周末小金卷12-【周末小金卷】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版·新教材）

11.62°【解析】在△ACB和△ADE中， .'AE=AB +BE=15+15=30 cm. LABC=∠AED, .点E的运动时间为30÷3=10(s),即t的 ∠ACB=∠ADE, 值为10。 AB=AE, ④当点E在线段AB上，AB=BE时，△ACB≌ ∴.△ACB≌△ADE(AAS)。 △BDE,此时点E在A点未动，因此，点E的运 ∴.∠CAB=∠DAE,AC=CD。 动时间为0s,不符合题意。 ∴.∠CAD=∠BAE=56°。 综上，t的值为3或7或10。 ∠ADC=∠4CD=(180°-56)=62。 13.证明：BE=CF, .BC=EF。 12.3或7或10【解析】①当点E在线段AB 在△ABC和△DEF中， 上，AC=BE时，△ACB≌△BED。 AB=DE, .AC=6cm,∴.BE=6cm。 AC=DF, .AE=AB-BE=15-6=9cm。 BC=EF, ∴，点E的运动时间为9÷3=3(s),即t的值 '.△ABC≌△DEF(SSS)。 为3。 14.证明：∠1=∠2， ②当点E在BN上，AC=BE时，△ACB≌ ∴.∠1+∠BAD=∠2+∠BAD, △BED,如图1所示。 即∠BAC=∠EAD。 M D 在△ABC和△AED中， AB=AE, ∠BAC=∠EAD, B E LAC =AD, 图1 .△ABC≌△AED(SAS)。 AC=6 cm,.'.BE=6 cmo 15.(1)解：②③④（答案不唯一) .'AE=AB BE=15+6=21 cm (2)证明：，AB⊥BE,DE⊥BE, ∴.，点E的运动时间为21÷3=7(s),即t的值 .∠B=∠E=90°。 为7。 在△ABC和△CED中， ③当，点E在BN上，AB=BE时，△ACB≌ AB=CE, △BDE,如图2所示。 LB=∠E, M BC=ED, .△ABC≌△CED(SAS)。 0 .AC=CD。 B E N 16.解：CE∥DF,CE=DF。理由如下： 图2 由题意得AE=AF,FB=FD。 .AB=15, AB=AC, .BE=15 ·.∠EBC=∠FCB,AB-AE=AC-AF, ·28· ★周末小金卷·数学·七年级下册 ∴.EB=CF。 LFBP=LCBA。 又，BC=CB, ∴.△EBC≌△FCB(SAS)。 :∠BMD+∠ABP=2(LCMB+∠CBA)=45。 ∴.∠ECB=∠FBC,BF=CE。 .∠APB=180°-（∠BAD+∠ABP)=135°。 ∴.CE=DF。 :PF⊥AD,∠APF=90°。 'FB=FD,∴.∠FDB=∠FBD。 ∴.∠FPB=360°-∠APF-∠APB=135°。 ∴.∠FDB=∠ECB。∴.CE∥FD。 17.（1)证明：.AD∥BC, .∠APB=∠FPB。 .LADE=∠F。 在△ABP和△FBP中， E是AB的中点， ∠ABP=∠FBP, ∴AE=BE。 BP=BP, 在△ADE和△BFE中， I∠APB=∠FPB, ∠AED=∠BEF, .△ABP≌△FBP(ASA)。 ∠ADE=∠F, (2)解：AG+BD=AB。 LAE BE, 理由：PF⊥AD, ∴.△ADE≌△BFE(AAS)。 ∴.∠APG=∠FPD=90°。 (2)解：EG⊥DF。理由如下： 由(1)，得△ABP≌△FBP, '∠GDF=∠ADF,∠ADE=∠F, ∴.AP=FP,AB=FB,∠BAD=∠F。 ∴.∠GDF=∠F。 ,·∠BAD=∠GAP, ∴.DG=FG。 .∠GAP=∠F。 由(1)，得△ADE≌△BFE, 在△APG和△FPD中， ∴.DE=FE。.·.△GED兰△GEF(SAS) ,∠APG=∠FPD, ∴.∠GEF=∠GED AP=FP, ∴.∠GEF+∠GED=180° I∠GAP=∠F, .∠GEF=90° ∴.△APG≌△FPD(ASA)。 .EG⊥DF。 ∴.AG=FD。 (3)证明：由(1)，得△ADE≌△BFE, ∴.AG+BD=FD+BD=FB。 .AD=BF。 ∴.AG+BD=AB。 ∴AD+BG=BF+BG=FG。 周末小金卷十二 由(2)，得DG=FG, 1.B2.A3.A4.B5.D AD+BG=DG。 6.C【解析】.AB=AC,∠C=30°， 18.(1)证明：.∠ACB=90°， ∴.∠B=∠C=30°。 ∴.∠CAB+∠CBA=90°。 ,'AD,BE分别是∠CAB,∠CBA的平分线， :AB⊥AD,.∠BAD=90°。 在Rt△BAD中，∠B=30°，AD=4cm, ∠BMD=∠CD=3∠CMB,∠ABP= ∴.BD=2AD=8cm,∠ADB=90°-30°=60°。 ∴.∠DAC=∠ADB-∠C=60°-30°=30°。 ∴.S△DEN+Sm边形DBOM=S网边形DBOM+S△DPM,即 ∴.∠DAC=∠C。.DC=AD=4cm。 S写边形DNOM=S四边形DBOP0 .BC=BD+CD=8+4=12(cm)。 由条件可知四边形DNOM的面积是一个 7.B【解析】AD是边BC上的高线， 定值， ∴.∠ADC=∠ADB=90°。 ∴.四边形DEOF的面积是一个定值，故② .∠ABC=60°，∠C=45°， 正确； ∴.∠BAD=90°-∠ABD=30°， 如图2，当DE∥OB时，点O与点F重合。 ∠DAC=90°-∠C=45° .△ADC是等腰三角形。 .BE是∠ABC的平分线， ∠ABF=∠CBE=7∠ABc=30. 图2 .DE∥OB, .∴.∠ABF=∠BAD。 ∴.∠D=∠DFB=60°。 ∴.△ABF是等腰三角形。 .∠A0B=120°， .·∠BEA=∠EBC+∠C=45°+30°=75°， ∠BAC=180°-60°-45°=75°=∠BEA, ∴.∠DFB≠∠AOB。 .DF一定与OA不平行，故③错误。 ∴.△ABE为等腰三角形。 综上所述，图中等腰三角形共有3个。 综上所述，结论正确的个数是2。 8.C【解析】过点D作DM⊥OB于点M,DN⊥ 9.48 OA于点V,如图1。 10.25【解析】如图，过点B作BD⊥AC,交CA A 的延长线于点D。 D B c 图1 在△ABC中，AB=AC=10,∠BAC=150° 由条件可知DM=DN, ∴.∠BAD=180°-∠BAC=30°。 .∠A0B=120°，∠DN0=∠DM0=90°， ∴.∠MDN=60°。 在R△ABD中，BD=分AB=5, '∠EDF=60°， &SAc=)AC·BD ∴.∠EDN=∠FDM。 ∴.△DEN≌△DFM(ASA)。 =号×10×5 .DE=DF。 =25。 ∴.△DEF是等边三角形，故①正确； 11.60°或30°小斗提示：注意分类讨论。 .·△DEN≌△DFM, 【解析】.AB=AC,∠B=40°， .S△DEN=SA DFMO ∴.∠C=∠B=40°。 ∴.∠BAC=180°-40°-40°=100°。 EF=AC, △ADE是等腰三角形，分情况讨论： ∠BFE=∠DCA, ①当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°， BF=DC, .,∠DAE=180°-40°-40°=100°。 ∴.△BFE≌△DCA(SAS)。 此时点D与点B重合，不符合题意； ∴.AD=BE。 ②当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=40°， .∠BAD=100°-40°=60°； ③当DA=DE时，∠DAB=∠DEA_18O,40=70, 2 ∴.∠BAD=100°-70°=30°。 15.(1)解：，BE⊥AC于点E,E是AC的中点， 综上，∠BAD的度数为60°或30°。 ∴.△ABC是等腰三角形，即AB=BC。 12.9【解析】如图，点A,B都在格点上，在网格 又：AB=AC, 中确定一个格，点C,使△ABC为等腰三角形， ∴.△ABC是等边三角形。 符合条件的格，点共有9个。 .∠ABC=60°。 (2)证明：CF=CE, ∴.∠F=∠CEF。 .∠ACB=60°=∠F+∠CEF, ∴.∠F=30°。 △ABC是等边三角形，BE⊥AC, 13.证明：.DE垂直平分AB, ∴，∠EBC=30°。 ∴.DB=DA。∴.∠B=∠DAB。 ∴.∠F=∠EBC。 ∠B=42°， .BE=EF。 .∠DAB=42°。 16.证明：假设三角形三个内角中，所有内角都大 ∴.∠ADC=∠B+∠DAB=84°。 于60°， .∠DAC=∠BAC-∠DAB=126°-42°= 则∠A+∠B+∠C>180°。 84°=∠ADC。 这与三角形的内角和为180°相矛盾。 ∴.CA=CD。∴.△ACD是等腰三角形。 .假设不成立。 14.证明：如图，取AE的中点F,连接BF。 “.三角形三内角中，至少有一个内角小于或 .AE=2AC,∴.AF=EF=AC。 等于60°。 ,∠BAC=90°，∴.BA垂直平分CF。 17.(1)解：设∠BAC=x°。 ∴.BF=BC=CD。.∠BFA=∠BCA。 AD =BD. .∠BFE=∠DCA。 ∴.∠ABD=∠BAC=x°。 在△BFE和△DCA中， ∴.∠BDC=2x°。 ★周末小金卷·数学·七年级下册 ·29· BD=BC, ∴.∠BCD=∠BDC=2x°。 AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB=2x°。 由∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，可得x+ .△ABC为等边三角形，∴.BC=AB=12, 2x+2x=180, .∠AFE=∠ACB=∠ABC=∠A=60°。 解得x=36, ∴.△AEF为等边三角形，∠EFC=∠EBD=1209 则∠BAC=36°，∠ACB=72°。 .EF=AE。 (2)证明：E是AB的中点，AD=BD, ED =EC, ∴.DE⊥AB,即FE⊥AB。 .∠EDB=∠ECB。 ∴.AF=BF。 EF∥BC, ∴.∠BAF=∠ABF。 ∴.∠FEC=∠ECB 又，∠ABD=∠BAD=36°，∠ABC=72°， ∴.∠EDB=∠FEC。 ∴.∠FAD=∠FBD=36°。 在△BDE和△FEC中， 又：∠ACB=72°， ∠EBD=∠CFE, .,∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°。 ∠EDB=∠CEF, ∴.∠CAF=∠AFC=36°。 ED CE, ∴.AC=CF,即△ACF为等腰三角形。 ∴.△BDE≌△FEC(AAS)。 18.（1)证明：△ABC为等边三角形， ∴.BD=EF。 ∴.∠ABC=∠ACB=60°。 .BD=AE=2。 ∴.CD=BC+BD=12+2=14。 EB=AE, ∴.CE⊥AB,CE是∠ACB的平分线。 周末小金卷十三 1.B2.C3.D4.C5.B ∴.∠BEC=90°，∠BCE=30°。 6.B【解析】如图，过点C作CH⊥AB于，点H, ∴.CB=2EB。 取AB的中，点D,连接CD,过点D作DE⊥CH ED =EC, 于点E,则点E,H重合。 .∠EDC=∠ECD=30°。 .∠ACB=90°，AC=4,BC=3, ∴.∠DEB=∠ABC-∠EDC=60°-30°=30°。 .AB=√AC2+BC2=5。 .∴.∠DEB=∠EDC :CD是Rt△ABC中的AB边上的中线， ∴.BD=BE。 ∴.CB=2BD。 CD=BD=2AB=2.5。 (2)解：如图，过点E作EF∥BC,交AC于 :2 SAABC=AC·BC=AB·CH, 点F。 .CH=2.4。 ·30· ★周末小金卷·数学·七年级下册 .BH=√BC2-C㎡=1.8。 .与1最接近的整数是17。 ∴.DH=BD-BH=0.7。 9.同位角相等，两直线平行10.90° CD2.5_25 11.4【解析】小：MN垂直平分线段AB, DH0.7-7 ∴.MA=MB=4。 .∠MBA=∠A=15°。 .∴.∠BMC=∠A+∠MBA=30°。 H ∠C=90°，BM=4, D (E) 7.D 小斗分析：先利用题中作法得出AD=AC和MW BC=2BM=2。 垂直平分BD,再利用线段垂直平分线的性质得出 ·SaM=2×4×2=4。 BE=DE,最后利用线段的和求出周长。 2.8 【解析】如图，连接BP,BQ,过点B作 【解析】由题中作图可知AD=AC,MW垂直平 分BD。 BQ'⊥AC于点Q'。 .BE=DE。 .△ADE的周长为AD+AE+DE=AC+AE+ BE=AC+AB。 AB=9,AC=7, B D .△ADE的周长为9+7=16。 在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8, 8.C【解析】小，第一个直角三角形的两条直角 AD⊥BG 边长分别为1和2，其他直角三角形都有一条 .BD=DC,即AD垂直平分BC。 直角边长为1， ∴BP=PCo ∴.由勾股定理，得左起第一个直角三角形的斜 .PC+PQ=BP+PQ≥BQ。 边长为√2+22=√5，第二个直角三角形的 ∴.当B,P,Q三点共线，且BQ⊥AC时，PC+PQ 的值最小，即当点Q位于点Q'位置时，BP+PQ 斜边长为√12+（√5）2=6，第三个直角三角 的值最小，且最小值为BQ'的长。 形的斜边长为√12+（√6）2=√万，第四个直 令AQ'=a,则CQ'=10-a。 角三角形的斜边长为√12+（√）=⑧， BQ'⊥AC, .AB2 -AQ2=BC2 -CQ2, 即102-a2=122-(10-a)2, .第十一个直角三角形的斜边长为√15。 ∴.这个图形的周长（实线部分）为1=11+2+ 解得a-片 √15=13+√15。 BQ'=V102-a=48 o √12.25<√15<16，即3.5<15<4， .16.5<13+√15<17。 PC+PQ的最小值为8周未小金卷十二 (考试范围11.3) (时间：45分钟满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 班 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6cm,则AC的长度为 A.2 cm B.3 cm C.6 cm D.12 cm 2.如图，已知∠ABC=60°，D为BA上一点，BD=10,0为线段BD的中点，以点0为 圆心，线段OB的长为半径作弧，交BC于点E,连接DE,则BE的长是() A.5 B.10 C.2.5 D.3 E 毁 B D A 第2题图 第6题图 3.已知等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是 A.80°或20° B.80° C.80°或50° D.20° 4.如图，在下列三角形中，若AB=AC,则不能被一条直线分成两个小等腰三角形 的是 ( 369 108° B B B 5.用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，我们可以先假设 ( A.有三个直角 B.有四个直角 C.至少有四个内角是直角 D.至少有五个内角是直角 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，AB⊥AD,AD=4cm,则BC的长为( A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.14 cm 7.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，AD是边BC上的高线，∠ABC的平分 都 线BE分别交AD,AC于点F,E,则图中等腰三角形共有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 E 0 第7题图 第8题图 8.如图，已知∠A0B=120°，D是∠A0B的平分线上的一个定点，点E,F分别在射 线OA和射线OB上，且∠EDF=60°。下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边 形DEOF的面积是一个定值：③当DE∥OB时，DF也平行于OA。其中结论正确 的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（每小题4分，共16分） 9.新情境〔实际情境)如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B,C为小路端点)和 一棵小树(A为小树位置)。测得的相关数据如下：∠ABC=60°，∠ACB=60°， BC=48米，则A,C之间的距离为 米。 B 第9题图 第11题图 第12题图 10.若等腰三角形的顶角为150°，腰长为10，则这个等腰三角形的面积为 11.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B,C 重合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E。当△ADE是等腰三角形 时，∠BAD的度数为 12.如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A,B都在格点上，在网格中确定一 个格点C,使△ABC为等腰三角形，符合条件的格点有 个。 三、解答题（共60分） 13.（(10分)如图，在△ABC中，∠BAC=126°，∠B=42°，边AB的垂直平分线DE与 AB交于点E,与BC交于点D,连接AD。求证：△ACD是等腰三角形。 ★周末小金卷·数学·七年级下册 ·17· 14.（10分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，延长BC到点D,使CD=BC,延长CA 到点E,使AE=2CA,连接AD,BE。求证：AD=BE。 15.（10分)如图，在△ABC中，AB=AC,BE⊥AC于点E,且D,E分别是AB,AC的中 点，延长BC至点F,使CF=CE。 (1)求∠ABC的度数。 (2)求证：BE=FE。 16.（10分)用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”。 ·18· ★周末小金卷·数学·七年级下册 17.（10分)如图，在△ABC中，AB=AC,D为AC上一点，且满足AD=BD=BC。E是 AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F,连接AF。 (1)求∠BAC和∠ACB的度数； (2)求证：△ACF是等腰三角形。 D 郑 B 18.（10分)在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE= EC。 (1)如图1，当E为AB的中点时，求证：CB=2BD; 南 (2)如图2，若AB=12,AE=2,求CD的长。 E DB 图1 图2