专题02 二次根式（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材青岛版

专题02 二次根式 二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 （a≥0）的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号。 2.二次根式满足条件： （1）必须含有二次根号； （2）被开方数必须是非负数. 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为非负数，即有意义⇔a≥0； ②二次根式无意义：被开方数为负数，即无意义a<0. 4.二次根式的性质 ①二次根式（）的非负性 ②二次根式的性质：（） ③二次根式的性质： 最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式的概念： （1）被开方数不含分母， （2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：=（a≥0；b≥0）（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ①=（a≥0；b≥0；c≥0） ②a c=ac（b≥0；d≥0），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：=（a≥0；b≥0）（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：=（a≥0；b≥0；c≥0；d≥0） 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。 二次根式有意义的条件3 【例1】（25-26八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则的取值范围是________． 【变式1】（25-26九年级上·山东威海·月考）使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·期末）若二次根式有意义，x的值可以是 _____________ （写出一个值即可）． 最简二次根式的判断 【例2】（25-26八年级上·山东东营·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列各式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东菏泽·月考）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 同类二次根式 【例3】（25-26八年级上·山东济南·期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·月考）如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，那么_____． 【变式2】（24-25九年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值是______． 二次根式的混合运算 【例4】（25-26八年级上·山东济南·期末）计算：． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期末）计算： (1) (2) 分母有理化 【例5】（25-26八年级上·山东青岛·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)__________________． (2)（为正整数）=_________________． (3)化简：________________． (4)化简下列式子的值： 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， ， 即， ， ， 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)_____，_____； (2)化简：； (3)若，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 材料二：学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想．它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求．我们可以把和分别看作是一个整体，令，则．这样，我们不用求出a，b就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若m是正整数，，，则： ① ， （用含m的代数式表示）； ②若，求m的值： (3)若，则的值是 ． 复合二次根式的化简 【例6】（24-25八年级下·山东泰安·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【变式1】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【变式2】（24-25八年级下·山东济宁·期中）【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 已知字母的值，化简求值 【例7】（24-25八年级下·北京·期中）当时，代数式______． 【变式1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）若，则代数式的值为 _____． 【变式2】（24-25八年级下·山东德州·月考）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 已知条件式，化简求值 【例8】（24-25八年级上·全国·期末）已知，则代数式的值为________． 【变式1】（23-24八年级下·山东滨州·月考）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值． 比较二次根式的大小 【例9】（25-26八年级上·山东济南·期末）比较大小： ______ （填 、或） 【变式1】（25-26八年级上·山东菏泽·月考）比较大小：_____．（填“＞”“＜”或“=”） 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知：，求证： 【变式3】（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 混淆二次根式的定义条件 易错表现：误认为只要含有二次根号就是二次根式，忽略“被开方数是非负数”的条件；或遗漏“必须含有二次根号”的要求。 易错归因：对二次根式的两个满足条件记忆不完整，只关注单一条件，未理解两个条件缺一不可，对概念的本质理解不透彻。 忽视二次根式的非负性 易错表现：在计算或化简中，忽略√a（a≥0）的非负性，出现如√(x-2) + √(2-x) 化简时，未先判断x的取值范围就盲目计算。 易错归因：对二次根式的非负性重视不足，未理解“被开方数非负”是二次根式有意义的前提，也是性质应用的基础。 同类二次根式判断与合并出错 易错表现：未将二次根式化成最简形式就判断是否为同类二次根式；合并同类二次根式时，误将被开方数相加，或改变根指数。 易错归因：对同类二次根式的概念理解不透彻，忘记“化简后被开方数相同”的核心；合并方法记忆混淆，未掌握“根号外因数相加，根指数和被开方数不变”的规则。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式 二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 （a≥0）的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号。 2.二次根式满足条件： （1）必须含有二次根号； （2）被开方数必须是非负数. 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为非负数，即有意义⇔a≥0； ②二次根式无意义：被开方数为负数，即无意义a<0. 4.二次根式的性质 ①二次根式（）的非负性 ②二次根式的性质：（） ③二次根式的性质： 最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式的概念： （1）被开方数不含分母， （2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：=（a≥0；b≥0）（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ①=（a≥0；b≥0；c≥0） ②a c=ac（b≥0；d≥0），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：=（a≥0；b≥0）（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：=（a≥0；b≥0；c≥0；d≥0） 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。 二次根式有意义的条件3 【例1】（25-26八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【解答】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·山东威海·月考）使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的分母不能为零以及二次根式的被开方数的非负性是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【解答】解：由题意可得：，解得：． 故选B． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·期末）若二次根式有意义，x的值可以是 _____________ （写出一个值即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数非负列出不等式，然后求解即可． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴的值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 最简二次根式的判断 【例2】（25-26八年级上·山东东营·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式需满足的两个条件：被开方数不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母． 根据最简二次根式的定义，逐一分析每个选项是否满足“被开方数无开得尽方的因数．无分母”这两个条件，从而确定最简二次根式． 【解答】解：A．，不是最简二次根式； B．，不是最简二次根式； D．，不是最简二次根式； C．，被开方数5为质数，无平方因数，且无分母，故为最简二次根式． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列各式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解： A、，为整数，不是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、 ，被开方数在分母上，不是最简二次根式； D、是最简二次根式． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东菏泽·月考）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的识别，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式），逐一判断各二次根式是否符合条件． 【解答】①：被开方数3不含分母，且3是质数，无法再分解出平方因数，故为最简二次根式； ②：被开方数含分母4，可化简为，故不是最简二次根式； ③ ：被开方数9是，可开方为3，故不是最简二次根式； ④ ：即，被开方数含分母2，化简为，故不是最简二次根式； ⑤ ：被开方数是质数，无法再分解出平方因数，故为最简二次根式； 综上，最简二次根式有①和⑤，共2个， 故选：B． 同类二次根式 【例3】（25-26八年级上·山东济南·期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 【解答】解：A. ，与是同类二次根式，故选项符合题意； B. 为最简二次根式，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； C. ，化简后为整数，故与不是同类二次根式，故选项不符合题意； D. 为最简二次根式，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·月考）如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，那么_____． 【答案】1 【分析】本题考查同类二次根式的定义，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此解答即可． 【解答】解：∵最简二次根式 与 最简二次根式 是同类二次根式， ∴被开方数相等， 即 ， 解得 ． 故答案为：1． 【变式2】（24-25九年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值是______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二根式的性质、同类二次根式、最简二次根式、解一元一次方程等知识点，掌握同类二次根式定义是解题的关键． 先把化简为，然后再根据最简二次根式与二次根式能够合并，由同类二次根式的定义可得，然后解一元一次方程即可解答． 【解答】解：， 最简二次根式与二次根式能够合并， ∴最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ，解得：. 故答案为：4． 二次根式的混合运算 【例4】（25-26八年级上·山东济南·期末）计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的化简与混合运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．本题可先对原式中的二次根式进行化简，再按照二次根式的乘除运算法则计算括号内的部分，最后进行除法运算，从而得到结果． 【解答】解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的四则运算，需掌握同类二次根式的加减法则、二次根式的乘除运算顺序及化简方法．根据二次根式的运算可直接进行排除选项． 【解答】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B：，故选项计算错误，不符合题意； C：，故选项计算错误，不符合题意； D：，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． （2）先计算二次根式乘除法，最后计算加减法即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 分母有理化 【例5】（25-26八年级上·山东青岛·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)__________________． (2)（为正整数）=_________________． (3)化简：________________． (4)化简下列式子的值： 【答案】(1) (2) (3)44 (4)22 【分析】本题主要考查分母有理化及二次根式的运算，熟练掌握分母有理化及二次根式的运算是解题的关键； （1）根据分母有理化可进行求解； （2）根据分母有理化可进行求解； （3）由结论（2）可代入进行求解； （4）根据分母有理化可对式子进行化简，然后再进行二次根式的运算即可． 【解答】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：原式 ； 故答案为：； （4）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， ， 即， ， ， 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)_____，_____； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）分母有理化即可求解； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再整体代入求解即可． 【解答】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 材料二：学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想．它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求．我们可以把和分别看作是一个整体，令，则．这样，我们不用求出a，b就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若m是正整数，，，则： ① ， （用含m的代数式表示）； ②若，求m的值： (3)若，则的值是 ． 【答案】(1) (2)①1，；② (3)8 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化和整体思想是解题的关键： （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）①根据二次根式的运算法则进行计算即可；②整体代入法，列出方程进行求解即可； （3）用换元法进行求解即可． 【解答】（1）解：； （2）解：①， ； ②∵， ∴， 解得； （3）设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 复合二次根式的化简 【例6】（24-25八年级下·山东泰安·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【解答】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【解答】（1）解：，， ， 故答案为：，，； （2）， ． 【变式2】（24-25八年级下·山东济宁·期中）【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】本题考查了符合二次根式的化简，勾股定理，掌握复合二次根式的化简方法是解答本题的关键． （1）①②根据复合二次根式的化简方法求解即可； （2）先由勾股定理求出，开方后利用复合二次根式的化简方法求解即可． 【解答】（1）解：①这里，，由于，， 即，   ． ②首先把化为， 这里，，由于，， 即，， ． （2）在中，由勾股定理得，， ， ，   ． 已知字母的值，化简求值 【例7】（24-25八年级下·北京·期中）当时，代数式______． 【答案】1 【分析】本题考查了因式分解，已知字母的值求代数式的值，二次根式的混合运算，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，即可作答． 【解答】解：∵ ∴ ， 故答案为：1 【变式1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）若，则代数式的值为 _____． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先求出和的值，再将代数式变形为，最后将数值代入求出答案． 【解答】解：∵， ∴． ∴ , 故答案为：2． 【变式2】（24-25八年级下·山东德州·月考）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的加减运算和乘法运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）然后利用完全平方公式进行变形为，进而代值求解即可； （2）然后利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【解答】（1）解：当，时， 原式 ； （2）解：当时， 原式 ． 已知条件式，化简求值 【例8】（24-25八年级上·全国·期末）已知，则代数式的值为________． 【答案】11 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【解答】 ． 故答案为： 11． 【变式1】（23-24八年级下·山东滨州·月考）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 设，再利用完全平方公式运算求解即可． 【解答】解：设， 则， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 比较二次根式的大小 【例9】（25-26八年级上·山东济南·期末）比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【解答】解：，，且 ， 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·山东菏泽·月考）比较大小：_____．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握“作差法”比较大小是解题的关键．利用作差法得到，再比较出即可得到答案． 【解答】，， ， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知：，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查比较二次根式的大小关系，通过比较与的大小，即可得出结论． 【解答】证明：∵， ∴，，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【解答】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点评】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 混淆二次根式的定义条件 易错表现：误认为只要含有二次根号就是二次根式，忽略“被开方数是非负数”的条件；或遗漏“必须含有二次根号”的要求。 易错归因：对二次根式的两个满足条件记忆不完整，只关注单一条件，未理解两个条件缺一不可，对概念的本质理解不透彻。 忽视二次根式的非负性 易错表现：在计算或化简中，忽略√a（a≥0）的非负性，出现如√(x-2) + √(2-x) 化简时，未先判断x的取值范围就盲目计算。 易错归因：对二次根式的非负性重视不足，未理解“被开方数非负”是二次根式有意义的前提，也是性质应用的基础。 同类二次根式判断与合并出错 易错表现：未将二次根式化成最简形式就判断是否为同类二次根式；合并同类二次根式时，误将被开方数相加，或改变根指数。 易错归因：对同类二次根式的概念理解不透彻，忘记“化简后被开方数相同”的核心；合并方法记忆混淆，未掌握“根号外因数相加，根指数和被开方数不变”的规则。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $