8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 （导学案） 数学人教A版必修第二册

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 导学案 1. 借助长方体模型，直观认识空间中点与直线、点与平面的位置关系，能准确描述并举例说明。 2. 理解空间中直线与直线的三种位置关系（相交、平行、异面），重点掌握异面直线的定义与判定方法。 3. 掌握空间中直线与平面、平面与平面的位置关系，能熟练运用图形语言和符号语言表示各类位置关系。 4. 通过观察、探究、推理等活动，提升空间想象能力和逻辑推理素养，体会立体几何的研究方法。 教学重点： 1.空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系； 2.异面直线的定义与识别； 3.各类位置关系的图形语言和符号语言表示。 教学难点： 1.异面直线的理解与判定； 2. 直线与平面、平面与平面位置关系的图形绘制与符号规范； 3. 空间思维的建立与运用。 知识点一　空间中直线与直线的位置关系 1．空间两条直线的位置关系有且只有三种 2．异面直线的画法 知识点二　空间中直线与平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交 ＝A 直线与平面平行 知识点三　空间中平面与平面的位置关系 1．位置关系：有且只有两种： (1)两个平面平行—— ； (2)两个平面相交—— ． 2．符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为 ． 3．图示：两个平面α，β平行，如图①所示；两个平面α，β相交于直线l，如图②所示． 导入新知1：“家具组装中的空间奥秘” 生活中平板家具组装场景里，衣柜、书桌的木板、金属杆，对应着立体几何中的平面和直线。组装衣柜时，背板与侧板的贴合情况、竖杆与横杆的连接差异、固定螺丝与底板平面的摆放方式，都藏着空间中点、直线、平面的位置关系。我们初中只研究过平面内直线的平行、相交关系，而衣柜中不相交也不平行的杆件，其关系需进一步探索，本节课将由此探究空间中点、直线、平面之间的多样位置关系。 1. 衣柜的背板和侧板所在的平面，它们的公共部分是什么形状？两者的位置关系有什么特点？ 2. 衣柜的竖杆和横杆，有的能稳稳连接在一起，有的却完全不相交，它们的位置关系有什么不同？ 3. 用来固定衣柜的长螺丝所在的直线，和衣柜的底板所在平面，可能有几种摆放方式？ 导入新知2：“校园路线规划大挑战” 以学生熟悉的校园环境为背景，从教学楼教室前往操场篮球场的路线中，蕴含着丰富的“线”和“面”相关的空间知识。教室地面与操场地面、林荫道路灯杆、教室窗户伸出的拖把杆，各自对应着平面与平面、直线与直线、直线与平面的位置关系。初中所学的平面几何知识已无法完全解释这些现象，本节课将结合校园路线场景，系统学习空间中点、直线、平面之间的位置关系，学会用数学语言描述和判断生活中的空间现象。 1. 教室的地面和操场的地面，它们是完全分开还是有连接部分？若两个地面无限延伸，会有公共点吗？ 2. 林荫道两旁的路灯杆所在的直线没有交点，这和我们数学里说的“平行”是一回事吗？ 3. 从教室窗户伸出的拖把杆，它所在的直线与教学楼的墙面所在平面，可能存在几种不同的位置关系？ （一）情景导入 教室的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在 的直线, 它们既不相交, 也不共面, 即它们不在同一个平面 内; 又如天安门广场上, 旗杆所在的直线与长安街所在的 直线, 它们既不相交, 也不共面, 即它们不在同一个平面 内; 再如在课桌面内立起一支铅笔, 铅笔所在的直线与课 桌的前后两侧所在的直线, 它们既不相交, 也不共面, 即它 们不在同一个平面内. 师生互动: 教师引导学生观察以上实例, 学生从直观上得到一些答案, 两条直线除了平行、相交 (共面直线)之 外还有一种既不平行也不相交 (异面直线) 情况, 从而引导 学生从平面的任意两条直线的位置关系到空间的任意两 条直线位置关系的过渡. 与学生共同在研究生活中的问题 的兴趣中引出本节课的课题. 前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等．空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？ 长方体是我们熟悉的空间几何图形，下面我们借助长方体进一步研究空间中点、直线、平面之间的位置关系． 观察： 我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面．12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面．观察如图8.4-11所示的长方体，你有发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 阅读课本128-131页，思考并完成以下问题 1、什么是异面直线？ 2、空间两条直线的位置关系？ 3、直线与平面的位置关系？ 4、平面与平面的位置关系？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 （二）探究新知 探究点1：空间中点与直线、点与平面的位置关系 1. 空间中点与直线、点与平面的位置关系. 观察如图所示的长方体 ,你能发现这 些顶点与棱所在直线、顶点与面 所在平面的位置关系吗? 师生互动: 教师引导学生观 察长方体 ,学 生观察, 讨论交流得出空间中点与直线的位置关系有两 种: (1) 点在直线上; (2) 点在直线外. 空间中点与平面的位 置关系也有两种: (1) 点在平面内; (2) 点在平面外. 观察你所在的教室，你能找到上述位置关系的一些实例吗？你能再举出一些表示这些位置关系的其他实例吗？空间中点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外．如图8.4-11中，点在直线上，在直线外．空间中点平面的位置关系也有两种：点在平面内和点在平面外．如图8.4-11中，点在平面内，在平面外． 下面我们研究空间中直线、平面之间的位置关系． 探究点2：空间中直线与直线的位置关系 1．空间中直线与直线的位置关系 在图8.4-11中，直线与在同一个平面内，它们没有公共点，它们是平行直线；直线与也在同一个平面内，它们只有一个公共点，它们是相交直线；直线与不同在任何一个平面内． 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew lines）．于是，空间两条直线的位置关系有三种： 这样，空间中两条直线平行和我们学过的平面上两条直线平行的意义是一致的，即首先这两条直线在同一平面内，其次是它们不相交．如果直线，为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图8.4-12所示． 探究点3：空间中直线与平面的位置关系 2．空间中直线与平面的位置关系 问题 1:一支笔所在的直线与一本作业本所在的平面, 可能有几种位置关系? 问题 2: 如图,直线 与长方体 的 六个面所在的平面有几种位置关系? (1) 空间中直线与平面的位置关系有且只有三种: (1) 直线在平面内一一有无数个公共点; (2) 直线与平面相交一一有且只有一个公共点; (3) 直线与平面平行一一没有公共点. 当直线与平面相交或平行时, 直线不在平面内, 也称 为直线在平面外. (2) 直线与平面的三种位置关系画法和符号表示: (1) 直线 在平面 内的符号语言是 ; 图形语言是 (2) 直线 与平面 相交的符号语言是 ; 图形 语言是 (3) 直线 与平面 平行的符号语言是: . 图形语言是 在图8.4-11中，直线与平面有无数个公共点；直线与平面只有一个公共点；直线与平面没有公共点．再结合生活实例，我们可以看出，直线与平面的位置关系有且只有三种： （1）直线在平面内——有无数个公共点； （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点； （3）直线与平面平行——没有公共点． 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外． 图8.4-13表示了直线与平面的三种位置关系． 特别说明：当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，统称为“直线在平面外”。 图形语言与符号语言： 位置关系 图形表示 符号表示 直线在平面内 （直线画在平面平行四边形内） 直线与平面相交 （直线与平面有一个公共点，延伸部分画在平面外） 直线与平面平行 （直线与平面无公共点，两端画在平面外） 一般地，直线在平面内，应把直线画在表示平面的平行四边形内；直线在平面外，应把直线 或它的一部分画在表示平面的平行四边形外． 直线与平面相交于点，记作；直线与平面平行，记作． 探究点4：空间中平面与平面的位置关系 3．空间中平面与平面的位置关系 在图8.4-11中，平面与平面没有公共点；平面与平面有一条公共直线．再结合生活实例，我们可以看出，两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线． 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（图8.4-14）． 平面与平面平行，记作． 图形语言与符号语言： 位置关系 图形表示 符号表示 平面与平面平行 （两个平行四边形对应边平行） 平面与平面相交 （两个平行四边形有一条公共边） 探究： 如图8.4-15，在长方体中，连接，，请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子，并用符号表示这些位置关系． 