精品解析：2026年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考一模数学试题

九年级数学阶段性测试 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2.答题前，考生先将自己的“姓名、考号、考场、座位号”书写（填涂）在答题卡正面和背面的规定位置，将“条形码”准确粘贴在条形码区域处． 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此解答 【详解】∵ 的相反数是 2， 故选：C 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项既是轴对称图形也是中心对称图形； B选项是轴对称图形不是中心对称图形； C选项是轴对称图形而不是中心对称图形； D选项不是轴对称图形是中心对称图形； 3. 我国南海某海域探明可燃冰储量约为19400000000立方米，19400000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时小数点移动了多少位，原数绝对值大于等于10时，n是正数，据此求解即可． 【详解】解：∵将19400000000转变为1.94时，小数点向左移动了10位，且， ∴， 即19400000000用科学记数法表示为． 4. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主视图是从前面看到的图形，以此判断即可． 【详解】解：它的主视图是 故选：A． 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘以，解方程，检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得 ，解得 ． 检验，当时，， 故是原方程的解． 故选：A． 6. 将形状、大小完全相同的小圆点“●”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中小圆点的个数为（ ） A. 31 B. 36 C. 41 D. 46 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形规律探索​​，解题的关键是求得前面几个数据，正确找出规律，然后求解．观察前三个图案中小圆点数量的变化，发现每个图案比前一个增加5个点，因此可得出第n个图案的点的数量为，代入即可求解． 【详解】解：通过观察图案，第①个图案中“●”的个数为， 第②个图案中“●”的个数为， 第③个图案中“●”的个数为， …， 所以第n（n为正整数）个图案中“●”的个数为（个）， 因此第⑨个图案中“●”的个数为（个）． 故选：D． 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与x轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，需根据二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴交点、顶点坐标的判定方法逐一分析选项． 【详解】解：∵抛物线的解析式为，其中，， ∵ ∴抛物线开口向上，故选项A错误． ∵对称轴为直线 ∴选项B错误． ∵当时，，即抛物线与轴交点为，而与轴交点需满足，故选项C错误． ∵将解析式配方得 ∴顶点坐标为，故选项D正确． 8. 在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若O到的距离是，O到的距离是，则像的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，确定正确的相似比是解题的关键．先证明，再由题意得出相似比为，最后根据相似三角形的性质及，求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵O到的距离是，O到的距离是， ∴相似比为， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，勾股定理． 根据平行四边形的性质可得，，进而结合已知证明，由等腰三角形的判定和性质得到，，再根据勾股定理求出． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，即， 在中，． 10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为，再分两种情况：①和②，利用面积关系求出与之间的函数关系式，由此即可得． 【详解】解：∵正方形的边长为， ，， ， 由题意可知，点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为， ①当时，， 则； ②当时，， 则； 综上，与之间的函数关系式为， 根据二次函数的图像与性质，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 二、填空题：（每小题3分，共30分） 11. 在函数 中，自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围、分式有意义的条件等知识点，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件列出关系式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式m，再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 中国古乐有“宫、商、角、徵、羽”五个基本音阶．一个音乐转盘被均匀分为这五个区域，随机转动转盘一次，指针落在“商”音或“徵”音区域的概率是_______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查古典概型的概率计算．需先确定总的等可能结果数与符合条件的结果数，再依据概率公式计算求解． 【详解】解：∵转盘被均匀分为5个区域， ∴随机转动转盘一次，共有5种等可能的结果， 其中指针落在“商”音或“徵”音区域的结果有2种， 根据概率公式， 可得所求概率为． 故答案为：． 14. 不等式组的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握求不等式公共解集的方法是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， 则不等式组的解集为：， 故答案为： 15. 已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足的关系式为y＝，则当近视眼镜为200度时，镜片焦距为________． 【答案】0.5m 【解析】 【分析】令y=200，代入反比例函数，求得x的值即可， 【详解】令y = 200, 即：200= 解得：x=0.5， 故200度近视眼镜镜片的焦距为0.5米． 故答案为：0.5m． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，本题已经给出了解析式就使得难度大大降低． 16. 扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，乐乐同学制作了一把扇形纸扇，纸扇完全打开后，，，外侧、的夹角，则扇面示意图中阴影部分面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】用两个扇形面积之差求解即可． 【详解】解：，，， ， ，． ． 17. 定义：一次函数（，，为实数）的“关联数”为．某个正比例函数“关联数”为，则的值为___． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题中新定义得到一次函数表达式，再利用正比例函数的定义，得到常数项为，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，该正比例函数为， ， 解得． 18. 抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 19. 是的内接三角形，连接，若，则的度数为___． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当为锐角三角形时，利用圆周角定理求解；当为钝角三角形时，利用圆内接四边形的性质即可计算出结果． 【详解】解：当为锐角三角形时， ； 当为钝角三角形时，如图中， ； 综上，的度数为或． 20. 如图，四边形是边长为6的菱形，，点O为中点，点E，F分别是，上的点（不与端点重合），且，与交于点P，延长交边于点N，连接，有如下结论：①；②；③四边形是平行四边形；④线段的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是___． 【答案】①③ 【解析】 【分析】证明即可判断①；证明，则，再由，即可判断③；对于②，现有条件不足以证明；先确定四点共圆，则的外接圆圆心在上，在上取的外接圆圆心，连接，则，然后解求出，，再解，求出，则，那么，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，垂直平分， ∴，， ∴四点共圆， ∵垂直平分， ∴的外接圆圆心在上，在上取的外接圆圆心，连接，则， ∵菱形 ∴平分， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点三点共线且点在延长线上时，取得最小值为，故④错误； 对于②，现有条件不足以证明，故②错误， 综上：正确的结论是①③． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分；25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算、特殊角的三角函数值、二次根式，根据分式加减和除法的运算法则，可化简代数式，根据特殊角的三角函数值，可求得的数值． 【详解】 将代入原式，得 原式 22. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，、、三点均在小正方形网格的格点上，点的坐标为． （1）将线段绕点C顺时针旋转得到线段（点与点对应），画出线段，并直接写出经过点D的反比例函数关系式； （2）点在BC上，，连接，点在上，连接，，请仅用无刻度直尺画出、，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】（1）图见解析， （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）由点的坐标为根据网格即可确定点B、C坐标，再根据旋转作图即可得出D，进而求出点D的反比例函数关系式． （2）根据，，可知点坐标为，再作出点关于的对称点，连接交于即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为 由旋转可知：点的坐标为， 设经过点D的反比例函数关系式为，则 即． 【小问2详解】 如图，、为所求． 23. 云扬中学开展了主题为“计算达人”的数学学科节活动，七、八年级各有800名学生参加了知识竞赛，活动结束后，为了解竞赛成绩的分布情况，学校从两个年级各随机抽取部分学生的竞赛成绩（成绩为整数），按A、B、C、D四个评价等级进行整理：A：，B：，C：，D：，得到了不完整的统计图表． 七年级成绩统计表 评价等级 成绩分 频数 频率 A 20 0.4 B 11 C 0.3 D 4 0.08 抽取的八年级测试成绩评价等级为B的全部分数（单位：分）如下： 80，80，80，82，83，84，85，86，87，88，88，88，89． （1）在这次调查中，八年级抽取了多少名学生？ （2）表格中，_______，_______；抽取的七年级学生测试成绩的中位数位于_______评价等级内； （3）若测试成绩不低于80分，则认为该学生为“学科节优秀参与者”，请估计该校八年级为“学科节优秀参与者”的学生有多少人？ 【答案】（1）此次调查八年级随机抽取了50名学生 （2）0.22，15，B （3）估计八年级“学科节优秀参与者”的学生有560人 【解析】 【分析】（1）根据等级为B的人数为13，占比为，用B等级的频数除以占比即可得到八年级抽取人数． （2）根据七年级等级的频数和频率求出总人数（(频率频数总数），用等级的频数除以总人数得到；再利用总人数和等级的频率求出，根据中位数定义确定即可； （3）根据样本的频率估算总体的数量的计算方法；先计算八年级成绩不低于分的百分比，用总人数乘以该频率得到八年级“学科节优秀参与者”． 【小问1详解】 解：． 答：此次调查八年级随机抽取了50名学生． 【小问2详解】 解：七年级随机抽取了（名）学生， 等级为B的频率， 等级的频数； 根据中位数的定义可知，七年级成绩的中位数是从小到大排列的第名学生的成绩的平均数，等级有20名，等级有11名， ∴抽取的七年级学生测试成绩的中位数位于B评价等级内； 【小问3详解】 （人）， 答：估计八年级“学科节优秀参与者”的学生有560人． 24. 定义：两个三角形有一组公共边，并且面积相等，这两个三角形称为共底等积三角形． （1）如图1，是和的公共边，连接交于点，．求证：与是共底等积三角形； （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点、、在格点上，点为的共底等积三角形的顶点，若点在格点上，且点不与点、、重合，请直接写出所有满足要求的线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）所有满足要求的线段的长为，，，7 【解析】 【分析】（1）作两个三角形的公共边的高，证明高相等即可； （2）根据格点的特点作平行线，构造等高三角形即可，再利用勾股定理求出线段长． 【小问1详解】 解：过点作，过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴与是共底等积三角形． 【小问2详解】 解：如图： ，， ，， ． 综上所述所有满足要求的线段的长为，，，7 25. 阿城区亚沟粘豆包是黑龙江省知名特色美食，是省级非物质文化遗产美食．某特产专卖店专营A、B两种包装的亚沟粘豆包，已知：购进3盒A款粘豆包和2盒B款粘豆包，共需成本90元；购进1盒A款粘豆包和5盒B款粘豆包，共需成本95元． （1）求购进A款、B款粘豆包的单价各为多少元？ （2）该店计划本月一次性购进A、B两款粘豆包共100盒进行销售．已知A款每盒售价25元，B款每盒售价22元．设购进A款粘豆包a盒，全部售出后获得的总利润为元． ①求总利润与购进A款数量a之间的函数解析式： ②若店主希望这批粘豆包全部卖完的总利润不低于580元，求该店最多购进A款粘豆包多少盒？ 【答案】（1）A款粘豆包的单价为20元，B款粘豆包的单价为15元 （2）①；②该店最多购进A款粘豆包60盒 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据购进3盒A款粘豆包和2盒B款粘豆包，共需成本90元；购进1盒A款粘豆包和5盒B款粘豆包，共需成本95元，进行列方程组，再解方程组，即可作答． （2）①根据总利润款总利润+B款总利润，结合第(1)问求出的成本价和已知的售价，即可列出总利润与购进A款数量之间的函数解析式； ②根据这批粘豆包全部卖完的总利润不低于580元，进行列不等式，即可作答． 【小问1详解】 解：设A款粘豆包的单价为元，B款粘豆包的单价为元， ， ． 答：A款粘豆包的单价为20元，B款粘豆包的单价为15元． 【小问2详解】 解：①依题意，， ②依题意，， 解得． 答：该店最多购进A款粘豆包60盒． 26. 已知：内接于，交于点D，点E为垂足． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上．延长至，使，过作交的延长线于，交射线于点，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作直径．连接，根据直径所对圆周角等于，可得，再由同弧所对圆周角相等即可得出，根据等角的余角相等即可得出结论； （2）连接，，证明，进而可得，由圆心角相等，所对弦也相等即可得出结论； （3）作交于，利用中点模型构造，得，从而证明、都是等腰直角三角形，得出，再结合，作于，作于，易得，，从而可得，，利用平行线分线段成比例可得，由此可得，作交延长线于W，作于S，可得，，利用角的关系证明，可得，，建立方程求出，，可得直径，由此求出半径 【小问1详解】 证明：作直径．连接， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：连接，， 由（1）可得， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：作交于， ∵， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 由（2）可得． ∴， ∴， ∴ ∴． 作于，作于， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 作交延长线于W，作于S， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 解得：，（舍） ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 作直径，连接， ， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，解三角形等知识．利用中点模型构造全等三角形，转化线段证明、都是等腰直角三角形，得出，再构造解三角形求出是解题关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与坐标轴分别交于、两点，直线与轴交于点，且点与点关于轴对称． （1）求直线的解析式； （2）如图1，点在线段上（点不与、重合），过分别作轴和轴的垂线交轴于点、交直线于点，连接交轴于，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，直线：与直线交于点P，与交于点，点在上，连接、，若，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，，，再运用待定系数法将点A、C的坐标代入即可求得答案； （2）设，进而得出点、，再求出直线解析式为：，由此求出点，根据，即可求得答案； （3）直线：与直线交于点P，可确定点，进而可得，在上截取，连接．构造，四边形为平行四边形，进而证明是等腰直角三角形，设，则，结合，证明，可得，再利用，设，，求出， 利用，求出，可得，进而可得，结合，，即可求出，进一步求出，可得 ，即点、重合，由此求出直线，联立直线解析式求出交点，即可求出． 【小问1详解】 解：∵直线与坐标轴分别交于、两点， ∴，， 又∵点与点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为， ， ， ． 【小问2详解】 解：设，则， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得： ∴直线解析式为：， ∴点， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵直线：与直线交于点P， 当时，， 即点， 由（2）可得， ∴， 在上截取，连接． 又∵， ， ∴， 又∵， ∴，即， 过作交延长线于点，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 设，则， ∴， 又∵， ∴ 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得：， ∴直线，， ， ∴，解得， ∴， ∴，即点是的中点， ∴点在轴上，坐标为 ∴， 联立直线和直线， 得 解得： ∴， 作于， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了运用待定系数法一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和平行四边形转化线段和角的关系，通过设参数求出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段性测试 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2.答题前，考生先将自己的“姓名、考号、考场、座位号”书写（填涂）在答题卡正面和背面的规定位置，将“条形码”准确粘贴在条形码区域处． 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国南海某海域探明可燃冰储量约为19400000000立方米，19400000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 将形状、大小完全相同的小圆点“●”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中小圆点的个数为（ ） A. 31 B. 36 C. 41 D. 46 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与x轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 8. 在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若O到的距离是，O到的距离是，则像的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题3分，共30分） 11. 在函数 中，自变量的取值范围是_______． 12. 因式分解：________． 13. 中国古乐有“宫、商、角、徵、羽”五个基本音阶．一个音乐转盘被均匀分为这五个区域，随机转动转盘一次，指针落在“商”音或“徵”音区域的概率是_______． 14. 不等式组的解集是___________． 15. 已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足的关系式为y＝，则当近视眼镜为200度时，镜片焦距为________． 16. 扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，乐乐同学制作了一把扇形纸扇，纸扇完全打开后，，，外侧、的夹角，则扇面示意图中阴影部分面积为___． 17. 定义：一次函数（，，为实数）的“关联数”为．某个正比例函数“关联数”为，则的值为___． 18. 抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 19. 是的内接三角形，连接，若，则的度数为___． 20. 如图，四边形是边长为6的菱形，，点O为中点，点E，F分别是，上的点（不与端点重合），且，与交于点P，延长交边于点N，连接，有如下结论：①；②；③四边形是平行四边形；④线段的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是___． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分；25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，、、三点均在小正方形网格的格点上，点的坐标为． （1）将线段绕点C顺时针旋转得到线段（点与点对应），画出线段，并直接写出经过点D的反比例函数关系式； （2）点在BC上，，连接，点在上，连接，，请仅用无刻度直尺画出、，保留作图痕迹，不写作法． 23. 云扬中学开展了主题为“计算达人”的数学学科节活动，七、八年级各有800名学生参加了知识竞赛，活动结束后，为了解竞赛成绩的分布情况，学校从两个年级各随机抽取部分学生的竞赛成绩（成绩为整数），按A、B、C、D四个评价等级进行整理：A：，B：，C：，D：，得到了不完整的统计图表． 七年级成绩统计表 评价等级 成绩分 频数 频率 A 20 0.4 B 11 C 0.3 D 4 0.08 抽取的八年级测试成绩评价等级为B的全部分数（单位：分）如下： 80，80，80，82，83，84，85，86，87，88，88，88，89． （1）在这次调查中，八年级抽取了多少名学生？ （2）表格中，_______，_______；抽取的七年级学生测试成绩的中位数位于_______评价等级内； （3）若测试成绩不低于80分，则认为该学生为“学科节优秀参与者”，请估计该校八年级为“学科节优秀参与者”的学生有多少人？ 24. 定义：两个三角形有一组公共边，并且面积相等，这两个三角形称为共底等积三角形． （1）如图1，是和的公共边，连接交于点，．求证：与是共底等积三角形； （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点、、在格点上，点为的共底等积三角形的顶点，若点在格点上，且点不与点、、重合，请直接写出所有满足要求的线段的长． 25. 阿城区亚沟粘豆包是黑龙江省知名特色美食，是省级非物质文化遗产美食．某特产专卖店专营A、B两种包装的亚沟粘豆包，已知：购进3盒A款粘豆包和2盒B款粘豆包，共需成本90元；购进1盒A款粘豆包和5盒B款粘豆包，共需成本95元． （1）求购进A款、B款粘豆包的单价各为多少元？ （2）该店计划本月一次性购进A、B两款粘豆包共100盒进行销售．已知A款每盒售价25元，B款每盒售价22元．设购进A款粘豆包a盒，全部售出后获得的总利润为元． ①求总利润与购进A款数量a之间的函数解析式： ②若店主希望这批粘豆包全部卖完的总利润不低于580元，求该店最多购进A款粘豆包多少盒？ 26. 已知：内接于，交于点D，点E为垂足． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上．延长至，使，过作交的延长线于，交射线于点，若，，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与坐标轴分别交于、两点，直线与轴交于点，且点与点关于轴对称． （1）求直线的解析式； （2）如图1，点在线段上（点不与、重合），过分别作轴和轴的垂线交轴于点、交直线于点，连接交轴于，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，直线：与直线交于点P，与交于点，点在上，连接、，若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $