周末小金卷13-【周末小金卷】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版·新教材）

周末小金卷十三 (考试范围：11.4~11.5第1课时) （时间：45分钟 满分：100分) 题序 三 总分 得分 班 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接CD,若∠A=48°， 则∠BDC的度数为 A.48° B.96 C.90° D.84° D c 救 第1题图 第3题图 第5题图 第6题图 2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长是 ( A.25 B.5 C.5或7 D.7或25 3.如图，已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要 添加的条件是 ( A.∠ADB=∠DBCB.∠A=∠C C.AB=CD D.AD=CB 4.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ( 量 A.在同一个三角形中，等边对等角 B.两个角互余的三角形是等腰三角形 C.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D.如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 5.如图，∠B=∠D=90°，BC=CD,∠1=40°，则∠2的度数是 ( A.40° B.50 C.60° D.75 6.新考法〔阅读理解〕定义：我们把三角形某边上中线的长度与该边中点到高的距离 的比值称为三角形某边的“中高偏度值”。如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=4,BC=3,则△ABC中AB边的“中高偏度值”为 A2号 B. c号 D.13 7.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以 点B和点D为圆心，大于)BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,连 接MN交AB于点E。若AB=9,AC=7,则△ADE的周长为 A.22 B.20 C.18 D.16 A B 、iD 第7题图 第8题图 8.新情境〔趣味情境〕如图，用11张直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中 第一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，其他直角三角形都有一条直角边 长为1。记这个图形的周长（实线部分）为l,则下列整数与l最接近的是() A.15 B.16 C.17 D.18 二、填空题（每小题4分，共16分） 9.定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是 0 10.若三角形三边长之比为2：√7：√3，则这个三角形中的最大角的度数是 11.如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC,AB分别交于点M,N,连接 BM,若∠A=15°，BM=4,则△AMB的面积为 B M B D 第11题图 第12题图 12.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD⊥BC于点D。若P,Q分别 是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ★周末小金卷·数学·七年级下册 ·19· 三、解答题（共60分） 13.(10分)如图，C是线段AB外一点。借助无刻度直尺和圆规，判断点C是否在 线段AB的垂直平分线上。（要求：用两种方法判断；保留作图痕迹，不写作法) .C ·C A B A B 图1 图2 14.（10分)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC,垂足为B,E为BC上一点。已知AB =20,AE=25,BC=39,DC=7,且AE=DE。求证：△CDE为直角三角形。 15.(10分)如图，在△MBC中，D是BC的中点，MB=MC,连接MD,E为MC上一 点，∠CBE=45°，BE交MD于点F,若MB=13,BC=10,求MF的长。 M B ·20· ★周末小金卷·数学·七年级下册 16.(10分)证明：一条直角边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等。 17.（10分)如图，AD与BC相交于点0，OA=OC,∠A=∠C,BE=DE。求证：OE垂 直平分BD。 骆 18.（10分)如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角 形为“梦想三角形”。 (1)如图，在△ABC中，AB=AC=√5，BC=2。求证：△ABC是“梦想三角形”； (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6。若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长。BD=BC, ∴.∠BCD=∠BDC=2x°。 AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB=2x°。 由∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，可得x+ .△ABC为等边三角形，∴.BC=AB=12, 2x+2x=180, .∠AFE=∠ACB=∠ABC=∠A=60°。 解得x=36, ∴.△AEF为等边三角形，∠EFC=∠EBD=1209 则∠BAC=36°，∠ACB=72°。 .EF=AE。 (2)证明：E是AB的中点，AD=BD, ED =EC, ∴.DE⊥AB,即FE⊥AB。 .∠EDB=∠ECB。 ∴.AF=BF。 EF∥BC, ∴.∠BAF=∠ABF。 ∴.∠FEC=∠ECB 又，∠ABD=∠BAD=36°，∠ABC=72°， ∴.∠EDB=∠FEC。 ∴.∠FAD=∠FBD=36°。 在△BDE和△FEC中， 又：∠ACB=72°， ∠EBD=∠CFE, .,∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°。 ∠EDB=∠CEF, ∴.∠CAF=∠AFC=36°。 ED CE, ∴.AC=CF,即△ACF为等腰三角形。 ∴.△BDE≌△FEC(AAS)。 18.（1)证明：△ABC为等边三角形， ∴.BD=EF。 ∴.∠ABC=∠ACB=60°。 .BD=AE=2。 ∴.CD=BC+BD=12+2=14。 EB=AE, ∴.CE⊥AB,CE是∠ACB的平分线。 周末小金卷十三 1.B2.C3.D4.C5.B ∴.∠BEC=90°，∠BCE=30°。 6.B【解析】如图，过点C作CH⊥AB于，点H, ∴.CB=2EB。 取AB的中，点D,连接CD,过点D作DE⊥CH ED =EC, 于点E,则点E,H重合。 .∠EDC=∠ECD=30°。 .∠ACB=90°，AC=4,BC=3, ∴.∠DEB=∠ABC-∠EDC=60°-30°=30°。 .AB=√AC2+BC2=5。 .∴.∠DEB=∠EDC :CD是Rt△ABC中的AB边上的中线， ∴.BD=BE。 ∴.CB=2BD。 CD=BD=2AB=2.5。 (2)解：如图，过点E作EF∥BC,交AC于 :2 SAABC=AC·BC=AB·CH, 点F。 .CH=2.4。 ·30· ★周末小金卷·数学·七年级下册 .BH=√BC2-C㎡=1.8。 .与1最接近的整数是17。 ∴.DH=BD-BH=0.7。 9.同位角相等，两直线平行10.90° CD2.5_25 11.4【解析】小：MN垂直平分线段AB, DH0.7-7 ∴.MA=MB=4。 .∠MBA=∠A=15°。 .∴.∠BMC=∠A+∠MBA=30°。 H ∠C=90°，BM=4, D (E) 7.D 小斗分析：先利用题中作法得出AD=AC和MW BC=2BM=2。 垂直平分BD,再利用线段垂直平分线的性质得出 ·SaM=2×4×2=4。 BE=DE,最后利用线段的和求出周长。 2.8 【解析】如图，连接BP,BQ,过点B作 【解析】由题中作图可知AD=AC,MW垂直平 分BD。 BQ'⊥AC于点Q'。 .BE=DE。 .△ADE的周长为AD+AE+DE=AC+AE+ BE=AC+AB。 AB=9,AC=7, B D .△ADE的周长为9+7=16。 在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8, 8.C【解析】小，第一个直角三角形的两条直角 AD⊥BG 边长分别为1和2，其他直角三角形都有一条 .BD=DC,即AD垂直平分BC。 直角边长为1， ∴BP=PCo ∴.由勾股定理，得左起第一个直角三角形的斜 .PC+PQ=BP+PQ≥BQ。 边长为√2+22=√5，第二个直角三角形的 ∴.当B,P,Q三点共线，且BQ⊥AC时，PC+PQ 的值最小，即当点Q位于点Q'位置时，BP+PQ 斜边长为√12+（√5）2=6，第三个直角三角 的值最小，且最小值为BQ'的长。 形的斜边长为√12+（√6）2=√万，第四个直 令AQ'=a,则CQ'=10-a。 角三角形的斜边长为√12+（√）=⑧， BQ'⊥AC, .AB2 -AQ2=BC2 -CQ2, 即102-a2=122-(10-a)2, .第十一个直角三角形的斜边长为√15。 ∴.这个图形的周长（实线部分）为1=11+2+ 解得a-片 √15=13+√15。 BQ'=V102-a=48 o √12.25<√15<16，即3.5<15<4， .16.5<13+√15<17。 PC+PQ的最小值为8 13.解：如图所示，两种方法确定点C在线段AB 的垂直平分线上。 14.证明，AB⊥BC, ∴.∠ABC=90°。 在Rt△ABE中，由勾股定理可知， BE=√AE2-AB=√252-202=15， .∴.EC=BC-BE=39-15=24。 DE =AE,AE=25, .DE=25。 .DC2+EC2=72+242=625,DE2=252=625。 .DC2+EC2=DE2。 ∴.△CDE为直角三角形。 15.解：.D是BC的中点，MB=MC, .∴.MD⊥BC。 yBC=10,BD=2BC=5。 .MB=13,.MD=/MB2-BD2=12。 ∠CBE=45°，∴.∠DFB=45°=∠CBE .DF=BD=5。∴.MF=MD-DF=7。 16.解：已知：如图，在Rt△ABC和Rt△DFE中， LACB=∠DEF=9O°，CH⊥AB于点H,EM⊥DF 于点M,BC=FE,CH=EM。 求证：Rt△ABC≌Rt△DFE。 证明：.CH⊥AB,EM⊥DF, ∴.∠CHB=∠EMF=90°。 在Rt△CBH和Rt△EFM中， CB=EF, CH=EM, ∴.Rt△CBH≌Rt△EFM(HL)。 .∠B=∠F。 在Rt△ABC和Rt△DFE中， ∠ACB=∠DEF, BC=FE, ∠B=∠F, ∴.Rt△ABC≌Rt△DFE(ASA)。 ∴.一条直角边和斜边上的高分别相等的两个 直角三角形全等。 D M B 17.证明：在△AOB与△C0D中， ∠A=∠C, 0A=0C, L∠AOB=∠COD, .△AOB≌△COD(ASA)。 ∴.OB=0D。 ∴点O在线段BD的垂直平分线上。 BE DE, ∴点E在线段BD的垂直平分线上。 ∴.OE垂直平分BD。 18.（1)证明：如图1，过点A作AD⊥BC于点D。 A B D 图1 .·AB=AC,AD⊥BC,BC=2 ÷BD=2BC=1。 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD= √AB2-BD2=√(W5)2-12=2 ∴.AD=BC, 即△ABC是“梦想三角形”。 =2×3MB+分×3BC+7x3AC 1 (2)解：如图2。 3 x(AB+BC+AC) 3 =2×24 B =36。 图2 6.A【解析】如图，连接AP,延长BP交AC于 当AC边上的中线BD等于AC时， 点D, :cD=2AC=3, .BC=√BD2-CD=√62-32=√27； 当BC边上的中线AE等于BC时， AC2 =AE2 CE, 即BC-(28GC=6, .∴.∠BPC=∠PDC+∠ACP=∠BAC+∠ABP+∠ACP. P是AB,AC的垂直平分线的交点， 解得BC=√48（负值已舍）。 ∴.PA=PB=PC。 综上所述，BC的长为√27或√48。 ∴，∠ABP=∠BAP,∠ACP=∠CAP。 周末小金卷十四 ∴.∠BPC=∠BAC+∠BAP+∠CAP=∠BAC+ 1.C2.A3.D4.C ∠BAC=2∠BAC=2×50°=100°。 5.D【解析】如图，过点0分别作0E⊥AB于点 7.A【解析】由基本作图得到BP平分∠ABC, E,OF⊥AC于点F,连接OA。 BH=DH, .∠ABP=∠CBP,∠HBD=∠BDH。 ·.∠ABP=∠BDH。 ∴.FH∥AB。 .∴.∠EFD=∠AEF=68°。 B D ,∠FDG=39°， .·OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥ .∴.∠EGB=∠EFD-∠FDG=68°-39°=29°。 BC,OE⊥AB,OF⊥AC,OD=3, 8.B【解析】如图，过点M作MN⊥AD于点N。 ∴.0E=0D=3,0F=0D=3。 ,∠B=∠C=90°， ·△ABC的周长为24， .∠B+∠C=180°， ∴.AB+BC+AC=24。 ·.AB∥CD。 .S△ABc=S△A0B+S△BOG+S△A0C ∴.∠DAB=180°-∠ADC=80°。 ,DM平分∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD, =7AB.0E+2BC.0D+24C:0F .MN=MC。 ★周末小金卷·数学·七年级下册 ·31·