§8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦空间点、直线、平面的位置关系，引导学生理解异面直线定义，掌握线线、线面、面面位置关系的符号与图形表示，通过知识递进构建立体几何基础框架，为后续学习提供支架。 资料以典型例题为载体，涵盖概念判断、位置判定及图形画法等题型，结合方法归纳提炼判断逻辑与模型，助力学生发展直观想象和逻辑推理能力，提升用数学语言表达空间关系的素养，适合课堂教学与自主学习。

数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 §8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系【导学】 【导学目标】 1.了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义； 2.了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示； 3.了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示。 【导学重点】1.空间两直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系 【导学难点】直观想象、逻辑推理 【知识要点】 1．空间中直线与直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线； ②画法：(通常用平面衬托) (2)空间两条直线的位置关系 2．空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 3．空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 典型例题 题型一 概念判断 【例1-1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)异面直线没有公共点．(　　) (2)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　) (3)两条异面直线一定在两个不同的平面内．(　　) (4)分别在两个平面内的直线一定是异面直线．(　　) (5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．(　　) (6)若直线l与平面α不相交，则直线l与平面α平行．(　　) (7)如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b.(　　) (8)如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.　(　　) (9)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．(　　) (10)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．(　　) 【例1-2】异面直线是指(　　) A． 空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线 【例1-3】若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　) A． α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交 【例1-4】若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则(　　) A．a∥c　　　　　　　　　 B．a，c是异面直线 C．a，c相交 D．a，c平行或相交或异面 题型二 空间两直线位置关系的判定 【例2-1】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是 ； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是 ； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是 ； ④直线AB与直线B1C的位置关系是 . 【例2-2】已知异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是(　　) A． c与a，b都相交 B．c与a，b都不相交 C．c至多与a，b中的一条相交 D．c至少与a，b中的一条相交 【例2-3】如图，点G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是________． 【例2-4】(多选)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则(　　) A．GH＝2EF B．GH≠2EF C．直线EF，GH是异面直线 D．直线EF，GH是相交直线 【例2-5】若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交 题型三 直线与平面的位置关系 【例3-1】下列命题： ①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α； ③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α； ④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数为(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 【例3-2】如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面(　　) A．只有一个 B．恰有两个 C．没有或只有一个 D．有无数个 【例3-3】下列命题正确的个数为(　　) ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α； ②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点． A．0 B．1 C．2 D．3 题型四 平面与平面的位置关系 【例4-1】下列说法中正确的个数是(　　) ①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线； ②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线； ④如果α∥β，a∥α，那么a∥β. A．0 B．1 C．2 D．3 【例4-2】已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 【方法归纳】 (1)平面与平面的位置关系的判断方法 ①平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点； ②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点． (2)常见的平面和平面平行的模型 ①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行； ②长方体的六个面中，三组相对面平行．　 题型五 点、线、面位置关系图形的画法 【例5-1】如图所示，G是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线． (1)过点G及AC. (2)过三点E，F，D1. 【例5-2】按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平面的交线． 【例5-3】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是(　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【方法归纳】 直线与平面位置关系的图形的画法 (1)画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外． (2)画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感． (3)画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．　 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 §8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系【导学】【解析】 【导学目标】 1.了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义； 2.了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示； 3.了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示。 【导学重点】1.空间两直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系 【导学难点】直观想象、逻辑推理 【知识要点】 1．空间中直线与直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线； ②画法：(通常用平面衬托) (2)空间两条直线的位置关系 2．空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 3．空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 典型例题 题型一 概念判断 【例1-1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)异面直线没有公共点．(　　) (2)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　) (3)两条异面直线一定在两个不同的平面内．(　　) (4)分别在两个平面内的直线一定是异面直线．(　　) (5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．(　　) (6)若直线l与平面α不相交，则直线l与平面α平行．(　　) (7)如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b.(　　) (8)如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.　(　　) (9)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．(　　) (10)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．(　　) 【答案】(1)√；(2)×；(3)√；(4)×；(5)×；(6)×；(7)×；(8)×;(9)×;(10)×. 【例1-2】异面直线是指(　　) A． 空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线 【答案】D 【例1-3】若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　) A． α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交 【解析】选项 A：因为平面α内过l与α交点的直线，会与l相交，不是异面。 平面α内的所有直线与l异面错误； 选项 B：假设α内存在一条直线m∥l，根据线面平行的判定定理，l就会平行于α， 这与已知条件矛盾，所以α内不存在与l平行的直线。 α内不存在与l平行的直线正确； 选项 C：理由同选项 B，平面α内不存在与l平行的直线。 α内存在唯一的直线与l平行错误； 选项 D：平面α内不经过l与α交点的直线，会与l异面，不相交。 α内的直线与l都相交错误. 【答案】B 【例1-4】若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则(　　) A．a∥c　　　　　　　　　 B．a，c是异面直线 C．a，c相交 D．a，c平行或相交或异面 【答案】D 题型二 空间两直线位置关系的判定 【例2-1】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是 ； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是 ； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是 ； ④直线AB与直线B1C的位置关系是 . 【答案】①平行；②异面；③相交；④异面. 【例2-2】已知异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是(　　) A． c与a，b都相交 B．c与a，b都不相交 C．c至多与a，b中的一条相交 D．c至少与a，b中的一条相交 【解析】 假设c与a、b都不相交： 因为a⊂α，c⊂α，且c与a不相交，所以a∥c； 同理，b⊂β，c⊂β，且c与b不相交，所以b∥c； 根据平行公理，若a∥c且b∥c，则a∥b，这与 “a、b是异面直线” 矛盾。 因此，假设不成立，即c至少与a、b中的一条相交。 【答案】D 【例2-3】如图，点G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是________． 【答案】②④ 【解析】 图①：因为G、H、M、N的位置关系，直线GH和MN是平行的，不是异面直线； 图②：直线GH和MN既不平行，也不相交，满足异面直线的定义，是异面直线； 图③：直线GH和MN会相交，不是异面直线； 图④：直线GH和MN既不平行，也不相交，满足异面直线的定义，是异面直线； 【例2-4】(多选)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则(　　) A．GH＝2EF B．GH≠2EF C．直线EF，GH是异面直线 D．直线EF，GH是相交直线 【答案】BD 【例2-5】若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交 【答案】D 【解析】如图①②③所示，a，b的关系分别是平行、异面、相交． 题型三 直线与平面的位置关系 【例3-1】下列命题： ①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α； ③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α； ④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数为(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】命题①：直线l平行于平面α内的无数条直线，l可能在平面α内，不一定有l∥α. 结论：假命题; 命题②：直线a在平面α外，包含两种情况：a∥α或a与α相交，不一定有a∥α. 结论：假命题; 命题③：若a∥b，b⊂α，则a可能在平面α内，不一定有a∥α. 结论：假命题; 命题④：若a∥b，b⊂α，则平面α内所有与b平行的直线都与a平行， 所以a平行于平面α内的无数条直线. 结论：真命题. 【例3-2】如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面(　　) A．只有一个 B．恰有两个 C．没有或只有一个 D．有无数个 【答案】C 【例3-3】下列命题正确的个数为(　　) ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α； ②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点． A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】命题①：若直线l上有无数个点不在平面α内，l可能与平面α相交（此时只有一个交点，其余点都不在平面内），不一定有l∥α。 结论：假命题; 命题②：如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条可能在这个平面内，不一定与平面平行。 结论：假命题; 命题③：若直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点，所以l与平面α内的任意一条直线都没有公共点。 结论：真命题. 【答案】B 题型四 平面与平面的位置关系 【例4-1】下列说法中正确的个数是(　　) ①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线； ②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线； ④如果α∥β，a∥α，那么a∥β. A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】①平面α与平面β、γ相交，若三个平面交于同一条直线，则只有1条交线； 若两两相交且交线不重合，则有 3 条交线。所以“2 条或 3 条”的说法错误。 ②如果a∥b，a可能在经过b的平面内，不一定平行于该平面。说法错误。 ③直线a不平行于平面α，则a可能在平面α内，此时a与平面α内的无数条直线平行。说法错误。 ④如果a∥b，a∥α，则b可能在平面α内，不一定平行于α。说法错误。 综上，4 个说法全错，正确的个数为0。 【答案】A 【例4-2】已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 【答案】C 【方法归纳】 (1)平面与平面的位置关系的判断方法 ①平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点； ②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点． (2)常见的平面和平面平行的模型 ①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行； ②长方体的六个面中，三组相对面平行．　 题型五 点、线、面位置关系图形的画法 【例5-1】如图所示，G是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线． (1)过点G及AC. (2)过三点E，F，D1. 【答案】略 【例5-2】按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平面的交线． 【答案】略 【例5-3】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是(　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【方法归纳】 直线与平面位置关系的图形的画法 (1)画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外． (2)画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感． (3)画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．　 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $