周末小金卷5-【周末小金卷】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

周末小金卷五 （考试范围：21.3) (时间：45分钟满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 孙 一、选择题（本题包括10个小题，每小题3分，共30分） 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.对角线平分对角 2.新情境〔实际情境〕如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱 形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）.当 ∠BCD=52°时，∠BAC的度数为 A.26° B.27° C.28° D.29° B 毁 B D 手柄 D cm24678 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，测量三角形纸片的尺寸，点B,C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC 的中点，若∠BAC=90°，则AD的长为 () A.4 cm B.3 cm C.5 cm D.2.5 cm 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 ( A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 5.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是 ( 量 A.当AB=BC时，它是菱形 B.当AC⊥BD时，它是菱形 C.当∠ABC=90时，它是矩形 D.当AC=BD时，它是正方形 A D B B C 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，在正方形ABCD的内部作等边三角形ADE,则∠ABE的度数为 A.60° B.65° C.70° D.75° 7.如图，在矩形ABCD中，E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.若对角线 荞 BD=4,则四边形EHGF的周长为 () A.16 B.12 C.8 D.4 8.如图，四边形ABCD是菱形，CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是() 24 .5 48 B.6 C.5 D.12 D C EB 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,BC=5,P是边AB上任意一点，过点P 作PD⊥AC,PE⊥BC,垂足分别为D,E,连接DE,则DE的最小值是 () 13 0 B. 0 13 c号 D. 3 10.如图，边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为各边中点.连接AG,BH,CE, DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为 A.1 B.2 C.5 D.10 二、填空题（本题包括4个小题，每小题4分，共16分） 11.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,对角线AC,BD交于点O,要使四边 形ABCD是正方形，可以添加的条件是 B 0 3 第11题图 第12题图 12.新考法〔数学文化〕笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何思想，主张取代数和 几何中最好的东西，相互以长补短.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶 点B的坐标是(-1,2)，则AC的长为 主题情境传统文化与生活息息相关请完成第13~14题 13.方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥.如图1是一个刻有方胜纹的方胜盘，图2是 方胜盘的示意图，菱形ABCD与菱形A'B'C'D'是完全相同的两个菱形，中间四边 B'FD也是菱形，若AC=6,AD=5,EF=B'为0D的中点，则四边形B 的面积为 图1 图2 周末小金卷·数学·八年级下册 。7… 14.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，其中包含等腰直 角三角形、正方形、平行四边形.小明用一套完整的七巧板（如图1）拼成了形如 “帆船”（如图2）的封闭图形，其中AB=4,则该“帆船”的周长是 图1 图2 三、解答题（本题包括4个小题，共54分） 15.(12分)如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边CD,BC上的点，且DE=BF,连接 BE,DF相交于点G. 求证：(1)BE=DF; (2)∠ABE=∠ADF D 16.（12分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，A0=C0=10,B0= D0,且AB=12,BC=16. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠ADF：∠FDC=3:2,DF⊥AC于点E,求∠BDF的度数 D ·8… 周末小金卷·数学·八年级下册 17.（14分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,对角线AC与BD相交于点O.点B、 点D关于AC所在直线对称， (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)过点D作BC的垂线交BC的延长线于点E.若CE=3,AD=5,求线段OC 的长 18.（16分)在综合实践活动中，同学们对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规 拓 划使用，如图所示，点E,F处是它的两个门，且DE=CF,要修建两条直路AF, BE,AF与BE相交于点O(两个门E,F的大小忽略不计). (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形 OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P 在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距 离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路？若能，能修建几条？并说明 理由15.解：(1)设这个多边形的边数是n. 由题意，得(n-2)×180°=360°×2-180°， S∠EBC+∠BCE=)（LABC+∠BCD)自 解得n=5. 122°=61° 答：这个多边形的边数是5. .:∠BEC+∠EBC+∠BCE=180°， (2)截去一个角以后，多边形的边数可能 .∠BEC=180°-61°=119°. 减少了1，也可能不变，还可能增加了1， 18.【三角形中位线定理】 ∴.截完后所形成的新多边形的边数可能是 4,5或6. 解，Dac,0-C ①当多边形为四边形时，其内角和为360°； 【应用】解：如图1，连接BD ②当多边形为五边形时，其内角和为(5-2)× A 180°=540°； ③当多边形为六边形时，其内角和为(6-2)× 180°=720°， 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角 图1 和为360°，540°或720° 小斗总结… ,E,F分别是边AB,AD的中点，EF=2, 一个多边形（除三角形外）截去一个角后，按不同 ∴.EF是△ABD的中位线， 的截法可得到边数不同的三种多边形，即边数增 ∴.EF∥BD,BD=2EF=4. 加1，边数不变，边数减小1. ∴.∠ADB=∠AFE=45° .BC=5,CD=3,.BD2+CD2=25,BC2=25. 16.(1)证明：选择①或②，证明如下： ∴.BD+CD2=BC2.∴.∠BDC=90° 选择①，∠B=∠AED,∴.BC∥DE. ∴.∠ADC=∠ADB+∠BDC=135° 又AB∥CD,∴.四边形BCDE为平行四边形. 【拓展】证明：如图2，取DC的中点H,连 选择②，AE=BE,AE=CD,∴BE=CD MH,NH. 又，AB∥CD,.四边形BCDE为平行四边形. (2)解：由(1)可知，四边形BCDE为平行四 边形，∴.DE=BC=10. .AD⊥AB,∴∠A=90° .AE=√DE2-AD2=√/102-82=6， 即线段AE的长为6. 图2 17.解：(1)61° .M,H分别是AD,DC的中点， (2).CE∥AD,∴.∠D+∠DCE=180° .MH是△ADC的中位线， .·∠D=140°，∴.∠DCE=180°-140°=40° MH/AC且MH=,AC .CE平分∠BCD,∴.∠BCD=2∠DCE=80. :∠A=98°，∠D=140°，∠A+∠B+∠BCD+ 同理可得NH/BD且NH=.BD, 2 ∠D=360°， ∴.∠B=360°-98°-80°-140°=42° ,EF=EG,∴.∠EFG=∠EGF. (3)∠A=98°，∠D=140°，∠A+∠ABC+ .MH∥AC,NH∥BD, ∠BCD+∠D=360°，∴.∠ABC+∠BCD=360°- ∴.∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM. 98°-140°=122°. .∠HMN=∠HNM. :∠ABC和∠DCB的平分线交于点E, ∴.MH=NH.∴.AC=BD LBC=3LABC,∠BCE=∠BCD 周末小金卷五 1.C2.A3.B4.C5.D6.D7.C 8.A小斗提示：由菱形的性质和勾股定理求出AC,再 2 5 由菱形的面积求出AE. 2 M=.5 55 =5 9.B小斗分析：求DE的最小值可以转化为求其相等 BH 55 线段CP的最小值.连接CP,根据矩形的性质可知DE =CP,当CP最小时，DE最小，根据“垂线段最短”可 知当CP⊥AB时，CP最小，再根据三角形的面积为定 .BM=√AB2-AM=√52-(W5)2=25. 值即可求出此时CP的长. 【解析】：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 5a24W:N-5x25=5 12,BC=5,∴.AB=√AC2+BC=13. 又：S正方形ABCD=AB2=25, 如图，连接CP. .Sg边形Wwp0=25-4×5=5. 11.∠ABC=90°或AC=BD(答案不唯一) ·PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,∠ACB=9O°， ∴.∠PDC=∠PEC=∠ACB=90°. 12.√5【解析】如图，过点B作BD⊥x轴于点 .四边形DPEC是矩形.∴.DE=CP. D,连接BO. 当CP最小时，DE最小.根据“垂线段最短” .矩形OABC的顶点B的坐标是(-1,2)， 可知当CP⊥AB时，CP最小 ∴.OD=1,BD=2 此时DE=CP=5X12_60,即DB的最小值是 ∴在Rt△DB0中，B0=√OD+BD=√1+2=5. 1313 ·四边形OABC是矩形，∴.AC=BO=√5. 60 13 13. 2 【解析】在菱形ABCD中，AC⊥BD,OA= 1 EB AC=。×6=3. 10.C【解析】由条件可知AB=BC=CD=AD=5, 2 2 ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°， AD=5,∴.0D=WAD2-0A2=4 AE=EB=BF-FC=CG=GD-DH=AH= 5 g为0D的中点0B=B'D=0D=2 ∴.△AHB≌△BEC≌△CFD≌△DGA. G.SBD EF=Ixx33 ∴.∠ABH=∠BCE=∠CDF=∠DAG. 2*2 22 由条件可知∠BCE+∠BEC=90°，∴.∠ABH+ 14.12+16√2【解析】：四边形ABCD是正方 ∠BEC=90°. 形，AB=4, ∴.∠BNE=90°，即BH⊥CE. .'AD=AB=4,AH=BH=DH=22. 同理，BH⊥AG,CE⊥DF,DF⊥AG. ,该正方形由一套完整的七巧板组成， ∴.∠AMB=∠BNC=∠CPD=∠DQA=90°. ∴.△DEF,△GHL,△CFJ均为等腰直角三角 又.∠ABM=∠BCN=∠CDP=∠DAQ,AB= 形，四边形EFGH为正方形. BC=CD=DA, ∴.△ABM≌△BCN≌△CDP≌△DAQ. :.DE=EF=FG=EH=HG=HI=BI-2DH- ·.Sg边卷MNP0=S正方形BCD-4S△ABM √2，DF=FC=CJ=BJ=G=√2DE=2. 由勾股定理可得BH=√AB+A= ∴.FJ=√2CF=22 周末小金卷·数学·八年级下册 ·17· .“帆船”的周长是2+（√2+2√2+√2+√2）+ 2+(√2+√2+√2)+2×(4+2W2+2√2)=12+ 16v2. 15.证明：(1).四边形ABCD是菱形， .∴.DC=BC. DE=BF,.'.DC-DE=BC-BF,CE=CF. (CE=CF, 在△BCE和△DCF中，∠C=∠C, BC=DC, ∴.△BCE≌△DCF(SAS).∴.BE=DF. (2).△BCE≌△DCF,∴.∠CBE=∠CDF. ·四边形ABCD是菱形，.∠ABC=∠ADC. ,∴.∠ABC-∠CBE=∠ADC-∠CDF, 即∠ABE=∠ADF. 16.(1)证明：，：在四边形ABCD中，对角线AC, BD相交于点0，A0=C0=10,B0=D0, .四边形ABCD是平行四边形，AC=AO+ C0=20. AB=12,BC=16,.AB2+BC2=122+162= 202=AC2..∠ABC=90° .四边形ABCD是矩形 （2)解：：四边形ABCD是矩形， .·.∠ADC=90° :∠ADF:∠FDC=3:2,∠ADF+∠FDC=∠ADC, 2 .∠FDC= ∠ADC=36°. .DF⊥AC,∴.∠DC0=90°-36°=54°. ,四边形ABCD是矩形，.CO=OD. ∴.∠0DC=∠DC0=54°. .∠BDF=∠ODC-∠FDC=18 17.(1)证明：，点B、点D关于AC所在直线对 称，∴.BD⊥AC,BO=DO AB∥CD,∴.∠ABO=∠CDO. [∠ABO=∠CD0, 在△AB0和△CD0中，{B0=D0, ∠AOB=∠COD, .△ABO≌△CDO(ASA)..AB=CD, 又.AB∥CD, .四边形ABCD是平行四边形 又.BD⊥AC,.四边形ABCD是菱形 (2)解：四边形ABCD是菱形！ ·18· 周末小金卷·数学·八年级下册 :0C=0A=AC,BC=CD=AD=5. ∴.BE=BC+CE=5+3=8. .·DE⊥BC,∴.∠DEB=90° .在Rt△CED中，DE=√CD2-CE=√52-32=4， 在Rt△BED中，BD=√BE+DE=√⑧2+4=45. :S菱形BCD=DE·BC,S菱形cD=2AC·BD= OC·BD,∴.DE·BC=OC·BD. :0C-DE:BC_4x5=5. BD 45 18.解：(1)这两条路等长且互相垂直.理由 如下： :四边形ABCD是正方形， ∴.BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°. ,DE=CF,∴.AD-DE=CD-CF.∴.AE=DF BA=AD, 在△BAE和△ADF中，{∠BAE=∠D, AE=DF, .∴.△BAE≌△ADF(SAS). .BE=AF,∠ABE=∠DAF. ·∠BAO+∠DAF=∠BAE=90°， ∴.∠BAO+∠ABE=90°. ∴.∠AOB=180°-（∠BA0+∠ABE)=90°. ∴.AF⊥BE. .道路AF与BE等长，且它们互相垂直 (2)能修建成一条这样的直路，且点P在边 界BC上.理由如下： :AB=CD=AD=4米，AE=3米， .CF=DE=4-3=1(米). 在Rt△ABE中，BE=√AB+AE=√4+3=5（米）. 由(1)知，AF=BE=5米，AF⊥BE. 5m服：0A=号BA 0=5-4-24(米. ∴.0F=AF-0A=5-2.4=2.6(米). 根据“垂线段最短”得点F到路段OB的最短 距离为2.6米， ∴.路段OB上不存在点P到点F的距离等于 2.5米. .点P不在路段OB上 .设直线l的解析式为y=kx+3(k≠0)..直 若点P在边界BC上，则在Rt△PCF中，PC= 线l平分矩形ABCD的周长，∴.直线I经过矩 PP-FC-2.--2I 形ABCD对角线的交点，即直线I经过点 (-3,2)2=-3+3,解得6=写直线1的 ·BP=BC-PC=4-V2I 2 44 2,:4 解折式为y了3 2>1.5 15.解：(1)正比例函数y=x的图象经过点 点P符合题意 (2,-2),.-2=2k,解得k=-1. 综上所述，即能修建成一条这样的直路 .这个函数的解析式为y=-x 周末小金卷七 (2)正比例函数y=-x是经过原点(0,0)和点 1.B2.B3.B4.C5.A6.A7.C (2,-2)的一条直线，如图 8.A【解析】由图象可得，b1=2,b2=-1,k1>0, VA k2>0,.b1+b2>0,故选项A正确，符合题意； b1b2<0,故选项B错误，不符合题意；k1+k2>0, 故选项C错误，不符合题意；kk2>0,故选项D 3a3 错误，不符合题意. 9.D【解析】：m2+2025m=2025, .m>0且2025m<2025. (3)在不在 ∴.0<m<1.∴.1-m>0. 16.解：(1)由蓄电池剩余电量y(kW·h)关于已 ∴.一次函数y=（1-m)x+m的图象经过第一、 行驶路程x(km)的函数图象可得： 二、三象限，不经过第四象限 当0≤x<150时，设y=k1x+b1, 10.C【解标5直线y=-x-3与x轴y轴分 则/6，=60， 1 别交于，点A和，点B, 解得 k1= 61 (150k,+b1=35, ∴.A(-4,0),B(0,-3) b1=60, 1 ∴.0A=4,0B=3,AB=√32+42=5. 六y=6+60, 由折叠的性质，得BD=AB=5,AC=CD. .0D=5-3=2,0C+CD=4. 当150≤x≤200时，设y=k2x+b2, 设0C=m,则CD=4-m. 1 则504,6，=35，解 k2=2 在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD2=OC2+ 200k2+b2=10, 0m,中4mP-m+父，你得m》 b2=110, ∴.y= 2t+110. .c(-g.o) 1 x+60(0≤x<150), 11.y=3x+1012.减小13.2（答案不唯一） 6 ..y= 1 14.y=了+3【解析】：四边形ABCD为矩形， 2x+110(150≤x≤200). 点B的坐标为(-2,4)，点D的坐标为(-4， 0),点C在x轴上，.矩形ABCD对角线交点 (2)当=180时，7=2×180+10=20， 的坐标为(-3,2).直线1经过点M(0,3), .剩余电量为20kW·h