专题02 二次根式的运算（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材青岛版

专题02 二次根式的运算 题型1 二次根式的乘法 题型5 二次根式的化简求值（常考点） 题型2 二次根式的乘除 题型6 复合二次根式化简（难点） 题型3 二次根式的加减 题型7 分母有理化（难点） 题型4二次根式的混合运算（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式的乘法（共5小题） 1．(24-25八下·山东青岛崂山区崂山区实验初级中学·月考)计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．直接相乘得出答案． 【详解】． 故选：B． 2．(24-25八下·山东临沂蒙阴县高都镇中心学校·月考)计算的结果是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 故选：D. 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键. 3．(2025·山东省济宁市·一模)计算：______． 【答案】6 【详解】解：， 故答案为：6． 4．(24-25八下·山东青岛即墨区·期中)计算：__________． 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 5．(24-25八下·山东淄博张店区第八中学·月考)计算的结果是______． 【答案】3 【详解】解：， 故答案为：3 题型二 二次根式的乘除（共5小题） 6．(2023·山东省青岛市市·模拟) 【答案】 【来源】2023年山东省青岛市市南区中考数学模拟预测题 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 7．(2025·山东省淄博市·二模)计算：． 【答案】1 【详解】解：原式 ＝1． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． 8．（山东省乐陵市2024-2025年学年八年级下学期期中）计算：___________． 【答案】1 【来源】山东省乐陵市2024-2025年学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据除法法则变换为乘法再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 9．(24-25八下·山东青岛莱西（五四制）·期中)计算：___________． 【答案】 【来源】山东省青岛市莱西市（五四制）2024-2025学年八年级下学期期中检测数学试题 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．(24-25八下·山东新泰（五四制）·期末)计算：＝___． 【答案】 【来源】山东省新泰市（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】根据二次根式的乘除运算计算即可 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，准确计算是解题的关键． 题型三 二次根式的加减（共5小题） 11．(23-24八下·山东聊城阳谷县四校·期中)计算的结果是______． 【答案】 【来源】山东省聊城市阳谷县四校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，利用二次根式的加减混合运算法则即可求解； 【详解】解：原式， 故答案为： 12．(2025·山东省临沂市·二模)计算：_________． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 13．(24-25八下·山东聊城东昌府区·期中)计算的结果是______ ． 【答案】0 【来源】山东省聊城市东昌府区2024-2025学年八年级下学期期中数学试题 【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 14．(23-24八下·山东聊城·期末)计算结果为______． 【答案】 【来源】山东省聊城市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了二次根式的加减法运算，正确的计算是解决本题的关键． 先将二次根式化简，然后计算加减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．(2025·山东省青岛市·二模)计算：_______． 【答案】 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减法运算，理解二次根式的性质化简为最简二次根式是解题的关键． 题型四 二次根式的混合运算（共5小题） 16．(2024·山东省济南市·模拟)计算： 【答案】 【来源】2024年山东省济南市初中学业水平考试模拟试题（七） 【分析】本题主要考查了负整数指数幂的运算，二次根式的加减与化简，绝对值的意义，负数的偶次幂计算，掌握以上知识点是解本题的关键．根据，负数的奇次幂为负，负数的偶次幂为正，绝对值的意义，二次根式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】原式． 17．(24-25八·山东日照北京路中学·期中)计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【来源】山东省日照市北京路中学2024-2025学年八年级期中考试数学试卷 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂，化简绝对值等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）按照二次根式乘除运算法则运算合并即可； （2）先化简二次根式、去绝对值、计算零次幂和负整数次幂，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(2025·山东省滨州市·二模)计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 19．(2025·山东省临沂市·三模)计算： 【答案】 【详解】解： ． 20．(23-24八下·山东泰安肥城·期中)化简和计算： (1)9； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型五 二次根式的化简求值（共5小题） 21．(2025·山东省临沂市·二模)已知，，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ 22．(24-25八下·山东泰安肥城·期中)已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 23．(24-25八下·山东东营中国石油大学（华东）附属中学·期中)已知，求下列各式的值； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解；∵， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形，熟知相关计算法则是解题的关键． 24．(24-25八下·山东泰安南关中学（五四制）·期中)已知：a，b，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【来源】山东省泰安市南关中学（五四制）2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】（1）先计算的值，将原式因式分解后代入即可求解； （2）先计算，根据分式的加法运算化简，然后根据平方差公式因式分解，将，的值代入即可求解． 【详解】（1）解：∵a，b ∴，， ∴ ； （2）解：，b ∴，， ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，因式分解的应用，正确的计算是解题的关键． 25．(24-25八下·山东烟台蓬莱区·期中)已知，，求代数式的值． 【答案】 【来源】山东省烟台市蓬莱区2024-2025学年八年级下学期期中数学试题 【分析】先根据，，判定x、y同号，都为负数，再据此化简二次根式，合并同类二次根式，然后整代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴x、y同号，都为负数 ∴ 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，由已知条件判定x、y同号，且都为负数是解题的关键． 题型六 复合二次根式化简（共5小题） 26．(21-22八下·山东济宁兖州区兖州区东方中学·期中)先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【来源】山东省济宁市兖州区兖州区东方中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 27．(23-24八下·山东临沂河东区·期中)阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)7或13 (4)当时，，当时， 【来源】山东省临沂市河东区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简： （1）根据题目所给信息即可得到答案； （2）根据结合完全平方公式求解即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． （4）根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． （4）解： ， 当，即时，则原式； 当，即时，则原式； 综上所述，当时，，当时，． 28．(23-24八下·山东泰安肥城·期中)阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解： ． 29．(24-25八下·山东济宁金乡县·期中)【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 【答案】(1)①  ② (2) 【来源】山东省济宁市金乡县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了符合二次根式的化简，勾股定理，掌握复合二次根式的化简方法是解答本题的关键． （1）①②根据复合二次根式的化简方法求解即可； （2）先由勾股定理求出，开方后利用复合二次根式的化简方法求解即可． 【详解】（1）解：①这里，，由于，， 即，   ． ②首先把化为， 这里，，由于，， 即，， ． （2）在中，由勾股定理得，， ， ，   ． 30．（2025·威海乳山市·一模）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且， ． (1)填上适当的数：______； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解： ， 故答案为：，，； （2）解：， ， ， ， ， ． 题型七 分母有理化（共5小题） 31．(24-25八下·山东济南平阴县实验中学·期中)材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ． 32．(24-25八下·山东潍坊·期中)如数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： (1)计算：______________； (2)计算：______________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)2024 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： 故答案为：； （3）解： ． 33．(2025·山东省济宁市·一模)阅读下面计算过程： 试求： (1)________； (2)（为正整数）________ (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 34．(23-24八下·山东潍坊坊子区·期中)【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）1；（4） 【来源】山东省潍坊市坊子区2023-2024学年八年级下学期4月期中数学模拟试题 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）直接分母有理化即可； （2）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可； （3）先将两边进行分母有理化后观察对比即可得出结果； （4）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2），， ∵， ∴， ∴； 故答案为：＞； （3）∵ ， ∴， ，是有理数， ，且， ； 故答案为：1； （4）∵ ， ∴ ． 35．(24-25八下·山东菏泽巨野县·期中)小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：，，，，，． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)________ ； ________． (2)化简：． (3)若，请按照小丽的方法求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ∴． $专题02 二次根式的运算 题型1 二次根式的乘法 题型5 二次根式的化简求值（常考点） 题型2 二次根式的乘除 题型6 复合二次根式化简（难点） 题型3 二次根式的加减 题型7 分母有理化（难点） 题型4二次根式的混合运算（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式的乘法（共5小题） 1．(24-25八下·山东青岛崂山区崂山区实验初级中学·月考)计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 2．(24-25八下·山东临沂蒙阴县高都镇中心学校·月考)计算的结果是（    ） A．6 B． C． D． 3．(2025·山东省济宁市·一模)计算：______． 4．(24-25八下·山东青岛即墨区·期中)计算：__________． 5．(24-25八下·山东淄博张店区第八中学·月考)计算的结果是______． 题型二 二次根式的乘除（共5小题） 6．(2023·山东省青岛市市·模拟) 7．(2025·山东省淄博市·二模)计算：． 8．（山东省乐陵市2024-2025年学年八年级下学期期中）计算：___________． 9．(24-25八下·山东青岛莱西（五四制）·期中)计算：___________． 10．(24-25八下·山东新泰（五四制）·期末)计算：＝___． 题型三 二次根式的加减（共5小题） 11．(23-24八下·山东聊城阳谷县四校·期中)计算的结果是______． 12．(2025·山东省临沂市·二模)计算：_________． 13．(24-25八下·山东聊城东昌府区·期中)计算的结果是______ ． 14．(23-24八下·山东聊城·期末)计算结果为______． 15．(2025·山东省青岛市·二模)计算：_______． 题型四 二次根式的混合运算（共5小题） 16．(2024·山东省济南市·模拟)计算： 17．(24-25八·山东日照北京路中学·期中)计算题： (1) (2) 18．(2025·山东省滨州市·二模)计算：． 19．(2025·山东省临沂市·三模)计算： 20．(23-24八下·山东泰安肥城·期中)化简和计算： (1)9； (2)． 题型五 二次根式的化简求值（共5小题） 21．(2025·山东省临沂市·二模)已知，，求： (1)的值． (2)的值． 22．(24-25八下·山东泰安肥城·期中)已知，求代数式的值． 23．(24-25八下·山东东营中国石油大学（华东）附属中学·期中)已知，求下列各式的值； (1)； (2)． 24．(24-25八下·山东泰安南关中学（五四制）·期中)已知：a，b，求： (1)； (2)． 25．(24-25八下·山东烟台蓬莱区·期中)已知，，求代数式的值． 题型六 复合二次根式化简（共5小题） 26．(21-22八下·山东济宁兖州区兖州区东方中学·期中)先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 27．(23-24八下·山东临沂河东区·期中)阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 28．(23-24八下·山东泰安肥城·期中)阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 29．(24-25八下·山东济宁金乡县·期中)【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 30．（2025·威海乳山市·一模）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且， ． (1)填上适当的数：______； (2)当时，化简． 题型七 分母有理化（共5小题） 31．(24-25八下·山东济南平阴县实验中学·期中)材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 32．(24-25八下·山东潍坊·期中)如数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： (1)计算：______________； (2)计算：______________； (3)计算：． 33．(2025·山东省济宁市·一模)阅读下面计算过程： 试求： (1)________； (2)（为正整数）________ (3)求的值． 34．(23-24八下·山东潍坊坊子区·期中)【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 35．(24-25八下·山东菏泽巨野县·期中)小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：，，，，，． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)________ ； ________． (2)化简：． (3)若，请按照小丽的方法求的值． $