与其他同学交流一下你的结果． 例1 如图8.4-16，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系． 把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上． A． B．    C． D． （1），： ； （2），且： ； （3），： ； （4），，，： ． 直线与平面位置关系的解题思路 解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细致的分析. 例2 如图8.4-17，，，，．直线与具有怎样的位置关系？为什么？ 例2告诉我们一种判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． 【变式】a，b是异面直线，P为空间中不在a，b上的一点，下列命题正确的个数为（    ） ①过点P总可以作一条直线和a，b都垂直； ②过点P总可以作一条直线和a，b都相交； ③过点Р总可以作一个平面和a，b都平行； ④过点Р总可以作一条直线与a，b之一垂直与另一条平行； ⑤过点Р总可以作一个平面与a，b之一垂直与另一条平行． A．0 B．1 C．2 D．3    1.（2026·湖南永州·二模）已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（25-26高二上·云南文山·期末）设l，m为两条不同直线，为三个不同平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.（25-26高二上·云南昆明·期末）已知平面，直线，下列命题为真的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4.（2025高三上·江苏·学业考试）已知a，b是两条不同的直线，且平面，则“”是“平面”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5.（24-25高一下·天津·期末）已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 6.（2025·河南·模拟预测）已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面，于是可得到（   ） A．若，则. B．若a，b是一对异面直线，且，则. C．若，则. D．若，则. 7.（2025·云南·一模）设为两条不同直线，为三个不同平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 8.（25-26高二上·北京海淀·月考）已知两条不重合的直线与两个不重合的平面，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9.（25-26高三上·河北沧州·期中）已知为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10.（25-26高二上·吉林长春·期末）在直三棱柱中，侧棱长为3，底面是边长为4的正三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 1.（2026·陕西西安·一模）设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（     ） A．若，∥，∥，则 B．若⊂，⊂，∥，则∥ C．若，∥，∥，则∥ D．若，，∥，则 2.（25-26高二上·辽宁·期末）在正三棱台中，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①；（2）；（3）；（4）.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（24-25高一下·广东东莞·期中）已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 1.知识清单： （1）空间中点与直线、点与平面的位置关系（2种/类）； （2）空间中直线与直线的位置关系（相交、平行、异面）及判定； （3）空间中直线与平面的位置关系（在平面内、相交、平行）及符号表示； （4）空间中平面与平面的位置关系（平行、相交）及符号表示。 2.方法归纳： （1）借助长方体、教室等直观模型辅助理解空间位置关系； （2）通过“公共点个数” “是否共面”判断线线、线面、面面位置关系； （3）规范使用图形语言和符号语言，准确表达空间关系； （4）举反例是判断命题真假的常用方法。 3.常见误区： （1）混淆异面直线与平行直线（忽略“是否共面”这一本质区别）； （2）直线与平面平行时，误认为与平面内所有直线平行（可能异面）； （3）图形绘制不规范（如直线在平面外的部分未画出，平面平行时对应边不平行）； （4）符号表示错误（如将“a⊂α”写成“a∈α”，混淆点与直线、直线与平面的关系符号）。 