周末小金卷2-【周末小金卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师版·新教材）

周末小金卷二 (考试范围：1.3~1.4第1课时) (时间：45分钟满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 训 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接CD,若∠A=48°，则 ∠BDC的度数为 () A.48 B.96° C.90° D.84 凸面 面 宽 宽， B 宽 D 宽 E Cobb角-O 宽 B B 第1题图 第2题图 第3题图 2.脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有锥体旋转的脊柱畸形， 医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb角>10°为脊柱侧弯。如图 是脊柱侧弯Cobb角（∠O)的检测示意图，AD⊥OC于点A,BC⊥OD于点B,已知 Cobb角为37°，则∠AEC的大小为 () A.379 B.45° C.53 D.63° 3.如图，已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要 添加的条件是 ( A.∠ADB=∠CBDB.∠A=∠C C.AB=CD D.AD=CB 4.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ( A.在同一个三角形中，等边对等角 B.两个角互余的三角形是等腰三角形 C.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 摇 D.如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 5.如图，∠B=∠D=90°，BC=CD,∠1=40°，则∠2的度数是 () A.40° B.50° C.60° D.75 B A A 第5题图 第6题图 6.新考法〔阅读理解〕定义：我们把三角形某边上中线的长度与该边中点到高的距离 的比值称为三角形某边的“中高偏度值”。如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=4,BC=3,则△ABC中边AB的“中高偏度值”为 () 24 .7 5 B. 12 C. 3 0.5 7.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点 B和点D为圆心，大于，BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,连接 MN交AB于点E。若AB=9,AC=7,则△ADE的周长为 A.22 B.20 C.18 D.16 A w B 第7题图 第8题图 8.新情境〔趣味情景〕如图，用11张直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中 第一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，其他直角三角形都有一条直角边 长为1。记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与1最接近的是() A.15 B.16 C.17 D.18 二、填空题（每小题4分，共16分） 9.定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是 10.若三角形三边长之比为2：√7：3，则这个三角形中的最大角的度数是 米周末小金卷·数学·八年级下册 ·3… 11.如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC,AB分别交于点M,N,连接 BM,若∠A=15°，BM=4,则△AMB的面积为 M B D 第11题图 第12题图 12.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD⊥BC于点D。若P,Q分别 是AD和AC上的动点，则CP+PQ的最小值是 三、解答题（共60分） 13.(10分)如图，C是线段AB外一点。借助无刻度直尺和圆规，判断点C是否在 线段AB的垂直平分线上。（要求：用两种方法判断：保留作图痕迹，不写作法） .C ·C B B 图1 图2 14.(10分)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC,垂足为B,E为BC上一点。已知AB =20,AE=25,BC=39,CD=7,且AE=DE。求证：△CDE为直角三角形。 15.(10分)如图，在△MBC中，D是BC的中点，MB=MC,连接MD,E为MC上一 点，∠CBE=45°，BE交MD于点F,若MB=13,BC=10,求MF的长。 E 4 米周末小金卷·数学·八年级下册 16.(10分)证明：一条直角边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等。 17.(10分)如图，AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE。求证：OE垂 直平分BD。 18.（10分)如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角 形为“梦想三角形”。 (1)如图，在△ABC中，AB=AC=√5，BC=2。求证：△ABC是“梦想三角形”； (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6。若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长。 A B(AF=BF, 在△AFC和△BFC中，{AC=BC, CF=CF, ∴.△AFC≌△BFC(SSS)。 ·.∠ACF=∠BCF,即CF平分∠ACB。 又，AC=BC,∴.AG=BG, 即G为AB的中点。 (3)解：如图，设BD与CE交于点M。 M B 由(1)，得∠FBG=∠FAG=15°。 .∴.∠BFE=∠FBG+∠FAG=30°。 .∠E=60°， ∴.∠EMF=180°-∠BFE-∠E=90°。 在Rt△BCM中，∠BMC=90°，∠CBD=60°， .∠BCE=180°-∠BMC-∠CBD=30°。 周末小金卷二 1.B2.A3.D4.C5.B 6.B【解析】如图，过，点C作CH⊥AB于点H, 取AB的中点D,连接CD。 .·∠ACB=90°，AC= 4,BC=3, A< .AB=√AC2+BC2=5。 CD是Rt△ABC中的边AB上的中线， .CD=BD=。AB=2.5e 1 S△ABc=2 1 AC·BC=。AB·CH, 2 .CH=2.4。.BH=√BC2-CH=1.8。 .DH=BD-BH=0.7。六DH0.779 .CD2.525 7.D小斗分析：先利用题中作法得出AD=AC和MW 垂直平分BD,再利用线段垂直平分线的性质得出 BE=DE,最后利用线段的和求出周长。 【解析】由作图可知，AD=AC,MN垂直平分 BD,∴.BE=DE。 ·28· 米周末小金卷·数学·八年级下 .∴.△ADE的周长=AD+AE+DE=AC+AE+BE= AC+AB。 AB=9,AC=7, ∴.△ADE的周长=7+9=16。 8.C【解析】.·第一个直角三角形的两条直角 边长分别为1和2，其他直角三角形都有一条 直角边长为1， ·由勾股定理，得左起第一个直角三角形的斜 边长为√1+2=√5，第二个直角三角形的斜 边长为√1+(5)2=6，第三个直角三角形 的斜边长为√/12+（√6）=√7，第四个直角三 角形的斜边长为√+（万）=√8， ·.第十一个直角三角形的斜边长为√15。 .这个图形的周长（实线部分）为1=11+2+ √15=13+w/15。 √12.25<√15<√16，即3.5<√15<4， ∴.16.5<13+√15<17。 .与1最接近的整数是17。 9.同位角相等，两直线平行10.90° 11.4【解析】.MN垂直平分线段AB, .AM=BM=4。∴.∠MBA=∠A=15°。 ∴.∠BMC=∠A+∠MBA=30°。 ∠C=90°，BM=4, 六BC=2BM=2。S△Aw8=2X4x2=4。 12智【解析】如图，连接B即，0，点B作 BQ'⊥AC于点Q'。 0 P B D 在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD ⊥BC,BD=CD,即AD垂直平分BC。 ∴.BP=CP。∴.CP+PQ=BP+PQ≥BQ。 ∴.当B,P,Q三点共线，且BQ⊥AC时，BP+PQ 的值最小，即当，点Q位于点Q位置时，CP+PQ 求证：Rt△ABC≌Rt△DEF。 的值最小，且最小值为BQ'的长。 证明：.CH⊥AB,FM⊥DE, 令AQ'=a,则CQ'=10-a。 ∴.∠BHC=∠EMF=90°。 .BQ'LAC,...AB2-AQ2=BC2-CQ2, 在Rt△BCH和Rt△EFM中，CH=FM, (BC=EF, 即102-a2=122-(10-a)2, 解得a=5。BQ=V10-a=4 14 .Rt△BCH≌Rt△EFM(HL)。 ∴.∠B=∠E。 CP+PQ的最小值为 ∠ACB=∠DFE, 5 在△ABC和△DEF中，BC=EF, 13.解：如图所示，两种方法确定点C在线段AB ∠B=∠E, 的垂直平分线上。 ∴.△ABC≌△DEF(ASA)。 ∴.一条直角边和斜边上的高分别相等的两个 直角三角形全等。 17.证明：在△AOB与△C0D中， [A=∠C, OA=OC, ∠AOB=∠COD, 14.证明：AB⊥BC,.∠ABC=90°。 ∴.△AOB≌△COD(ASA)。∴.OB=OD。 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 .点O在线段BD的垂直平分线上。 BE=√AE2-AB2=15, BE=DE, .CE=BC-BE=24。 .点E在线段BD的垂直平分线上。 .DE=AE,AE=25,∴.DE=25。 .OE垂直平分BD。 .CD2+CE2=7+242=625=252=DE。 18.(1)证明：如图1，过点A作AD⊥BC于点D。 .△CDE为直角三角形。 AB=AC,AD⊥BC,BC=2, 15.解：.D是BC的中点，MB=MC, :BD=)BC=1。 .∴.MD⊥BC。 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 BC=10,BD=2BC=5。 AD=√AB2-BD2=2。 MB=13,∴.MD=√MB2-BD2=12。 .AD=BC,即△ABC是“梦想三角形”。 ,∠CBE=45°，.∠DFB=45°=∠CBE。 ∴.DF=BD=5。.MF=MD-DF=7。 16.解：已知：如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∠ACB=∠DFE=90°，CH⊥AB于点H,FM⊥DE B 于点M,BC=EF,CH=FM。 D 图1 图2 M (2)解：如图2。 当边AC上的中线BD等于AC时， w0=3, .BC=√WBD2-CD2=3V3; 当边BC上的中线AE等于BC时， AC=AE-CE BC-BG)-6 解得BC=4√5（负值已舍）。 综上所述，BC的长为3√3或4√3。 周末小金卷三 1.C2.A3.D4.C 5.D【解析】如图，过点O分别作OE⊥AB于点 E,OF⊥AC于点F,连接OA。 B D :OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥ BC,OE⊥AB,OF⊥AC,OD=3, .0E=0D=3,0F=0D=3。 :△ABC的周长为24，∴.AB+BC+AC=24。 .S△ABc=S△AOB+S△Boc+S△A0C 24c.05 · 1 X3AB+ ×3BC+。×3AC 21 2 3 3 ×(4B+BC+AC)=2×24=36。 6.A【解析】如图，连接AP,延长BP交AC于 点D, A B .∴.∠BPC=LPDC+LACP=∠BAC+LABP+∠ACP。 P是AB,AC的垂直平分线的交，点， ∴.AP=BP=CP。 ∴.∠ABP=∠BAP,∠ACP=∠CAP。 .'.∠BPC=∠BAC+∠BAP+∠CAP=∠BAC+ ∠BAC=2∠BAC=2X50°=100°. 7.A【解析】由基本作图得到BP平分∠ABC, BH=DH, ∴.∠ABP=∠CBP,∠DBH=∠BDH。 ∴.∠ABP=∠BDH。 ∴.FH∥AB。.∴.∠EFD=∠AEF=68°。 .∠FDG=39°， ∴.∠EGB=∠EFD-∠FDG=68°-39°=29°。 8.B【解析】如图，过，点M作MN⊥AD于点N。 .∠B=∠C=90°， D .∠B+∠C=180°， ∴.ABCD。 .∠DAB=180°-∠ADC=80°。 :DM平分∠ADC,MN⊥AD,MC A ⊥CD,∴.MN=MC。 M是BC的中点， ∴.MC=MB。.MN=MB。 又.MN⊥AD,MB⊥AB,∴.AM平分∠DAB。 、.∠MAB=号∠DAB=40。 21 9.130°10.2m 11.9【解析】如图，连接CP。 A F EF垂直平分AC,.AP=CP。 .△ABP的周长=AB+BP+AP=AB+BP+CP≥ AB+BC。 当C,P,B三点共线，即当点P与点F重合 时，△ABP的周长最小，且最小值为AB+BC 的值。 .∵AB=2.5,BC=6.5, .△ABP周长的最小值=AB+BC=9。 2)【解析如图，过点P作AB的垂线，垂 为M,连接BP。 :BP平分∠ABC,∠C=90°，PM⊥AB, .PC=PM。 在Rt△ABC中，由勾股定 .∴.∠ABC=∠CDF。 理，得 [∠CBE=∠CDF, AC=√102-6=8(cm)。 在△CBE和△CDF中，{∠BEC=∠DFC, 1 BC=DC, Sa4Bc=X6×8=24(cm2)。 2 ∴.△CBE≌△CDF(AAS)。∴.CF=CE。 1 .点C在∠DAB的平分线上。 六2x6·PC+ 2×10·PM 16.（1)证明：AF是∠BAC的平分线，∠ACB= =24, 90°，FG⊥AB,CD是边AB上的高， 3 解得PC=3。∴.t= 20 .FC-FG,LCAF-LDAE=1LBAC, 13.证明：如图，连接0A,0B,0C。 ∠CAF+∠AFC=90°，∠DAE+∠AED=90°。 ,OM是AB的垂直 ∴.∠AED=∠AFC。 平分线，OA=0B。 M ,∠AED=∠CEF,∴.∠CEF=∠AFC。 ,ON是AC的垂直 .CE=CF。∴.CE=FG。 平分线，.OA=0C。 0 (2)解：CE=4,∴.FG=CF=CE=4。 ∴.0C=0B。∴.点0 AC=12,AB=15, B 在BC的垂直平分线上 ∴.SAARC=SAACF+SAABF 1 1 14.小斗提示：点P既在线段AB的垂直平分线上，又在 =2AC·CF+2AB·FG 2 两条公路所夹角的平分线上，故两线交点即为发射 塔P的位置。 F2×12x4+2×15x4=54。 解：设两条公路相交于点O。P为线段AB的 17.解：(1)1是边AB的垂直平分线， 垂直平分线与∠MON的平分线交点或与 ∴.AD=BD。 ∠QON的平分线交点。如图，满足条件的点 ·L2是边AC的垂直平分线， 有两个，即P,P'。 .AE=CE。 m .BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE=8 cmo B (2),L1是边AB的垂直平分线， .OA=OB。 2是边AC的垂直平分线， ∴.0A=0C。 0B+0C+BC=18 cm, 15.证明：如图，过点C作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足 ∴.OB+0C=10cm,∴.OA=0B=0C=5cm 分别为E,F, (3)∠BAC=120°，∴.∠ABC+∠ACB=60°。 AD=BD,AE=CE, F ∴.∠BAD=∠ABC,∠CAE=∠ACB。 .∴.∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=60°。 18.解：(1)AP是∠BAC的平分线。理由如下： B (AD=AE, 则∠BEC=∠DFC=90°。 在△ADF和△AEF中，{FD=FE, .∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠CDF=180°， AF=AF, 米周末小金卷·数学·八年级下册 ·29·