专题01 四边形（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材青岛版

专题01 四边形 平行四边形 1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分。 3、判定平行四边形的条件 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 矩形、菱形、正方形 1、矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2、判定矩形的条件 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 3、平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等。 4、菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形的条件 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形的条件： （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 利用平行四边形的性质与判定求解 【例1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，取中点，连接，则，由平行四边形性质可得，，通过中位线定理可得，，，从而可证明四边形是平行四边形，所以，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：如图，取中点，连接，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点，为的中点， ∴是中位线，是中位线，是中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式与平行四边形的面积公式等知识正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【解答】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 利用平行四边形的性质与判定证明 【例2】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，点E，F分别在AB、CD上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质． 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再由平行四边形的对角相等即可证明． 【解答】证明：∵四边形是平行四边形， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， ． 【变式1】（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，点E、A、C、F在同一条直线上，并且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．先由四边形是平行四边形，证得，再根据补角的性质证得，从而证明，最后由全等三角形的性质证得，，从而证得四边形是平行四边形． 【解答】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）已知：如图，的对角线，相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【解答】证明：∵的对角线，相交于O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 与三角形中位线有关的问题 【例3】（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，中，分别是的中点，若，则_______；若，则_____． 【答案】 4 【分析】本题考查了三角形中位线定理．利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．可以求得、的长度． 【解答】解：分别是的中点， 是的中位线． ． 分别是的中点， 是的中位线． ． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． 根据三角形中位线定理求解即可． 【解答】解：D，E是，的中点， ， A，B间的距离为． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）如图，四边形各边中点分别是E、F、G、H，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理以及一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，进行求证即可． 【解答】证明：连接， ∵四边形各边中点分别是E、F、G、H， 是的中位线，是的中位线， ， ， ∴四边形是平行四边形． 根据矩形的性质求线段长 【例4】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，矩形的对角线交于点O， ， ，则________．   【答案】12 【分析】证明为等边三角形，进而得到，即可． 【解答】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点，连接，若的面积为14，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得出，则可求出根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，根据等角对等边求出，然后在中根据勾股定理求解即可． 【解答】解：∵在矩形中，， ∴，，， ∴，， 又的面积为14， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，矩形的对角线相交于点，，则矩形对角线的长等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、含的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据直角三角形所对的边是斜边的一半解题即可． 【解答】解：由题意知，， ∴， ∴矩形对角线的长为2． 故选：B ． 矩形与折叠问题 【例5】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用折叠的性质和平行线的性质证得，得到，设，则，，在中，由勾股定理求出的值，再由三角形的面积公式求出面积的值； （2）根据勾股定理和三角形面积公式可求的边上的高，再乘以2即可得到的长． 【解答】（1）解：由折叠可知，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：即， 解得：， ； （2）解：在中，， 连接，交于， ，关于对称， ，， ， 故的长为． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 【答案】(1)6，4 (2) 【分析】（1）由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）设，由勾股定理可得，则可得出答案． 【解答】（1）解：∵四边形是长方形，，，是 折叠得到， ∴．， ∴在中，， ∴． （2）解：设， ∴，． 在中，， ∴， 解得：， ∴． 利用菱形的性质求面积 【例6】如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____． 【答案】24 【分析】根据菱形的对角线性质可得、，易证得四边形是矩形，进而得到，再利用勾股定理求出的长，进而得到的长，从而计算菱形的面积． 【解答】解：菱形的对角线，相交于点， 、， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 故答案为：24． 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式可知，直接利用菱形的性质得出，，进而利用三角形面积求法得出答案． 【解答】解：如下图所示，连接 菱形的周长为， ， 菱形的面积为， ， 分别作点到直线、的垂线段、， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，已知菱形的对角线，的长分别为、，于点，求的长． 【答案】 【分析】利用菱形对角线性质求边长，再通过面积法列方程求高． 【解答】解：∵四边形是菱形， ，，， ， ， ，即， 解得． 添一个条件成为菱形 【例7】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可得到． 【解答】解：A、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； B、当平分时，， 中， ， 则， ， 由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； C、当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定是菱形，选项符合题意； D 、当时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定定理，根据每个选项所给条件，结合平行四边形的性质以及菱形的判定方法来判断是否证明平行四边形是菱形． 【解答】解：A项：在中，与是一组邻边，当时，满足菱形的定义， ∴可以证明是菱形，故不符合题意； B项：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形，故不符合题意； C项：∵四边形ABCD是平行四边形，且，满足菱形的判定条件， ∴可以证明是菱形，故不符合题意； D项：在中，对角线互相平分， ∴是平行四边形本身就具有的性质， 但仅由不能证明是菱形，故符合题意， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的判定； 结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【解答】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③可得是矩形，不是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的有1个， 故选：A． 求正方形重叠部分的面积 【例8】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点作，，和的交点为，和的交点为，根据正方形的性质可证，四边形是正方形，得到，再证明，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解． 【解答】解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为， ， 四边形和是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 又，， ， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【解答】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【解答】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 平行四边形的动点问题 【例9】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，，，的平分线交于点，，分别是，上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练应用相关性质定理是解题的关键．由题意易知，在上取点，使，连接，，则，从而可得，进而证得四边形是矩形，四边形、四边形均为正方形，得到，结合，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：四边形是矩形， ，， 的平分线交于点， ， 如图，在上取点，使，连接，， ， ，， 与的距离为， ， ， 如图，则四边形是矩形， ，， ， ， ，，， 四边形为正方形， ，，， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， 由勾股定理得， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在菱形中，．，两点分别从点，同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒1个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为平方单位． (1)菱形的周长为___________． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)16 (2) (3)的值为或 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质和勾股定理． （1）利用菱形周长公式求解即可； （2）作交延长线于点，分当点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，利用三角形面积公式求解即可； （3）分当和时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质列式计算即可求解． 【解答】（1）解：∵菱形中，， ∴菱形的周长为， 故答案为：16； （2）解：作交延长线于点， 由题意得，则，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴，， 当点在线段上即时，， 当点在线段的延长线上即时，， 综上，； （3）解：当时， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得； 当时， 同理，，即， 解得； 综上，的值为或． 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为2或 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【解答】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； （2）当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【点评】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． (1)________（用含的代数式表示）； (2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或2 【分析】本题考查列代数式、矩形上的动点问题： （1）求出即可表示出的长度； （2）分两种情况讨论：和时，根据全等的性质得边长相等，从而可求v的值． 【解答】（1）解：，则， 故答案为：； （2）解：存在． 分两种情况讨论： ①当，时，． ∵， ∴． ∴，即． 解得． ∵，， ∴． ②当，时，． ∵， ∴，即． 解得． ∵，即，解得． 综上所述，当或2时，与全等． 四边形中的线段最值问题 【例10】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 【答案】 【分析】连接，结合正方形性质、勾股定理求出，证明四边形是矩形即可得，再根据垂线段最短即可得解． 【解答】解：连接，如下图： 正方形中，，， ， 又，， 四边形是矩形， ， 则的最小值即为的最小值， 当时，最短， 此时， ， 即的最小值为． 【变式1】（25-26八年级上·浙江·期末）如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过作，且、在的两侧，使，根据等腰直角三角形的性质得到，由四边形是正方形，得到，．根据余角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，由三角形的三边关系得到，即可得到结论． 【解答】解：如图，过作，且、在的两侧，且， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ， ． ， ， 长度的最大值为6． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连结，，通过矩形的性质结合勾股定理求出，再运用中位线定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据三角形的三边关系得三点共线时最大即可求解． 【解答】如图，连接，取的中点，连接，， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴根据勾股定理，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∵， ∴， 由三角形的三边关系得三点共线时最大， 此时． 【变式3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了斜中半定理，三角形中位线的性质以及运用将军饮马模型求线段和的最小值，综合运用以上知识是解题的关键．运用斜中半定理以及三角形中位线性质，证明四边形是平行四边形，求的最小值等同于求的最小值，最后运用将军饮马模型以及勾股定理求得最小值． 【解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点M，N分别是，的中点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴的最小值就是的最小值， 作点C关于直线对称点Q，连接、， ， 当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是的长度， 在中，，，， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 1. 从属关系应用技巧：牢记“矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形”，解题时可先利用平行四边形的通用性质，再补充特殊性质，简化推导过程。 2. 辅助线通用技巧：涉及四边形边、角、对角线的计算或证明，优先作对角线辅助线，将四边形转化为三角形（全等三角形、直角三角形），利用三角形知识求解，降低解题难度。 3. 分类讨论技巧：当题目中未明确四边形类型（如仅告知对角线相等），需分类讨论是矩形、正方形还是普通四边形，避免漏解。 4. 验证技巧：解题后，结合图形性质反向验证（如判定矩形后，验证对角线是否相等、四个角是否为直角），避免因条件遗漏或混淆导致错误。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 四边形 平行四边形 1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分。 3、判定平行四边形的条件 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 矩形、菱形、正方形 1、矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2、判定矩形的条件 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 3、平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等。 4、菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形的条件 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形的条件： （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 利用平行四边形的性质与判定求解 【例1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 利用平行四边形的性质与判定证明 【例2】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，点E，F分别在AB、CD上，且．求证：． 【变式1】（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，点E、A、C、F在同一条直线上，并且．求证：四边形是平行四边形． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）已知：如图，的对角线，相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 与三角形中位线有关的问题 【例3】（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，中，分别是的中点，若，则_______；若，则_____． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【变式2】（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）如图，四边形各边中点分别是E、F、G、H，求证：四边形是平行四边形． 根据矩形的性质求线段长 【例4】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，矩形的对角线交于点O， ， ，则________．   【变式1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点，连接，若的面积为14，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，矩形的对角线相交于点，，则矩形对角线的长等于（    ） A．1 B．2 C． D． 矩形与折叠问题 【例5】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 利用菱形的性质求面积 【例6】如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____． 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______． 【变式2】（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，已知菱形的对角线，的长分别为、，于点，求的长． 添一个条件成为菱形 【例7】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 求正方形重叠部分的面积 【例8】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【变式1】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 平行四边形的动点问题 【例9】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，，，的平分线交于点，，分别是，上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若，则的长为_______． 【变式1】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在菱形中，．，两点分别从点，同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒1个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为平方单位． (1)菱形的周长为___________． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． (1)________（用含的代数式表示）； (2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 四边形中的线段最值问题 【例10】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 【变式1】（25-26八年级上·浙江·期末）如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 【变式3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 1. 从属关系应用技巧：牢记“矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形”，解题时可先利用平行四边形的通用性质，再补充特殊性质，简化推导过程。 2. 辅助线通用技巧：涉及四边形边、角、对角线的计算或证明，优先作对角线辅助线，将四边形转化为三角形（全等三角形、直角三角形），利用三角形知识求解，降低解题难度。 3. 分类讨论技巧：当题目中未明确四边形类型（如仅告知对角线相等），需分类讨论是矩形、正方形还是普通四边形，避免漏解。 4. 验证技巧：解题后，结合图形性质反向验证（如判定矩形后，验证对角线是否相等、四个角是否为直角），避免因条件遗漏或混淆导致错误。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 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