专题03 不等式与不等式组压轴题（期中真题汇编，辽宁专用）八年级数学下学期新教材北师大版

专题03 不等式与不等式组压轴题 5大高频考点概览 考点01不等式与不等式组的新定义应用 考点02一次函数的性质与不等式 考点03一次函数与几何综合应用 考点04一次函数及不等式的跨学科应用 考点05一次函数及不等式的新定义综合应用 一、解答题地 城 考点01 不等式与不等式组的新定义应用 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是_______（填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“子方程”，试求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）解不等式组求得其解集，解方程求出，根据“子方程”的定义列出关于的不等式组，解之可得； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，然后根据，都是关于的不等式组的“子方程”，即可得到，解出即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程①：，得：，    解方程②：，得：， 解方程③：，得：， 解不等式组：，得：， ∴不等式组的“子方程”是③． 故答案为：③ （2）解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解，得：， ∴， ∴， 解得：． （3）解：解方程：，得， 解方程：，得：， 解关于的不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：， ∵，都是关于的不等式组的“子方程”， ∴可得：， 解得：． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解“子方程”的定义是解本题的关键． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式（组）的解集记为，给出定义：若中的数都在内，则称包含．如，方程组的解为，记，不等式的解集为，记．因为0，2都在内，所以包含． (1)将方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式的解集记为，请问能否包含？说明理由； (2)将方程组的解中的所有数的全体记为，将关于的不等式组的解集记为，若包含，求的取值范围． 【答案】(1)能包含，理由见详解． (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式以及解一元一次不等式组等知识． （1）分解解出二元一次方程组的解以及一元一次不等式的解，标准好A，B，根据定义判断即可． （2）解二元一次方程组得出，解一元一次不等式，得出，根据包含，则：，解不等式组求出关于a的解集即可． 【详解】（1）解： 解得：， ∴， 解，得， ∴， ∵，3都在内， ∴所以B包含A． （2）解：， 解得：， ∴ 解： 解得：， ∴， 若包含，则：， 解得： ∴． 3．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解” (1)组合是 ；（填梦想解或无缘解） (2)若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围； (3)若关于x的是“无缘解”则m的取值范围为 ． 【答案】(1)无缘解 (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握求解方法，理解题意是解此题的关键． （1）分别求出方程和不等式的解，再结合题意判断即可得解； （2）分别求出方程和不等式的解，再结合“梦想解”的定义得出，求解即可； （3）分别求出方程和不等式的解，再结合“无缘解”的定义得出，求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解不等式得：， 方程的解不满足，故此组合为无缘解； （2）解：解方程得：， 解不等式得：， ∵关于x的组合是“梦想解”， ∴， 解得：； （3）解：解方程得：， 解不等式得：， ∵关于x的是“无缘解”， ∴， 解得：． 4．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式________的“梦想解”； (2)若关于的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求的整数解． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可． 【详解】（1）解：解不等式得， 解不等式得， 解不等式得， 解方程得， ∴方程的解时它与不等式②的“梦想解”； （2）解：解方程组得：， ∴， ∵方程组的解是不等式组的梦想解， ∴， ∴， ∴m的整数解为． 5．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）阅读理解； 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值，成为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”，当时，，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解” （直接填写序号）； ①；②；③． (2)若关于x，y的方程组与不等式有“理想解”，求a的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】（1）先求得方程的解，再计算不等式或不等式组的解，根据定义判定解答即可． （2）根据方程组得，根据定义，得，解不等式求a的取值范围即可； （3）解方程组得 不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围 【详解】（1）解： 解得； ①解不等式，得，是不等式的解，符合题意； ②解不等式，得，是不等式的解，符合题意； ③解不等式组，得，不是不等式组的解，不符合题意； 故答案为：①②． （2）解：根据方程组得， 根据定义，得， 解得． （3）解： 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． 由，得， 解得， 又x，y均为正数， 故， 解得， 故b的取值范围是． 【点睛】本题考查了解方程，解方程组，解不等式，解不等式组，熟练掌握定义，解方程，解不等式是解题的关键． 6．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． (1)糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键． （1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）利用（2）的结论来证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，加入m克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴； 故答案为：； （2）解：∵加入克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为， ∴； 故答案为：； （3）解：， ， ， ， 一、解答题地 城 考点02 一次函数的性质与不等式 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点，，求的面积； (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键． （1）将两个函数表达式联立解得，即可得点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据两函数图象和点A的坐标即可得到不等式解集． 【详解】（1）解：当时， ， 解得， ∴ ∴点A 的坐标为． （2）解：当 时，， 解得， 则点坐标为； 当 时，， 解得， 则点坐标为． ， 的面积． （3）解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴当时，的取值范围是． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D． 【基础问题】 （1）求m，n的值； 【问题拓展】 （2）若P为直线上一点，当线段长度最小时，求出此时点P的坐标，并求出此时线段长度最小值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据点B在直线上，求出n的值，得到点B的坐标，把点B的坐标D代入即可求出m的值； （2）过点A作直线的垂线，垂足为P，此时线段最短，过点P作y轴的垂线，垂足为M．求出，，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵点在直线上， ∴ ∴，                                 ∴                                 ∵点在直线上上， ∴ ∴．                                 （2）过点A作直线的垂线，垂足为P，此时线段最短，过点P作y轴的垂线，垂足为M．                  ∴， 由直线知，时， 时， ∴点，点                     ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴                                 由直线知，当时，， 即直线与y轴交点， ∴ ∴， ∴，                         ∴，                                 ∴．                            ∴ 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集：___________． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）将点代入，求出m，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）先求出点C坐标，再根据三角形的面积公式列式即可求出的面积； （3）利用函数图象，写出一次函数的图象在的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：过点， ， ∴， ， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式． （2）解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点为， ， ， 又， ． （3）解：由图像可知，当时，一次函数的图象在的上面， ∴不等式的解集为． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． 4．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为1． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在轴上，且满足，求点的坐标； (3)请直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)点坐标为或 (3) 【分析】（1）根据，可得，把代入中得：，可得，根据待定系数法即可求解； （2）先求出△AOB的面积，即可得△BOC的面积，设，即有，则C点坐标可求； （3）根据（1）的结果可知不等式为：，该不等式的含义为求一次函数的图象在正比例函数图象上方时，自变量x的取值范围，即根据B点坐标以及图象即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 把代入中得：， ∴， 把，代入得： ， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）∵，， ∴， ∴， ∵点在轴上，设， ∴， 即：，解得：， ∴点坐标为或； （3）根据（1）的结果可知不等式为：， 根据可知，一次函数的图象在正比例函数图象上方时，自变量x的取值范围为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求解一次函数解析式、一次函数与三角形面积以及根据一次函数图象求解不等式解集等知识，理解不等式所体现的函数图象的意义是解答本题的关键． 5．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)当时，的取值范围是_____； (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出点的坐标，再利用描点法画出函数图象即可得； （2）结合函数图象即可得； （3）先求出平移后的直线的解析式，再求出点的坐标，然后求出，根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即． 在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象如下： ． （2）解：由函数图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． （3）解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线的解析式为， 将代入得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为12． 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点是线段的中点．地 城 考点03 一次函数与几何综合应用 (1)点的坐标为________________； (2)点是轴上的一点，且满足，求出点的坐标； (3)连接，求直线的表达式_______________，并直接写出时，自变量的取值范围______________； (4)若点是的内部（不包含边界）的一点，请直接写出的取值范围______________． 【答案】(1)； (2)或 (3) (4) 【分析】（1）根据解析式，分别令，即可求解； （2）设，根据，列出方程，解方程即可求解； （3）根据中点坐标公式，得出点的坐标为，代入，进而根据函数图象，当时，自变量的取值范围为； （4）将代入，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴、轴于、两点， ∴当时，，当时，， ∴，； 故答案为：；． （2）解：由（1）知，， 则， ∴， ∵， 设， ∴ 解得：或， ∴或 （3）解：∵，，点是线段的中点． 点的坐标为； 设直线的解析式为，将点的坐标代入解析式，求得， 根据函数图象可得，当时，自变量的取值范围为． 故答案为：；． （4）解：点在直线上， 当时，即，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与结合图形，三角形的面积问题，中点坐标公式，两直线交点坐标与不等式的解集，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)【基本问题】 求k，b的值； (2)【问题探究】 ①M为射线（点C除外）上一点，过点M作y轴的平行线交于点N，设点M的横坐标为m，线段的长度为W，请求出W与m之间的函数关系式； ②当时，直接写出m的取值范围． (3)【问题拓展】 在x轴上是否存在一点P，满足是等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在，，， 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象上点坐标的特征，等腰三角形的性质，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）求出，再用待定系数法可得的值是，的值是； （2）根据轴，得到，根据线段的和差即可得到结论； ②由（1）知，直线的解析式为，令得，得到，求得，设，则，根据题意列不等式即可得到结论； （3）设，根据勾股定理得到，，，①当时，②当时，③当时，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 把，代入得： ， 解得， 的值是，的值是； （2）解：①为射线（点除外）上一点，设点的横坐标为， ， 轴， ， ； ②由（1）知，直线的解析式为， 令得， ， ， 设，则， ， ， 解得； （3）解：设， ，， ， ， ， 是等腰三角形， ①当时，即， 此方程无解；故这种情况不存在； ②当时，即， 解得， 或； ③当时，即， 解得， ， 综上所述，存在点，满足是等腰三角形，点的坐标或或． 3．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________；不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是__________． ②若在图像上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）， （3）① ②存在，或或或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、解不等式，等腰三角形的定义，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）观察图象即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）①观察函数图象知，符合条件的点在点、之间，即可求解； ②分三种情况：当时， 当时， 当时，分别 求解即可． 【详解】解：（1）观察图象知，不等式的解集是， （2）观察函数图象知，两直线的交点坐标为：，不等式的解是 （3）①观察函数图象知，符合条件的点在点、之间， 联立两个一次函数得：， 解得：，即点， 令，则，即点； 故不等式组的解集为； ②存在，理由： 令，则，解得：， ∴ ∵ ∴ 设点， ∴，， 分三种情况：I）当时， ∴ 解得： ∴或， II）当时， ∴ 解得：，（舍去） ∴ III）当时，过点P作轴于D， ∴， ∴ ∴， ∴ 综上，或或或． 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数表达式为．地 城 考点04 一次函数及不等式的跨学科应用 (1)点为平面镜的中点，若光线恰好经过点，求所在直线的表达式； (2)若入射光线与平面镜有公共点，求的取值范围； (3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，直接写出点是整点的个数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先求出线段中点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）先求出直线解析式，再求出直线解析式，即可求出本题答案； （）作出点关于对称点，可知的坐标，作直线，分别求出这两条直线与轴交点，则点坐标即在范围内，即可得到整数点的个数； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，线段中点坐标，一次函数图象及性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，的坐标分别为，，点为平面镜的中点， ， 将，坐标分别代入中得， ， 解得， 所在直线的表达式为； （2）解：当入射光线经过、时， 有， 解得， 当入射光线经过，时， 有， 解得， 入射光线与平面镜有公共点， 的取值范围：； （3）解：作出点关于对称点，则，作直线、分别交轴于，， 同理可得直线的表达式为，直线的直线表达式为， 反射光线与轴相交于点， 点纵坐标的取值范围为， 整点有：，共个． 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图象记为G．地 城 考点05 一次函数及不等式的新定义综合应用 (1)当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； (2)图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； (3)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②1或 (2)图象G与x轴交点的坐标为 (3)满足条件的m的取值范围是 【分析】（1）①把点代入得出a的值即可； ②分两种情况求出b的值即可； （2）先分当时，当时，求出m的值，然后根据m的值，求出图象与x轴的交点坐标即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴把代入得： ； ②当时，把代入得：， 解得：； 当时，把代入得：， 解得：， 综上分析可知：b的值为1或． （2）解：当时，把点代入得： ， 解得：不符合题意； 当时，把点代入得： ， 解得：符合题意， ∴此时函数， 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴没有交点； 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴有交点， 把代入得：， 解得：， ∴图象G与x轴交点的坐标为； （3）解：当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵ ∴不符合题意； 当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵， ∴不符合题意； 当时， 时，， 时，， ∵当时，， ∴此时最大值为：，最小值， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上分析可知：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解不等式组，求一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质，注意进行分类讨论． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）请问读下面材料：我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例：关于的一次函数的3分函数为． 根据材料完成下列题目： (1)在平面直角坐标系中直接画出的4分函数图象，并结合图象回答下面问题： ①已知当时，随的增大而增大，则的取值范围为________； ②当时，，则的值为________； ③若与一次函数的图象有且只有一个交点，则的取值范围为________； (2)若点在关于的正比例函数的2分函数图形上，，，连接． ①请求出的值； ②若点为图形上一点，当时，请直接写出点坐标________； (3)若点，，连接，当关于的一次函数的分函数，与线段有两个交点，请直接写出的取值范围________． 【答案】(1)或或 (2)①；②或或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的交点，求一次函数关系式，画一次函数图象， 对于（1）①，根据一次函数图象的性质解答； ②，先写出函数关系式，可知有最大值为5，再代入关系式求出，可得答案； ③，先确定一次函数经过点，再分情况讨论与一次函数有一个交点，进而得出答案； 对于（2）①，将代入关系式可得答案； ②，先求出直线的关系式，分两种情况表示，根据得出方程求出解； 对于（3），先求出函数，再求出直线的关系式，然后联立求出解即可得出范围． 【详解】（1）解：如图所示， ①当时，函数值随着x的增大而增大， 所以a的取值范围是； ②函数关系式为：， 当时，的最大值为5． 当时，或， ∴， ∴， 则； ③一次函数， ∴一次函数经过点． 当直线经过点时，符合题意，此时， 当时，与一次函数有一个交点； 当时，与一次函数无交点； 当时，与一次函数有一个交点； 当时，与一次函数有一个交点； 当时，与一次函数有一个交点； 当时，与一次函数有两个交点． 所以与一次函数有一个交点，k的取值范围是或或； 故答案为：①；②3；③或或； （2）解：如图所示， ①点在函数， ∴当时，； ② 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 当点Q在上，设点，直线上的点， 可得． ∵， ∴， 解得，则点或； 当点Q在上，设点，直线上的点， 可得． ∵， ∴， 解得，则点． 综上所述点Q的坐标为或或； 故答案为：或或； （3）解：根据题意，函数， 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为. 当直线交于点E时，， 解得； 当直线交于点F时，， 解得． 当时，该函数与线段有两个交点． 故答案为：. 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小明的探究过程如下： 列表： x … m 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 n 5 … (1)补全表格：_______，_______； (2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线； (3)根据表格及函数图象，探究函数性质： ①当时，_______；当时，_______， ②下列说法正确的个数是_______； （i）变量x是变量y的函数；（ii）x每增加就减小1 （iii）图象经过第一、二象限；（iv）当时，y有最小值； A．1　　B．2    C．3　　D．4 (4)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程有两个实数解，直接写出实数a的取值范围：______． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①12，2025或；②B (4) 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量，画一次函数图象，一次函数的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出当时的值，当时的值即可得到答案； （2）先描点，然后连线画出对应的函数图象即可； （3）根据（2）所画函数图象进行求解即可； （4）确定直线恒过点，根据方程有两个实数解，即直线与直线有两个交点，画出图象进行求解即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，则， 或， ∴， 在中，当时，，即， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：根据（2）中图象可得：①当时，； 当时，则，解得：或， 故答案为：12，2025或； ②（i）变量x不是变量y的函数，原说法错误； （ii）当时，x每增加就增加1，原说法错误； （iii）图象经过第一、二象限，正确； （iv）当时，y有最小值，正确； 故选：B． （4）解：直线恒过点， ∵方程有两个实数解， ∴直线与直线有两个交点， 当平行于时，或， 由函数图象可知，当时，直线与直线有两个不同的交点， 即方程有两个实数解， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … (1)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当时，y随x的增大而 ；（填“增大”“减小”或“不变”） (2)若，为该函数图象上不同的两点，则 ； (3)当时，自变量x的取值范围是 ； (4)定义 ，例如， ，则函数的最大值为 ． 【答案】(1)函数图象见解析，减小； (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了一次函数的性质，函数图象，解一元一次不等式组，利用数形结合的思想解题是关键． （1）描点画图即可；根据图象可得答案； （2）把，代入解析式，解方程即可； （3）解不等式组即可解答； （4）分类讨论，分为或两种情况，逐一计算即可解答． 【详解】（1）解：函数图象如下： ， 根据图象可得当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； （2）解：根据题意可得， 可得， 解得或， ，为该函数图象上不同的两点， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， 可得，解得， 或可得，解得， 故答案为：或； （4）解：当时，此时， 可得或， 解得或，即 ， 当时，取最大值为； 当时，此时， 根据上述自变量取值范围，可得此时或， ， 当时，， 当时，， 当或，， 故函数的最大值为， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）已知点，点，且，若点关于直线的对称点为点，则称为的“线镜像点”． (1)当时，在，，中，“线镜像点”在轴上的点是______； (2)已知点，点若线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上，则的取值范围是______； (3)当时，已知点，点的“线镜像点”分别是点，如图，第一、三象限角平分线下方和轴上方的公共部分构成区域（含边界），若在区域中有且只有个点使得为等腰直角三角形，则的取值范围是______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了坐标的轴对称变换、坐标几何、不等式应用及等腰直角三角形的存在性问题； 解题的关键是得出“线镜像点”的坐标变换特征． （1）根据关于第二、四象限的角平分线对称点坐标的特征结合坐标平移确定“线镜像点”的坐标变换特征，若点为，则“线镜像点”为，逐个代入验证即可； （2）根据（1）得到的规律确定点，点，“线镜像点” ，点，由题意可知线段与轴有交点，由此得出不等式组即可求解； （3）根据（1）得到的规律确定点，点的“线镜像点”分别是点，，由，即可确定使得为等腰直角三角形的点坐标，根据关键点的坐标于区域的关系列不等式组即可解答． 【详解】（1）设点为，如图： 以点为原点建立新平面直角坐标系，则在新的平面直角坐标系中，点，点，即直线是新的坐标系第二、四象限的角平分线， ∵点关于直线的对称点为点， ∴由关于第二、四象限的角平分线对称点坐标的特征可知： ∴在原平面直角坐标系中点关于直线的对称点为点，坐标为 ∴点的“线镜像点”是即，不在轴上， 的“线镜像点”是，即，在轴上， 的“线镜像点”是即，在轴上， 的“线镜像点”是，即，不在轴上， 综上所述：，的“线镜像点”在轴上的点， 故答案为，． （2）∵点， ∴它们的“线镜像点”为： 点， 即，点 ∴轴， ∵线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上， ∴线段与轴有交点， 解得：， 故答案为． （3）∵当时，点，点的“线镜像点”分别是点， ∴ 若为等腰直角三角形，则点坐标可能为：，，，，， 易得 ∴在区域中有且只有个点，则在区域外、在区域内， ∴只需要保证在区域内，在区域外即可， 交第一、三象限角平分线于，则， 解得 故答案为． 6．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①见解析；②或；（3）或者． 【分析】（1）根据伴随函数的定义即可求解； （2）①把代入，把代入，求得函数值即可填表，根据列表即可作出图形；②分别求出、两点的坐标，进而根据面积构造方程求解即可； （3）先求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的伴随函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数的伴随函数． 的伴随函数为； 故答案为：； （2）①当时，，当时，， ∴补全表格如下： x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 作图如下， ②联立和得 ，解得， ∴ 联立和得， 解得， ∴ 当时，， ∴与轴的交点为， ∵点 ∴， ∵的面积为 ∴，即， 解得或 （3）如图， 设直线为， ∵点、的坐标分别为，， ∴， 解得， ∴直线为， 令，则， ∴直线:与轴的交点为， 由题意得，一次函数的伴随函数为． 当轴右侧部分与有交点时，把和代入，得， 当轴左侧部分与有交点时，把和，代入，得， 当时，， ∴或者， ∴伴随函数与有个交点时，的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式与不等式组压轴题 5大高频考点概览 考点01不等式与不等式组的新定义应用 考点02一次函数的性质与不等式 考点03一次函数与几何综合应用 考点04一次函数及不等式的跨学科应用 考点05一次函数及不等式的新定义综合应用 一、解答题地 城 考点01 不等式与不等式组的新定义应用 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是_______（填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“子方程”，试求的取值范围． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式（组）的解集记为，给出定义：若中的数都在内，则称包含．如，方程组的解为，记，不等式的解集为，记．因为0，2都在内，所以包含． (1)将方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式的解集记为，请问能否包含？说明理由； (2)将方程组的解中的所有数的全体记为，将关于的不等式组的解集记为，若包含，求的取值范围． 3．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解” (1)组合是 ；（填梦想解或无缘解） (2)若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围； (3)若关于x的是“无缘解”则m的取值范围为 ． 4．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式________的“梦想解”； (2)若关于的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求的整数解． 5．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）阅读理解； 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值，成为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”，当时，，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解” （直接填写序号）； ①；②；③． (2)若关于x，y的方程组与不等式有“理想解”，求a的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围 6．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． (1)糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 地 城 考点02 一次函数的性质与不等式 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点，，求的面积； (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D． 【基础问题】 （1）求m，n的值； 【问题拓展】 （2）若P为直线上一点，当线段长度最小时，求出此时点P的坐标，并求出此时线段长度最小值． 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集：___________． 4．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为1． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在轴上，且满足，求点的坐标； (3)请直接写出时的取值范围． 5．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)当时，的取值范围是_____； (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 地 城 考点03 一次函数与几何综合应用 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点是线段的中点． (1)点的坐标为________________； (2)点是轴上的一点，且满足，求出点的坐标； (3)连接，求直线的表达式_______________，并直接写出时，自变量的取值范围______________； (4)若点是的内部（不包含边界）的一点，请直接写出的取值范围______________． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)【基本问题】 求k，b的值； (2)【问题探究】 ①M为射线（点C除外）上一点，过点M作y轴的平行线交于点N，设点M的横坐标为m，线段的长度为W，请求出W与m之间的函数关系式； ②当时，直接写出m的取值范围． (3)【问题拓展】 在x轴上是否存在一点P，满足是等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________；不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是__________． ②若在图像上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 地 城 考点04 一次函数及不等式的跨学科应用 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数表达式为． (1)点为平面镜的中点，若光线恰好经过点，求所在直线的表达式； (2)若入射光线与平面镜有公共点，求的取值范围； (3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，直接写出点是整点的个数． 地 城 考点05 一次函数及不等式的新定义综合应用 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； (2)图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； (3)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）请问读下面材料：我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例：关于的一次函数的3分函数为． 根据材料完成下列题目： (1)在平面直角坐标系中直接画出的4分函数图象，并结合图象回答下面问题： ①已知当时，随的增大而增大，则的取值范围为________； ②当时，，则的值为________； ③若与一次函数的图象有且只有一个交点，则的取值范围为________； (2)若点在关于的正比例函数的2分函数图形上，，，连接． ①请求出的值； ②若点为图形上一点，当时，请直接写出点坐标________； (3)若点，，连接，当关于的一次函数的分函数，与线段有两个交点，请直接写出的取值范围________． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小明的探究过程如下： 列表： x … m 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 n 5 … (1)补全表格：_______，_______； (2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线； (3)根据表格及函数图象，探究函数性质： ①当时，_______；当时，_______， ②下列说法正确的个数是_______； （i）变量x是变量y的函数；（ii）x每增加就减小1 （iii）图象经过第一、二象限；（iv）当时，y有最小值； A．1　　B．2    C．3　　D．4 (4)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程有两个实数解，直接写出实数a的取值范围：______． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … (1)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当时，y随x的增大而 ；（填“增大”“减小”或“不变”） (2)若，为该函数图象上不同的两点，则 ； (3)当时，自变量x的取值范围是 ； (4)定义 ，例如， ，则函数的最大值为 ． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）已知点，点，且，若点关于直线的对称点为点，则称为的“线镜像点”． (1)当时，在，，中，“线镜像点”在轴上的点是______； (2)已知点，点若线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上，则的取值范围是______； (3)当时，已知点，点的“线镜像点”分别是点，如图，第一、三象限角平分线下方和轴上方的公共部分构成区域（含边界），若在区域中有且只有个点使得为等腰直角三角形，则的取值范围是______． 6．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $