周末小金卷14-【周末小金卷】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版·新教材）

周末小金卷十四 (考试范围：11.5第2课时~11.6) （时间：45分钟 满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 班 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.新情境〔实际情境〕如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭 到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是 ( A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三边的垂直平分线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点 A cm d cm cm 救 B d2 cm 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在纸上画有∠AOB,将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB 的平分线上，则 A.d1与d2一定相等 B.d1与d2一定不相等 C.l1与2一定相等 D.1与l2一定不相等 3.如图，直线1,2，l3表示三条公路。现要建造一个中转站P,使P到三条公路的距 离都相等，则中转站P可选择的点有 ( A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 4.如图，射线OC是∠AOB的平分线，P是射线OA上一点，DP⊥OA,DP=5。若Q 是射线OB上的一个动点，设线段DQ的长为x,则x的取值范围是 A.x>5 B.x<5 C.x≥5 D.x≤5 A B D 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，已知△ABC的周长是24，B0,C0分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥BC于点D, 且OD=3,则△ABC的面积为 A.18 B.24 C.30 D.36 6.如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分线交于点P,连接BP,CP,若∠A=50°， 则∠BPC的度数为 () A.100° B.95 C.90° D.50° 7.如图，已知∠ABC,点B为圆心，任意长为半径作弧分别交射线BA,BC于点M,N, 分别以点M,N为圆心，大于2MN的长为半径作弧，两弧相交于点P;在射线BC 上取点H,以点H为圆心，以线段BH长为半径作弧交射线BP于点D;点E,F分 别在射线BA,HD上，∠AEF=68°，射线EF,BD交于点G,∠FDG=39°，则∠EGB 的度数为 () A.29° B.30 C.38 D.39° A B 第7题图 第8题图 8.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC,且∠ADC=100°，则 ∠MAB的度数是 A.50° B.40° C.45° D.55 二、填空题（每小题4分，共16分） 9.如图，在△ABC中，∠B=80°，点D在△ABC内部，且到三边的距离相等，则 ∠ADC的度数为 A P F C B 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 10.把两个相同的含有30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中M是AD与 BC的交点，MC=4,若AB=m,则SA ABME的值为 。(用含m的式子表示) 11.如图，在△ABC中，AB=2.5,AC=6,CB=6.5,EF垂直平分AC,分别交于AC, BC于点E,F,P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC=6cm,动点P从点C出发，以每 秒2cm的速度按C→A的路径运动，设运动时间为t秒。当t= 时，BP 恰好平分∠ABC。 ★周末小金卷·数学·七年级下册 ·21 三、解答题（共60分） 13.(10分)如图，在△ABC中，0M,ON分别是AB,AC的垂直平分线，OM与ON相 交于点O。求证：点O在BC的垂直平分线上。 M 14.(10分)新素养〔应用意识〕电信部门要修建一座电视信号发射塔P,按照设计要 求，发射塔P到两城镇A,B的距离必须相等，到两条高速公路m和的距离也必 须相等。请在图中作出发射塔P的位置。（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) A 15.(10分)如图所示，已知∠ADC+∠ABC=180°，DC=BC。求证：点C在∠DAB 的平分线上。 D C B 16.（10分)如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线AF分别交CD,BC 于点E,F,FG⊥AB,垂足为G。 (1)求证：CE=FG; (2)若AC=12,AB=15,CE=4,求△ABC的面积。 C G ·22· ★周末小金卷·数学·七年级下册 17.（10分)如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线L1交BC于点D,AC边的垂直平 分线l2交BC于点E,l1与2相交于点0，连接0B,OC,若△ADE的周长为8cm, △OBC的周长为18cm。 (1)求BC的长； (2)连接OA,求OA的长； (3)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数。 郑 B D E 18.（10分)如图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE,FD=FE。 (1)如图2，将仪器放置在△ABC上，使点0与顶点A重合，D,E分别在边AB, AC上，沿AF画一条射线AP,交BC于点P。AP是∠BAC的平分线吗？请 判断并说明理由。 (2)如图3，在(1)的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q,若PQ=6,AC=9,△ABC 的面积是60，求AB的长。 0 A(O) A(O) D D袋 F B B 图1 图2 图3 帝13.解：如图所示，两种方法确定点C在线段AB 的垂直平分线上。 14.证明，AB⊥BC, ∴.∠ABC=90°。 在Rt△ABE中，由勾股定理可知， BE=√AE2-AB=√252-202=15， .∴.EC=BC-BE=39-15=24。 DE =AE,AE=25, .DE=25。 .DC2+EC2=72+242=625,DE2=252=625。 .DC2+EC2=DE2。 ∴.△CDE为直角三角形。 15.解：.D是BC的中点，MB=MC, .∴.MD⊥BC。 yBC=10,BD=2BC=5。 .MB=13,.MD=/MB2-BD2=12。 ∠CBE=45°，∴.∠DFB=45°=∠CBE .DF=BD=5。∴.MF=MD-DF=7。 16.解：已知：如图，在Rt△ABC和Rt△DFE中， LACB=∠DEF=9O°，CH⊥AB于点H,EM⊥DF 于点M,BC=FE,CH=EM。 求证：Rt△ABC≌Rt△DFE。 证明：.CH⊥AB,EM⊥DF, ∴.∠CHB=∠EMF=90°。 在Rt△CBH和Rt△EFM中， CB=EF, CH=EM, ∴.Rt△CBH≌Rt△EFM(HL)。 .∠B=∠F。 在Rt△ABC和Rt△DFE中， ∠ACB=∠DEF, BC=FE, ∠B=∠F, ∴.Rt△ABC≌Rt△DFE(ASA)。 ∴.一条直角边和斜边上的高分别相等的两个 直角三角形全等。 D M B 17.证明：在△AOB与△C0D中， ∠A=∠C, 0A=0C, L∠AOB=∠COD, .△AOB≌△COD(ASA)。 ∴.OB=0D。 ∴点O在线段BD的垂直平分线上。 BE DE, ∴点E在线段BD的垂直平分线上。 ∴.OE垂直平分BD。 18.（1)证明：如图1，过点A作AD⊥BC于点D。 A B D 图1 .·AB=AC,AD⊥BC,BC=2 ÷BD=2BC=1。 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD= √AB2-BD2=√(W5)2-12=2 ∴.AD=BC, 即△ABC是“梦想三角形”。 =2×3MB+分×3BC+7x3AC 1 (2)解：如图2。 3 x(AB+BC+AC) 3 =2×24 B =36。 图2 6.A【解析】如图，连接AP,延长BP交AC于 当AC边上的中线BD等于AC时， 点D, :cD=2AC=3, .BC=√BD2-CD=√62-32=√27； 当BC边上的中线AE等于BC时， AC2 =AE2 CE, 即BC-(28GC=6, .∴.∠BPC=∠PDC+∠ACP=∠BAC+∠ABP+∠ACP. P是AB,AC的垂直平分线的交点， 解得BC=√48（负值已舍）。 ∴.PA=PB=PC。 综上所述，BC的长为√27或√48。 ∴，∠ABP=∠BAP,∠ACP=∠CAP。 周末小金卷十四 ∴.∠BPC=∠BAC+∠BAP+∠CAP=∠BAC+ 1.C2.A3.D4.C ∠BAC=2∠BAC=2×50°=100°。 5.D【解析】如图，过点0分别作0E⊥AB于点 7.A【解析】由基本作图得到BP平分∠ABC, E,OF⊥AC于点F,连接OA。 BH=DH, .∠ABP=∠CBP,∠HBD=∠BDH。 ·.∠ABP=∠BDH。 ∴.FH∥AB。 .∴.∠EFD=∠AEF=68°。 B D ,∠FDG=39°， .·OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥ .∴.∠EGB=∠EFD-∠FDG=68°-39°=29°。 BC,OE⊥AB,OF⊥AC,OD=3, 8.B【解析】如图，过点M作MN⊥AD于点N。 ∴.0E=0D=3,0F=0D=3。 ,∠B=∠C=90°， ·△ABC的周长为24， .∠B+∠C=180°， ∴.AB+BC+AC=24。 ·.AB∥CD。 .S△ABc=S△A0B+S△BOG+S△A0C ∴.∠DAB=180°-∠ADC=80°。 ,DM平分∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD, =7AB.0E+2BC.0D+24C:0F .MN=MC。 ★周末小金卷·数学·七年级下册 ·31· :M是BC的中，点， ∴PC=PM。 .MC=MB。 在Rt△ABC中， .MN=MB。 AC=√102-62=8(cm), 又.MN⊥AD,MB⊥AB, 1 ∴.AM平分∠DAB。 SAANG=2×6×8=24(cm2)。 ∴∠MB=2∠DB=40。 2x6:pc+×10PM=24, 解得PC=3。 13.证明：如图，连接A0,B0,C0。 B :OM是AB的垂直平分线， 9.130°10.2m .A0=B0。 11.9【解析】如图，连接AD,CP。 .·ON是AC的垂直平分线， .A0=C0。 .C0=B0。 ∴.点O在BC的垂直平分线上。 D ,EF垂直平分AC, M ∴.DA=DC,PA=PC。 ∴.△APB的周长为AB+AP+BP=AB+BP+ 0 PC≥AB+BC. ∴当C,P,B三，点共线，即当点P与点D重合 14.小斗提示：P点既在线段AB的垂直平分线上，又在 时，△APB的周长最小，且最小值为AB+BC 两条公路所夹角的平分线上，故两线交点即为发射 的值。 塔P的位置。 .AB=2.5,CB=6.5, 解：设两条公路相交于O点。P为线段AB ∴.△APB的周长最小值为AB+BC=9。 的垂直平分线与∠MON的平分线交点或与 12 【解析】如图，过，点P作AB的垂线，垂足 ∠QON的平分线交点。如图，满足条件的点 为M,连接BP。 有两个，即P,P'。 A B M 0 A C B :BP平分∠ABC,∠C=90°，PM⊥AB, 15.证明：如图，过点C作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足 ·32· ★周末小金卷·数学·七年级下册 分别为E,F, .EA=EC。 则∠BEC=∠DFC=90°。 .BC=BD +DE +EC =DA +DE +EA=8 cmo .∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠CDF=180°， (2),l1是AB边的垂直平分线， ∴.∠ABC=∠CDF。 .OA=OB。 在△CBE和△CDF中， l2是AC边的垂直平分线， ∠CBE=∠CDF, ...OA=OC ∠BEC=∠DFC, OB+OC+BC=18 cm, BC=DC, ∴.0B+0C=10cm, .△CBE≌△CDF(AAS)。 ∴.0A=0B=0C=5cm。 ∴.FC=EC。 (3).∠BAC=120°， ∴.点C在∠DAB的平分线上。 ∴.∠ABC+∠ACB=60°。 F ·DA=DB,EA=EC, D .∴.∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB。 ∴.∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠EAC=60°。 A 18.解：(1)AP是∠BAC的平分线。理由如下： 16.（1)证明：，AF是∠BAC的平分线，∠ACB= 在△ADF和△AEF中， 90°，FG⊥AB,CD是AB边上的高， AD=AE, FD=FE, FC=FG,∠CE=∠DME=2LBAC, LAF =AF, ∠CAF+∠CFA=90°，∠DAE+∠AED=90°. ∴.△ADF≌△AEF(SSS)。 .∠AED=∠AFC。 .∠DAF=∠EAF。 ·∠AED=∠CEF, .AP是∠BAC的平分线。 ∴.∠CEF=∠AFC。 (2)如图，过点P作PG⊥AC于点G。 ∴.CE=CF。 .AP平分∠BAC,PQ⊥AB, CE=FG。 ∴.PG=PQ=6。 (2)解：CE=4, S△ABc=S△ABP+SAAPG= 2AB·PQ+ .FG=CF=CE=4。 AC=12,AB=15, ZAC PG. .S△ABc=S△ACr+SAABF= 24Bx6+7×9x6=60。 2AB:FG=7×12×4+7×15x4=54。 .AB=11。 17.解：(1)1是AB边的垂直平分线， ∴.DA=DB。 D ·L2是AC边的垂直平分线， B