教材第 131 页练习第 2,4 题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 导学案 1. 借助长方体模型，直观认识空间中点与直线、点与平面的位置关系，能准确描述并举例说明。 2. 理解空间中直线与直线的三种位置关系（相交、平行、异面），重点掌握异面直线的定义与判定方法。 3. 掌握空间中直线与平面、平面与平面的位置关系，能熟练运用图形语言和符号语言表示各类位置关系。 4. 通过观察、探究、推理等活动，提升空间想象能力和逻辑推理素养，体会立体几何的研究方法。 教学重点： 1.空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系； 2.异面直线的定义与识别； 3.各类位置关系的图形语言和符号语言表示。 教学难点： 1.异面直线的理解与判定； 2. 直线与平面、平面与平面位置关系的图形绘制与符号规范； 3. 空间思维的建立与运用。 知识点一　空间中直线与直线的位置关系 1．空间两条直线的位置关系有且只有三种 2．异面直线的画法 知识点二　空间中直线与平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 直线在平面内 无数个 a⊂α 直线在平面外 直线与平面相交 1个 a∩α＝A 直线与平面平行 0个 a∥α 知识点三　空间中平面与平面的位置关系 1．位置关系：有且只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． 2．符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为α∩β＝l． 3．图示：两个平面α，β平行，如图①所示；两个平面α，β相交于直线l，如图②所示． 导入新知1：“家具组装中的空间奥秘” 生活中平板家具组装场景里，衣柜、书桌的木板、金属杆，对应着立体几何中的平面和直线。组装衣柜时，背板与侧板的贴合情况、竖杆与横杆的连接差异、固定螺丝与底板平面的摆放方式，都藏着空间中点、直线、平面的位置关系。我们初中只研究过平面内直线的平行、相交关系，而衣柜中不相交也不平行的杆件，其关系需进一步探索，本节课将由此探究空间中点、直线、平面之间的多样位置关系。 1. 衣柜的背板和侧板所在的平面，它们的公共部分是什么形状？两者的位置关系有什么特点？ 2. 衣柜的竖杆和横杆，有的能稳稳连接在一起，有的却完全不相交，它们的位置关系有什么不同？ 3. 用来固定衣柜的长螺丝所在的直线，和衣柜的底板所在平面，可能有几种摆放方式？ 设计意图 1. 贴近生活实际：平板家具是学生熟悉的生活物品，组装过程中的空间关系直观可感，能快速拉近数学与生活的距离，消除学生对立体几何的陌生感。 2. 紧扣核心内容：通过提问自然引出平面与平面、直线与直线、直线与平面的位置关系，精准呼应本节课的核心知识点，实现“以生活实例统领整节课内容”的目标。 3. 激发求知欲：通过“不相交也不平行的杆件关系”制造认知冲突，打破学生对“直线只有平行和相交两种关系”的平面思维定式，让学生产生“想知道这种关系是什么”的探究欲望，为后续异面直线等概念的学习埋下伏笔。 导入新知2：“校园路线规划大挑战” 以学生熟悉的校园环境为背景，从教学楼教室前往操场篮球场的路线中，蕴含着丰富的“线”和“面”相关的空间知识。教室地面与操场地面、林荫道路灯杆、教室窗户伸出的拖把杆，各自对应着平面与平面、直线与直线、直线与平面的位置关系。初中所学的平面几何知识已无法完全解释这些现象，本节课将结合校园路线场景，系统学习空间中点、直线、平面之间的位置关系，学会用数学语言描述和判断生活中的空间现象。 1. 教室的地面和操场的地面，它们是完全分开还是有连接部分？若两个地面无限延伸，会有公共点吗？ 2. 林荫道两旁的路灯杆所在的直线没有交点，这和我们数学里说的“平行”是一回事吗？ 3. 从教室窗户伸出的拖把杆，它所在的直线与教学楼的墙面所在平面，可能存在几种不同的位置关系？ 设计意图 1. 场景熟悉易代入：校园是学生日常活动的场所，地图中的标志性场景能让学生快速进入情境，主动参与思考，降低抽象概念的理解门槛。 2. 统领课程核心：通过校园中的平面与平面、直线与直线、直线与平面的关系提问，全面覆盖本节课的三大核心探究内容，让学生在一开始就明确本节课的学习主线。 3. 激发探究兴趣：以“路线规划中的空间问题”为切入点，将抽象的数学知识与学生的实际活动相结合，让学生感受到立体几何的实用性；同时通过“路灯杆是否为平行” “拖把杆与墙面有几种位置”等疑问，激发学生的好奇心和求知欲，促使学生主动跟随课堂节奏探索答案。 （一）情景导入 教室的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在 的直线, 它们既不相交, 也不共面, 即它们不在同一个平面 内; 又如天安门广场上, 旗杆所在的直线与长安街所在的 直线, 它们既不相交, 也不共面, 即它们不在同一个平面 内; 再如在课桌面内立起一支铅笔, 铅笔所在的直线与课 桌的前后两侧所在的直线, 它们既不相交, 也不共面, 即它 们不在同一个平面内. 师生互动: 教师引导学生观察以上实例, 学生从直观上得到一些答案, 两条直线除了平行、相交 (共面直线)之 外还有一种既不平行也不相交 (异面直线) 情况, 从而引导 学生从平面的任意两条直线的位置关系到空间的任意两 条直线位置关系的过渡. 与学生共同在研究生活中的问题 的兴趣中引出本节课的课题. 设计意图: 从现实生活入手, 在复习已学知识的过程 中, 引发学生的认知冲突, 激起学生的求知欲. 前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等．空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？ 长方体是我们熟悉的空间几何图形，下面我们借助长方体进一步研究空间中点、直线、平面之间的位置关系． 观察： 我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面．12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面．观察如图8.4-11所示的长方体，你有发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 阅读课本128-131页，思考并完成以下问题 1、什么是异面直线？ 2、空间两条直线的位置关系？ 3、直线与平面的位置关系？ 4、平面与平面的位置关系？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 （二）探究新知 探究点1：空间中点与直线、点与平面的位置关系 1. 空间中点与直线、点与平面的位置关系. 观察如图所示的长方体 ,你能发现这 些顶点与棱所在直线、顶点与面 所在平面的位置关系吗? 师生互动: 教师引导学生观 察长方体 ,学 生观察, 讨论交流得出空间中点与直线的位置关系有两 种: (1) 点在直线上; (2) 点在直线外. 空间中点与平面的位 置关系也有两种: (1) 点在平面内; (2) 点在平面外. 设计意图: 培养学生的观察能力和发现能力. 观察你所在的教室，你能找到上述位置关系的一些实例吗？你能再举出一些表示这些位置关系的其他实例吗？空间中点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外．如图8.4-11中，点在直线上，在直线外．空间中点平面的位置关系也有两种：点在平面内和点在平面外．如图8.4-11中，点在平面内，在平面外． 下面我们研究空间中直线、平面之间的位置关系． 探究点2：空间中直线与直线的位置关系 1．空间中直线与直线的位置关系 在图8.4-11中，直线与在同一个平面内，它们没有公共点，它们是平行直线；直线与也在同一个平面内，它们只有一个公共点，它们是相交直线；直线与不同在任何一个平面内． 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew lines）．于是，空间两条直线的位置关系有三种： 这样，空间中两条直线平行和我们学过的平面上两条直线平行的意义是一致的，即首先这两条直线在同一平面内，其次是它们不相交．如果直线，为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图8.4-12所示． 探究点3：空间中直线与平面的位置关系 2．空间中直线与平面的位置关系 问题 1:一支笔所在的直线与一本作业本所在的平面, 可能有几种位置关系? 问题 2: 如图,直线 与长方体 的 六个面所在的平面有几种位置关系? 师生互动: 教师引导学生动手操作, 学生动手操作并 观察笔所在直线和作业本所在平面的位置关系; 教师展示 长方体模型,引导学生观察直线 与各面的位置关系, 学生观察并思考空间中直线与平面的位置关系; 教师进一 步提出问题: 空间中直线与平面的位置关系有哪些? (1) 空间中直线与平面的位置关系有且只有三种: (1) 直线在平面内一一有无数个公共点; (2) 直线与平面相交一一有且只有一个公共点; (3) 直线与平面平行一一没有公共点. 当直线与平面相交或平行时, 直线不在平面内, 也称 为直线在平面外. (2) 直线与平面的三种位置关系画法和符号表示: (1) 直线 在平面 内的符号语言是 ; 图形语言是 (2) 直线 与平面 相交的符号语言是 ; 图形 语言是 (3) 直线 与平面 平行的符号语言是: . 图形语言是 在图8.4-11中，直线与平面有无数个公共点；直线与平面只有一个公共点；直线与平面没有公共点．再结合生活实例，我们可以看出，直线与平面的位置关系有且只有三种： （1）直线在平面内——有无数个公共点； （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点； （3）直线与平面平行——没有公共点． 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外． 图8.4-13表示了直线与平面的三种位置关系． 师生互动：教师引导学生通过实物操作和模型观察，总结直线与平面的位置关系取决于直线与平面的公共点个数： 1. 直线在平面内：有无数个公共点（直线上所有点都在平面内）； 2. 直线与平面相交：有且只有一个公共点； 3. 直线与平面平行：没有公共点。 特别说明：当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，统称为“直线在平面外”。 图形语言与符号语言： 位置关系 图形表示 符号表示 直线在平面内 （直线画在平面平行四边形内） 直线与平面相交 （直线与平面有一个公共点，延伸部分画在平面外） 直线与平面平行 （直线与平面无公共点，两端画在平面外） 一般地，直线在平面内，应把直线画在表示平面的平行四边形内；直线在平面外，应把直线 或它的一部分画在表示平面的平行四边形外． 直线与平面相交于点，记作；直线与平面平行，记作． 设计意图: 通过探究空间中直线与平面的位置关系. 培养学生的知识迁移能力、空间想象能力, 提升学生直观 想象素养. 探究点4：空间中平面与平面的位置关系 3．空间中平面与平面的位置关系 在图8.4-11中，平面与平面没有公共点；平面与平面有一条公共直线．再结合生活实例，我们可以看出，两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线． 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（图8.4-14）． 平面与平面平行，记作． 师生互动：教师引导学生观察平面与平面的公共部分，得出： 1. 平面与平面平行：没有公共点； 1. 平面与平面相交：有一条公共直线（所有公共点都在这条直线上）。 图形语言与符号语言： 位置关系 图形表示 符号表示 平面与平面平行 （两个平行四边形对应边平行） 平面与平面相交 （两个平行四边形有一条公共边） 探究： 如图8.4-15，在长方体中，连接，，请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子，并用符号表示这些位置关系． 与其他同学交流一下你的结果． 例1 如图8.4-16，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系． 分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来． 解：在（1）中，，，． 在（2）中，，，，，，． 把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上． A． B．    C． D． （1），： ； （2），且： ； （3），： ； （4），，，： ． 【答案】 C D A B 【知识点】判断图形中的线面关系、判断图形中的面面关系 【分析】根据空间中点线面的几何表示即可逐一求解. 【详解】略 直线与平面位置关系的解题思路 解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细致的分析. 例2 如图8.4-17，，，，．直线与具有怎样的位置关系？为什么？ 解：直线与是异面直线．理由如下． 若直线与不是异面直线，则它们相交或平行．设它们确定的平面为，则，．由于经过点与直线有且只有一个平面，因此平面与重合，从而，进而，这与矛盾．所以直线与是异面直线． 例2告诉我们一种判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． 【变式】a，b是异面直线，P为空间中不在a，b上的一点，下列命题正确的个数为（    ） ①过点P总可以作一条直线和a，b都垂直； ②过点P总可以作一条直线和a，b都相交； ③过点Р总可以作一个平面和a，b都平行； ④过点Р总可以作一条直线与a，b之一垂直与另一条平行； ⑤过点Р总可以作一个平面与a，b之一垂直与另一条平行． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】异面直线的概念及辨析、线面关系有关命题的判断 【分析】根据异面直线的定义以及直线与平面平行或垂直的位置关系，逐一进行判断即可. 【详解】对①：由于是异面直线，将其平移到过点的直线，则相交于点，所以确定平面，而过点有且只有一条直线与垂直，则①正确； 对②：当点Р与直线所确定的平面与平行时，不满足，则②错误； 对③：当点Р与直线所确定的平面与平行时，不满足，则③错误； 对④：异面直线所成角不是时，过点不可以作一条直线与之一垂直与另一条平行，则④错误； 对⑤：异面直线所成角不是时，过点不可以作一个平面与之一垂直与另一条平行，则⑤错误； 故选：B 判断空间两条直线位置关系的诀窍 (1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线． (2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．    1.（2026·湖南永州·二模）已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】判断命题的必要不充分条件、线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、既不充分也不必要条件 【分析】根据线线、线面和面面的基本关系即可下结论. 【详解】如图，， 若，则与相交或异面，不一定垂直； 若，则不一定成立.    所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 2.（25-26高二上·云南文山·期末）设l，m为两条不同直线，为三个不同平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断即可求解. 【详解】对于A，与可能相交（如墙角的三个平面），故A错误； 对于B，应推出，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则或， 又因为，则，故D正确.    故选：D 3.（25-26高二上·云南昆明·期末）已知平面，直线，下列命题为真的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】举反例判断A，C，D，利用面面平行与面面垂直的性质判断B即可. 【详解】对于A，若，则或与相交或，故A错误， 对于B，若，由面面平行与面面垂直的性质得，故B正确， 对于C，若，则或相交或异面，故C错误， 对于D，若，则或相交，故D错误. 故选：B 4.（2025高三上·江苏·学业考试）已知a，b是两条不同的直线，且平面，则“”是“平面”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、线面关系有关命题的判断 【分析】根据线面垂直的性质和判定进行判断即可. 【详解】因为平面，，所以平面，所以“”是“平面”的充分条件； 由于平面，平面，所以， 所以综上，“”是“平面”的充要条件. 故选：C. 5.（24-25高一下·天津·期末）已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】利用空间线面的位置关系逐个判断即可. 【详解】因为，，所以，A正确； 若，，则或，B不正确； 因为，，，所以， 因为，，，根据线面平行的性质定理，所以，又，所以，C正确； 因为，，所以，D正确. 故选：B 6.（2025·河南·模拟预测）已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面，于是可得到（   ） A．若，则. B．若a，b是一对异面直线，且，则. C．若，则. D．若，则. 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中直线与直线，直线与平面的位置关系结合选项逐个判断即可. 【详解】对于A，若，则直线a，b的关系可以平行，相交或异面，A不正确； 对于B，在空间中取一点，不在平面内，过作直线， 因为是异面直线，所以是相交直线，设它们所确定的平面为， 由可得；同理； 又, ，所以；同理可得，故，B正确； 对于C， ，若，此时与不垂直，C不正确； 对于D，，则也可能与平行，D不正确. 故选：B 7.（2025·云南·一模）设为两条不同直线，为三个不同平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据题意，由空间中的线面关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，与可能相交（如墙角的三个平面）； 对于B，因为，所以在内存在直线使得，由得，故； 对于C，应推出； 对于D，由且，由面面垂直的判定定理， 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直， 这里缺少这个条件，所以不能得出，故D错误； 故选：B． 8.（25-26高二上·北京海淀·月考）已知两条不重合的直线与两个不重合的平面，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据线面关系，面面关系，线面垂直的性质，线面平行的判定，逐一判断每个选项即可. 【详解】A选项，若，的位置关系不确定，可能，还可能，或相交但不垂直，A选项错误； B选项，若，垂直于同一条直线的两平面平行，即，B选项正确； C选项，根据线面垂直的性质可知，，C选项正确； D选项，若，根据线面平行的判定可知，，D选项正确. 故选：A 9.（25-26高三上·河北沧州·期中）已知为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】由线在面内时的反例可排除ABD，由面面垂直的性质作辅助线可证明C正确. 【详解】A选项，当时，不成立，故A错误； B选项，当时，可以符合，而不符合，故B错误； C选项，设，； 在内过上一点P作直线，则，故； 再作直线，则，故； 由于与相交于，，故C正确； D选项，当时，不成立，故D错误； 故选：C. 10.（25-26高二上·吉林长春·期末）在直三棱柱中，侧棱长为3，底面是边长为4的正三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】如图，取中点分别为，连接，由题可得为异面直线与所成角或所成角补角，然后由题意及余弦定理可得答案. 【详解】如图，取中点分别为，连接. 则，从而为异面直线与所成角或所成角补角. 由题目数据，可得. 取中点为，连接，则. 从而，又异面直线夹角范围为. 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D    1.（2026·陕西西安·一模）设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（     ） A．若，∥，∥，则 B．若⊂，⊂，∥，则∥ C．若，∥，∥，则∥ D．若，，∥，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】利用反例可判断A,B,D选项，根据线面平行的性质和判定定理可判断C选项. 【详解】如图，正方体中，记底面为平面，侧面为平面，为，为， 显然满足，∥，∥，但是此时，A不正确； 如图，满足⊂，⊂，∥，但是此时，B不正确； 因为，所以存在平面，使得，根据线面平行的性质定理可得， 所以，又因为，根据线面平行的判定定理可得， 而，所以，又因为，所以，C正确； 因为，，所以，因为，所以，D不正确. 故选：C. 2.（25-26高二上·辽宁·期末）在正三棱台中，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接EC，，取EC中点P，连接，PA，可得即为异面直线EF，所成角（或其补角），然后根据已知条件在中求解即可. 【详解】如图所示，连接EC，，取EC的中点P，连接，PA， 在正三棱台中，设，则， 由E，F分别是AB，的中点，得，且， 四边形是平行四边形，，则即为异面直线EF，所成角（或其补角）， 在等腰梯形中，EF为梯形的高，过作于，则， ，，，， 即，，在中，． 因此，所以异面直线EF，所成角的余弦值为. 故选：D 3.（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①；（2）；（3）；（4）.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】证明异面直线垂直、求异面直线所成的角 【分析】画出正方体，由正方体的性质可得. 【详解】原正方体如图所示，由正方体的性质可知相交，， 则，则四边形为平行四边形，则； 因为等边三角形，则， 又空间内两条直线的夹角范围为，则直线与所成的角为； 因且，则， 则①③错误，②④正确. 故选：B. 4.（24-25高一下·广东东莞·期中）已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 【答案】C 【知识点】判断图形中的线面关系 【分析】以正方体为载体，取，，分别取面和为平面，即可判断结果. 【详解】 在正方体中，取，， 当取面为平面时， 所以满足，，此时； 当取面为平面时， 所以满足，，此时， 所以与平面的关系是或. 故选：. 1.知识清单： （1）空间中点与直线、点与平面的位置关系（2种/类）； （2）空间中直线与直线的位置关系（相交、平行、异面）及判定； （3）空间中直线与平面的位置关系（在平面内、相交、平行）及符号表示； （4）空间中平面与平面的位置关系（平行、相交）及符号表示。 2.方法归纳： （1）借助长方体、教室等直观模型辅助理解空间位置关系； （2）通过“公共点个数” “是否共面”判断线线、线面、面面位置关系； （3）规范使用图形语言和符号语言，准确表达空间关系； （4）举反例是判断命题真假的常用方法。 3.常见误区： （1）混淆异面直线与平行直线（忽略“是否共面”这一本质区别）； （2）直线与平面平行时，误认为与平面内所有直线平行（可能异面）； （3）图形绘制不规范（如直线在平面外的部分未画出，平面平行时对应边不平行）； （4）符号表示错误（如将“a⊂α”写成“a∈α”，混淆点与直线、直线与平面的关系符号）。 教材第 131 页练习第 2,4 题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $