专题01 相交线（考点清单，3考点&8题型+命题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版2024）

清单01 相交线 （3个考点梳理+8题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 垂线 定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 【补充说明】 1）线段与线段、线段与射线、线段与直线、射线与射线或射线与直线垂直，是指它们所在的直线互相垂直. 2）垂线是一条直线，而垂线段是一条线段. 3）两条直线互相垂直时，常在垂足处写一个直角标志“┑”. 4）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【注意】 1）已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条. 2）必须强调在同一平面内，若是在空间中，则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【注意】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 清单02 对顶角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 【补充说明】 1）对顶角的特征：1）有公共顶点；2）两个角的两边互为反向延长线. 2）若两个角互为对顶角，则它们一定相等，但两个角相等，则它们不一定为对顶角. 3）邻补角与补角的区别： ①互补的两个角只有数量关系，没有位置关系，只要这两个角的和等于180°即可. ②邻补角不但有数量上的关系，还有位置上的关系. 清单03 同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 【补充】 1）如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角. 2）同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，它们之间的大小关系是不确定的. 3）同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的，对它们的识别要结合图形. 4）同位角、内错角、同旁内角这三类角都没有公共顶点. 【考点题型一】对顶角的定义（） 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）在下列图中，与属于对顶角的是（   ） A．B．C．D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．有公共顶点的角是对顶角 B．相等的角是对顶角 C．对顶角相等 D．不是对顶角的角不相等 3．（21-22七年级下·广东广州·期末）如图，、相交于O，，下列结论错误的是（    ） A．与互余 B．与是对顶角 C．与是邻补角 D． 4．（23-24七年级上·四川泸州·期末）下列语句：①一条直线有且只有一条垂线；②相等的两个角是对顶角；③不在同一直线上的四点至少可画6条直线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【考点题型二】利用对顶角的性质求解（） 1．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，直线与相交于点．若，则的度数为 ． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，直线与相交于点B，，，则的度数是 ． 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，直线与相交于点，平分．若，求和的度数． 【考点题型三】垂线的定义（） 1．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．若，则点B是线段的中点 C．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线 D．一个锐角的补角大于等于该锐角的余角 2．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（21-22七年级上·浙江宁波·期末）如图，是钝角，平分，，则下列结论正确的是（    ） A．与相等 B．与互余 C．与互补 D．与互余 【考点题型四】垂线的画法（） 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，在同一平面内过点画直线的垂线，能画（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，是的边上一点． (1)过点画的垂线，垂足为点． (2)________（填“”、“”或“”），依据是________________． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别过点作直线的垂线． 【考点题型五】垂线段最短（） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图分别是立定跳远和铅球场地的示意图，点，为相应的落地点，则立定跳远和铅球的成绩分别对应的是线段（　　） A．和的长 B．和的长 C．和的长 D．和的长 2．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图，直线表示一段河道，点表示水池，现要从河向水池引水，设计了四条水渠开挖路线，，，，其中，要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）作图与说理：小区的位置如图所示，位于一条笔直的公路的两侧．（公路的宽度忽略不计） (1)为方便居民出行，计划在公路上设置一个共享单车的取还点，使得该点到小区的距离之和最小，请在公路上画出单车取还点的位置（用点表示），并说明理由． (2)一位A小区的居民有急事出门，打算打车前往目的地，请在公路上画出最近上车点的位置（用点Q表示），并说明理由． 4．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知平面内A，B，C，D四点，其中任意三点不共线，按要求完成下列问题： (1)在图中画直线，线段和射线． (2)E为直线上一点，当最短时，画出点E的位置．其依据是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，______． (3)F为直线上一点，当最短时，画出点F的位置，其依据是：两点之间，______． 【考点题型六】点到直线的距离（） 1．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，，垂足分别为B、P．下列说法中错误的是（　　） A．线段的长是点P到的距离 B．、、三条线段，最短 C．线段的长是点A到的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 2．（2023·浙江杭州·一模）如图，点A为直线外一点，，垂足为点C，点A到直线的距离是线段（　　）的长度． A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·河南许昌·期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．    (1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F； (2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______． 4．（22-23七年级下·浙江台州·期末）定义：连接已知线段外一点与这条线段上各点的所有线段中，最短线段的长度叫做这点到已知线段的距离．    (1)如图，已知线段和点C，D，分别画出表示点C，D到线段距离的线段． (2)若，动点P到线段的距离为，请画出动点P运动的路径．并求出运动路径的长（精确到）．   【考点题型七】内错角、同位角、同旁内角的识别（） 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图，可以与组成内错角的角有 个，它们分别是 ． 2．（22-23七年级下·山东济宁·期中）如图，在，，，，和中，同位角对数为a，内错角对数为b，同旁内角对数为c，则 ．      3．（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在所在的平面内各画一条直线，使得： (1)与成同旁内角的角有3个； (2)与成同旁内角的角有4个． 4．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图所示， (1)和是 　 　、 　 　被 　 　所截得的 　 　角． (2)和∠ 　 　是、被　 　所截得的内错角． (3)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截而成的同旁内角． (4)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截得的内错角． 【考点题型八】垂直的计算（） 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线，相交于点，平分，，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，，平分，若，则的度数为 ．（结果用度表示） 3．（21-22七年级下·浙江台州·期中）图，于点，直线经过点，且：：，则的度数为 度． 4．（24-25七年级上·浙江温州·期末）“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且． (1)如图2，当时，求的度数． (2)叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？ 5．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）如图 1，点 O 在直线上，，将一个含有角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，较长的直角边在射线上，较短的直角边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O 以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． （1）图1中与互补的角有 ． （2）当，求旋转的时间． 【操作二】：如图 2 将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线上．如图 3，在三角尺绕着点O 以每秒度的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O 以每秒度的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转． 试探索：在三角尺与直尺旋转的整个过程中，是否存在某个时刻，使得与这两个角中，其中一个角是另一个角的一半？若存在，请直接写出所有满足题意时的度数；若不存在，请说明理由．你的答案是： ．         6．（22-23七年级下·湖南邵阳·期末）如图1，点，，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为（，单位：秒）    (1)当时，求的度数； (2)在转动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)在转动过程中是否存在这样的，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出的值：如果不存在，请说明理由． 【命题预测】 1．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）过直线外一点画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C．D． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）点是直线外一点，、、为直线上的三点，，，，则点到直线的距离（   ） A．小于 B．等于 C．不大于 D．等于 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，直线，相交于点，过点作，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．两点之间直线最短 B．如果，那么 C．0是整数，但它不是自然数 D．相等的角是对顶角 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）将一副直角三角板按下图所示各位置摆放，其中与不相等的是（    ） A．B．C． D． 6．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，直线，交于点，．若，平分，则下列角中，与互余的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图是小周同学在校运会上投掷实心球的场景，当投掷完毕时，测量员选取的长度作为小周的成绩，其依据是（  ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和不一定相等的是（    ） A．B．C． D． 9．（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）如图，，，垂足分别为、．比较线段、、的大小： （用“”号连接），理由是 ． 10．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知直线相交于点O，射线把分成两部分． （1）写出图中的对顶角 ，的补角是 ； （2）已知，且，则的度数为 ． 11．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知线段，相交于点（不与端点重合），平分，于点，若，则的度数为 ． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知直线与交于点，，垂足为，且． (1)求的度数； (2)过点在上方作射线，若，求的度数． 13．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图：点是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题．    (1)过点画的垂线，交于点； (2)过C点修一条到最短的路，画出图形，并说明理由 ； (3)比较线段，，的大小（请直接写出结论）； (4)请写出第（3）小题图中所有与互余的角 （不增添其它字母）  ； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 相交线 （3个考点梳理+8题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 垂线 定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 【补充说明】 1）线段与线段、线段与射线、线段与直线、射线与射线或射线与直线垂直，是指它们所在的直线互相垂直. 2）垂线是一条直线，而垂线段是一条线段. 3）两条直线互相垂直时，常在垂足处写一个直角标志“┑”. 4）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【注意】 1）已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条. 2）必须强调在同一平面内，若是在空间中，则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【注意】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 清单02 对顶角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 【补充说明】 1）对顶角的特征：1）有公共顶点；2）两个角的两边互为反向延长线. 2）若两个角互为对顶角，则它们一定相等，但两个角相等，则它们不一定为对顶角. 3）邻补角与补角的区别： ①互补的两个角只有数量关系，没有位置关系，只要这两个角的和等于180°即可. ②邻补角不但有数量上的关系，还有位置上的关系. 清单03 同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 【补充】 1）如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角. 2）同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，它们之间的大小关系是不确定的. 3）同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的，对它们的识别要结合图形. 4）同位角、内错角、同旁内角这三类角都没有公共顶点. 【考点题型一】对顶角的定义（） 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）在下列图中，与属于对顶角的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟记有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是解答此题的关键．运用对顶角的定义逐一判断即可得解． 【详解】在选项A中，与的两边都不互为反向延长线，B，C选项中，与没有公共点，所以都不是对顶角，是对顶角的只有选项D． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．有公共顶点的角是对顶角 B．相等的角是对顶角 C．对顶角相等 D．不是对顶角的角不相等 【答案】C 【分析】此题考查学生对对顶角的性质的理解．根据对顶角的定义和性质对各个命题进行分析，从而得到正确的答案． 【详解】解：①不符合对顶角的性质，故不正确； ②相等的角不一定是对顶角，故不正确； ③符合对顶角的性质，故正确； ④因为两角相等，但不一定是对顶角，故不正确． 故选：C． 3．（21-22七年级下·广东广州·期末）如图，、相交于O，，下列结论错误的是（    ） A．与互余 B．与是对顶角 C．与是邻补角 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查垂直、余角、补角、对顶角、邻补角的定义，关键是理解定义会根据定义判断出相应的角． 【详解】解：∵， ∴1与互余， ∴， 直线、相交，则与是对顶角， ∴， ∴，则 与不是对顶角， 与是邻补角， 所以只有B．与是对顶角是错误的，符合题意． 故选：B． 4．（23-24七年级上·四川泸州·期末）下列语句：①一条直线有且只有一条垂线；②相等的两个角是对顶角；③不在同一直线上的四点至少可画6条直线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面几何中概念的理解，根据垂线、对顶角、点与直线的关系、邻补角和角平分线的定义逐项判断即可． 【详解】解：①一条直线有无数条垂线，故①错误； ②相等的两个角不一定是对顶角，故②错误； ③不在同一直线上的四个点可画4条或6条直线，故③错误； ④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故④正确． 故选D． 【考点题型二】利用对顶角的性质求解（） 1．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，直线与相交于点．若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．根据图象可知，． 【详解】解： 故答案为 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，直线与相交于点B，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的定义、对顶角相等、几何图中角度的计算，根据两直线垂直，可得的度数，根据对顶角的性质，可得的度数，根据角的和差，可得答案． 【详解】解：， ． 与是对顶角， ． 由角的和差，得 ， 故答案为： 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，直线与相交于点，平分．若，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角相等，角平分线的定义，数形结合求得，是解题的关键． 【详解】解：由图可知， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵平分， ∴， ∴． 【考点题型三】垂线的定义（） 1．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．若，则点B是线段的中点 C．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线 D．一个锐角的补角大于等于该锐角的余角 【答案】C 【分析】根据对顶角相等，线段中点及垂线与余角和补角的关系依次判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，选项错误，不符合题意； B、若，则点B不一定是线段的中点，当点A、B、C不在同一直线上时，选项错误，不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，正确，符合题意； D、一个锐角的补角大于该锐角的余角，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】题目主要考查对顶角相等，线段中点及垂线与余角和补角的关系，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 2．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据两点确定一条直线，垂线的性质，垂线段最短，点到直线的距离的定义，逐项分析即可求解． 【详解】解：①两点确定一条直线，故①正确； ②同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故②不正确； ③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③正确 ④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故④不正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了两点确定一条直线，垂线的性质，垂线段最短，点到直线的距离的定义,掌握以上知识是解题的关键． 3．（21-22七年级上·浙江宁波·期末）如图，是钝角，平分，，则下列结论正确的是（    ） A．与相等 B．与互余 C．与互补 D．与互余 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得∠BOC=∠AOC，结合垂线的定义可得∠COD+∠BOC=90°，进而可判定D选项正确． 【详解】解：∠BOD与∠COD不一定相等，故选项A不正确，不符合题意； ∵OD⊥OA， ∴∠COD+∠AOC=90°，即∠COD与∠AOC互余， ∵∠BOD与∠COD不一定相等， ∴∠AOC与∠BOD不一定互余，故选项B不正确，不符合题意； ∵OC平分∠AOB， ∴∠BOC=∠AOC， ∴∠AOB=2∠BOC， ∴∠AOB与∠BOC不一定互补，故选项C不正确，不符合题意； ∵OC平分∠AOB， ∴∠BOC=∠AOC， ∵OD⊥OA， ∴∠COD+∠AOC=90°， ∴∠COD+∠BOC=90°， 即∠BOC与∠COD互余，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了垂线，角平分线的定义，余角和补角，掌握角平分线的定义，垂线的定义是解题的关键． 【考点题型四】垂线的画法（） 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，在同一平面内过点画直线的垂线，能画（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线的性质，根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可得出答案． 【详解】解：根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”得：在同一平面内过点A画直线m的垂线，只能画一条． 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，是的边上一点． (1)过点画的垂线，垂足为点． (2)________（填“”、“”或“”），依据是________________． 【答案】(1)图见解析 (2)，垂线段最短 【分析】本题考查画垂线，垂线段最短．掌握垂线段最短，是解题的关键． （1）根据题意，画出垂线即可； （2）根据垂线段最短，进行作答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵， ∴（垂线段最短） 故答案为：，垂线段最短． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别过点作直线的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线的能力，掌握以上知识是解答本题的关键． 用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向画直线即可； 用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向画直线即可； 用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向画直线即可． 【详解】解：如图所示： 【考点题型五】垂线段最短（） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图分别是立定跳远和铅球场地的示意图，点，为相应的落地点，则立定跳远和铅球的成绩分别对应的是线段（　　） A．和的长 B．和的长 C．和的长 D．和的长 【答案】D 【分析】此题考查了点到直线垂线段最短和两点之间线段最短， 根据点到直线垂线段最短和两点之间线段最短求解即可． 【详解】根据题意得，立定跳远和铅球的成绩分别对应的是线段和的长． 故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图，直线表示一段河道，点表示水池，现要从河向水池引水，设计了四条水渠开挖路线，，，，其中，要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．根据点到直线的距离，垂线段最短分析即可． 【详解】解：图中过点到直线的所有线段中，， 最短的一条是， 故选：B． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）作图与说理：小区的位置如图所示，位于一条笔直的公路的两侧．（公路的宽度忽略不计） (1)为方便居民出行，计划在公路上设置一个共享单车的取还点，使得该点到小区的距离之和最小，请在公路上画出单车取还点的位置（用点表示），并说明理由． (2)一位A小区的居民有急事出门，打算打车前往目的地，请在公路上画出最近上车点的位置（用点Q表示），并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，两点之间线段最短，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接交直线于点，点即为所求； （2）作直线一点，点即为所求． 【详解】（1）如图，点即为所求； 理由：两点之间，线段最短； （2）如图，点即为所求 理由：垂线段最短． 4．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知平面内A，B，C，D四点，其中任意三点不共线，按要求完成下列问题： (1)在图中画直线，线段和射线． (2)E为直线上一点，当最短时，画出点E的位置．其依据是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，______． (3)F为直线上一点，当最短时，画出点F的位置，其依据是：两点之间，______． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解，垂线段最短 (3)图见详解，线段最短 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、垂线、线段的性质：两点之间，线段最短，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据直线、射线、线段的定义画图即可． （2）过点D作直线的垂线，交直线于点E，根据垂线段最短可得答案． （3）连结，交直线于点F，根据两点之间，线段最短可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线、线段和射线即为所求． （2）解：如图，过点D作直线的垂线，交直线于点E， 则即为所求． 其依据是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． （3）解：如图，连结，交直线于点F， 则点F即为所求． 其依据是：两点之间，线段最短． 故答案为：线段最短． 【考点题型六】点到直线的距离（） 1．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，，垂足分别为B、P．下列说法中错误的是（　　） A．线段的长是点P到的距离 B．、、三条线段，最短 C．线段的长是点A到的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，点到直线的距离，关键是掌握点到直线距离的定义，垂线段最短． 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可判断． 【详解】解：A、线段的长是点P到的距离，正确，故A不符合题意； B、由垂线段最短得到，，，因此最短，故B不符合题意； C、线段的长是点A到的距离，故C符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，正确，故D不符合题意． 故选：C． 2．（2023·浙江杭州·一模）如图，点A为直线外一点，，垂足为点C，点A到直线的距离是线段（　　）的长度． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念即可解答． 【详解】解：∵，垂足为点C， ∴点A到直线的距离是线段的长， 故选：A． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 3．（22-23七年级下·河南许昌·期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．    (1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F； (2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______． 【答案】(1)图见解析 (2)，，，垂线段最短 【分析】（1）如图，找点，连接，与交点即为，过点作竖直的线，与交点即为； （2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：由题意作图如下，是的垂线，是的垂线．    （2）解：线段的长度是点P到的距离，线段的长度是点E到直线OB的距离， 由垂线段最短可知，， 故答案为：，，，垂线段最短． 【点睛】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（22-23七年级下·浙江台州·期末）定义：连接已知线段外一点与这条线段上各点的所有线段中，最短线段的长度叫做这点到已知线段的距离．    (1)如图，已知线段和点C，D，分别画出表示点C，D到线段距离的线段． (2)若，动点P到线段的距离为，请画出动点P运动的路径．并求出运动路径的长（精确到）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，约为厘米 【分析】（1）根据点到已知线段的距离的定义画出图形即可； （2）由题意可知，点P的运动路径为如图2所示的图形，根据点P的运动路径长为两个以半径为的半圆长加上两个线段的长求解即可． 【详解】（1）解：如图1，线段为点C到线段的距离，线段为点D到线段的距离；    （2）如图2，点P的运动路径如图所示，    点P的运动路径长． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，点到线段的距离，正确理解点到线段的距离是解题的关键． 【考点题型七】内错角、同位角、同旁内角的识别（） 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图，可以与组成内错角的角有 个，它们分别是 ． 【答案】 2 ， 【分析】本题主要考查内错角的定义，根据内错角得定义即可找到和与组成内错角． 【详解】解：与组成内错角的角有2个，它们分别是和． 故答案为：2，，． 2．（22-23七年级下·山东济宁·期中）如图，在，，，，和中，同位角对数为a，内错角对数为b，同旁内角对数为c，则 ．      【答案】16 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，结合图形进行分析即可进行分析即可 【详解】解：同位角有：与，与， 内错角：与，与， 同旁内角：与，与，与，与， ，，， ， 故答案为：16 【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在所在的平面内各画一条直线，使得： (1)与成同旁内角的角有3个； (2)与成同旁内角的角有4个． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了同旁内角的定义，熟练掌握同旁内角的定义是解题关键． （1）根据同旁内角的定义画出图形，即可得出答案． （2）根据同旁内角的定义画出图形，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图即为所求作，与、、成同旁内角； （2）解：如图即为所求作，与、、、成同旁内角． 4．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图所示， (1)和是 　 　、 　 　被 　 　所截得的 　 　角． (2)和∠ 　 　是、被　 　所截得的内错角． (3)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截而成的同旁内角． (4)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截得的内错角． 【答案】(1)；；；同位 (2)； (3)； (4)； 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的特征是解题的关键． （1）根据同位角的特征，即可解答； （2）根据内错角的特征，即可解答； （3）根据同旁内角的特征，即可解答； （4）根据内错角的特征，即可解答． 【详解】（1）解：和是、被所截得的同位角， 故答案为：；；；同位； （2）解：和是、被所截得的内错角， 故答案为：；； （3）解：和是、被所截而成的同旁内角， 故答案为：；； （4）解：和是、被所截得的内错角， 故答案为：；． 【考点题型八】垂直的计算（） 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线，相交于点，平分，，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角，角平分线的定义，垂线的定义；熟练掌握“对顶角相等；一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线”是解题的关键． 根据对顶角的性质可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据垂直的定义可得，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（22-23七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，，平分，若，则的度数为 ．（结果用度表示） 【答案】 【分析】利用角平分线的定义求得，再利用余角的定义计算即可求解． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．（21-22七年级下·浙江台州·期中）图，于点，直线经过点，且：：，则的度数为 度． 【答案】 【分析】利用余角和补角的定义，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：， ， 设，则， ， ， ：：， ：：，即：2（180-x）=5（90-x） 解得， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平角、余角的定义，解题的关键是找到互余、互补的两个角． 4．（24-25七年级上·浙江温州·期末）“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且． (1)如图2，当时，求的度数． (2)叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？ 【答案】(1) (2)旋转的最小角度是 【分析】本题考查了余角和补角定义的应用，角的计算，认识图形，正确进行角的计算是解题的关键． （1）根据题意，得到，根据垂直的定义，结合图形，得到的度数； （2）根据题意，设旋转的最小角度是，由与互为补角，求出的值，得到结果． 【详解】（1）解：因为， 又因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． （2）解：设旋转的最小角度是，则，， 因为与互补， 所以，即， 解得， 所以旋转的最小角度是． 5．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）如图 1，点 O 在直线上，，将一个含有角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，较长的直角边在射线上，较短的直角边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O 以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． （1）图1中与互补的角有 ． （2）当，求旋转的时间． 【操作二】：如图 2 将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线上．如图 3，在三角尺绕着点O 以每秒度的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O 以每秒度的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转． 试探索：在三角尺与直尺旋转的整个过程中，是否存在某个时刻，使得与这两个角中，其中一个角是另一个角的一半？若存在，请直接写出所有满足题意时的度数；若不存在，请说明理由．你的答案是： ．         【答案】【操作一】（1），；（2）秒或秒；【操作二】存在，，，，． 【分析】操作一：（1）利用补角的定义解答即可； （2）根据垂直的定义建立方程求解即可； 操作二：分三种情况：①；②；③，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由题意可知， ∴， ∴图1中与互补的角为和． 故答案为：和； （2）解：∵将图1中的三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转t秒， ∴三角尺旋转角度为度， 若，则需顺时针旋转或， ∴或， 解得：或， 答：旋转的时间秒或秒． 【操作二】存在． ∵的旋转速度是旋转速度的3倍， ∴， 设，则， ∵， ∴， 分三种情况讨论， ①当时，， 若， 则， ∴，不符合题意，舍去， 若， 则， ∴，不符合题意，舍去， ②当时，，， 若， 则， ∴， 则， 若， 则， ∴， 则， ③当时，，， 若， ， ∴， 则， 若， 则， ∴， 则， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了补角、垂直等定义，一元一次方程的应用，角的和差，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题． 6．（22-23七年级下·湖南邵阳·期末）如图1，点，，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为（，单位：秒）    (1)当时，求的度数； (2)在转动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)在转动过程中是否存在这样的，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出的值：如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)时，第二次达到； (3)存在，当或27或45时，射线与射线垂直． 【分析】（1）根据题意，求出和的度数，即可得到的度数； （2）由题意可知，，，当第二次达到时，，据此即可求出的值； （3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别求解，即可得到的值． 【详解】（1）解：当时，，， ； （2）解：由题意可知，，， 如图，当第二次达到时，此时， ， 解得：， 即时，第二次达到；    （3）解：．由题意可知，，， ， ①如图，当时，此时，，   ， 解得：； ②如图，当时，此时，   ， 解得：； ③如图，当时，此时，，   ， 解得：， 综上可知，当或27或45时，射线与射线垂直． 【点睛】本题考查了垂线，一元一次方程的应用，角的计算等知识，利用数形结合的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． 【命题预测】 1．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）过直线外一点画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了由直线外一点向直线作垂线的方法，掌握垂线的定义是解题的关键． 根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 只有D选项符合题意， 故选：D ． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）点是直线外一点，、、为直线上的三点，，，，则点到直线的距离（   ） A．小于 B．等于 C．不大于 D．等于 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，正确理解垂线段最短的性质是解题关键．根据垂线段最短分析判断即可． 【详解】解：因为直线外一点到直线上所有的连接线段中，垂线段最短， 所以距离一定不大于， 又因为不知道是不是垂线段， 所以不能确定是否等于， 故选：C． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，直线，相交于点，过点作，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂线，平角的知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得：，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．两点之间直线最短 B．如果，那么 C．0是整数，但它不是自然数 D．相等的角是对顶角 【答案】B 【分析】本题考查的是两点之间，线段最短，角的大小比较，整数与自然数的含义，对顶角的定义，利用以上知识逐一判断即可，熟记基本概念与性质是解本题的关键． 【详解】解：两点之间，线段最短，故A不符合题意； ∵， ∴ ∴，故B符合题意； 0是整数，但它也是自然数，故C不符合题意； 相等的角不一定是对顶角，故D不符合题意； 故选B 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）将一副直角三角板按下图所示各位置摆放，其中与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角，同角的余角相等．分别求出每个选项中的关系，进行判断即可． 【详解】解：A、根据对顶角相等，得到，不符合题意； B、由图可知：，故与不相等，符合题意； C、由图可知：，不符合题意； D、由图可知：，不符合题意； ； 故选B． 6．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，直线，交于点，．若，平分，则下列角中，与互余的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角、补角、角平分线，正确运用余角、补角的定义和角平分线的定义是解题的关键． 由垂直的定义可得，；由余角的定义可得 ，由等角的余角相等可得，，因为平分，所以 ，则与互余的角是． 【详解】解：∵， 平分 ∴与互余的角是， 故选：B． 7．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图是小周同学在校运会上投掷实心球的场景，当投掷完毕时，测量员选取的长度作为小周的成绩，其依据是（  ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】此题考查了垂线段最短的性质的运用．由点到直线的距离的定义及投掷实心球比赛的规则作出判断． 【详解】解：投掷完毕时，测量员选取的长度作为小周的成绩，其依据是垂线段最短， 故选：A． 8．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和不一定相等的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余角和对顶角的性质，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．根据对顶角和余角的性质即可判断． 【详解】解：A、∠α与∠β互余，但不一定相等，故本选项符合题意； B、根据同角的余角相等，则和一定相等，故本选项不合题意； C、根据等角的余角相等，则和一定相等，故本选项不合题意； D、根据对顶角相等，则和一定相等，故本选项不合题意； 故选：A． 9．（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）如图，，，垂足分别为、．比较线段、、的大小： （用“”号连接），理由是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短可得，，进而即可求解，理解垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 理由是垂线段最短， 故答案为：；垂线段最短． 10．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知直线相交于点O，射线把分成两部分． （1）写出图中的对顶角 ，的补角是 ； （2）已知，且，则的度数为 ． 【答案】 / / /度 【分析】本题主要考查了补角，对顶角的定义，几何图形中角度的计算： （1）根据补角和对顶角的定义求解即可； （2）先求出，再由平角的定义即可求出答案． 【详解】解：（1）的对顶角是；的补角是， 故答案为：；； （2）∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知线段，相交于点（不与端点重合），平分，于点，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，垂直的含义，分两种情况讨论：如图，当在的外部时，如图，当在的内部时，再利用数形结合的方法解题即可． 【详解】解：如图，当在的外部时， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的内部时， 同理可得：，而， ∴， 故答案为：或 12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知直线与交于点，，垂足为，且． (1)求的度数； (2)过点在上方作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查垂线的定义，掌握垂线的定义及对顶角、邻补角是解题的关键． （1）根据垂线的定义得到，根据求出，再加上即可； （2）先由平角得出，根据知，继而由可得答案． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 13．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图：点是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题．    (1)过点画的垂线，交于点； (2)过C点修一条到最短的路，画出图形，并说明理由 ； (3)比较线段，，的大小（请直接写出结论）； (4)请写出第（3）小题图中所有与互余的角 （不增添其它字母） 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，理由：垂线段最短或者直角三角形的斜边大于任一直角边 (3)； (4)与 【分析】（1）作即可； （2）作即可； （3）根据垂线段最短及直角三角形的斜边大于任一直角边即可得出结论； （4）根据两角互余的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：的垂线如图所示；   ； （2）解：C点到最短的路如图所示； 理由为垂线段最短及直角三角形的斜边大于任一直角边； （3）解：， ． 中是斜边，是直角边， ， ； （4）解：， ． ， ， 与互余的角是与． 故答案为：与． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$