． ． ___________． 是直线上的一点． ___________． 平分． ．（理由：___________） ___________． (2)如图2，若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)，角平分线定义， (2) 【分析】（1）由垂直定义及互余定义求出，再由平角定义及角平分线定义得到即可得到答案； （2）由（1）的求解过程，同理即可得到的度数（用含的式子表示）． 【详解】（1）解：， ． ． ． 是直线上的一点． ． 平分． ．（理由：角平分线定义） ． 故答案为：，角平分线定义，； （2）解：， ， ， ， 是直线上的一点， ， 平分， ． 【点睛】本题考查几何图形中求角度，涉及垂直定义、互余定义、平角定义及角平分线定义，数形结合，准确表示图中各个角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 【例2】（25-26七年级下·湖北武汉·月考）点为直线外一点，点A、B、C为直线上三点，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．小于 D．不大于 【答案】D 【分析】根据垂线段最短的性质结合已知线段长度分析判断即可． 【详解】解：，是三条线段中长度最短的， 若垂直于直线，则点到直线的距离就是， 若不垂直于直线，则点到直线的距离小于， ∴点到直线的距离不大于． 【变式1】（25-26七年级下·河南驻马店·月考）如图，，，，，点P是直线上一个动点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，的值最小，利用等积法即可求出的长． 【详解】解：点到直线的距离，垂线段最短， 当时，线段的值最小， 在中，，，，， ， 即， ． 【变式2】（25-26七年级上·河南南阳·期末）运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为___米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据垂线段最短求解． 【详解】解：根据题意，得黎明的立定跳远成绩应该为米． 故答案为： 【例3】（25-26七年级下·河南许昌·月考）用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查“两点确定一条直线”、“垂线段最短”、“两点之间，线段最短”等，根据“两点确定一条直线”、“垂线段最短”、“两点之间，线段最短”逐项判断即可． 【详解】A、可用“垂线段最短”来解释，该选项符合题意； B、可用“两点确定一条直线”来解释，该选项不符合题意； C、可用“两点确定一条直线”来解释，该选项不符合题意； D、可用“两点之间，线段最短”来解释，该选项不符合题意． 故选：A 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，要修建一条从村庄A到公路的小路，过点A作于点H，沿修建小路，此时修建的小路最短，能准确解释这一现象的数学知识是________________． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可．理解垂线段最短的意义是正确解答的关键． 【详解】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”， 故答案为：垂线段最短． 三线八角的识别 【例1】（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【分析】根据内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、与是直线，被所截得的内错角，原说法正确，不符合题意； B、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； C、和是同旁内角，不一定互为补角，原说法不正确，符合题意； D、与是直线，被直线所截得的同旁内角，原说法正确，不符合题意． 【变式1】（25-26七年级下·江西上饶·月考）风筝是中国古代劳动人民于春秋时期发明的器物，其材质在不断优化之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”（如图1）．清朝诗人高鼎有诗云“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图2，这是某风筝纸的骨架，在中，与构成同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由同位角定义可知，与构成同位角的是． 【变式2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与是内错角，故该选项符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； 【变式3】（25-26六年级下·山东济南·月考）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同位角；④与是同旁内角，其中正确的是（    ）   A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【详解】解：如图， 与是直线、被直线所截形成的内错角，故①正确； 与是直线、被直线所截形成的同位角，故②正确； 与是直线、被直线所截形成的同旁内角，故③错误； 与是直线、被直线所截形成的同旁内角，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 【例2】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，直线、、相交于点，直线分别交、于、，则在图中的内错角有几个（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了三线八角．根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角解答即可． 【详解】解：如图， 根据内错角的定义知：的内错角有、、共3对， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是同位角的角共有________个． 【答案】3 【分析】本题考查同位角的概念，关键是掌握同位角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：如图， 与成同位角的角有，，，共个， 故答案为：． 画垂线与平行线 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，是河岸外一点．现要用最短的水管从河岸将水引到处，请画出河岸上的开口位置． 【答案】见解析 【分析】利用垂线段最短，过点作于点即可． 【详解】解：如图，过点作于点，从河岸上的点处开口，才能使所用的水管最短． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·月考）如图，平面上有3个点，，． (1)作线段，射线和直线；过点作直线的垂线，垂足为． (2)比较线段长短：_____（填“”或“”或“”）．能说明这个结论正确的依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____． 【答案】(1)图见解析 (2)，垂线段最短 【分析】本题考查画直线，线段和垂线，以及垂线段最短，熟练掌握相关概念和性质，是解题的关键： （1）根据要求作图即可； （2）根据垂线段最短，进行比较，作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：，理由是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【变式2】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，已知A、B、C、D是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母． (1)画线段； (2)画直线； (3)过点D画的垂线，垂足为E； (4)在直线上找一点P，使得最小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】本题考查了画直线，画垂线，画线段，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据线段的定义进行作图，即可作答． （2）根据直线的定义进行作图，即可作答． （3）根据垂线的定义进行作图，即可作答． （4）理解题意，运用两点之间，线段最短，连接交于点P，点P即为所求 ． 【详解】（1）解：线段如图所示： （2）解：直线如图所示； （3）解：过点D画的垂线，垂足为E，如图所示； （4）解：点P，如图所示． 【例2】（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查过直线外一点作已知直线的平行线．先将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿已知直线平移三角板，直到三角板的另一条直角边与O点重合，沿这条直角边过O点向已知直线作一条垂线，然后再将三角板这条直角边沿所作垂线向上平移，直到底下的直角边与O点重合，最后过O点沿三角板底下的直角边作一条直线，这就是已知直线的平行线． 【详解】解：如图所示，直线b即为所求． 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，点在 的边上．按下列要求画出相应的图形． ①过点画直线 ②过点分别画 垂足分别为点、， 交于点； 【答案】见解析 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，根据要求画出图形即可． 【详解】解：如图所示 【变式2】（24-25七年级下·吉林·月考）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图． (1)在图①中，画出垂线段，使得． (2)在图②中，画出，使得． (3)在图③中，画出，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据网格图画出图形即可； （2）根据网格图画出图形即可； （3）根据网格图画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：如图所示，即为所求． 平行公理 【例1】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）下列说法错误的是（    ） A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．如果，，那么 【答案】A 【详解】解：A、平行公理的内容是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，原说法错误，故选项符合题意； B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的性质，原说法正确，故选项不符合题意； C、两点之间的所有连线中，线段最短，是线段的基本性质，原说法正确，故选项不符合题意； D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若，，那么，原说法正确，故选项不符合题意； 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 【答案】D 【分析】本题考查平行公理，关键考虑点与直线的位置关系． 分点在直线上和不在直线上两种情况，根据平行公理判断． 【详解】解：分两种情况讨论： ①∵ 如果点不在直线上，则过点有且只有一条直线与平行（平行公理）； ②∵ 如果点在直线上，则过点不能画出与平行的直线（因为过点的直线要么与相交，要么是本身，而本身不视为平行）． ∴ 这样的直线有一条或不存在． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 平行线的判定与性质综合 【例1】（25-26七年级下·安徽铜陵·月考）完成下面的证明． 如图，．求证：． 证明：因为， 所以①________， 即②________． 又因为，且， 所以________（④________）． 所以（⑤________）． 【答案】①，②；③，④等角的余角相等；⑤同位角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定，等量代换思想解答即可． 【详解】证明：因为， 所以， 即． 又因为，且， 所以（等角的余角相等）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 【变式1】（25-26七年级下·山东青岛·月考）在横线上填上适当的内容，完成下面的推理过程． 已知直线，，，的位置如图所示，，，试说明：． 解：∵（____________）， （______________）， ∴________=________（同角的补角相等）， 又∵（已知）， ∴_______（等量代换）， ∴____________（_________________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，先结合，，得出，又因为，故，最后由内错角相等，两直线平行得出． 【详解】解：∵（已知）， （平角的定义）， ∴（同角的补角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行） 【变式2】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知，吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式） 解：∵（      ） ∴（      ） 同理可得（      ） ∴（      ） 又∵（       ） ∴（      ） 即（      ）（      ） ∴（      ）（      ）（             ） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定，根据题干信息逐一完善推理过程与推理依据即可． 【详解】解：∵（ 已知）， ∴（垂直的定义）， 同理可得（垂直的定义）， ∴（等量代换）， 又∵（ 已知）， ∴（等式的性质）， 即， ∴（）（ ）（同位角相等，两直线平行）． 【例2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵（已知）， ∴________（___________） ∵平分（已知）， ∴_________（角平分线的定义）， 同理，_________， ∴（__________） ∴__________（_________） ∴（_________） 【答案】，两直线平行，内错角相等；；；等量代换；，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补； 【详解】证明：∵（已知）， ∴ （两直线平行，内错角相等） ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理，， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 【变式1】（25-26七年级下·全国·期中）按图填空，并注明理由． (1)完成正确的证明：如图，已知，求证：． 证明：过点作（经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． （ ） （已知）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． （ ） 又， （等量代换）． (2)如图，在中，，，．将求的过程填写完整． 解：（已知）， （ ） 又， （ ） （ ） （ ） 又， ． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等 (2)两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】（1）因为作了，所以根据平行线的内错角相等性质，可确定对应的角，填写对应理由；因为，所以根据平行线的内错角相等性质，可确定对应的角，填写对应理由。 （2）因为，所以根据平行线的同位角相等性质，填写对应理由；因为且，所以根据等量代换得出，填写对应理由；因为，所以根据内错角相等，两直线平行，确定平行的直线，填写对应理由；因为与对应直线平行，所以根据两直线平行，同旁内角互补，确定与互补的角，填写对应理由． 【详解】（1）第一个空：，理由：两直线平行，内错角相等； 第二个空：，理由：两直线平行，内错角相等． （2）第一个空理由：两直线平行，同位角相等； 第二个空理由：等量代换； 第三个空：，理由：内错角相等，两直线平行； 第四个空：，理由：两直线平行，同旁内角互补． 【例3】（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，直线，，求的度数． 【答案】． 【分析】根据平行线的性质得出，结合对顶角相等得出，根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【变式1】（25-26七年级下·河南郑州·月考）如图，直线、、被直线所截，点为上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若比的倍大，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行先证得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行即可证得； （2）根据平行线的性质可得，再结合已知的角之间的数量关系等量代换即可解得． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：， ， 比的倍大， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·吉林·月考）如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． (1)求的度数； (2)过点作射线，若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由角的关系可得，再根据两直线平行的性质求解； （2）分两种情况：当在内部和在外部，再根据角的关系得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， （两直线平行，内错角相等）； （2）解：解：当在内部时， ， 当在外部时， ， 或． 【例4】（25-26七年级下·河南驻马店·月考）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系： ；理由是 ； (2)若，则的度数为 ； (3)由（2）猜想与的数量关系，并说明理由； (4)若且点在直线的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出角度所有可能的值． 【答案】(1)；同角的余角相等 (2) (3)，理由见解析 (4)或 【分析】（1）根据同角的余角相等即可求解； （2）求出的度数，再由即可求解； （3）用表示，再由即可求解； （4）分两种情况：；；利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴根据同角的余角相等得：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （4）解：当时，如图， 则， 由（1）知； 当时，如图， 则； 综上，的度数为或． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·月考）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺（，，）的不同方式摆放”为主题，开展数学探究活动． (1)【操作发现】如图1，三角尺的角的顶点G在上，，则度数为______°； (2)【探索证明】如图2，小智把三角尺的两个锐角顶点E，G分别放在和上，，试说明：； (3)【结论应用】如图3，小蕙把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E在上．若，，请直接写出与的数量关系：______（用含，的式子表示）． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角的和差得到，即可求解； （2）过点作，则，因此； （3）根据角的和差得到，根据平行线的性质得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，过点作， ， ， ，， ． （3）解：∵，， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴． 【例5】（25-26七年级下·山东枣庄·月考）【问题情境】如图①，，，，求的度数． 小明的解题思路：过作，通过平行线的性质来求的度数． (1)按小明的思路，求的度数． (2)【问题迁移】如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． (3)【问题应用】在（2）的条件下，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】(1)110° (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由平行线的性质求出，，进而求解即可； （2）过点作，由平行线的性质求出，，进而求解即可； （3）分两种情况讨论，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴， ； （2）解：如图②，当在线段上时，，理由如下： 过点作， ∴， ， ， ， ； （3）解：当在射线上时，交于，如图③，理由如下： 过点作， ∴ ， ， ∴ ； 当在射线上时，交于，如图④，，理由如下： 过点作， ∴ ， ， ∴ ； 综上所述，当点不在线段上（不与、重合）时，或． 【变式1】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）【数学阅读】我们通常把图1、图2中的点E称为拐点，解决平行线中有关拐点问题的方法，一般是过拐点作平行线． (1)如图1，，点E在直线与之间，连接，，求证：．小明阅读了上面的方法后，给出证明，请你补全下面的过程； 证明：如图1，过点E作， (2)，猜想图2中，，之间的数量关系，并说明理由； 【应用】 (3)图3是一个电子屏，，点M在上，射线与交于点N，①、②分别是被射线隔开的位于直线上方的2个区域（不含边界），光线分别从点M和点N处发出，交点为P，若点P在区域①或②内，则电子屏变为红色，直接写出当电子屏变为红色时，，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可； （2）过点E作，根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可； （3）分点在区域①和点在区域②两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：当点在区域①时，如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在区域②时，如图： 同理：． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）已知：，在、间取一点P（点P不在直线上），连接、． (1)请探索图1中与、之间的关系，并说明理由． (2)当点P在图2的位置时，则_________． (3)当点P在图3的位置时，若，，则_________． (4)当点P在图4的位置时，请直接写出与、之间的关系． 【答案】(1)；理由见解析 (2)360 (3)110 (4) 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，即可求解； （2）过点作，根据平行线的性质，即可求解； （3）过点作，根据平行线的性质，即可求解； （4）过点作，分别利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图：过点作， ， ， ， ， ， . （2）解：如图：过点作， ， ， ， ， . （3）解：如图：过点作， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， . （4）解：如图：过点作， ， ∵， ∴， ， ， ∴. 【例6】（25-26七年级下·山东济南·月考）按要求完成问题 (1)问题情景：如图1，已知． ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由 (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______________（直接写出答案）． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）解:（1）① ， ， ， ， ， ； ②，理由如下： 如图所示，过点F作， ， ， ， ； （2）解：如图所示，，，的顶点分别为C，B，F， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴， 即． 【变式1】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）【学科融合】把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．如图，，光线从空气射向水中发生折射，路径为．延长与交于点． (1)写出的两个同位角：________；（答案不唯一） (2)比较和的大小；（直接写结果） (3)若，，求的度数． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，即可； （2）根据对顶角相等，则，根据，可得到，的大小关系； （3）根据平行线的性质，可得，求出；再根据，即可求出． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：． ∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，台球运动中母球P击中桌边上的点A，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点B，再次反弹后击中球C．（提示：，） (1)若，求的度数； (2)已知，母球P经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)平行，见解析 【分析】（1）根据平角的定义进行计算即可； （2）根据平角的定义，平行线的判定方法进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：，理由： ∵，，， 而， ∴， ∴， ∴． 图形与生活中的平移 【例1】（2026·山西晋中·一模）在中华传统春节文化中，对称、平移、旋转等几何变换常被运用于年画、窗花、logo设计，以体现“圆满”“和谐”“循环”等美好寓意．以下四款中央广播电视总台春节联欢晚会主标识的图案（文字除外），最能体现平移变换的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的定义进行判断即可． 【详解】解：A、选项中的图案不能体现平移变换，故此选项不符合题意； B、选项中的图案不能体现平移变换，故此选项不符合题意； C、选项中的图案不能体现平移变换，故此选项不符合题意； D、选项中的图案能体现平移变换，故此选项符合题意． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁大连·月考）在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此进行判断即可． 【详解】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是C，A、B、D无法通过平移得到． 【变式2】（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图是2026马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的大小不变，形状不变，方向不变等性质解答即可． 【详解】 解：通过平移吉祥物“骐骐”，可以得到的图形是． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）荷兰版画家埃舍尔在他的平面镶嵌画中，运用将基本图案进行轴对称、平移、旋转等数学方法进行创作．如图是埃舍尔创作的“飞鸟”作品，该作品运用的数学方法是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．平移、旋转 【答案】B 【详解】解：该作品运用的数学方法是平移． 【例2】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，平移“月亮”图案可以得到下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同，解答本题的关键是熟练掌握平移的定义． 根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状和大小来判断即可． 【详解】解：A、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； B、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误，不符合题意； C、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确，符合题意； D、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）四根火柴棒摆成如图所示的“口”字，平移“口”字的火柴棒后，可变成的文字是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟知平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置是解题的关键． 由平移的性质，结合图形，采用排除法判断正确结果． 【详解】解：∵平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置， ∴原图形平移后，水平的火柴头应在左边，竖直的火柴头应是一上一下．只有C符合． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，最小正方形的边长为1，将字母“V”向左平移________格（两个“V”无重叠）后与平移前的图形可以组成字母“W”． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平移的性质．先画出平移后得到的“W”，然后再根据平移的性质即可解答． 【详解】解：将字母“V”向左平移2格会得到字母“W”，平移后画出图形如下： 故答案为：2． 平移作图 【例1】（2026七年级下·江苏·专题练习）利用如图所示的图形，通过平移设计图案． 【答案】图见解析 【分析】利用平移的性质得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示．（答案不唯一） 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）在如图所示的方格纸中，把四边形ABCD按箭头指示的方向平移，使点A移到点处． (1)请在方格纸中画出平移后的四边形； (2)连接、，与的位置关系是________． 【答案】(1)见解析 (2)平行 【分析】（1）先确定点A到的平移方向和距离，再将点B、C、D按此方向和距离平移得到对应点、、，最后顺次连接各对应点得到平移后的四边形． （2）根据平移的性质，平移后对应点的连线平行且相等，所以可判断与的位置关系． 【详解】（1）四边形如图所示； （2）平行． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过平移，四边形的顶点平移到了点． (1)画出平移后的四边形； (2)请直接写出所有与相等的线段． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】（1）根据点确定平移方式，再画出平移后的点，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如答图，四边形即为所求． （2）解：与相等的线段有，，． 利用平移的性质求解 【例1】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）如图，中，，将沿射线方向平移至，如果厘米，厘米，四边形的面积为27平方厘米，那么平移的距离是（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的不变性． 由平移得，，，则，再由梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移得，，， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为3厘米， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段相等，平移距离等于对应点连线的长度是解题的关键． 根据平移的性质，得到与相等，与等于平移距离，再将四条边长相加求出四边形的周长． 【详解】解：∵将线段平移得到线段 ∴， ∵ ∴ ∵平移的距离为 ∴， ∴四边形的周长为： 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，将三角形沿方向平移至三角形处，若，则的长为_____． 【答案】 16 【分析】利用平移的性质得到，然后利用得到的长，从而得到的长． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移至三角形处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例2】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可知，因为，可知，根据梯形的面积公式可得：，由重叠可知，从而可得． 【详解】解：平移距离为， ， 由平移的性质可知， ， ， ， 两个直角三角形可以重叠在一起， ， ， ． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级下·青海海东·月考）如图， 将其沿着点B到C的方向平移到的位置，若，，平移距离为4，则阴影部分面积为________． 【答案】34 【分析】本题考查了平移的性质，先结合平移的性质得，，，运用面积之间的关系得 ，即阴影部分面积，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵将其沿着点B到C的方向平移到的位置，平移距离为4， ∴，， ∵， ∴ 则， ∴阴影部分面积． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，长方形中，，，将它沿平移得到长方形，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查平移的性质和线段的运算，，，四边形为长方形，求得，进而可求得答案． 【详解】根据题意可知，，，四边形为长方形， 所以． 所以四边形的面积． 故答案为： 【例3】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，平移后得到，已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，掌握平移不改变角的大小是解题的关键． 直接利用平移的性质求解即可． 【详解】解：∵平移后得到，， ∴． 故选C． 【变式1】（25-26七年级下·山东德州·月考）如图，，直线平移后得到直线，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的顶点为，两边分别为、，作，由平行线的性质可得，，从而计算出． 【详解】解：如图，设的顶点为，两边分别为、，作， ∵， ∴， ∵直线由直线平移得到， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例4】（25-26七年级下·吉林·月考）如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将三角形平移一定的距离得到三角形， ∴，，，， 故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意． 【变式1】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（　　）． ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】平移前后对应点的连线所在的直线平行或者重合，对应点连成的线段相等，对应线段相等，逐个判断即可． 【详解】解：对于①和②：由平移的性质可得，对应点的连线所在的直线平行或者重合，故①②正确； 对于③：对应点连成的线段相等，故③正确； 对于④：由平移的性质可得，无法得到，故④错误； ∴正确的结论有个． 【例5】（25-26八年级下·河南·月考）如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 【答案】D 【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知， 从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）． 【变式1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，中间的阴影部分是一条宽度处处相等的小路，空白部分为劳动实践基地．如果劳动实践基地的面积为，那么小路的宽度为______． 【答案】 【分析】设小路的宽度为，根据平移性质列方程，然后解方程即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为，利用平移的性质，将阴影部分向左平移拼成了一个新的长方形，长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴小路的宽度为． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，一个长，宽是的长方形草地，有两条宽都是的纵、横相交的小路，这块草地的面积是_______． 【答案】 【分析】利用平移道路的方法得出草地的长、宽，再根据长方形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵两条小路的宽都是， ∴草地的长为，宽为， ∴这块草地的面积为． 平移综合 【例1】（25-26七年级下·云南楚雄·月考）如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置．，，． (1)求的长： (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的平移关系，得到对应线段相等，继而根据线段的和差关系得到答案． （2）根据三角形的平移关系，得到对应线段平行，继而得到同位角和内错角相等，得到答案． 【详解】（1）解：∵是通过沿边所在的直线向右移动得到的， ∴，点共线，，， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·江苏泰州·月考） 如图，将沿射线的方向平移2个单位到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)直接写出图中与相等的线段． (2)若，则等于 ． (3)若等于，求的度数． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据平移的性质，找到的对应边即可； （2）根据平移的性质结合线段的和差关系进行求解即可； （3）根据平移的性质，得到，，利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵平移，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F， ∴； （2）解：由平移可知：， ∴； （3）解：由平移可知：，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形． (1)若，则的度数为_____； (2)若是的中点，，，，连接． 求三角形的面积； 已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2) ； ． 【分析】（）根据平移的性质进行求解即可； （）根据平移的性质，结合三角形面积公式求出结果即可； 过点作于点，根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据平移性质可得，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，，， ∴ ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； 如图，过点作于点， 由等面积法可求得， 即点到的距离为． 知识点 易错点 避坑技巧 对顶角与邻补角 以为相等就是对顶角；互补就是邻补角 对顶角：共顶点、两边反向延长；邻补角：相邻+互补 垂线与距离 把斜线段当距离；认为“不相交即平行” 距离=垂线段长度；垂直相关必加“同一平面内” 三线八角 内错角、同旁内角分不清 先定哪两条被哪条截；记形状：F是同位角、Z是内错角、U是同旁内角 平行线的判定与性质 判定与性质混淆；平行时忘同一平面 判定：“角→线”；性质：“线→角” 平行推论 无同一平面的前提直接用垂直平行 平行传递无同一平面；垂直平行必加“同一平面内” 图形平移 只写方向不写距离；对应点连线不平行 平移两要素：方向+距离；对应点连线平行且相等 几何书写 只写∴不写∵；理由乱写 每步必有依据；已知→推导→结论，不跳步 1.求角度：先找对顶角、邻补角、垂直90°，再用平行性质。 2.判平行：优先找同位角、内错角、同旁内角，再用传递性。 3.八角识别：记形状（F/Z/U），快速定位。 4.书写规范：判定与性质必须写完整依据，不跳步。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 相交线 1.对顶角：两个角有公共顶点，两边互为反向延长线；性质：对顶角相等 ★★★ 2.邻补角：有公共顶点、公共边，另一边互为反向延长线；性质：和为180° ★★ 3.垂线：两条直线相交所成四个角中有一个是直角，则互相垂直；符号：⊥ 垂线性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ★★ 垂线段最短 ★★★ 4.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度 ★★ 三线八角（两条直线被第三条所截） 1.同位角：位置相同，同旁同侧（形如“F”）； 2.内错角：内部两侧，交错位置（形如“Z”）； 3.同旁内角：内部同旁，相邻位置（形如“U”） 。 平行线的判定与性质 1.平行线的判定：★★★ ①同位角相等 → 两直线平行 ②内错角相等 → 两直线平行 ③同旁内角互补 → 两直线平行 ④判定推论1：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行传递性）（例：若a∥b，b∥c，则a∥c） ⑤判定推论2：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （例：若a⊥c，b⊥c，则a∥b。） 2. 平行线的性质：★★★ ①两直线平行 → 同位角相等 ②两直线平行 → 内错角相等 ③两直线平行 → 同旁内角互补 ④性质推论1：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条 （例：若a∥b，c⊥a，则c⊥b） ⑤性质推论2：平行线间的距离处处相等 （平行线间垂线段的长度，叫做平行线间的距离） 图形的平移 1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 2.平移的性质：★★★ 平移后，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等； 平移后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； 平移后，对应角相等。 3.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离。 4.平移的画法：先确定平移的方向和距离，再找出图形的关键点，将关键点按指定方向平移指定距离，最后连接各关键点的对应点，得到平移后的图形。 对顶角与邻补角的计算 【例1】（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图， 直线与相交于点， 若． 则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·河南信阳·期末）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 【变式2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，用量角器测得的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·广西崇左·月考）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中，，则光的传播方向改变的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·江西·一模）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·宁夏固原·月考）如图，直线相交于点平分，若，求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，已知直线与直线相交于点，，． (1)则； (2)若平分，求的度数． 【变式2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点，将一个直角三角板的直角顶点放置在点处，且平分． (1)若，求的度数； (2)判断是否平分，并说明理由． 垂线与距离 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·广西崇左·月考）如图所示，为直线上一点，平分，于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）点是直线外一点，，，分别是直线上三点，已知，，，若点到直线的距离记为，则的取值范围为______． 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，直线相交于点O，，若，求的度数． 【变式4】（25-26七年级上·北京延庆·期末）已知点是直线上的一点，平分． (1)如图1，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：， ___________． ． ___________． 是直线上的一点． ___________． 平分． ．（理由：___________ ） ___________． (2)如图2，若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【例2】（25-26七年级下·湖北武汉·月考）点为直线外一点，点A、B、C为直线上三点，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．小于 D．不大于 【变式1】（25-26七年级下·河南驻马店·月考）如图，，，，，点P是直线上一个动点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河南南阳·期末）运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为___米． 【例3】（25-26七年级下·河南许昌·月考）用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，要修建一条从村庄A到公路的小路，过点A作于点H，沿修建小路，此时修建的小路最短，能准确解释这一现象的数学知识是________________． 三线八角的识别 【例1】（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【变式1】（25-26七年级下·江西上饶·月考）风筝是中国古代劳动人民于春秋时期发明的器物，其材质在不断优化之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”（如图1）．清朝诗人高鼎有诗云“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图2，这是某风筝纸的骨架，在中，与构成同位角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26六年级下·山东济南·月考）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同位角；④与是同旁内角，其中正确的是（    ）   A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【例2】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，直线、、相交于点，直线分别交、于、，则在图中的内错角有几个（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是同位角的角共有________个． 画垂线与平行线 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，是河岸外一点．现要用最短的水管从河岸将水引到处，请画出河岸上的开口位置． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·月考）如图，平面上有3个点，，． (1)作线段，射线和直线；过点作直线的垂线，垂足为． (2)比较线段长短：_____（填“”或“”或“”）．能说明这个结论正确的依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____． （2）解：，理由是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【变式2】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，已知A、B、C、D是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母． (1)画线段； (2)画直线； (3)过点D画的垂线，垂足为E； (4)在直线上找一点P，使得最小． 【例2】（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，点在 的边上．按下列要求画出相应的图形． ①过点画直线 ②过点分别画 垂足分别为点、， 交于点； 【变式2】（24-25七年级下·吉林·月考）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图． (1)在图①中，画出垂线段，使得． (2)在图②中，画出，使得． (3)在图③中，画出，使得． 平行公理 【例1】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）下列说法错误的是（    ） A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．如果，，那么 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 【变式2】（24-25七年级下·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 平行线的判定与性质综合 【例1】（25-26七年级下·安徽铜陵·月考）完成下面的证明． 如图，．求证：． 证明：因为， 所以①________， 即②________． 又因为，且， 所以________（④________）． 所以（⑤________）． 【变式1】（25-26七年级下·山东青岛·月考）在横线上填上适当的内容，完成下面的推理过程． 已知直线，，，的位置如图所示，，，试说明：． 解：∵（____________）， （______________）， ∴________=________（同角的补角相等）， 又∵（已知）， ∴_______（等量代换）， ∴____________（_________________________）． 【变式2】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知，吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式） 解：∵（       ） ∴（       ） 同理可得（       ） ∴（       ） 又∵（        ） ∴（       ） 即（      ）（      ） ∴（      ）（      ）（              ） 【例2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵（已知）， ∴________（___________） ∵平分（已知）， ∴_________（角平分线的定义）， 同理，_________， ∴（__________） ∴__________（_________） ∴（_________） 【变式1】（25-26七年级下·全国·期中）按图填空，并注明理由． (1)完成正确的证明：如图，已知，求证：． 证明：过点作（经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． （ ） （已知）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． （ ） 又， （等量代换）． (2)如图，在中，，，．将求的过程填写完整． 解：（已知）， （ ） 又， （ ） （ ） （ ） 又， ． 【例3】（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，直线，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·河南郑州·月考）如图，直线、、被直线所截，点为上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若比的倍大，求的度数． 【变式2】（25-26七年级下·吉林·月考）如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． (1)求的度数； (2)过点作射线，若，直接写出的度数． 【例4】（25-26七年级下·河南驻马店·月考）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系： ；理由是 ； (2)若，则的度数为 ； (3)由（2）猜想与的数量关系，并说明理由； (4)若且点在直线的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出角度所有可能的值． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·月考）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺（，，）的不同方式摆放”为主题，开展数学探究活动． (1)【操作发现】如图1，三角尺的角的顶点G在上，，则度数为______°； (2)【探索证明】如图2，小智把三角尺的两个锐角顶点E，G分别放在和上，，试说明：； (3)【结论应用】如图3，小蕙把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E在上．若，，请直接写出与的数量关系：______（用含，的式子表示）． 【例5】（25-26七年级下·山东枣庄·月考）【问题情境】如图①，，，，求的度数． 小明的解题思路：过作，通过平行线的性质来求的度数． (1)按小明的思路，求的度数． (2)【问题迁移】如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． (3)【问题应用】在（2）的条件下，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 【变式1】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）【数学阅读】我们通常把图1、图2中的点E称为拐点，解决平行线中有关拐点问题的方法，一般是过拐点作平行线． (1)如图1，，点E在直线与之间，连接，，求证：．小明阅读了上面的方法后，给出证明，请你补全下面的过程； 证明：如图1，过点E作， (2)，猜想图2中，，之间的数量关系，并说明理由； 【应用】 (3)图3是一个电子屏，，点M在上，射线与交于点N，①、②分别是被射线隔开的位于直线上方的2个区域（不含边界），光线分别从点M和点N处发出，交点为P，若点P在区域①或②内，则电子屏变为红色，直接写出当电子屏变为红色时，，，之间的数量关系． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）已知：，在、间取一点P（点P不在直线上），连接、． (1)请探索图1中与、之间的关系，并说明理由． (2)当点P在图2的位置时，则_________． (3)当点P在图3的位置时，若，，则_________． (4)当点P在图4的位置时，请直接写出与、之间的关系． 【例6】（25-26七年级下·山东济南·月考）按要求完成问题 (1)问题情景：如图1，已知． ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由 (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______________（直接写出答案）． 【变式1】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）【学科融合】把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．如图，，光线从空气射向水中发生折射，路径为．延长与交于点． (1)写出的两个同位角：________；（答案不唯一） (2)比较和的大小；（直接写结果） (3)若，，求的度数． 【变式2】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，台球运动中母球P击中桌边上的点A，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点B，再次反弹后击中球C．（提示：，） (1)若，求的度数； (2)已知，母球P经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 图形与生活中的平移 【例1】（2026·山西晋中·一模）在中华传统春节文化中，对称、平移、旋转等几何变换常被运用于年画、窗花、logo设计，以体现“圆满”“和谐”“循环”等美好寓意．以下四款中央广播电视总台春节联欢晚会主标识的图案（文字除外），最能体现平移变换的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁大连·月考）在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图是2026马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）荷兰版画家埃舍尔在他的平面镶嵌画中，运用将基本图案进行轴对称、平移、旋转等数学方法进行创作．如图是埃舍尔创作的“飞鸟”作品，该作品运用的数学方法是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．平移、旋转 【例2】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，平移“月亮”图案可以得到下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）四根火柴棒摆成如图所示的“口”字，平移“口”字的火柴棒后，可变成的文字是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，最小正方形的边长为1，将字母“V”向左平移________格（两个“V”无重叠）后与平移前的图形可以组成字母“W”． 平移作图 【例1】（2026七年级下·江苏·专题练习）利用如图所示的图形，通过平移设计图案． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）在如图所示的方格纸中，把四边形ABCD按箭头指示的方向平移，使点A移到点处． (1)请在方格纸中画出平移后的四边形； (2)连接、，与的位置关系是________． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过平移，四边形的顶点平移到了点． (1)画出平移后的四边形； (2)请直接写出所有与相等的线段． 利用平移的性质求解 【例1】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）如图，中，，将沿射线方向平移至，如果厘米，厘米，四边形的面积为27平方厘米，那么平移的距离是（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，将三角形沿方向平移至三角形处，若，则的长为_____． 【例2】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·青海海东·月考）如图， 将其沿着点B到C的方向平移到的位置，若，，平移距离为4，则阴影部分面积为________． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，长方形中，，，将它沿平移得到长方形，则图中阴影部分的面积为________． 【例3】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，平移后得到，已知，则 （    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·山东德州·月考）如图，，直线平移后得到直线，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【例4】（25-26七年级下·吉林·月考）如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（　　）． ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例5】（25-26八年级下·河南·月考）如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 【变式1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，中间的阴影部分是一条宽度处处相等的小路，空白部分为劳动实践基地．如果劳动实践基地的面积为，那么小路的宽度为______． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，一个长，宽是的长方形草地，有两条宽都是的纵、横相交的小路，这块草地的面积是_______． 平移综合 【例1】（25-26七年级下·云南楚雄·月考）如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置．，，． (1)求的长： (2)求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·江苏泰州·月考） 如图，将沿射线的方向平移2个单位到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)直接写出图中与相等的线段． (2)若，则等于 ． (3)若等于，求的度数． 【变式2】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形． (1)若，则的度数为_____； (2)若是的中点，，，，连接． 求三角形的面积； 已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示） 知识点 易错点 避坑技巧 对顶角与邻补角 以为相等就是对顶角；互补就是邻补角 对顶角：共顶点、两边反向延长；邻补角：相邻+互补 垂线与距离 把斜线段当距离；认为“不相交即平行” 距离=垂线段长度；垂直相关必加“同一平面内” 三线八角 内错角、同旁内角分不清 先定哪两条被哪条截；记形状：F是同位角、Z是内错角、U是同旁内角 平行线的判定与性质 判定与性质混淆；平行时忘同一平面 判定：“角→线”；性质：“线→角” 平行推论 无同一平面的前提直接用垂直平行 平行传递无同一平面；垂直平行必加“同一平面内” 图形平移 只写方向不写距离；对应点连线不平行 平移两要素：方向+距离；对应点连线平行且相等 几何书写 只写∴不写∵；理由乱写 每步必有依据；已知→推导→结论，不跳步 1.求角度：先找对顶角、邻补角、垂直90°，再用平行性质。 2.判平行：优先找同位角、内错角、同旁内角，再用传递性。 3.八角识别：记形状（F/Z/U），快速定位。 4.书写规范：判定与性质必须写完整依据，不跳步。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $