第23章 专题12 一次丽数与几何图形的综合探究问题[单元整合]（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦一次函数与特殊三角形、四边形的综合探究，通过典型例题导入，先复习待定系数法求解析式，再结合图形性质（如等腰三角形分类、平行四边形中点公式）搭建学习支架，衔接代数与几何知识脉络。 其亮点在于融入“K型全等”模型迁移应用，通过分类讨论（如等腰三角形H点四解、平行四边形D点三情况）培养数学思维中的推理能力，用坐标和解析式表达关系体现数学语言的模型意识。方法总结提炼解题步骤，助力学生形成结构化思维，提升综合应用能力，也为教师提供系统教学资源。

2026春季学期 《学练优》·八年级数学下·RJ 第二十三章　一次函数 专题12　一次丽数与几何图形的综合探究问题[单元整合] 类型一　一次函数与特殊三角形综合 1. (2025·枣庄山亭区期中)已知：如图，直线AB与 x轴交于点C，与y轴交于点D(0，2)，平面内有一 点E(3，1)，直线BE与x轴交于点F. 直线AB的解 析式记作y1＝kx＋b，直线BE的解析式记作y2＝ mx＋t，直线AB与直线BE相交于点B(2，3). (1)求△BCF的面积； 2 3 4 1 解：(1)将B(2，3)，D(0，2) 代入直线AB的解析式中， 得 解得 解：(1)将B(2，3)，D(0，2) 代入直线AB的解析式中， 得 解得 ∴直线AB的解析式为y1＝ x＋2. 将点B(2，3)，E(3，1)代入直线BE的解析式中， 得 解得 2 3 4 1 令y2＝0，则有－2x＋7＝0，解得x＝ ，即点F的 坐标为(，0). ∴CF＝ －(－4)＝ . ∴S△BCF＝ × ×3＝ . 令y2＝0，则有－2x＋7＝0，解得x＝ ，即点F的 坐标为(，0). ∴CF＝ －(－4)＝ . ∴S△BCF＝ × ×3＝ . ∴直线BE的解析式为y2＝－2x＋7. 令y1＝0，则有0＝ x＋2，解得x＝－4，即点C的 坐标为(－4，0)； 2 3 4 1 1. (2025·枣庄山亭区期中)已知：如图，直线AB与 x轴交于点C，与y轴交于点D(0，2)，平面内有一 点E(3，1)，直线BE与x轴交于点F. 直线AB的解 析式记作y1＝kx＋b，直线BE的解析式记作y2＝ mx＋t，直线AB与直线BE相交于点B(2，3). (2)当x 时，kx＋ b＞mx＋t； ＞2　 2 3 4 1 (3)在x轴上有一动点H，使得△OBH为等腰三角 形，请直接写出点H的坐标. 解：(3)点H的坐标为(－ ，0)或(，0)或(4， 0)或(，0). 解：(3)点H的坐标为(－ ，0) 或(，0)或(4， 0)或(，0). 1. (2025·枣庄山亭区期中)已知：如图，直线AB与 x轴交于点C，与y轴交于点D(0，2)，平面内有一 点E(3，1)，直线BE与x轴交于点F. 直线AB的解 析式记作y1＝kx＋b，直线BE的解析式记作y2＝ mx＋t，直线AB与直线BE相交于点B(2，3). 2 3 4 1 　　由点的坐标求出三角形的三边长，再根据腰不 同分类讨论.坐标轴上的动点也要注意根据点的不同 位置分类讨论. 方法总结 2 3 4 1 2. 综合与探索 [探索发现]如图①，等腰直角三角形ABC中， ∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥l于点 D，过点B作BE⊥l于点E，易得 △ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“K型全 等”(不需要证明). 2 3 4 1 [迁移应用]如图②，在直角坐标系中，直线l1：y＝ 2x＋4分别与y轴、x轴交于点A，B. (1)直接写出OA＝ ，OB＝ ⁠； 4　 2　 (2)在第二象限构造等腰直角三角形 ABE，使得∠BAE＝90°，则点 E的坐标为 ⁠； (－4，6)　 2 3 4 1 (3)如图③，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到直 线l2，求l2的函数解析式. 解：如图③，过点B作BC⊥l2于点C，过点A作 AD⊥y轴，过点C作CN⊥x轴，CN的反向延长线 与AD交于点D. 易证△ACD≌△CBN. ∴CN＝AD，CD＝BN. 设CD＝x，则BN＝x，AD＝2＋x， 2 3 4 1 ∴CN＝2＋x. ∴2＋x＋x＝4，解得x＝1. ∴C(－3，3).设直线AC的解析式为y＝kx＋b， 则 解得 ∴l2的函数解析式为y＝ x＋4. 则 解得 ∴l2的函数解析式为y＝ x＋4. 2 3 4 1 辅助设问 构造K型全等，图③中过点B作辅助线 ⁠ ，得△ 是等腰直角三角形. BC⊥l2于 点C　 ABC　 2 3 4 1 类型二　一次函数与特殊四边形综合 3. (2025·兰州期末)在平面直角坐标系中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2.若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图①为点P，Q的“相关矩形”示意图.若点P(1，0)，点Q(m，5). (1)当m＝3时，在图②中画出点P，Q的“相关矩形”，并求出它的周长. 解：(1)当m＝3时，Q(3，5)，点P，Q的“相关矩 形”PDQE如图②所示. ∵四边形PDQE是矩形， ∴PE＝DQ＝5，PD＝EQ＝2. ∴矩形PDQE的周长＝2×(5＋2)＝14. 2 3 4 1 解：(1)当m＝3时，Q(3，5)，点P，Q的“相关矩 形”PDQE如图②所示. ∵四边形PDQE是矩形， ∴PE＝DQ＝5，PD＝EQ＝2. ∴矩形PDQE的周长＝2×(5＋2)＝14. 2 3 4 1 3. (2025·兰州期末)在平面直角坐标系中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2.若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图①为点P，Q的“相关矩形”示意图.若点P(1，0)，点Q(m，5). (2)若点P，Q的“相关矩形”为正方形，求m的值. 解：(1)当m＝3时，Q(3，5)，点P，Q的“相关矩 形”PDQE如图②所示. ∵四边形PDQE是矩形， ∴PE＝DQ＝5，PD＝EQ＝2. ∴矩形PDQE的周长＝2×(5＋2)＝14. 解：(2)由题意得｜m－1｜＝5. ∴m＝6或－4. 2 3 4 1 3. (2025·兰州期末)在平面直角坐标系中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2.若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图①为点P，Q的“相关矩形”示意图.若点P(1，0)，点Q(m，5). (3)已知一次函数y＝－2x＋4的图象交x轴 于点A，交y轴于点B，若在线段AB上存 在一点C，使得点C，Q的“相关矩形”是 正方形，直接写出m的取值范围. 解：(1)当m＝3时，Q(3，5)，点P，Q的“相关矩 形”PDQE如图②所示. ∵四边形PDQE是矩形， ∴PE＝DQ＝5，PD＝EQ＝2. ∴矩形PDQE的周长＝2×(5＋2)＝14. 解：(3)－3≤m≤－1或1≤m≤7. 2 3 4 1 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋3与过点A(3，0)的直线l2交于点C(1，a)，与x轴交于点B. (1)求直线l2的解析式； 解：(1)把(1，a)代入y＝x＋3，得a＝4， ∴C(1，4). 设直线l2的解析式为y＝kx＋b， 把C(1，4)，A(3，0)代入得 解得 ∴直线l2的解析式为y＝－2x＋6. 2 3 4 1 (2)若在平面上存在点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标. 解：(2)设D(m，n)，而A(3，0)，B(－3，0)， C(1，4)，以点A，B，C，D为顶点的四边形是平 行四边形，分三种情况： ①以AB，CD为对角线，则AB的中点与CD的中点 重合， 解：(2)设D(m，n)，而A(3，0)，B(－3，0)， C(1，4)，以点A，B，C，D为顶点的四 边形是平行四边形，分三种情况： ①以AB，CD为对角线，则AB的中点与CD 的中点重合， 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋3与过点A(3，0)的直线l2交于点C(1，a)，与x轴交于点B. 2 3 4 1 ∴ 解得 ∴D(－1，－4). ∴ 解得 ∴D(－1，－4). 2 3 4 1 ②以AC，BD为对角线，同理可得 解得 ∴D(7，4). ②以AC，BD为对角线，同理可得 解得 ∴D(7，4). 2 3 4 1 ③以AD，BC为对角线，同理可得 解得 ∴D(－5，4). 综上所述，以点A，B，C，D为顶点的四边形是 平行四边形时，点D的坐标为(－1，－4)或(7，4)或 (－5，4). ③以AD，BC为对角线，同理可得 解得 ∴D(－5，4). 综上所述，以点A，B，C， D为顶点的四边形是平行四 边形时，点D的坐标为(－1，－4) 或(7，4)或(－5，4). 2 3 4 1 方法总结 若AB为平行四边形的对角线，则利用中点坐标公 式可得 2 3 4 1 $