专题08 平行四边形的证明方法5类题型（期中复习专项）八年级数学下学期新教材浙教版

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题08平行四边形的证明方法 题型归纳·内容导航 题型1利用对角线相等证明平行四边形（常考题） 题型4一组对边平行且相等证明平行四边形 题型2一组对边平行且相等证明平行四边形（常考题） 题型5利用中位线证明平行四边形（常考题） 题型3两组对边分别平行证明平行四边形 题型通关·靶向提分 题型一利用对角线相等证明平行四边形（共6小题） 1.(25-26八年级下.四川内江期末)四边形ABCD中，AB‖CD,AD川BC,O为对角线AC的中点，过O 点作直线EF,交DA的延长线于点E,交BC的延长线于点F. (1)求证：四边形AECF是平行四边形 (2)如果四边形ABCD与四边形AECF的周长分别是16与10，求△EDC的周长. 2.(24-25八年级下.甘肃临夏期中)如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F,E分别是AD及其延长线 上的点，CFBE. (1)求证：△BDE兰△CDF (2)请连接BF,CE,证明四边形BECF是平行四边形 3.(25-26八年级下江苏南通·月考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E,F分 别为AO,CO的中点，连接EB,BF,FD,DE 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E (1)求证：四边形BFDE是平行四边形. (2)若∠ABD=90°，AB=2B0=4,求线段BE的长. 4.(25-26八年级下江苏无锡·月考)如图，四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，点E,F分别在 线段OA,OC上，且OB=OD,∠1=∠2，AE=CF,求证：四边形ABCD是平行四边形. D B 5.(25-26八年级上·福建福州期末)如图，在☐ABCD中，对角线AC,BD交于点0，CE平分∠ACD, 交BD于点E D B (1)尺规作图：作∠BAC的角平分线，交BD于点F,连接AE,CF(不写作法，保留作图痕迹)： (2)求证：四边形AFCE是平行四边形， 6,(25-26八年级下·浙江温州·期中)已知，如图，在☐ABCD中，过AC中点O的直线分别交CBAD的 延长线于点E、F,连接CF、AE.求证：四边形AECF为平行四边形. B 题型二一组对边平行且相等证明平行四边形（共7小题） 1.(25-26八年级上江苏泰州期末)如图，平行四边形ABCD中，BD是对角线，过A,C两点分别作 AE⊥BD,CF⊥BD,E、F是垂足. 2/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (1)求证：DE=BF: (2)连接AC,AC与EF互相平分吗？为什么？ 2.(25-26八年级上山东潍坊期末)如图，点E、F分别为线段AB、CD上的点，且AE=DF,ABIICD, 连接EC、BF,分别交AD于点G、H,连接BG,CH,∠AGE=∠DHF. A G (1)证明：AG=DH; (2)证明：四边形BGCH为平行四边形. 3.已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,延长DE、BF,分别交AB于 点H,交BC于点G,若ADI‖BC,AE=CF. D G C E H (1)求证：四边形ABCD为平行四边形； (2)若∠DAH=∠GBA,GF=2,CF=4,求AD的长. 4,(25-26八年级下四川成都期末)如图，在□ABCD中，E,F分别是AD,BC边上的点，且AE=CF A E D (1)求证：四边形BEDF是平行四边形： (2)连接CE,若CE平分∠DCB,CF=2,DE=3,求□ABCD的周长. 5.(25-26八年级下.浙江衢州期中)如图，己知☐ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点. 3/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (1)求证：四边形EBFD是平行四边形. (2)若AD=AE=4,∠A=60°，求四边形EBFD的周长， 6.(25-26八年级下.湖北武汉·月考)在平行四边形ABCD中，点0是对角线BD的中点，点在边BC上， EO的延长线与边AD交于点F,连接BF、DE,如图1. F F E 图1 图2 (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若DE=DC,∠CBD=45°，过点C作BF的垂线，与DE、BD、BF分别交于点Q、H、P,如图2. ①求证：CE=V2BH;②已知BE:EC=3:2,AB=V34,直接写出CQ的长 7.(2026贵州六盘水.一模)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在边AB、CD上，且满足BE=DF D (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若∠AFC=90°，AF=2AE=6,连接AC,并求AC的长. 题型三两组对边分别平行证明平行四边形（共5小题） 1.(25-26八年级下江苏期中)己知：如图，在梯形ABCD中，AD‖BC,BC=DC,CF平分∠BCD, DF‖AB,BF的延长线交DC于点E. 4/9 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△BFC兰△DFC: (2)求证：AD=DE; (3)若△DEF的周长为6，AD=2,BC=5,求梯形ABCD的面积. 2.(25-26九年级上北京通州月考)如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90·,点E在BC上， AEDC,EF⊥AB,垂足为F. D B (1)求证：四边形AECD是平行四边形； (2)若AE平分∠BAC,BE=5,AD=3,求BF的长. 3,(25-26九年级上江西抚州期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，过点A作直线GH‖BC,点E 在BC上，过点E作EF⊥AB于点O,交直线GH于点F,连接AE,BF. H (1)求证：AF=CE: (2)当点E为BC的中点时，判断四边形AEBF的形状，并说明理由： 3)在(2)的条件下，当能的比值为时，四边形ABBF为正方形. 4.如图，在□ABCD中，过点B作BM⊥AC,交AC于点E,交CD于点M,过点D作DN⊥AC,交AC于 点F,交AB于点N. M 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：四边形BMDN是平行四边形： (2)己知AF=12,EM=5,求AN的长， 5.(25-26八年级下.山东威海期末)如图，在四边形ABCD中，AB‖CD,∠BAD的平分线AE交CD于点 F,交BC的延长线于点E,且AB=BE. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)连接BF,若BF⊥AE,∠E=60°，AB=8,求四边形ABCD的面积. 6.(24-25八年级下河南信阳·月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MNI‖AB,D 为AB边上一点，过点D作DE⊥BC,垂足为F,交直线MN于E,连接CD,BE. B D M (1)求证：CE=AD: (2)若点D为AB中点，当∠A=一°时，四边形BECD是正方形. 题型四两组对边分别相等证明平行四边形（共3小题） 1.(24-25八年级下-陕西汉中.期末)如图，在四边形ABCD中，连接BD,∠A=∠C,∠1=∠2.求证： 四边形ABCD是平行四边形. D 2.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨期末)如图，等边△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且 AD=CE,CD与BE交于点F,在BC上方作等边△BEG,连接AG,DG. 6/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E (1)求证：四边形CDGE为平行四边形： (2)不添加任何辅助线，直接写出与∠AEG相等的角（不包括∠AEG). 3.(25-26八年级下河南洛阳·月考)如图，点E,F是☐ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF,连接 BE,DE,BF,DF. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形： (2)若AB⊥BF,AB=8,BF=6,AC=14,求△ABC的面积. 题型五利用中位线证明平行四边形（共3小题） 1.(2026·贵州毕节·模拟预测)在Rt△ABC中，∠C=90°，E,F分别是边AB,AC的中点，延长BC到 点D,使CD=专BC,连接EF,CE,DF. D E (1)求证：四边形CDFE是平行四边形 (2)连结DE,交AC于点O,若AB=BD=6,求DE的长 2.(25-26八年级下.北京·月考)如图，E是AB的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,AF‖DC. 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：四边形AFCD为平行四边形； (2)若∠EFB=90°，BF=3EF,EF=1,连接BC,求BC的长 3.(25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯月考)如图，点0是△ABC内一点，连接0B、0C,并将AB、0B、 OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG. D (1)若∠GDE=60°，求∠GFE的度数； (2)若M为EF的中点，OM=3,∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度. 4,(2026·安徽安庆.一模)如图，在☐ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=2AB,点E在线段 OD上，且OE=DE.连接CE M (1)求证：CE⊥BD; (2)若M,N分别是OA,BC的中点，且AB=20,连接EM,EN. ①求证：EM=EN; ②当EM⊥EN时，求☐ABCD的面积. 5.(25-26九年级上河南周口·期末)在△ABC中，BC>AC,点D在BC上，且DC=AC,∠ACB的平 分线CF交AD于F,点E是AB的中点，连接EF. 8/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E F (1)求证：EF列BC: (2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积. 6.(25-26八年级上山东泰安期末)如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线 段CE上，连接BH,点G、F分别为BH、CH的中点. D E G H B C (1)求证：四边形DEFG为平行四边形； (2)若DG⊥BH,AD=4,EF=3,求线段HG的长度 7.(25-26九年级上.安徽宿州期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为BC的中点， 延长AB到点F,使BF=BC,连接OE,EF. D B (1)求证：四边形OBFE是平行四边形； (2)若BD=6,AB=5,求平行四边形0BFE的面积. 9/9 专题08 平行四边形的证明方法 题型1 利用对角线相等证明平行四边形（常考题） 题型4 一组对边平行且相等证明平行四边形 题型2 一组对边平行且相等证明平行四边形（常考题） 题型5 利用中位线证明平行四边形（常考题） 题型3 两组对边分别平行证明平行四边形 题型一 利用对角线相等证明平行四边形（共6小题） 1．（25-26八年级下·四川内江·期末）四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）由平行线的性质得到，，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）可证明四边形是平行四边形，，则可证明四边形的周长，同理可得四边形的周长，则可推出，再根据三角形的周长公式可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ，， ∵O为对角线的中点， ∴ ∴， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长； 同理可得四边形的周长， ∵四边形与四边形的周长分别是16与10， ∴， ∴， ∴的周长． 2．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用和是边的中点可以得到全等条件证明； （2）根据（1）的结论和平行四边形的判定，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． ， ． （2）证明：如图，连接 ， ，． 四边形是平行四边形． 3．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，再根据点，分别为，的中点，得到四边形的对角线互相平分，从而得证； （2）运用勾股定理求出，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求出即可． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，对角线，交于点， ，， 点，分别为，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2） ，， ， ， 点为的中点，， ． 【点睛】掌握平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，四边形中，对角线，相交于点，点，分别在线段，上，且，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先证明，得，再结合，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出答案． 【详解】∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本尺规作图—角平分线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用角平分线的作法进行作图即可； （2）根据平行四边形的性质得出相等的角，根据角平分线得出，证明，得出相等的边，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，如图，在中，过中点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解答关键．先利用四边形是平行四边形，易证，进而得到，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 题型二 一组对边平行且相等证明平行四边形（共7小题） 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，平行四边形中，是对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足． (1)求证：； (2)连接，与互相平分吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)与互相平分，理由见解析 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． （1）根据平行四边形的性质证明，，结合，，即可得出结论； （2）连接，由，得到，由，推出，得到四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴. （2）解：与互相平分．理由： 连接， ∵, ∴, ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 2．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直线平行的判定与性质，平行四边形的判定，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）由，得到，接着证明即可得到； （2）根据题意可得，即，再证明，得到，进而根据对边平行且相等的四边形为平行四边形即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 所以四边形为平行四边形． 3．已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 4．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义、等角对等边，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）通过证明“，”即可证得四边形是平行四边形； （2）证明，得出，从而得出，再求出，最后结合平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴， ∴平行四边形的周长是16． 5．（25-26八年级下·浙江衢州·期中）如图，已知中，E、F分别是边、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，从而可得，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）先根据线段中点的定义可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，根据平行四边形的周长公式即可得四边形的周长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 分别是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：是中点，且， ， ， ∴是等边三角形， ， 由（1）已证：四边形是平行四边形， ∴四边形的周长为． 6．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据，，得，，则有，再证，得出，然后证明，得，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据题意设，勾股定理求得，得出，进而得出的长，再根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，点是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图2，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， ． ②∵ 设 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ 7．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，连接，并求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，再证，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型三 两组对边分别平行证明平行四边形（共5小题） 1．（25-26八年级下·江苏·期中）已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用边角边论证三角形全等； （2）延长交于，则四边形为平行四边形，进而论证，利用等量代换即可得到结论； （3）通过论证是直角三角形得到梯形的高为，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长交于， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点评】本题考查了梯形性质的应用，求梯形的面积时关键是证明为直角三角形． 2．（25-26九年级上·北京通州·月考）如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，关键是灵活应用这些知识点解题； （1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行论证； （2）根据角平分线的性质可得，然后利用勾股定理求． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，在中，，过点A作直线，点E在上，过点E作于点O，交直线于点F，连接． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，当的比值为________时，四边形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可证明结论； （2）由直角三角形的性质可得，再结合（1）的结论易得四边形是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可解答； （3）由菱形是正方形，则；由直角三角形的性质可得，即是的垂直平分线，易得是等腰直角三角形；设，则，最后代入即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵在中，，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （3）解：∵菱形是正方形， ∴， ∵在中，，点E为的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∴， ∴当的比值为时，四边形为正方形， 故答案为：． 4．如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理； （ 1）证明，即可证明四边形是平行四边形； （ 2）证明，可得，在中，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， ， ， 在中，． 5．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质及平行四边形的判定等知识点，熟练掌握等边三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质及平行四边形的判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得是等边三角形，，则有，，然后根据勾股定理可得，进而证明得到四边形的面积等于的面积，则问题可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)若点为中点，当______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定； （1）先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）先证明四边形是菱形，进而可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，为中点， ， 四边形是菱形； 若四边形是正方形，则， 又四边形是菱形， ， ， ∴ 故答案为：． 题型四 两组对边分别相等证明平行四边形（共3小题） 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定和性质及平行四边形的判定方法是解题关键． 首先，根据条件运用“”判定，然后，得出，，最后，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：在和中， ∵， ． ，． 四边形是平行四边形． 2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等边中，点在上，点在上，且，与交于点，在上方作等边，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，关键是根据证明． （1）根据等边三角形的性质和证明，再证明，最后利用平行四边形的判定进行证明即可； （2）根据平行四边形的性质、全等三角形的性质，等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ．在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ． ， ， ．， ， ． 是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 与相等的角有 3．（25-26八年级下·河南洛阳·月考）如图，点E，F是对角线上的两点，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）由平行线的性质得到，进而得到，再证明，得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出，进而得到，求出即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，，， ∴， ∵， ∴（同高三角形）， ∵， ∴． 题型五 利用中位线证明平行四边形（共3小题） 1．（2026·贵州毕节·模拟预测）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 2．（25-26八年级下·北京·月考）如图，是的中点，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，连接，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，即，然后结合得到四边形是平行四边形； （2）根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 3．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． (1)若，求的度数； (2)若为的中点，，和互余，求的长度． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且且，从而得到，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解； （2）先判断出，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出即可求解． 【详解】（1）解：∵分别是的中点， ， ∵分别是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴； （2）解：∵和互余， ， ， ∵为的中点，， ， 由（1）知四边形是平行四边形， ． 4．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，对角线，相交于点O，，点E在线段上，且．连接． (1)求证：； (2)若M，N分别是，的中点，且，连接，． ①求证：； ②当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②480 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，，．结合，得出，证明是等腰三角形，结合，即可证明； （2）①根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出．证明是的中位线，得出，即可证明． ②根据，是的中位线，得出，结合，得出，根据垂直平分线的性质得出．设，则，，得出．在中，根据勾股定理列方程求出再根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 又∵， ∴； （2）①证明：∵， ∴． ∵N为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵E，M分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． ②解：∵是的中位线， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵N是的中点， ∴． 设，则，． ∴． 在中，， ∴， 即， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∴． 5．（25-26九年级上·河南周口·期末）在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形中位线定理的运用； （1）依据等腰三角形的性质，即可得到是的中点，再根据三角形中位线定理，即可得到； （2）依据是的中位线，即可得到，，进而得到，再依据是的中点，继而得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：∵是的中位线， ∴，， 如图，连接，则， 又∵四边形的面积为6， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴的面积为． 6．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据三角形中位线的性质可得，且，，且，进而可知，且，即可证明结论； （2）首先证明，，再在中由勾股定理解得的长度，然后由，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵点D、E分别为的中点， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 7．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E为的中点，延长到点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定是解题的关键． （1）先得到为的中位线，则根据三角形中位线的性质以及已知添加证明，即可证明； （2）先求出，再由勾股定理求出，然后过点作于点，由面积法得到，即可求解，再由平行四边形面积公式求解． 【详解】（1）证明：菱形 为中点 为的中位线 四边形是平行四边形 （2）解：过点作于点 菱形 解得： ． 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $