第21章 专题6 特殊四边形中的折叠问题[单元整合]（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦八年级下册第二十一章“四边形”专题，核心内容为特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的折叠问题，通过“折叠即轴对称变换”的方法点拨，衔接四边形性质与轴对称知识，搭建从性质应用到折叠问题解决的学习支架。 其亮点在于整合四类特殊四边形折叠题型，融入中考真题与分类讨论思想，如矩形折叠求折痕长、正方形折叠用勾股定理列方程等实例，培养学生几何直观与推理能力，帮助学生用数学语言表达解题过程，既提升学生探究能力，也为教师提供系统教学资源。

2026春季学期 《学练优》·八年级数学下·RJ 第二十一章　四边形 专题6　特殊四边形中的折叠问题[单元整合] 方法点拨 　　折叠问题可以看作是轴对称变换，即折叠部分 在折叠前后的图形关于折痕所在的直线对称，由此 可以得到对应边、角之间的关系. 类型一　平行四边形的折叠 1. 如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落 在点E处，DE交BC于点F. 若∠ABD＝48°， ∠CFD＝40°，则∠E的度数为(　B　) A. 102° B. 112° C. 122° D. 92° 第1题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 2. 如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A 落在长边CD上的点A'处，并得到折痕DE，小宇测 得长边CD＝8，则四边形A'EBC的周长为 ⁠. 第2题图 16　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 3. (2025·甘肃中考)如图，把平行四边形纸片ABCD 沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，B'C与AD相 交于点E，此时△CDE恰为等边三角形.若AB＝ 6cm，则AD＝ cm. 12　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 4. 分类讨论思想 (2025·三门峡期中)如图，在 ▱ABCD中，AB＝4 ，BC＝10，∠A＝45°， 点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠， 得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与 ▱ABCD的一边垂直时，求DM的长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 解：当BF⊥AD时，如图①， ∴∠AMB＝90°. ∵∠A＝45°， ∴∠ABM＝45°＝∠A. ∵AB＝4 ， ∴AM＝BM＝4 × ＝4. ∵BC＝AD＝10， 解：当BF⊥AD时，如图①， ∴∠AMB＝90°. ∵∠A＝45°， ∴∠ABM＝45°＝∠A. ∵AB＝4 ， ∴AM＝BM＝4 × ＝4. ∵BC＝AD＝10， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 ∴DM＝AD－AM＝10－4＝6.当BF⊥AB时，如 图②， ∴∠ABF＝90°. ∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB， ∴∠ABE＝∠FBE＝45°. ∵∠A＝45°， ∴∠AEB＝90°.此时F与点M重合. ∵AB＝BF＝4 ， ∴AF＝4 × ＝8. ∴DM＝10－8＝2.综上，可得DM的长为2或6. ∴DM＝AD－AM＝10－4＝6.当BF⊥AB时，如图②， ∴∠ABF＝90°. ∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB， ∴∠ABE＝∠FBE＝45°. ∵∠A＝45°， ∴∠AEB＝90°.此时F与点M重合. ∵AB＝BF＝4 ， ∴AF＝4 × ＝8. ∴DM＝10－8＝2.综上，可得DM的长为2或6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 类型二　矩形的折叠 5. (2025·河北中考)如图，将矩形ABCD沿对角线 BD折叠，点A落在A'处，A'D交BC于点E. 将 △CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C'处.下列 结论一定正确的是(　D　) A. ∠1＝45°－α B. ∠1＝α C. ∠2＝90°－α D. ∠2＝2α 第5题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 6. 如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8， 0)，AB＝ OA，把矩形OABC沿OB折叠，点C落 在点D处，BD交OA于点E，则点E的坐标 为 ⁠. 第6题图 (5，0)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 7. 如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点， ∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连 接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，则DF 的长为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 8. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若AB＝4，BC＝2AB，求： (1)AF的长； 解：(1)∵AB＝4，BC＝2AB， ∴BC＝8.由折叠的性质可知AF＝FC，设AF＝x， 则BF＝BC－FC＝8－x.在Rt△ABF中， 根据勾股定理，得AB2＋BF2＝AF2， 即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5. ∴AF＝5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)折痕EF的长. 解：(2)如图，过点F作FH⊥AD于点H，则四边 形ABFH是矩形. ∴AH＝BF＝8－5＝3. ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠CFE. 又由折叠的性质可知∠AFE＝∠CFE， ∴∠AFE＝∠AEF. 解：(2)如图，过点F作FH⊥AD于点H，则四边 形ABFH是矩形. ∴AH＝BF＝8－5＝3. ∵AD∥BC， 8. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若AB＝4，BC＝2AB，求： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 ∴AE＝AF＝5. ∴HE＝AE－AH＝5－3＝2. 在Rt△EFH中，根据勾股定理得EF＝ ＝ ＝2 . ∴AE＝AF＝5. ∴HE＝AE－AH＝5－3＝2. 在Rt△EFH中，根据勾股定理得 EF＝ ＝ ＝2 . ∴∠AEF＝∠CFE. 又由折叠的性质可知∠AFE＝∠CFE， ∴∠AFE＝∠AEF. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 类型三　菱形的折叠 9. 如图，将菱形ABCD的边AD以直线AN为对称轴 翻折至AM，使点C恰好落在AM上.若此时CM＝ CN，则∠D的度数为(　D　) A. 30° B. 54° C. 45° D. 36° D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 10. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱 形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不 与点B，D重合)，折痕为EF. 若DG＝2，BG＝ 6，求BE的长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 解：如图，过点E作EH⊥BD于点H， 由折叠的性质可知EG＝EA，由题意得BD＝DG ＋BG＝8. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝60°. ∴△ABD为等边三角形. ∴AB＝BD＝8.设BE＝x，则EG＝AE＝8－x. 在Rt△EHB中，∠HEB＝90°－∠EBH＝30°， 解：如图，过点E作EH⊥BD于点H， 由折叠的性质可知EG＝EA，由题意得BD＝DG ＋BG＝8. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝60°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 ∴BH＝ BE＝ x.由勾股定理得EH＝ x. 在Rt△EHG中，EG2＝EH2＋GH2， 即(8－x)2＝( x)2＋(6－ x)2， ∴BH＝ BE＝ x.由勾股定理得EH＝ x. 在Rt△EHG中，EG2＝EH2＋GH2， 即(8－x)2＝( x)2＋(6－ x)2， ∴△ABD为等边三角形. ∴AB＝BD＝8.设BE＝x，则EG＝AE＝8－x. 在Rt△EHB中，∠HEB＝90°－∠EBH＝30°， 解得x＝2.8，即BE＝2.8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 类型四　正方形的折叠 11. 如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中 点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点 为点F，延长EF交线段DC于点P. 若AB＝6，则 DP的长度为 ⁠. 2　 第11题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕 是DM，点C落在点E处，分别延长ME，DE交 AB于点F，G. 若点M是BC边的中点，则AF长 为 cm. 　 变式题图 条件变式 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 12. (2025·内江中考)如图，在平面直角坐标系中， 正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1， 0)，点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠，点D落 在点F处.若点F的坐标为(0，3)，则点E的坐标 为 ⁠. (－1.5，5)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 13. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折 叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH. 若BE∶EC＝2∶1，求线段CH的长. 解：设CH＝x，则DH＝EH＝9－x. ∵BE∶EC＝2∶1，BC＝9， ∴CE＝ BC＝3. ∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2， 即(9－x)2＝32＋x2.解得x＝4， 即CH＝4. 解：设CH＝x，则DH＝EH＝9－x. ∵BE∶EC＝2∶1，BC＝9， ∴CE＝ BC＝3. ∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2， 即(9－x)2＝32＋x2.解得x＝4， 即CH＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 $