专题09 旋转综合压轴题5类题型（期中复习专项）八年级数学下学期新教材浙教版

专题09 旋转综合压轴题 题型1 旋转综合压轴题之坐标规律问题（选填压轴） 题型4 旋转综合压轴之角度问题（解答压轴） 题型2 旋转综合压轴之线段关系问题（解答压轴） 题型5 旋转综合压轴之其他问题（解答压轴） 题型3 旋转综合压轴之面积问题（解答压轴） 题型一 旋转综合压轴题之坐标规律问题（共7小题） 1．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图所示，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，绕点A顺时针旋转后得到，按此规律继续旋转，则第2027次旋转结束后，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】先依次求出的坐标，以此发现规律为4次一循环，而第2027次后点B的坐标与重合，即可求解． 【详解】解：对于，当，时，，解得， ∴， ∴第一次旋转后，根据旋转的不变性得，即， 第二次旋转后，即， 第三次旋转后，即， 第四次旋转后与点B重合，， 发现4次一循环，而， ∴第2027次旋转结束后，点与点重合， ∴， 2．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据题意得出点坐标的变化规律，进而得出点的坐标，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 将绕原点O逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 依此规律， ∴每4次循环一周，， …， 总结规律得：横纵坐标的绝对值是， ∵, ∴与在同一象限，即第三象限， ∴点． 3．（2026·甘肃武威·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，……，则三角形⑫的直角顶点的坐标为_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 根据图示，连续作旋转变换，经过三次后，直角顶点坐标为， ∵，， ∴三角形⑫的直角顶点的坐标为 ． 4．（22-23八年级上·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意得出点坐标变化规律． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，, ∴, ∴, 将绕原点O逆时针旋转得到等腰直角三角形，且, ∴, , 依此规律， ∴每4次循环一周，... 总结规律得：横纵坐标的绝对值是， ∵， ∴与在同一象限，即第三象限， ∴点． 5．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正六边形的性质、平面直角坐标系中图形规律问题、全等三角形的判定与性质等知识点，正确分析出点D坐标的规律是解题的关键． 如图：连接，由勾股定理可得，求出，得到的值，进而求得的值，得到点D的坐标，由题意可得8次一个循环，即顶点D的坐标与旋转2次得到的点的坐标相同；如图：连接，将绕O旋转得到，过作轴于G，过D作于H，则，，，易证，再根据全等三角形的性质以及坐标与图形求得的坐标即可解答． 【详解】解：如图，连接， 在正六边形中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转， ∴8次一个循环， ∵， ∴经过第2026次旋转后，顶点D的坐标与旋转2次得到的点的坐标相同， 如图：连接，将绕O旋转得到，过作轴于G，过D作于H，则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，， ，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，， ， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律是解题的关键． 根据旋转的性质可得点的坐标与点的坐标相同，利用已知条件求出即可得解． 【详解】正方形绕点逆时针旋转， ，每旋转次回到原来位置， 余， 点的坐标与点的坐标相同， 已知点，则点，旋转后点，再旋转后点， 点的坐标为． 故答案是． 题型二 旋转综合压轴之线段关系问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 2．（25-26九年级上·吉林白山·期中）如图①，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作： ①折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平； ②将绕点D顺时针方向旋转得到，点E、C的对应点分别是点F、G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 【数学思考】 （1）在绕点D旋转的过程中，如图①，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 （2）如图②，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长； 【问题延伸】 （3）在绕点D旋转的过程中，连接，则的取值范围是________． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，证即可得证； （2）先证，再设未知数，在中利用勾股定理建立方程即可； （3）分别求出和，利用三角形三边关系即可得解． 【详解】（1）解：，证明如下：连接， 由旋转的性质，得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：由旋转的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； （3）解：如图，连接， 在中， ∵，， ∴， 由题意得 当点F在上时，最小，此时； 当点F在的延长线上时，最大，此时 ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【答案】(1)＝，⊥； (2)线段与线段的关系不发生变化．证明见解析； (3)． 【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1），见解析；（2）①，见解析；② 【分析】（1）连接，根据题意得到，，，进而得到'为等边三角形，，根据勾股定理逆定理证明是直角三角形， 且，即可求出； （2）①证明，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接，得到，，，，进而得到，根据勾股定理得到 ，证明，得到，即可得到； ②将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，，即可得到，，，，从而得到为等边三角形，， 根据两点之间线段最短得到 ，即可得到当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为 【详解】解： （1）连接， ∵将绕顶点 A 逆时针旋转60°到， ∴，， ∴'为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 且， ∴， ∴； （2）①． 证明： ∵,， ∴， 如图，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接， 则：，，，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； ②的最小值为 如图，将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，， 则：，，，， ∴为等边三角形，， ∴ ∴ ， ∴当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长， ∵， ∴， ∴的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 5．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，,点D，E分别在边，，连接，，点F是线段中点,连接交于点H． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ______，位置关系是_____； (2)探究证明：把处点C逆时针旋转α．如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由 (3)拓展延伸∶把绕点C旋转，当点D旋转到直线上时，连接，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【答案】(1)， (2)，仍然成立，理由见解析 (3)或 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质图形旋转变化的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的判定与性质构造全等三角形是解题的关键，也是解决此类问题常添加的辅助线． (1)证明，，，则可得出结论； (2) 延长至点G，使，连接，如图，证明，得出，，证明得到，，则可得出结论； (3)分两种情况，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）解：在和中， ， ． ． ∵点F是线段中点，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， 故答案为：，； （2），仍然成立． 理由：延长至点G，使，连接，如图， ∴F是的中点， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ∵将图1中的绕点C逆时针旋转， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 仍然成立． ，， ， ， ． （3）如图，当点E在的延长线上时，延长，使，连接， 由可知，，, ， ， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴； 当点E在线段上时，延长，使,连接， 同理可得出四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； 综上所述，与、之间的数量关系是或． 题型三 旋转综合压轴之面积问题（共6小题） 1．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．    (1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）依题意即可补全图形， 连接，由题意得，即，，推出，由旋转的性质得到，进而得到，易得，根据F为的中点，得到，易证，，推出，即可求解； （2）延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．证明，，即可证明结论． 【详解】（1）解：补全图1，如图，连接， ， ，即， ， ， ， ， ， ， F为的中点， ， ，， ， 同理， ， ， ， ； （2）， 证明：延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．   是的中点， ． ，， ． ． ． ． 在中， ． ，， ． ． ． ， ． ． ． ． 【点睛】本题是一道几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 【答案】(1)7 (2)①，理由见解析；②；③ 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，过点C作于点D，根据，可得，可得，由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）①由旋转的性质得：，从而得到，进而得到，再由，可得，即可解答；②根据勾股定理可得，再由旋转的性质得：，即可求解；③延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，结合旋转的性质可得，，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到当最大时，最大，再由的最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴ ，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； ③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当最大时，最大， 而的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转的问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，在中，，，，，且，将绕一点按逆时针方向旋转到的位置，点，，的对应点分别为，，，其中，，在同一直线上，连接． (1)求的度数； (2)用不同的方法计算梯形的面积，并以此说明，，之间的数量关系； (3)如图2，取的中点，将梯形分别沿直线、翻折，点、同时落在上的点处，若，则是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析，（） (3)是定值， 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，折叠的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质得出，，根据直角三角形中，两锐角互余得出，推得，即可求解； （2）根据旋转的性质得出，，根据两种四边形的面积计算方法，列出等式，即可求解； （3）根据折叠的性质可知：，的面积的面积，的面积的面积，即可得出的面积，根据题意得出，结合（2）的结论得出的面积，即可求解． 【详解】（1）解：由旋转可知：，， 在中，， ∴， 即， ∵， ∴． （2）解：由旋转可知：，，， ∵梯形的面积， 梯形的面积的面积的面积的面积， 故， 整理得或． （3）解：由折叠的性质可知：，的面积的面积，的面积的面积， 又∵的面积的面积的面积， ∴的面积梯形的面积， ∵， ∴， 整理得； 又∵的面积，由（2）可得 即的面积， ∴， 将代入，得． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知：如图1，四边形中，，，． (1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是_______． (2)若，，在（1）的基础上，求四边形的面积． (3)如图3，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，则，，即可判断的形状； （2）由（1）知等边三角形的边长为，过点作于点，结合等腰三角形三线合一性质及勾股定理求出，再求出即可； （3）连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，过点作交于点，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，再求出和的面积和即可． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 即的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）如图，过点作于点， ∵，，， ∴，，， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为； （3）连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，过点作交于点， ∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，腰直角三角形的判定和性质，等积代换思想，类比思想等知识点，构造直角三角形，求出三角形的高是解题的关键． 5．（25-26八年级下·辽宁阜新·期末）已知和都是等腰三角形，．    (1)如图①，当点D在外部，点E在内部时，求证：． (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，点C，D，E在同一直线上，为中边上的高．求的度数；判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，和都是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，连结．当时，在旋转过程中，与的面积和是否存在最大值？若存在，写出计算过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)存在，7 【分析】（1）证明 ，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质得 ，则 ，同 （1） 得 ，则 ， 然后由等腰直角三角形的性质得 ，即可解决问题； （3）根据旋转的过程中 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中， 的边 始终保持不变，即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵， 即 ， 在 和 中， （2），理由如下： ∵ 是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同 （1）得： (SAS)， ∴， ∴， ∵ 是等腰直角三角形， 为 中 边上的高， ∴， ∵， ∴； （3） 与 的面积和存在最大值为7，理由如下： 如图（4）    由旋转可知，在旋转的过程中 的面积始终保持不变 ， ∵ 与 面积的和达到最大， ∴ 面积最大， ∵在旋转的过程中， 始终保持不变， ， ∴ 面积最大时， 点 到 的距离最大， ∴， ∴ 与 面积的和达到的最大值为： 【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性 质以及三角形面积等知识，本题综合性强， 熟练掌握等腰三角形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型 6．（25-26八年级下·广东深圳·期末）【探究发现】 （1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． 【拓展提升】 （3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值．    【答案】（1）选择①或②，见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）选择①，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明；选择②，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明． （2）过点作于，先证明，，三点共线，都在的垂直平分线上，从而得出，，继而得出，则，即可得出结论． （3）延长交于E，由旋转得：，，，从而可得出，，由勾股定理，得，所以，所以当时，此时，再过点A作于D，作线段，交于O，使，从而求出， ，，由勾股定理，得，即可求解． 【详解】（1）选择① 证明：，， ， 又， 选择② 证明：，， ， 又， ．    （2）过点作于，   ，， ，，三点共线，都在的垂直平分线上，， ， ， ， ，即， ， ， ， ． （3）延长交于E，如图，    由旋转得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理，得， ∴， ∵在中，，， ∴当时，此时， 过点A作于D， ∴，， 作线段，交于O，使， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 由勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积．本题属三角形探究题目，综合性较，属中考压轴题．灵活运用等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键． 题型四 旋转综合压轴之角度问题（共5小题） 1．（25-26八年级上·山东威海·期末）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转________度，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，当旋转________度时，所在直线与所在直线垂直？ 【答案】(1)75 (2) (3)或 【分析】本题考查了旋转的性质、角的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据旋转角的定义计算即可； （2）设，分别表示出和，进而求解； （3）分类讨论当在点O的上方和下方时，根据垂直的定义计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，至少旋转的大小， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：由旋转的性质得， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当在点O的上方时，如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在点O的下方时，如图，延长，相交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线垂直． 故答案为：或． 2．（25-26七年级上·河北衡水·月考）【新考向】已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时，如图1，求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，并直接写出的大小； (3)当时， ①若，求的度数； ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点，始终满足．在旋转过程中，若与始终满足为定值，直接写出常数的值． 【答案】(1)， (2)画图见解析， (3)①或；② 【分析】本题考查了旋转，角的和差，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形即可； （3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出的值即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，， ∴， ； （2）解：如图，即为所求； 根据旋转的性质可得， ∴ （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，， ∵， ∴， 解得； 如图，当旋转方向为顺时针方向时，， ， ∴， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵与始终满足为定值， ∴， 解得． 3．（2025·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． (1)如图2，当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的面积的最大值为，旋转角 【分析】（1）利用“”证得，即可得到结论； （2）利用“”证得，推出，进而得出，再结合勾股定理，得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得，，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：根据题意：，，， 在和中， ， ， ，且， ， ， ， ，，， ，， ， ， 是线段的垂直平分线； （3）解： 在中，边的长是定值，则边上的高取最大值时，的面积有最大值， 当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图， ，，，， ，， ，， 的面积的最大值为：， 此时旋转角． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 题型五 旋转综合压轴之其他问题（共6小题） 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）在等腰中，，D是底边BC上一点，动点E在射线BC上，使得． 【探究发现】（1）如图1，当且点E在线段BC上时，猜想线段BD，DE，EC的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】（2）如图2，若且点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，若时，点D，E都在边BC上，，求的面积． 【答案】（1），证明见解析；（2）（1）中的结论成立，证明见解析 （3） 【分析】（1）将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接，可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求解； （2）把绕点逆时针旋转，得到，连接，由（1）可知：，得出，则可得出结论； （3）如图3，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于，由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：． 证明如下： 如图1，将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接， ， ， 在和中， 在中，由勾股定理知：， （2）解：（1）中的结论仍成立． 理由：把绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴，， ∴， ∵， ， 由（1）可知：， （3）解：∵，， ∴， ∴，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于， ， 如图，过A作， 则 的边上的高 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题关键． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、． 观察猜想：（1）如图1，在旋转过程中，与的位置关系为______； 探究发现：（2）如图2，当点、在内且、、三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且、、三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解； （2）由（1）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解； （3）点、、三点共线，分类讨论，根据（1），（2）中的结论即可求解． 【详解】解：． 理由：如图所示，连接，设交于点， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵点为中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在四边形中， ， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：如图所示，连接， 由（1）可知：， ∵、、三点共线 ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （3），，、、三点共线， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ①如图所示，连接， 由（2）可知：， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴（此时，不符合题意，舍去）； ③如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等角对等边，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； (3)【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)仍然成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）①根据旋转的性质得到，由等腰直角三角形的性质，继而得到，即可得解； ②根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可； （2）将绕点旋转顺时针得，与重合，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：和，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵绕点顺时针旋转得到，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②绕点顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）仍然成立． 证明：∵， ∴如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合， ∴，，，， 又∵， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图所示，当时， ∵，， ∴，， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 如图所示，当时， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，则， 由（1）得， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是旋转变换综合题，考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）在中，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)如图，当时，连接、，并延长交于点，则___________； (2)当时，请画出图形并求出的长； (3)在旋转过程中，过点作垂直于直线，垂足为点，连接．当，且线段与线段无公共点时，请猜想四边形的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)菱形，见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形的性质、图形的旋转、三角形全等等，综合性强，难度较大． （1）证明是等边三角形，得到点、在的垂直平分线上．进而求解； （2）依据题意画图如图1，证明，得到，，即可求解； （3）证明，，则四边形为平行四边形，而，则四边形为菱形． 【详解】（1）解：∵绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴点B、E在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∵点F在的延长线上， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，是等边三角形，， ∴，， ∴； （2）依据题意画图如图1，      过点作于点，过点作于点， ，， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 围绕点顺时针方向旋转得到， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 则； （3）如图2所示，   ，， ， 又， ， ， ， ， ，且， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图1，在平面直角坐标系中，第一象限内一点，且，过点作轴交于点，交于点，过点作轴交于点，交于点，已知点点且满足． (1)求点、的坐标； (2)判断由线段，，组成的三角形的形状，并说明理由； (3)①当时，如图2，分别以、为边作等边三角形和，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； ②当时，如图3，求的度数． 【答案】(1)， (2)直角三角形，理由见详解 (3)①数量关系为，位置关系为，理由见详解；② 【分析】（1）由二次根式有意义的条件得，可求得，，即可求解； （2）由等腰三角形的性质得，由平行线的性质得，，由等腰三角形的性质得，同理可求，，由勾股定理得 ，，，分别求出和，即可求解； （3）连接，由等边三角形的性质得，，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理即可求解；②将绕点逆时针旋转得，由旋转的性质得，，，，由勾股定理得，等量代换可证，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 解得：， ， ，； （2）解： ，， ， ， 轴，轴， ，， ，， ， ， 同理可求：，， ， ，， ， ， ， 同理可求：，， ， ， 线段，，组成的三角形为直角三角形； （3）解：和的数量关系为，位置关系为； 理由如下： ①如图，连接， 和是等边三角形， ，， 在和中 ， （）， ； ， ， ， ， 是直角三角形， ， ； 故和的数量关系为，位置关系为； ②如图， ， 可将绕点逆时针旋转得， ，，，， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ， ， ， ， 故的度数为． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，旋转的性质等，掌握相关的判定方法及性质，“半角”模型的解法，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形，通过旋转构建直角三角形是解题的关键． 6．（25-26八年级下·广东广州·期中）（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 【答案】（1），，证明见解析；（2），，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据等腰三角形性质证，得，，延长交于点F，由垂直定义得． （2）根据等腰三角形性质证，，，由垂直定义得，； （3）作，使得，则易证，，当P、E、B共线时，最小，最小值；当P、E、B共线时，最大，最大值，故，即可求解． 【详解】（1）结论：，． 证明：如图1中， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， 在和中 ∴， ∴，， 延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∴，； （2）结论：，． 证明：如图2中，设交于H，交于O． ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． （3）如图3，作，使得，由（1）（2）可得， ∴， 图4中，当P、E、B共线时，最小，最小值， 图5中，当P、E、B共线时，最大，最大值， ∴， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 旋转综合压轴题 题型1 旋转综合压轴题之坐标规律问题（选填压轴） 题型4 旋转综合压轴之角度问题（解答压轴） 题型2 旋转综合压轴之线段关系问题（解答压轴） 题型5 旋转综合压轴之其他问题（解答压轴） 题型3 旋转综合压轴之面积问题（解答压轴） 题型一 旋转综合压轴题之坐标规律问题（共7小题） 1．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图所示，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，绕点A顺时针旋转后得到，按此规律继续旋转，则第2027次旋转结束后，点的坐标为_____． 2．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是__________． 3．（2026·甘肃武威·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，……，则三角形⑫的直角顶点的坐标为_____． 4．（22-23八年级上·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 5．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点的坐标为___________． 6．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 7．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________． 题型二 旋转综合压轴之线段关系问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 2．（25-26九年级上·吉林白山·期中）如图①，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作： ①折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平； ②将绕点D顺时针方向旋转得到，点E、C的对应点分别是点F、G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 【数学思考】 （1）在绕点D旋转的过程中，如图①，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 （2）如图②，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长； 【问题延伸】 （3）在绕点D旋转的过程中，连接，则的取值范围是________． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 4．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 5．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，,点D，E分别在边，，连接，，点F是线段中点,连接交于点H． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ______，位置关系是_____； (2)探究证明：把处点C逆时针旋转α．如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由 (3)拓展延伸∶把绕点C旋转，当点D旋转到直线上时，连接，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 题型三 旋转综合压轴之面积问题（共6小题） 1．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．    (1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，在中，，，，，且，将绕一点按逆时针方向旋转到的位置，点，，的对应点分别为，，，其中，，在同一直线上，连接． (1)求的度数； (2)用不同的方法计算梯形的面积，并以此说明，，之间的数量关系； (3)如图2，取的中点，将梯形分别沿直线、翻折，点、同时落在上的点处，若，则是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知：如图1，四边形中，，，． (1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是_______． (2)若，，在（1）的基础上，求四边形的面积． (3)如图3，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_______． 5．（25-26八年级下·辽宁阜新·期末）已知和都是等腰三角形，．    (1)如图①，当点D在外部，点E在内部时，求证：． (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，点C，D，E在同一直线上，为中边上的高．求的度数；判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，和都是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，连结．当时，在旋转过程中，与的面积和是否存在最大值？若存在，写出计算过程；若不存在，请说明理由． 6．（25-26八年级下·广东深圳·期末）【探究发现】 （1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． 【拓展提升】 （3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值．    题型四 旋转综合压轴之角度问题（共5小题） 1．（25-26八年级上·山东威海·期末）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转________度，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，当旋转________度时，所在直线与所在直线垂直？ 2．（25-26七年级上·河北衡水·月考）【新考向】已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时，如图1，求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，并直接写出的大小； (3)当时， ①若，求的度数； ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点，始终满足．在旋转过程中，若与始终满足为定值，直接写出常数的值． 3．（2025·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 4．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． (1)如图2，当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 题型五 旋转综合压轴之其他问题（共6小题） 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）在等腰中，，D是底边BC上一点，动点E在射线BC上，使得． 【探究发现】（1）如图1，当且点E在线段BC上时，猜想线段BD，DE，EC的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】（2）如图2，若且点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，若时，点D，E都在边BC上，，求的面积． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、． 观察猜想：（1）如图1，在旋转过程中，与的位置关系为______； 探究发现：（2）如图2，当点、在内且、、三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且、、三点共线时，直接写出的长． 3．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； (3)【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）在中，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)如图，当时，连接、，并延长交于点，则___________； (2)当时，请画出图形并求出的长； (3)在旋转过程中，过点作垂直于直线，垂足为点，连接．当，且线段与线段无公共点时，请猜想四边形的形状并说明理由． 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图1，在平面直角坐标系中，第一象限内一点，且，过点作轴交于点，交于点，过点作轴交于点，交于点，已知点点且满足． (1)求点、的坐标； (2)判断由线段，，组成的三角形的形状，并说明理由； (3)①当时，如图2，分别以、为边作等边三角形和，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； ②当时，如图3，求的度数． 6．（25-26八年级下·广东广州·期中）（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $