专题01 期中真题百练通关（期中复习专项训练，105题11大常考题型）八年级数学下学期新教材沪科版

专题01 期中真题百练通关（105题11大题型） 题型1 二次根式有意义的条件 题型7 根的判别式 题型2 二次根式的性质与化简 题型8 根与系数的关系 题型3 最简二次根式 题型9 一元二次方程的应用 题型4二次根式的混合运算及化简求值 题型10 勾股定理 题型5 一元二次方程的定义及方程的解 题型11 勾股定理的逆定理 题型6 一元二次方程的解法 题型一 二次根式有意义的条件（共4小题） 1．（2026•庐阳区校级一模）若分式有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 2．（2026•阜阳校级一模）若，则（x+y）﹣1＝　 　 ． 3．（2025•金安区校级一模）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 4．（2018•邵阳县模拟）已知b+8． （1）求a的值； （2）求a2﹣b2的平方根． 题型二 二次根式的性质与化简（共8小题）） 5．（2025春•舒城县校级期中）已知xy＜0，化简二次根式的正确结果为（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•埇桥区校级月考）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（　　） A．2b﹣a B．b﹣2a C．a D．﹣a 7．（2025春•舒城县校级期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B．﹣2a C．﹣2b D．2a﹣2b 8．（2025春•怀宁县期中）已知1﹣2a，那么a的取值范围是（　　） A．a B．a C．a D．a 9．（2026•安徽二模）下列运算正确的是（　　） A．2a•6a＝12a B． C．（3c）3＝3c3 D． 10．（2021春•鸠江区校级期末）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，②•1，③b，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 11．（2024春•瑶海区校级期中）下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（2025春•桐城市校级期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 题型三 最简二次根式（共4大题） 13．（2024春•花山区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 14．（2025春•亳州期末）下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 15．（2025春•安庆校级期中）下列根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 16．（2025秋•蒙城县期末）如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（　　） A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝0 C．a＝﹣1，b＝1 D．a＝0，b＝2 题型四．二次根式的混合运算及化简求值（共11小题） 17．（2025春•蜀山区校级期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 18．（2025春•合肥月考）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 19．（2025秋•宿州期末）计算：（）　 　 ． 20．（2025春•安徽校级期中）计算：． 21．（2025秋•蒙城县期末）计算：． 22．（2025春•潜山市期中）已知x+y＝﹣9，xy＝9，则值是（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 23．（2025春•瑶海区期中）若，则代数式x3+3x2+x﹣5的值为　 　 ． 24．（2024春•怀宁县期中）如果x2﹣3x﹣1＝0，则的值是 　 　 ． 25．（2025春•芜湖校级期中）已知x，y，求下列各式的值： （1）x2﹣y2． （2）x2+y2+3xy． 26．（2026春•合肥校级月考）爱思考的小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 他是这样分析与解答的： ∵， ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的思维方法，解决如下问题： （1）计算：； （2）已知：，求4b2+8b﹣3的值； （3）计算：　 　 ． 27．（2025春•凤阳县校级期中）【阅读材料】对任意一个实数x，定义：[x]表示不超过x的数大整数，{x}表示x的非负纯小数部分．即0≤{x}＜1．则x＝[x]+{x}．例：[]+{}，其中[]＝2，{}2；[]+{}，其中，{}＝3． 【解答问题】 （1） 　 　 ； （2）若，求整数x的值； （3）若x＝8，y＝2，求（{x}﹣{y}）2+（[x]﹣{x}）的值． 题型五．一元二次方程的定义及方程的解（共7小题） 28．（2015春•利辛县校级月考）下列方程是一元二次方程（　　） A．x+2y＝1 B．2x（x﹣1）＝2x2+3 C．3x4 D．x2﹣2＝0 29．（2025春•瑶海区期中）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 30．（2025秋•黄山期中）如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　） A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027 31．（2025春•贵池区期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一解为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2必有一解为（　　） A．x＝2026 B．x＝2025 C．x＝2024 D．x＝2022 32．（2025秋•芜湖期末）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 33．（2026•安徽模拟）若m，n为正实数，设，t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实数根． （1）若，则的值是　 　 ； （2）用含k的代数式表示：　 　 ． 34．（2025秋•埇桥区校级月考）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是　 　 ； （2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，求出c的值； （3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为　 　 ． 题型六．一元二次方程的解法（共10题） 配方法（共2小题） 35．（2025秋•怀宁县期中）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣1）2＝1 36．（2025春•舒城县校级期中）将一元二次方程2x2﹣12x﹣1＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值为（　　） A．a＝3，b＝10 B．a＝﹣3，b＝10 C． D． 公式法（共3小题） 37．（2026春•长丰县月考）解方程：3x﹣5＝0． 38．（2026•裕安区校级模拟）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有m＝n． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得：　 　 ①，由m为整数知：　 　 ②是整数，∴一定是整数，∴m﹣n是有理数，∴m﹣n＝0，∴m＝n． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有（x+a）（x﹣15）﹣25＝（x+b）（x+c），求a的可能值． 解法一：由（x+a）（x﹣15）﹣25＝（x+b）（x+c）得（b+c﹣a+15）x+bc+25+15a＝0． ∵x具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得， ∴bc+15（b+c）+152＝﹣25，即（b+15）（c+15）＝﹣1×25＝﹣5×5＝1×（﹣25）， 从而有或③　 　 或④　 　 ， 即b+c＝﹣6或b+c＝﹣30或b+c＝﹣54． 当b+c＝﹣6时，a＝9，同理⑤　 　 或⑥　 　 ， 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得 请将①②③④⑤⑥补充完整． 39．（2025•潜山市开学）解方程：（3x﹣1）（x+1）＝1． 因式分解法（共5小题） 40．（2026•岳西县模拟）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab+2，若（2x﹣1）★（x+3）＝11，则x的值为（　　） A．，x2＝﹣5 B．，x2＝5 C．x1＝﹣1， D．x1＝1， 41．（2025春•安庆校级期中）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根．则该三角形的周长是（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．8或9或10 42．（2026•阜阳校级一模）解方程：x2﹣4x﹣5＝0． 43．（2025春•宣城校级期中）对于两个不相等的实数m，n，我们规定符号max{m，n}表示m，n中较大的数，如：max{﹣3，5}＝5． （1）　 　 ． （2）方程max{4x﹣3，x}＝x2的解为　 　 ． 44．（2024春•利辛县期中）对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下：m※n． （1）若m＝﹣3，n＝2，则m※n＝　 　 ； （2）若x※（﹣1）＝5，则实数x的值为 　 　 ． 题型七．根的判别式（共9小题） 45．（2026•包河区一模）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A． B． C． D． 46．（2024春•合肥期末）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＝0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 47．（2026春•太湖县月考）规定：对于任意实数m，n，p，有[m，n]*p＝mp﹣2n，如[﹣3，4]*2＝﹣3×2﹣2×4＝﹣14，若关于x的方程[x，x﹣3]*mx＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A． B． C．且m≠0 D．且m≠0 48．（2024•六安模拟）若实数b，c满足c﹣b+2＝0，则关于x的方程x2+bx+c＝0根的情况是（　　） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 49．（2025春•庐阳区校级期中）已知等腰△ABC的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个根，则m的值是 　 　 ． 50．（2026•安徽二模）已知实数a，b，c满足a+b﹣2c＝10． （1）若a＞0且a﹣b+c＝0，则b的范围是　 　 ； （2）若ab﹣50＝2c2，则a﹣b﹣c的值为　 　 ． 51．（2025春•蜀山区校级期中）已知：关于x的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值． 52．（2025春•舒城县校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣3＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若a是方程的一个实数根，且满足（a2﹣4a+1）（m+2）＝﹣40，求m的值． 53．（2025春•庐阳区校级期末）若a是关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣3＝0的一个根． （1）求m的取值范围； （2）若a+b﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+n＝0的一个根． （ⅰ）请用含a、b的式子表示n； （ⅱ）若n＝b﹣5，且b≠﹣2a+2，求b的值． 题型八．根与系数的关系（共5小题） 54．（2025春•合肥校级期中）若x1，x2是方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝3 C． D． 55．（2025秋•庐江县校级期中）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 56．（2025•颍上县一模）设a、b是一元二次方程2x2+4x﹣5＝0的两个根，则2a2+5a+b的值为（　　） A．﹣3 B．5 C．3 D． 57．（2025春•安庆校级期中）已知实数m，n满足3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0，且mn≠1，求的值（　　） A． B． C．3 D． 58．（2025秋•合肥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”． （1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”； （2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请求出m的值． 题型九．一元二次方程的应用（共9小题） 59．（2026•庐江县一模）《安徽省量子科技行业“十五五”规划前景预测研究报告》发布显示，2024年安徽省量子科技产业规模为120亿元，预计到2026年为200亿．设2025年、2026年两年产业规模的年平均增长率为x，则可列出的方程为（　　） A．120（1+x）2＝200 B．120（1+2x）＝200 C．120（1+x%）2＝200 D．120（1+2x%）2＝200 60．（2025秋•蒙城县期末）某校九年级1班的同学毕业时都将自己的生活照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1540张照片，求全班的学生人数．设全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A．x（x+1）＝1540 B． C．x（x﹣1）＝1540 D．2x（x+1）＝1540 61．（2025秋•泗县期末）某场比赛采用单循环制（即每两支球队都要比赛一场），若共有x支球队进行了21场比赛，则可列方程为（　　） A．x（x﹣2）＝42 B． C．x2﹣x＝21 D． 62．（2025春•金安区校级期中）某机械厂七月份生产零件50万个，八、九两月共生产146万个，设该厂八、九月份平均每月的长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝146 B．50（1+x）+50（1+x）2＝146 C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝146 D．50（1+x）+50（1+2x）＝146 63．（2024春•金安区校级期末）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 64．（2025春•庐阳区校级期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例说明，记载的方法是：构造如图面积是（x+x+5）2的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52＝81，因此x＝2．则在下列四个构图中，能正确说明方程x2﹣3x﹣10＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 65．（2026•太和县一模）综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为STEM教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 66．（2025春•安徽期末）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 67．（2026春•太和县校级月考）某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27m，AB位置的墙最大可用长度为15m），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的HE、GF、HG三处各留0.75m、0.75m、1.5m宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长45m． （1）若饲养场（长方形ABCD）的一边CD长为10m，则另一边BC＝　 　 m． （2）若饲养场（长方形ABCD）的面积为165m2，求边CD的长． 题型十．勾股定理（共13小题） 68．（2025秋•霍邱县校级期末）在下列条件： ①∠A+∠C＝∠B； ②； ③∠A＝∠B＝2∠C； ④∠A：∠B：∠C＝1：3：4中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 69．（2026•安徽一模）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　） A．1 B．3 C． D． 70．（2026•阜阳校级一模）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．当AB＝BC＝1，∠AOB＝30°时，OC的长为（　　） A． B．2 C． D． 71．（2026•肥东县校级开学）如图，等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边的中点，连接CD并延长至点P，作AP⊥PQ交BC于点Q，若CQ＝1，则CP＝　 　 ． 72．（2025春•安徽校级期中）如图，在直角△ADC中，CD⊥AC，AD＝10，DC＝6，AC绕点A摆动到AB的位置，取AB的中点E，连接BD、CE，求AC绕点A摆动的过程中， （1）AC＝　 　 ； （2）BD+CE的最小值为　 　 ． 73．（2025春•庐阳区校级期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP． （1）当t＝3秒时，求AP＝　 　 ． （2）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t＝　 　 时，能使DE＝CD． 74．（2025秋•合肥校级期末）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． （1）如图1，这是美国第20任总统詹姆斯•加菲尔德的“总统证法”图形，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，请推导勾股定理． （2）如图2，在△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，求CH的长． 75．（2025春•庐江县校级期中）定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，且a，b，c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB＝BC，AC＞AB，求∠C的度数． （2）如图2，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠ACB＞∠A，D是AB上的点，连接CD，满足AD＝CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．求证：△ABC为“类勾股三角形”． 76．（2025春•利辛县期中）如图，已知线段OA的长度为1，以OA为直角边作等腰直角△OAA1，∠OAA1＝90°；以OA1为直角边作等腰直角△OA1A2，∠OA1A2＝90°；以OA2为直角边作等腰直角△OA2A3，∠OA2A3＝90°；以OA3为直角边作等腰直角△OA3A4，∠OA3A4＝90°；以OA4为直角边作等腰直角△OA4A5，∠OA4A5＝90°；…，照此方法一直作图下去． 【填空】OA1＝ 　 　 ；OA2＝ 　 　 ；OA3＝ 　 　 ；OA4＝　 　 ；OA5＝ 　 　 ；OA6＝ 　 　 ； 【猜想】OAn＝ 　 　 ；（用含n的式子表示） 【应用】 （1）OA2025＝ 　 　 ；（化简） （2）求OA1+OA2+OA3+OA4+…+OA10的值． 77．（2025秋•埇桥区校级月考）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形． （1）如图1，四边形ABCD为垂美四边形，若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，求证：a2+c2＝b2+d2； （2）如图2，在长方形ABCD中，AB＝10，AE⊥BD分别交BD、BC于点F、E，AD：BE＝4：1，求BE的长； （3）在（2）的条件下求AF的长． 78．（2026•无为市一模）如图所示的“赵爽弦图”，大正方形ABCD面积为29，小正方形EFGH面积为9，则AG长为（　　） A． B． C． D．6 79．（2026•怀宁县开学）青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形ABCD、DEFG、CGHI均为正方形．若正方形ABCD、CGHI的面积分别为45、9，则AF＝　 　 ． 80．（2024春•天长市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝30，求S2． 题型十一．勾股定理的逆定理（共18小题） 81．（2025春•庐阳区校级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．c2＝a2﹣b2 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠C＝∠B﹣∠A D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 82．（2025春•肥东县校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC，CD＝1，AD＝2，且∠BCD＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 83．（2025春•南陵县期末）如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 84．（2024春•蚌埠期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点P在线段AB上，连结CP．以下说法不正确的是（　　） A．当时，△CPB是直角三角形 B．当时，△CPB是等腰三角形 C．当AP＝1时，△CPB是等腰三角形 D．当时，CP平分∠ACB 85．（2025春•埇桥区校级月考）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t＝　 　 时，△PBQ是直角三角形． 86．（2025春•肥东县校级期末）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝　 　 ． 87．（2024春•太和县校级月考）图①②中的网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点P，A，B，C，D都在格点上． （1）如图①，∠APB的度数为 　 　 ； （2）如图②，∠DAB+∠CAB的度数为 　 　 ． 88．（2024春•南谯区校级期中）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…这类勾股数的特点为勾为奇数，弦与股相差1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为2m（m为正整数），则股是（结果用含m的式子表示）（　　） A．m2+1 B．m2﹣1 C．2m+2 D．2m+3 89．（2026•庐江县一模）能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足a2+b2＝c2，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数： 第一类：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）． 第二类：（4，3，5），（6，8，10），（8，15，17），（10，24，26）． （1）任写一组勾股数满足第一类形式为　 　 ； （2）假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数　 　 ，并证明你的猜想． 90．（2025春•庐江县校级期末）观察下列等式： 第1个等式 （22﹣1）2+42＝（22+1）2 第2个等式 （32﹣1）2+62＝（32+1）2 第3个等式 （42﹣1）2+82＝（　 　 ）2 第4个等式 （52﹣1）2+102＝（52+1）2 …… …… （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含n（n为正整数，且n＞1）的等式表示上述规律：　 　 ＝（n2+1）2． 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 91．（2025秋•宿州期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（　　）尺． A．26 B．24 C．13 D．12 92．（2023春•淮南期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 93．（2024春•寿县期末）如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm 94．（2026•庐阳区校级一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是（　　） A． B． C． D． 95．（2025春•瑶海区校级期末）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺，设AC的长度为x尺，可列方程为 　 　 ． 96．（2024春•濉溪县期末）周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 97．（2025秋•埇桥区校级月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点之间的距离CA，CB分别为300km，400km，AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内（包括250km）为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若海港C受台风影响，且台风中心移动的速度为20km/h，台风影响海港C持续的时间有多长？（若海港C不受台风影响，则忽略此问） 98．（2024春•潜山市期中）我国某巨型摩天轮的最低点距离地面10m，圆盘半径为50m．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时∠POQ＝90°，且小丽距离地面20m． （1）△OCP与△QDO全等吗？为什么？ （2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 99．（2025秋•埇桥区校级月考）动手操作： （1）如图1，把矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点 　 　 重合，点B与点 　 　 重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 1．俗话说“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”学习过的东西不及时复习就会被遗忘．假设平均每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则平均每天“遗忘”的百分比约为　 （参考数据． 2．如图，AB与CD相交于点E，若∠AEC＝60°，AB＝2，CD＝3，则AC+BD的最小值为 　 3．先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是　　 ； （2）化去式子分母中的根号：　　 ；（直接写结果） （3）利用你发现的规律计算下列式子的值：． 4．材料1：古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． 阅读上述材料解决下列问题： （1）当三角形的三边长为5、6、7时，这个三角形的面积为　 　 ． （2）当三角形的三边长为、、时，这个三角形的面积为　 ． 5．欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法如下：如图，分别以和b为两直角边长作Rt△ABC，然后在斜边AB上截取AD＝AC，则BD的长就是方程x2+ax＝b2的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程x2+ax＝64时，若构造后的图形满足BD＝2AD，则△ABC的面积为　 　 ． 6.通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形﹣两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？　　 （填“是”或不是）； （2）若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形是不是奇异三角形，请做出判断并写出判断依据； （3）在Rt△ABC中，两边长分别为a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； 探究：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01期中真题百练通关（105题11大题型） 题型1 二次根式有意义的条件 题型7 根的判别式 题型2 二次根式的性质与化简 题型8 根与系数的关系 题型3 最简二次根式 题型9 一元二次方程的应用 题型4二次根式的混合运算及化简求值 题型10 勾股定理 题型5 一元二次方程的定义及方程的解 题型11 勾股定理的逆定理 题型6 一元二次方程的解法 一．二次根式有意义的条件（共9小题） 1．（2026•庐阳区校级一模）若分式有意义，则实数x的取值范围是x＞4　 ． 【专题】分式；二次根式；运算能力． 【分析】二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，根据两个条件列不等式求解即可． 【解答】解：依题意有且x﹣4≥0，即x﹣4＞0， 解得x＞4． 故答案为：x＞4． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零是解题关键． 2．（2026•阜阳校级一模）若，则（x+y）﹣1＝　　 ． 【专题】整式；二次根式；运算能力． 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x＝4，y＝﹣2，再代入计算即可． 【解答】解：根据题意得，， 解得，x＝4， ∴y＝﹣2， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2025•金安区校级一模）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥0且x≠1　 ． 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为零的条件解题． 【解答】解：因为在实数范围内有意义， 所以x≥0且x﹣1≠0， 则x≥0且x≠1． 故答案为：x≥0且x≠1． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 4．（2018•邵阳县模拟）已知b+8． （1）求a的值； （2）求a2﹣b2的平方根． 【分析】（1）根据被开方数是非负数，即可求得a的值； （2）根据（1）的结果即可求得b的值，然后利用平方根的定义求解． 【解答】解：根据题意得：， 解得：a＝17； （2）b+8＝0， 解得：b＝﹣8． 则a2﹣b2＝172﹣（﹣8）2＝225， 则平方根是：±15． 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 二．二次根式的性质与化简 5．（2025春•舒城县校级期中）已知xy＜0，化简二次根式的正确结果为（　　） A． B． C． D． 【专题】计算题． 【分析】先根据xy＜0，考虑有两种情况，再根据所给二次根式可确定x、y的取值，最后再化简即可． 【解答】解：∵xy＜0， ∴x＞0，y＜0或x＜0，y＞0， 又∵x有意义， ∴y＜0， ∴x＞0，y＜0， 当x＞0，y＜0时，x， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键是能根据已知条件以及所跟二次根式来确定x、y的取值． 6．（2025秋•埇桥区校级月考）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（　　） A．2b﹣a B．b﹣2a C．a D．﹣a 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】由数轴可知，a＜b＜0，进而可得b﹣a＞0，根据绝对值性质和二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由实数a、b在数轴上对应点的位置可知，a＜b＜0， ∴，b﹣a＞0， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确进行计算是解题关键． 7．（2025春•舒城县校级期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B．﹣2a C．﹣2b D．2a﹣2b 【专题】实数；二次根式；运算能力． 【分析】由数轴得a＜﹣1，0＜b＜1，进一步得出a+b＜0，a﹣b＜0，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由数轴得a＜﹣1，0＜b＜1， ∴a+b＜0，a﹣b＜0， ∴ ＝|a+b|﹣|a﹣b| ＝﹣a﹣b﹣（b﹣a） ＝﹣a﹣b﹣b+a ＝﹣2b， 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 8．（2025春•怀宁县期中）已知1﹣2a，那么a的取值范围是（　　） A．a B．a C．a D．a 【分析】根据二次根式的性质列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【解答】解：∵1﹣2a， ∴2a﹣1≤0，解得a． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 9．（2026•安徽二模）下列运算正确的是（　　） A．2a•6a＝12a B． C．（3c）3＝3c3 D． 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】根据单项式乘以单项式的运算法则可判断A； 根据二次根式的乘法运算法则可判断B； 根据积的乘方运算法则可判断C； 根据二次根式的性质可判断D． 【解答】解：A、2a•6a＝12a2，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算正确，符合题意； C、（3c）3＝27c3，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 五．分母有理化（共2小题） 10．（2021春•鸠江区校级期末）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，②•1，③b，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】先根据题意判断出a，b的符号，再对各小题进行解答即可． 【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0， ∴a＜0，b＜0， ∴①，原计算错误； ②•1，正确； ③b，正确． 故选：B． 【点评】本题考查的是分母有理化，根据题意判断出a＜0，b＜0是解题的关键． 11．（2024春•瑶海区校级期中）下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】利用二次根式商、积的算术平方根的性质、二次根式的性质分别判断A、C、B，利用二次根式的性质和非负数的性质判断D． 【解答】解：当a≤0，b＜0时，，故选项A不正确； 当a＜0时，|a|≠a，故选项B不正确； 当a≤0，b≤0时，•，故选项C不正确； ∵a﹣2b2﹣22＝（）2≥0， ∴2a+b，故选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式，掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 12．（2025春•桐城市校级期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0， ∴a＜0，b＜0， ∴，故选项A错误，不符合题意； 1，故选项B正确，符合题意； b，故选项C错误，不符合题意； （）2＝ab，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 三．最简二次根式 13．（2024春•花山区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误； B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确； C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D错误； 故选：B． 【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 14．（2025春•亳州期末）下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】化简得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、2，不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、，不是最简二次根式； 故选：B． 【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键． 15．（2025春•安庆校级期中）下列根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【解答】解：A．，不是最简二次根式，故A不符合题意； B． ，不是最简二次根式，故B不符合题意； C． 是最简二次根式，故C符合题意； D． ，不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，被开方数中不含有分母；属于基础题型，熟知最简二次根式的定义是正确判断的关键． 16．（2025秋•蒙城县期末）如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（　　） A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝0 C．a＝﹣1，b＝1 D．a＝0，b＝2 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】根据同类二次根式与最简二次根式的定义求解即可． 【解答】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得：． 故选：B． 【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握相应的定义是关键． 四．二次根式的运算及化简求值 17．（2025春•蜀山区校级期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】根据二次根式的加减乘除四则运算法则，逐项判断即可． 【解答】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 18．（2025春•合肥月考）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】根据二次根式的运算法则，对每步算式进行计算即可． 【解答】解：因为， 所以小明没有出现错误． 因为， 所以小丽出现错误． 因为， 所以小红出现错误． 因为， 所以小亮没有出现错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式的运算法则是解题的关键． 19．（2025秋•宿州期末）计算：（）　2　 ． 【专题】二次根式． 【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算． 【解答】解：原式＝（42） ＝2 ＝2． 故答案为2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 20．（2025春•安徽校级期中）计算：． 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】先计算乘法和除法，再合并即可得． 【解答】解：原式． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则． 21．（2025秋•蒙城县期末）计算：． 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】分别利用平方差公式、零指数幂、实数的绝对值及完全平方公式计算，再相加减即可． 【解答】解： ＝9﹣2+3﹣44+4﹣24+2 ＝14﹣4． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是关键． 22．（2025春•潜山市期中）已知x+y＝﹣9，xy＝9，则值是（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】先根据x+y＝﹣9，xy＝9可得x＜0，y＜0，再根据二次根式的性质可得，，再利用二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵x+y＝﹣9，xy＝9， ∴x＜0，y＜0， ∴，， ∴原式 ＝﹣6， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 23．（2025春•瑶海区期中）若，则代数式x3+3x2+x﹣5的值为　﹣3　 ． 【专题】整式；运算能力． 【分析】先求出，从而可得x2+x﹣1＝0，推出x2＝1﹣x，将所求式子变形并整体代入计算即可得解． 【解答】解：由条件可得， ∴x2+x﹣1＝0， ∴x2＝1﹣x， ∴原式＝x•x2+3x2+x﹣5 ＝x（1﹣x）+3（1﹣x）+x﹣5 ＝x﹣x2+3﹣3x+x﹣5 ＝x﹣（1﹣x）+3﹣3x+x﹣5 ＝x﹣1+x+3﹣3x+x﹣5 ＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识点是关键． 24．（2024春•怀宁县期中）如果x2﹣3x﹣1＝0，则的值是 　2　 ． 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】算术平方根，先将方程x2﹣3x﹣1＝0进行化简，化成含，再整理得出，然后代入，进行开方运算，即可作答． 【解答】解：当x＝0时，则0﹣3×0﹣1＝﹣1≠0， 故x≠0， 则x2﹣3x﹣1＝0两边同时除以x， 得， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：2． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用以及已知式子的值求代数式的值，熟练掌握二次根式性质是关键． 25．（2025春•芜湖校级期中）已知x，y，求下列各式的值： （1）x2﹣y2． （2）x2+y2+3xy． 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】根据分母有理化法则分别化简x、y，根据二次根式的加减法法则求出x+y，x﹣y，根据二次根式的乘法法则求出xy，分别代入（1）（2）计算即可． 【解答】解：x3﹣2，y3+2， ∴x+y＝（3﹣2）+（3+2）＝6，x﹣y＝（3﹣2）﹣（3+2）＝﹣4，xy＝（3﹣2）（3+2）＝1， （1）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝6×（﹣4）＝﹣24； （2）x2+y2+3xy＝（x+y）2+xy＝62+1＝37． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化法则、平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 26．（2026春•合肥校级月考）爱思考的小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 他是这样分析与解答的： ∵， ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的思维方法，解决如下问题： （1）计算：； （2）已知：，求4b2+8b﹣3的值； （3）计算：　9　 ． 【专题】二次根式；运算能力． 【分析】（1）根据分母有理化的步骤进行计算即可； （2）根据题干中的步骤进行计算即可； （2）结合题干的方法进行分母有理化，再合并即可得结果． 【解答】解：（1）； （2）∵， ∴， ∴（b+1）2＝2， b2+2b+1＝2， ∴b2+2b＝1， ∴4b2+8b﹣3＝4（b2+2b）﹣3＝4×1﹣3＝1； （3）根据题意得， 原式 ＝10﹣1 ＝9． 【点评】本题考查了分母有理化的应用，能正确变形是解此题的关键． 27．（2025春•凤阳县校级期中）【阅读材料】对任意一个实数x，定义：[x]表示不超过x的数大整数，{x}表示x的非负纯小数部分．即0≤{x}＜1．则x＝[x]+{x}．例：[]+{}，其中[]＝2，{}2；[]+{}，其中，{}＝3． 【解答问题】 （1） 　6　 ； （2）若，求整数x的值； （3）若x＝8，y＝2，求（{x}﹣{y}）2+（[x]﹣{x}）的值． 【专题】二次根式． 【分析】（1）根据实数的新定义直接解答即可； （2）由数的新定义可得，求出不等式的解集进而即可求解； （3）根据实数的新定义分别求出{x}、{y}和[x]的值，进而代入计算即可求解． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：6； （2）∵， ∴， 解得9＜x≤11， ∴整数x的值为10，11； （3）∵， ∴， ∴，{y} ，[x]＝10， ∴原式 ＝0 ＝12． 【点评】本题考查了实数的新定义运算，无理数的估算，理解新定义运算是解题的关键． 五．一元二次方程的定义及方程的解 28．（2015春•利辛县校级月考）下列方程是一元二次方程（　　） A．x+2y＝1 B．2x（x﹣1）＝2x2+3 C．3x4 D．x2﹣2＝0 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 一元二次方程有三个特点： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的最高次数是2； （3）是整式方程． 【解答】解：A、x+2y＝1是二元一次方程，故错误； B、方程去括号得：2x2﹣2x＝2x2+3， 整理得：﹣2x＝3，为一元一次方程，故错误； C、3x4是分式方程，故错误； D、x2﹣2＝0，符合一元二次方程的形式，正确． 故选：D． 【点评】要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 29．（2025春•瑶海区期中）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　0　 ． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案． 【解答】解：∵方程（m﹣4）x|m﹣2|+3x+5＝0是一元二次方程， ∴， 解得m＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 六．一元二次方程的解法 30．（2025秋•黄山期中）如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　） A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】将x＝m代入原方程，可得出m2﹣2m＝1，再将其代入原式＝﹣2（m2﹣2m）+2025中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2﹣2m﹣1＝0， ∴m2﹣2m＝1， ∴原式＝﹣2（m2﹣2m）+2025＝﹣2×1+2025＝2023． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 31．（2025春•贵池区期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一解为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2必有一解为（　　） A．x＝2026 B．x＝2025 C．x＝2024 D．x＝2022 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】先将方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2，整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，然后设x﹣2＝m，则am2+bm+2＝0，再根据x＝2024，从而进行计算即可解答． 【解答】解：a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2， 整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0， 设x﹣2＝m， ∴am2+bm+2＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， ∴am2+bm+2＝0有一个根为m＝2024， ∴x﹣2＝2024， 解得x＝2026， ∴一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2必有一根为2026， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行是进行计算是解题的关键． 32．（2025秋•芜湖期末）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】先把x＝0代入一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0得m2﹣4＝0，再解关于m的一元二次方程，然后根据一元二次方程的定义确定m的值． 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0得m2﹣4＝0， 解得m1＝2，m2＝﹣2， ∵m﹣2≠0， ∴m的值为﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 33．（2026•安徽模拟）若m，n为正实数，设，t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实数根． （1）若，则的值是　　 ； （2）用含k的代数式表示：　　 ． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】（1）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到t2+2mt＝n2，配方即可得（t+m）2＝m2+n2，根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以n2，将方程转化为，解方程即可； （2）根据，得到m＝kn，即得到t2+2knt＝n2，再进行计算即可． 【解答】解：（1）由条件可知t2+2mt＝n2， ∴t2+2mt+m2＝n2+m2， 即（t+m）2＝m2+n2． ∵，， ∴， ∵（t+m）2＝m2+n2， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． 故答案为：； （2）由条件可知m＝kn， ∵x2+2mx＝n2， ∴x2+2knx＝n2， ∵t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实数根， ∴t2+2knt＝n2， ∴， ∴， ∵n、t均为正实数， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了列代数式、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是关键． 34．（2025秋•埇桥区校级月考）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是x2+3x﹣4＝0　 ； （2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，求出c的值； （3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为　2025　 ． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程x2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+1＝0，把x＝﹣1代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程为x2+x﹣6＝0，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【解答】解：（1）方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是：x2+3x﹣4＝0； 故答案为：x2+3x﹣4＝0； （2）由条件可倒方程为cx2﹣2x+1＝0， 把x＝﹣1代入方程， 得c+2+1＝0， ∴c＝﹣3； （3）由题意得：方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程为x2+x﹣6＝0， ∵m是方程x2+x﹣6＝0的一个实数根， ∴m2+m﹣6＝0， ∴m3+m2﹣6m+2025＝m（m2+m﹣6）+2025＝2025． 故答案为：2025． 【点评】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． 35．（2025秋•怀宁县期中）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣1）2＝1 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】将x2﹣6x﹣1＝0变形即可得出答案． 【解答】解：移项得x2﹣6x＝1， 配方得x2﹣6x+9＝1+9， （x﹣3）2＝10， 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 36．（2025春•舒城县校级期中）将一元二次方程2x2﹣12x﹣1＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值为（　　） A．a＝3，b＝10 B．a＝﹣3，b＝10 C． D． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【解答】解：2x2﹣12x﹣1＝0， 2x2﹣12x＝1， x2﹣6x， 则x2﹣6x+99，即（x﹣3）2 ∴a＝﹣3，b， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 37．（2026春•长丰县月考）解方程：3x﹣5＝0． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】根据配方法即可求出答案． 【解答】解：∵3x﹣5＝0， ∴x2﹣6x＝10， ∴x2﹣6x+9＝19， ∴（x﹣3）2＝19， ∴x＝3± 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 38．（2026•裕安区校级模拟）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有m＝n． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得：　　 ①，由m为整数知：m2﹣m﹣6　 ②是整数，∴一定是整数，∴m﹣n是有理数，∴m﹣n＝0，∴m＝n． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有（x+a）（x﹣15）﹣25＝（x+b）（x+c），求a的可能值． 解法一：由（x+a）（x﹣15）﹣25＝（x+b）（x+c）得（b+c﹣a+15）x+bc+25+15a＝0． ∵x具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得， ∴bc+15（b+c）+152＝﹣25，即（b+15）（c+15）＝﹣1×25＝﹣5×5＝1×（﹣25）， 从而有或③　　 或④　　 ， 即b+c＝﹣6或b+c＝﹣30或b+c＝﹣54． 当b+c＝﹣6时，a＝9，同理⑤　当b+c＝﹣30时，a＝﹣15　 或⑥　当b+c＝﹣54时，a＝﹣39　 ， 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得 请将①②③④⑤⑥补充完整． 【专题】一元二次方程及应用；推理能力． 【分析】问题一：将去括号展开，然后整理成，再根据整数的性质，即得答案； 问题二：对于③和④，根据整数的性质，可得另两个结论或；对于⑤和⑥，将b+c＝﹣30和b+c＝﹣54，分别代入b+c＝a﹣15求解即可． 【解答】解：问题一： 设n为有理数， 已知方程有一个整数根， 令方程中一个整数根为m， 将m代入一元二次方程得：， ∴， ∴， 由m为整数知：m2﹣m﹣6是整数， ∴一定是整数， ∴m﹣n是有理数， ∴m﹣n＝0， ∴m＝n． 故答案为：①；②m2﹣m﹣6． 问题二： 解法一：由（x+a）（x﹣15）﹣25＝（x+b）（x+c）得（b+c﹣a+15）x+bc+25+15a＝0． ∵x具有任意性， ∴多项式的一次项系数和常数项均为0， ∴ ∴bc+15（b+c）+152＝﹣25， 即（b+15）（c+15）＝﹣1×25＝﹣5×5＝1×（﹣25）， ∴或或， ∴b+c＝﹣6或b+c＝﹣30或b+c＝﹣54． 当b+c＝﹣6时，﹣6＝a﹣15， 解得a＝9； 当b+c＝﹣30时，﹣30＝a﹣15， 解得a＝﹣15； 当b+c＝﹣54时，﹣54＝a﹣15， 解得a＝﹣39； 故答案为：③；④；⑤当b+c＝﹣30时，a＝﹣15；⑥当b+c＝﹣54时，a＝﹣39． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程是解题的关键． 39．（2025•潜山市开学）解方程：（3x﹣1）（x+1）＝1． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程． 【解答】解：原方程化为：3x2+2x﹣2＝0， ∵a＝3，b＝2，c＝﹣2， ∴b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣2）＝28＞0， ∴x ∴x1，x2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 40．（2026•岳西县模拟）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab+2，若（2x﹣1）★（x+3）＝11，则x的值为（　　） A．，x2＝﹣5 B．，x2＝5 C．x1＝﹣1， D．x1＝1， 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】根据新运算的定义将原式转化为一元二次方程，整理求解即可得到答案． 【解答】解：∵a★b＝a2﹣ab+2， ∴（2x﹣1）★（x+3）＝（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）（x+3）+2， 又∵（2x﹣1）★（x+3）＝11， ∴（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）（x+3）+2＝4x2﹣4x+1﹣（2x2+5x﹣3）+2＝11， 即2x2﹣9x﹣5＝0， （2x+1）（x﹣5）＝0， 解得：，x2＝5， 故选：B． 【点评】此题主要是考查了一元二次方程的解法，能够将原式变形为一元二次方程是解答此题的关键． 41．（2025春•安庆校级期中）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根．则该三角形的周长是（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．8或9或10 【专题】一元二次方程及应用；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，再利用三角形三边的关系得到腰为4，底为2，然后计算三角形的周长． 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝2，x2＝4， 当腰为2，底为4时，因为2+2＝4，不符合三角形三边的关系，舍去， 当腰为4，底为2时，三角形的周长为4+4+2＝10． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系． 42．（2026•阜阳校级一模）解方程：x2﹣4x﹣5＝0． 【专题】计算题；一元二次方程及应用． 【分析】因式分解法求解可得． 【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝0， 则x+1＝0或x﹣5＝0， ∴x＝﹣1或x＝5． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 43．（2025春•宣城校级期中）对于两个不相等的实数m，n，我们规定符号max{m，n}表示m，n中较大的数，如：max{﹣3，5}＝5． （1）　　 ． （2）方程max{4x﹣3，x}＝x2的解为x＝3或x＝0　 ． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】（1）根据新定义的规定，，，则，即可求得的值； （2）分两种情况讨论，（1）4x﹣3＞x，（2）4x﹣3＜x，从而可求得x的值． 【解答】解：（1）根据新定义的规定可知： ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当4x﹣3＞x时， max{4x﹣3，x}＝4x﹣3， ∴4x﹣3＝x2， x2﹣4x+3＝0， （x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∵x＝1时，4x﹣3＝1，1＝1， ∴x＝1不符合题意； 当4x﹣3＜x时， max{4x﹣3，x}＝x， ∴x＝x2， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， 解得x3＝0，x4＝1， ∴x＝1不符合题意． 综上所述，方程的解为x＝3或x＝0． 故答案为：x＝3或x＝0． 【点评】本题考查了新定义下的实数运算与解方程问题，解题的关键是理解题意，掌握新定义的运算法则． 44．（2024春•利辛县期中）对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下：m※n． （1）若m＝﹣3，n＝2，则m※n＝　3　 ； （2）若x※（﹣1）＝5，则实数x的值为 　2　 ． 【专题】新定义；实数；一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】（1）由﹣3＜2，再利用新定义的运算法则列式计算即可； （2）分两种情况：当x＞﹣1时，当x≤﹣1时，再列方程求解即可． 【解答】解：（1）当m＝﹣3，n＝2，可知m＜n， ∴m※n＝22+（﹣3）+2＝3． 故答案为：3； （2）当x＞﹣1时，x※（﹣1）＝x2+x﹣1＝5， 即x2+x﹣6＝0． 解得x1＝2．x2＝﹣3（舍去）； 当x≤﹣1时，x※（﹣1）＝（﹣1）2+x﹣1＝5， 解得x＝5（舍去）， ∴x的值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 七．根的判别式 45．（2026•包河区一模）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝（﹣1）2﹣4m＝0， 解得m． 故选：A． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 46．（2024春•合肥期末）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＝0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】先对k是否为零进行分类讨论，再结合一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：当k＝0时， 此时方程为﹣3x0， 该方程有实数根， 所以k＝0满足题意． 当k≠0时， Δ＝（﹣3）2﹣4k×（）≥0， 解得k≥﹣1， 综上所述，k的取值范围是k≥﹣1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了根的判别式，对k是否为零进行分类讨论及熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 47．（2026春•太湖县月考）规定：对于任意实数m，n，p，有[m，n]*p＝mp﹣2n，如[﹣3，4]*2＝﹣3×2﹣2×4＝﹣14，若关于x的方程[x，x﹣3]*mx＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A． B． C．且m≠0 D．且m≠0 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】先根据题目给出的新运算规则整理得到关于x的方程，再根据一元二次方程二次项系数不为0和Δ＝b2﹣4ac＞0列式运算即可； 【解答】解：由条件可知[x，x﹣3]*mx＝x×mx﹣2（x﹣3）＝0， 整理得：mx2﹣2x+6＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴该方程为一元二次方程，因此二次项系数m≠0，且根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∵a＝m，b＝﹣2，c＝6， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×m×6＝4﹣24m＞0， 解得：， 综上，m的取值范围为 且m≠0． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 48．（2024•六安模拟）若实数b，c满足c﹣b+2＝0，则关于x的方程x2+bx+c＝0根的情况是（　　） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】根据条件得到c＝b﹣2，根据判别式求根的情况即可判断． 【解答】解：∵实数b，c满足c﹣b+2＝0， ∴c＝b﹣2， ∴Δ＝b2﹣4c ＝b2﹣4（b﹣2） ＝（b﹣2）2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式，掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 49．（2025春•庐阳区校级期中）已知等腰△ABC的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个根，则m的值是 　4　 ． 【专题】一元二次方程及应用；三角形；运算能力． 【分析】分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可． 【解答】解：当7为底时，则等腰△ABC的腰长为x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个相等的实数根， ∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝0， 解得m＝2， 此时一元二次方程为x2﹣6x+9＝0， 解得x1＝x2＝3， 因为3+3＜7， ∴3，3，7本能构成直角三角形； 当7为腰时，则方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个根为7， ∴72﹣2（m+1）×7+m2+5＝0， 解得m1＝4，m2＝10， 当m＝10时，此时一元二次方程为x2﹣22x+105＝0， 解得x1＝7，x2＝15， 7+7＜15，不能构成三角形； 当m＝4时，此时一元二次方程为x2﹣10x+21＝0， 解得x1＝7，x2＝3， 3+7＞7，可以构成三角形， 由上可得，m的值为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是学会利用一元二次方程的根与系数的关系，把问题转化为方程解决． 50．（2026•安徽二模）已知实数a，b，c满足a+b﹣2c＝10． （1）若a＞0且a﹣b+c＝0，则b的范围是b＞﹣10　 ； （2）若ab﹣50＝2c2，则a﹣b﹣c的值为　﹣5　 ． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】（1）根据题意，用b表示除a，再结合a＞0即可求出b的范围； （2）由a+b＝10+2c，ab＝2c2+50，则a，b为方程的x2﹣（10+2c）x+（2c2+50）＝0两实根，然后通过根的判别式即可求解． 【解答】解：（1）由a﹣b+c＝0，a+b﹣2c＝10得， ， 因为a＞0， 所以 解得b＞﹣10； 故答案为：b＞﹣10； （2）由a+b＝10+2c，ab＝2c2+50得， a，b可看成方程x2﹣（10+2c）x+（2c2+50）＝0得两实根， 所以Δ＝[﹣（10+2c）]2﹣4（2c2+50）＝﹣4（c﹣5）2≥0， 解得c＝5， 所以a+b＝20，ab＝100， 则a（20﹣a）＝100， 解得a1＝a2＝10， 所以a＝b＝10， 所以a﹣b﹣c＝10﹣10﹣5＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 51．（2025春•蜀山区校级期中）已知：关于x的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值． 【专题】计算题． 【分析】（1）先计算判别式得到Δ＝（m﹣3）2﹣4m•（﹣3）＝（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）利用公式法可求出x1，x2＝﹣1，然后利用整除性即可得到m的值． 【解答】（1）证明：∵m≠0， ∴方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）是关于x的一元二次方程， ∴Δ＝（m﹣3）2﹣4m•（﹣3） ＝（m+3）2， ∵（m+3）2≥0，即△≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x， ∴x1，x2＝﹣1， ∵m为正整数，且方程的两个根均为整数， ∴m＝1或3． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 52．（2025春•舒城县校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣3＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若a是方程的一个实数根，且满足（a2﹣4a+1）（m+2）＝﹣40，求m的值． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围； （2）由方程根的定义，可用m表示出a，代入已知等式可得到关于m的方程，则可求得m的取值范围． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣3＝0有两个实数根， ∴△≥0，即（﹣4）2﹣4（m﹣3）≥0， 解得m≤7； （2）∵a是方程的一个实数根， ∴a2﹣4a+m﹣3＝0， ∴a2﹣4a＝3﹣m， ∵（a2﹣4a+1）（m+2）＝﹣40， ∴（3﹣m+1）（m+2）＝﹣40， 整理得：m2﹣2m﹣48＝0， 解得m1＝8，m2＝﹣6， 又由（1）可知m≤7， ∴m＝﹣6． 【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 53．（2025春•庐阳区校级期末）若a是关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣3＝0的一个根． （1）求m的取值范围； （2）若a+b﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+n＝0的一个根． （ⅰ）请用含a、b的式子表示n； （ⅱ）若n＝b﹣5，且b≠﹣2a+2，求b的值． 【专题】运算能力． 【分析】（1）由题意易得Δ＝4﹣4（m﹣3）≥0，然后求解即可； （2）①先根据a是关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣3＝0的一个根得出m＝﹣a2﹣2a+3，再根据a+b﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+n＝0的一个根，得出（a+b﹣2）2﹣4（a+b﹣2）+m+n＝0，然后把m＝﹣a2﹣2a+3代入求出结果即可； ②根据n＝b﹣5，n＝﹣b2﹣2ab+10a+8b﹣15，得出b﹣5＝﹣b2﹣2ab+10a+8b﹣15，因式分解得出（b+2a﹣2）（b﹣5）＝0，根据b≠﹣2a+2，得出b+2a﹣2≠0，求出b﹣5＝0，即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意可知：关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣3＝0有实数根， ∴Δ＝22﹣4（m﹣3）≥0， 解得：m≤4； （2）①∵a是关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣3＝0的一个根， ∴a2+2a+m﹣3＝0， 解得：m＝﹣a2﹣2a+3， ∵a+b﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+n＝0的一个根， ∴（a+b﹣2）2﹣4（a+b﹣2）+m+n＝0， 把m＝﹣a2﹣2a+3代入得：（a+b﹣2）2﹣4（a+b﹣2）﹣a2﹣2a+3+n＝0， ∴a2+b2+4+2ab﹣4a﹣4b﹣4a﹣4b+8﹣a2﹣2a+3+n＝0 解得：n＝﹣b2﹣2ab+10a+8b﹣15； ②∵n＝b﹣5，n＝﹣b2﹣2ab+10a+8b﹣15， ∴b﹣5＝﹣b2﹣2ab+10a+8b﹣15， 整理得：（b2+2ab﹣2b）﹣10a﹣5b+10＝0， （b+2a﹣2）（b﹣5）＝0， ∵b≠﹣2a+2， ∴b+2a﹣2≠0， ∴b﹣5＝0， 解得：b＝5． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，因式分解的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 八．根与系数的关系 54．（2025春•合肥校级期中）若x1，x2是方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝3 C． D． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是方程2x2+3x﹣1＝0的两个根， 所以， 显然只有D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 55．（2025秋•庐江县校级期中）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】由题意得到Δ＝b2+8b≥0，x1，x2，再由，得到方程b2+4b＝12，解得b，分别代入Δ＝b2+8b进行检验即可得到答案． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根， ∴Δ＝b2﹣4×（﹣2b）＝b2+8b≥0， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2 ∵， ∴b2+4b＝12， 解得b， 当b＝2时，Δ＝b2+8b＝22+8×2＝20＞0，满足题意， 当b＝﹣6时，Δ＝b2+8b＝（﹣6）2+8×（﹣6）＝﹣12＜0，不满足题意， ∴b＝2， 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式等知识，准确计算是解题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优565656.（2025•颍上县一模）设a、b是一元二次方程2x2+4x﹣5＝0的两个根，则2a2+5a+b的值为（　　） A．﹣3 B．5 C．3 D． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【解答】解：由条件可知2a2+4a﹣5＝0，整理得2a2＝5﹣4a， 将2a2＝5﹣4a代入2a2+5a+b得： 原式＝（5﹣4a）+5a+b＝a+b+5， ∵a，b是方程2x2+4x﹣5＝0的两个根， 根据一元二次方程根与系数的关系，得， ∴原式＝﹣2+5＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 57．（2025春•安庆校级期中）已知实数m，n满足3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0，且mn≠1，求的值（　　） A． B． C．3 D． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】将2n2+7n﹣3＝0化为，得到实数m，是方程3x2﹣7x﹣2＝0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 【解答】解：原方程转化为， 由条件可知实数m，是方程3x2﹣7x﹣2＝0的两个根， ∴，， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识． 58．（2025秋•合肥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”． （1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”； （2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请求出m的值． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝1，然后根据新定义进行判断； （2）设方程的根的两根分别为α、2α，根据根与系数的关系得α+2α＝m﹣1，α•2α＝32，然后求出α，再计算对应的m的值 【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x﹣2＝0或x﹣1＝0， x1＝2，x2＝1， 则方程x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”； （2）∵关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”， ∴设方程的根的两根分别为α、2α， 根据根与系数的关系得α+2α＝m﹣1，α•2α＝32， 解得α＝4，m＝13或α＝﹣4，m＝﹣11， ∴m的值为13或﹣11． 【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解一元二次方程，根的判别式，熟知若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2是解题的关键． 九．一元二次方程的应用 59．（2026•庐江县一模）《安徽省量子科技行业“十五五”规划前景预测研究报告》发布显示，2024年安徽省量子科技产业规模为120亿元，预计到2026年为200亿．设2025年、2026年两年产业规模的年平均增长率为x，则可列出的方程为（　　） A．120（1+x）2＝200 B．120（1+2x）＝200 C．120（1+x%）2＝200 D．120（1+2x%）2＝200 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】根据年平均增长率依次得到2026年的产业规模表达式，再结合已知条件列出方程即可． 【解答】解：∵2024年产业规模为120亿元，年平均增长率为x（x＞0）， 则2025年的产业规模为120（1+x）亿元；2026年的产业规模为 120（1+x）（1+x）＝120（1+x）2亿元；则： 可列方程120（1+x）2＝200． 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 60．（2025秋•蒙城县期末）某校九年级1班的同学毕业时都将自己的生活照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1540张照片，求全班的学生人数．设全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A．x（x+1）＝1540 B． C．x（x﹣1）＝1540 D．2x（x+1）＝1540 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识． 【分析】根据全班的人数，可得出每个同学需送出（x﹣1）张相片，再利用全班送出相片的张数＝全班的人数×（全班人数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，且全班有x名学生， ∴每个同学需送出（x﹣1）张相片． 依题意得：x（x﹣1）＝1540． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 61．（2025秋•泗县期末）某场比赛采用单循环制（即每两支球队都要比赛一场），若共有x支球队进行了21场比赛，则可列方程为（　　） A．x（x﹣2）＝42 B． C．x2﹣x＝21 D． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】根据单循环比赛的总场数公式，结合已知总比赛场数列方程． 【解答】解：根据题意可列方程为， 故选：D． 【点评】本题考查了握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 62．（2025春•金安区校级期中）某机械厂七月份生产零件50万个，八、九两月共生产146万个，设该厂八、九月份平均每月的长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝146 B．50（1+x）+50（1+x）2＝146 C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝146 D．50（1+x）+50（1+2x）＝146 【专题】一元二次方程及应用． 【分析】如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程． 【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50（1+x）+50（1+x）2＝146． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 63．（2024春•金安区校级期末）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识． 【分析】设劳动基地中的道路宽为x米，根据种植面积为480平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设劳动基地中的道路宽为x米， 由题意得，（34﹣2x）（18﹣x）＝480， 整理得：x2﹣35x+66＝0， 解得：x1＝2，x2＝33（不符合题意，舍去）， 即劳动基地中的道路宽为2米， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 64．（2025春•庐阳区校级期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例说明，记载的方法是：构造如图面积是（x+x+5）2的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52＝81，因此x＝2．则在下列四个构图中，能正确说明方程x2﹣3x﹣10＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识． 【分析】根据题意，画出方程x2﹣3x﹣10＝0，即x（x﹣3）＝10的拼图过程，再由面积之间的关系解答即可． 【解答】解：方程x2﹣3x﹣10＝0，即x（x﹣3）＝10的拼图如图所示： 中间小正方形的边长x﹣（x﹣3）＝3，其面积为9， 大正方形的面积：（x+x﹣3）2＝4x（x﹣3）+9＝4×10+9＝49，其边长为7， 因此，C选项所表示的图形符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 65．（2026•太和县一模）综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为STEM教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据2025年11月的销售量×（1+x）2＝2026年1月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设每架迷你无人机降价y元，根据利润＝每架的利润×销售量建立方程，解方程可得y的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【解答】解：（1）设该款迷你无人机的月平均增长率为x， 由题意得1125（1+x）2＝1620， 整理得，1125x2+2250x﹣495＝0， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为20%； （2）设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售（20+2y）架， 由题意得（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200， 解得y1＝10，y2＝20． ∵需要尽量减少库存， ∴y＝20． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 66．（2025春•安徽期末）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识． 【分析】（1）依据题意，列出每天销售T恤衫的利润计算即可得解； （2）依据题意，设此时每件T恤衫降价x元，从而每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050，进而计算后再由优惠最大，即可判断得解； （3）依据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200，求出x的值，再由每件T恤衫的利润率不低于55%，可得100﹣x﹣60≥60×55%，得出x的范围后即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0． ∴x1＝10，x2＝20． ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%． ∴x≤7． ∴x无解． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要能读懂题意，列出方程是关键． 67．（2026春•太和县校级月考）某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27m，AB位置的墙最大可用长度为15m），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的HE、GF、HG三处各留0.75m、0.75m、1.5m宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长45m． （1）若饲养场（长方形ABCD）的一边CD长为10m，则另一边BC＝　18　 m． （2）若饲养场（长方形ABCD）的面积为165m2，求边CD的长． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【分析】（1）根据“栅栏总长45m”列代数式求解； （2）根据“饲养场（长方形ABCD）的面积为165m2”列方程求解． 【解答】解：45﹣（10×3﹣2×0.75）+1.5 ＝45﹣30+1.5+1.5 ＝18（米）， 故答案为：18； （2）设CD＝x米，则BC＝45﹣（3x﹣2×0.75）+1.5＝（48﹣3x）米， 由题意得：（48﹣3x）x＝165， 解得：x1＝5，x2＝11， 当x＝5时，48﹣3x＝33＞27， ∴x＝5不合题意，舍去， 答：CD的长为11米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 十一、勾股定理 68．（2025秋•霍邱县校级期末）在下列条件： ①∠A+∠C＝∠B； ②； ③∠A＝∠B＝2∠C； ④∠A：∠B：∠C＝1：3：4中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的定义判断． 【解答】解：①∵∠A+∠C＝∠B， ∴∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形； ②， 则∠B＝2∠A，∠C＝3∠A， ∴∠A+2∠A+3∠A＝180°， ∴∠A＝30°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形； ③∵∠A＝∠B＝2∠C， ∴2∠C+2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝36°， ∴∠A＝∠B＝72°， ∴△ABC不是直角三角形； ④∠A：∠B：∠C＝1：3：4， 设∠A，∠B，∠C分别为x，3x，4x， 则x+3x+4x＝180°， 解得：x＝22.5°， ∴∠C＝4x＝90°， ∴△ABC为直角三角形； 故选：C． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握三角形内角和定理、直角三角形的概念是解题的关键． 69．（2026•安徽一模）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　） A．1 B．3 C． D． 【分析】由题意可得AE＝AB＝3，然后通过勾股定理求出即可． 【解答】解：由题意可得，∠ADC＝90°，AE＝AB＝3， ∵AD2+DE2＝AE2，AD＝2， ∴22+DE2＝32， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 70．（2026•阜阳校级一模）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．当AB＝BC＝1，∠AOB＝30°时，OC的长为（　　） A． B．2 C． D． 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力． 【分析】先求出OB的长，再利用勾股定理求出OC的长即可． 【解答】解：在直角三角形AOB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，AB＝1， ∴OB＝2AB＝2， 在直角三角形BOC中，∠OBC＝90°，BC＝1， 由勾股定理得：， 故选：A． 【点评】本题考查含30度角的直角三角形，勾股定理，解答本题的关键要明确：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 71．（2026•肥东县校级开学）如图，等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边的中点，连接CD并延长至点P，作AP⊥PQ交BC于点Q，若CQ＝1，则CP＝　　 ． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【分析】先由等腰直角三角形ABC的边长，结合勾股定理求出AB，再根据斜边中线性质得CD＝AD＝BD，同时计算出AQ的长度，过点P作PN⊥BC，利用等角对等边证得△CNP为等腰直角三角形，设DP＝x，用含x的式子表示出CP、PN、CN、QN，分别在Rt△ADP、Rt△PNQ中，由勾股定理表示出AP2、PQ2，结合AP⊥PQ，最后再次利用勾股定理列方程，化简求解即可． 【解答】解：∵AC＝BC＝3，∠ACB＝90°， ∴，∠CAB＝∠CBA＝45°， 又∵D为AB边的中点， ∴， ∵CQ＝1， ∴， 如图，过点P作PN⊥BC， ∴∠CPN＝45°， ∴PN＝CN， 设DP＝x，则， ∵CN2+PN2＝CP2， ∴， ∴， ∵AD2+DP2＝AP2， ∴， ∵PN2+QN2＝PQ2， ∴， ∵AP⊥PQ， ∴∠APQ＝90°， ∵AP2+PQ2＝AQ2， 即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点评】本题核心是利用等腰直角三角形的性质转化线段关系，通过作垂线构造特殊直角三角形，将未知线段设为未知数，再多次运用勾股定理建立方程求解；关键在于通过垂直条件和角度特征，把几何线段关系转化为代数方程，实现几何问题的代数解法，同时注意结合图形实际意义舍去无意义的解． 72．（2025春•安徽校级期中）如图，在直角△ADC中，CD⊥AC，AD＝10，DC＝6，AC绕点A摆动到AB的位置，取AB的中点E，连接BD、CE，求AC绕点A摆动的过程中， （1）AC＝　8　 ； （2）BD+CE的最小值为　　 ． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【分析】（1）根据勾股定理求出AC即可； （2）取AC中点F，连接BF，DF，判定△CAE≌△BAF（SAS），推出CE＝BF，由三角形三边关系定理得到BD+CE≥DF，由勾股定理求出，因此，即可得到BD+CE的最小值． 【解答】解：（1）在直角△ADC中，∵AD＝10，DC＝6， ∴AC8， 故答案为：8； （2）取AC中点F，连接BF，DF， ∴， ∵E是AB中点， ∴， ∵AC＝AB， ∴AF＝AE， 在△CAE与△BAF中， ， ∴△CAE≌△BAF（SAS）， ∴CE＝BF， ∴BD+CE＝BD+BF， ∵BD+BF≥FD， ∴BD+CE≥DF， ∵F是AC中点， ∴， ∵CD⊥AC， ∴∠DCF＝90°， ∴， ∴， ∴BD+CE的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，关键是判定△CAE≌△BAF（SAS），推出CE＝BF，由三角形三边关系定理得到BD+CE≥DF． 73．（2025春•庐阳区校级期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP． （1）当t＝3秒时，求AP＝　　 ． （2）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t＝　5或11　 时，能使DE＝CD． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【分析】（1）先求出BP的长，再求出CP的长，最后根据勾股定理求解即可； （2）分点P在BC上和点P在BC的延长线上，两种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：当t＝3秒时，BP＝2t＝2×3＝6， ∴CP＝BC﹣BP＝10， 在Rt△APC中，由勾股定理得， 故答案为：； （2）①当点P在线段BC上时，如图1所示： ∵DE⊥AP， ∴∠AED＝∠PED＝90°， ∴∠PED＝∠ACB＝90°， ∵DE＝CD，PD＝PD， ∴Rt△PDE≌Rt△PDC（HL）， ∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t， ∵AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5， ∴， ∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t， 在Rt△APC中，由勾股定理得：解得：t＝5； ∴②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示： 同①得：Rt△PDE≌Rt△PDC（HL）， ∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16， ∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5， ∴AE＝4， ∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12， ∴82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2， 解得：t＝11． 故答案为：5或11． 【点评】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知勾股定理是解题的关键． 74．（2025秋•合肥校级期末）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． （1）如图1，这是美国第20任总统詹姆斯•加菲尔德的“总统证法”图形，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，请推导勾股定理． （2）如图2，在△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，求CH的长． 【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【分析】（1）用两种方法表示出梯形ABCD的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设AH＝x，分别在Rt△ACH和Rt△BCH中，表示出CH2，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出CH的值． 【解答】解：（1）∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°， ，， ∴， 整理得：a2+b2＝c2； （2）设AH＝x， ∵AB＝21， ∴BH＝AB﹣AH＝21﹣x， ∴△ACH和△BCH都是直角三角形， 在Rt△BCH中，CH2＝BC2﹣BH2， 在Rt△ACH中，CH2＝AC2﹣AH2， ∴AC2﹣AH2＝BC2﹣BH2， ∵AC＝10，AB＝21， 则102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2， 解得x＝6，即AH＝6， 在Rt△ACH中，由勾股定理，得． 【点评】本题主要考查勾股定理及梯形、三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 75．（2025春•庐江县校级期中）定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，且a，b，c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB＝BC，AC＞AB，求∠C的度数． （2）如图2，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠ACB＞∠A，D是AB上的点，连接CD，满足AD＝CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．求证：△ABC为“类勾股三角形”． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【分析】（1）设BC＝a，AC＝b，AB＝c，根据类勾股三角形的特征ac+a2＝b2，把a＝c代入运算求解即可． （2）设BC＝a，AC＝b，AB＝c，利用角的等量代换证出∠B＝∠CDB，得到CD＝CB＝a，利用等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理列式求解即可． 【解答】（1）解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c， 有条件可知ac+a2＝b2， ∵AB＝BC， ∴a＝c， ∴c2+a2＝b2， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠C＝45°； （2）证明：设BC＝a，AC＝b，AB＝c， ∵AD＝CD， ∴∠A＝∠DCA， ∴∠CDB＝∠A+∠DCA＝2∠A， 由条件可知∠B＝∠CDB， ∴CD＝CB＝a， ∴AD＝CD＝a， 有条件可知， 在Rt△AEC中，，由勾股定理得：， 在Rt△CED中，由勾股定理得， ∴， ∴b2＝a2+ac， ∴△ABC为“类勾股三角形”． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握各性质是解题的关键． 76．（2025春•利辛县期中）如图，已知线段OA的长度为1，以OA为直角边作等腰直角△OAA1，∠OAA1＝90°；以OA1为直角边作等腰直角△OA1A2，∠OA1A2＝90°；以OA2为直角边作等腰直角△OA2A3，∠OA2A3＝90°；以OA3为直角边作等腰直角△OA3A4，∠OA3A4＝90°；以OA4为直角边作等腰直角△OA4A5，∠OA4A5＝90°；…，照此方法一直作图下去． 【填空】OA1＝ 　　 ；OA2＝ 　2　 ；OA3＝ 　　 ；OA4＝　4　 ；OA5＝ 　　 ；OA6＝ 　8　 ； 【猜想】OAn＝ 　　 ；（用含n的式子表示） 【应用】 （1）OA2025＝ 　　 ；（化简） （2）求OA1+OA2+OA3+OA4+…+OA10的值． 【专题】规律型；等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【分析】【填空】根据等腰直角三角形中，斜边为直角边的倍，依次求值即可； 【猜想】观察填空中的数值，发现规律，归纳出通用公式； 【应用】（1）借助猜想中的公式化简即可； （2）借助公式求前10项的和． 【解答】解：【填空】由题意可得， OA1， OA22， 即等腰直角三角形中，斜边为直角边的倍， 同理可得，OA3＝2，OA4＝4，OA5＝4，OA6＝8， 故答案为：，2，，4，，8； 【猜想】由填空发现，OAn， 故答案为：； 【应用】（1）OA2025， 故答案为：； （2）OA1+OA2+OA3+OA4+…+OA10 2481632 ． 【点评】本题考查了勾股定理，列代数式，规律型：图形的变化类，等腰直角三角形，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 77．（2025秋•埇桥区校级月考）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形． （1）如图1，四边形ABCD为垂美四边形，若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，求证：a2+c2＝b2+d2； （2）如图2，在长方形ABCD中，AB＝10，AE⊥BD分别交BD、BC于点F、E，AD：BE＝4：1，求BE的长； （3）在（2）的条件下求AF的长． 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力． 【分析】（1）利用勾股定理即可证明； （2）连接DE，设BE＝x，则AD＝BC＝4x，EC＝3x，由（1）的结论建立方程即可求得x的值，从而求得BE； （3）在Rt△ABD中由勾股定理求得BD，利用面积相等即可求得AF． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为垂美四边形， ∴AC⊥BD， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2＝AB2＝a2， 在直角三角形COD中，由勾股定理得：OD2+OC2＝CD2＝c2， ∴a2+c2＝OA2+OB2+OD2+OC2； 同理：b2+d2＝OA2+OB2+OD2+OC2， ∴a2+c2＝b2+d2； （2）解：如图2，在长方形ABCD中，AB＝10，连接DE， ∴CD＝AB＝10，BC＝AD，∠C＝90°， ∵AD：BE＝4：1， 设BE＝x，则AD＝BC＝4x，EC＝BC﹣BE＝3x， ∵AE⊥BD， ∴四边形ABED是垂美四边形， ∴AB2+DE2＝BE2+AD2， ∵DE2＝CD2+EC2， ∴102+102+（3x）2＝x2+（4x）2， 解得：x＝5（舍去负值）， 即BE＝5； （3）解：∵BE＝5，AD：BE＝4：1， ∴AD＝20， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：， ∵， ∴． 【点评】本题主要考查了垂美四边形的定义，勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 78．（2026•无为市一模）如图所示的“赵爽弦图”，大正方形ABCD面积为29，小正方形EFGH面积为9，则AG长为（　　） A． B． C． D．6 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【分析】先根据正方形的面积，求出，再由题意得AF＝BG，，设BF＝x，则AF＝BG＝BF+FG＝x+3，再根据，求解即可得BF＝2，AF＝x+3＝5，然后在Rt△AFG中，由勾股定理求解即可． 【解答】解：连接AG，如图， ∵正方形EFGH面积为9， ∴， 由题意可得：AF＝BG，， 设BF＝x， ∴AF＝BG＝BF+FG＝x+3， ∴， 解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）， ∴BF＝2，AF＝x+3＝5， 在Rt△AFG中，由勾股定理得， ， 则AG长为， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，关键是相关定理的熟练掌握． 79．（2026•怀宁县开学）青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形ABCD、DEFG、CGHI均为正方形．若正方形ABCD、CGHI的面积分别为45、9，则AF＝　3　 ． 【专题】三角形． 【分析】先求解，证明△ADE≌△CDG（HL），可得AE＝CG＝3，再进一步可得答案． 【解答】解：∵正方形ABCD、CGHI的面积分别为45、9， ∴AD2＝CD2＝45，CG2＝9，∠CGH＝90°＝∠ADC，AD＝CD，CG＝3， ∵四边形DEFG为正方形， ∴，∠E＝∠EDG＝90°， ∵∠CGD＝∠E＝90°， ∴△ADE≌△CDG（HL）， ∴AE＝CG＝3， ∴AF＝EF﹣AE＝6﹣3＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 80．（2024春•天长市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝30，求S2． 【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【分析】（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设AC＝x，依题意有（x+3）2+32＝（6﹣x）2，进行计算即可得； （3）设每个三角形的面积都为y，则S1＝S2+4y，S3＝S2﹣4y，即可得S1+S2+S3＝3S2，根据S1+S2+S3＝30，即可得． 【解答】解：（1）根据题意得， a2﹣2ab+b2+2ab＝c2， 则a2+b2＝c2． （2）∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：24÷4＝6， 设AC＝x， 依题意有（x+3）2+32＝（6﹣x）2， x2+2x+9+9＝36﹣12x+x2 14x＝14， 解得：x＝1， ． 故该飞镖状图案的面积是24． （3）设每个三角形的面积都为y， ∴S1＝S2+4y，S3＝S2﹣4y， ∴S1+S2+S3＝3S2， 又∵S1+S2+S3＝30， ∴S2＝10． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键． 十二．勾股定理的逆定理（共7小题） 81．（2025春•庐阳区校级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．c2＝a2﹣b2 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠C＝∠B﹣∠A D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵c2＝a2﹣b2， ∴c2+b2＝a2， ∴△ABC是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵a：b：c＝3：4：5， ∴设a＝3k，b＝3k，c＝5k， ∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，c2＝（5k）2＝25k2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵∠C＝∠B﹣∠A， ∴∠C+∠A＝∠B， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠B＝180°， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴∠C＝180°75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键． 82．（2025春•肥东县校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC，CD＝1，AD＝2，且∠BCD＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【分析】先由勾股定理求出，则AB2+BD2＝AD2，再通过勾股定理逆定理得∠ABD＝90°，最后由S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD即可求解． 【解答】解：∵∠BCD＝90°，BC，CD＝1，AB＝3，， ∴， ∴， ∴AB2+BD2＝AD2， ∴∠ABD＝90°， ∴ ， 故选：A． 【点评】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 83．（2025春•南陵县期末）如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵AM2＝12＝1，MN2＝12+12＝2，AN2＝12+22＝5， ∴AM2+MN2≠AN2， ∴△AMN不是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵MN2＝12+12＝2，MB2＝12+22＝5，BN2＝12+22＝5， ∴MN2+MB2≠BN2， ∴△BMN不是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵MN2＝12+12＝2，CN2＝12+22＝5，MC2＝32＝9， ∴MN2+CN2≠MC2， ∴△CMN不是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵MN2＝12+12＝2，MD2＝12+32＝10，DN2＝22+22＝8， ∴MN2+DN2＝MD2， ∴△DMN是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 84．（2024春•蚌埠期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点P在线段AB上，连结CP．以下说法不正确的是（　　） A．当时，△CPB是直角三角形 B．当时，△CPB是等腰三角形 C．当AP＝1时，△CPB是等腰三角形 D．当时，CP平分∠ACB 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【分析】过点C作CD⊥AB交于点D，根据勾股定理求得AB＝5，结合三角形的面积求得AD的值，即可判断A选项；连接CP，当时，推得CP是Rt△ACB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得CP＝AP＝BP，即可判断B选项；当AP＝1时，求得BP＝BC，即可判断C选项；作∠ACB的角平分线CP与AB交于点P，连接CP，过点P作PM⊥AC交AC与点M，过点P作PN⊥BC交BC与点N，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得PM＝PN，结合三角形的面积公式可求得，根据勾股定理求得AP的值，即可判断D选项． 【解答】解：过点C作CD⊥AB交于点D，如图： ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴， ∵， 即， 解得：， 则； 故当时，点P与点D重合，此时△CPB是直角三角形；A不符合题意； 当时，连接CP，如图： ∵AB＝5，， ∴， 即点P是AB的中点， 故CP是Rt△ACB斜边上的中线， ∴CP＝AP＝BP， ∴△CPB是等腰三角形；B不符合题意； 当AP＝1时，连接CP，如图： ∵AB＝5，AP＝1， ∴BP＝AB﹣AP＝4， ∴BP＝BC， ∴△CPB是等腰三角形；C不符合题意； 作∠ACB的角平分线CP与AB交于点P，连接CP，过点P作PM⊥AC交AC与点M，过点P作PN⊥BC交BC与点N，如图： 则PM＝PN， ∵， 即， 解得：， ∴， ∴； 即当时，CP平分∠ACB；D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是借助三角形的面积公式求出未知量． 85．（2025春•埇桥区校级月考）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t＝　1或2　 时，△PBQ是直角三角形． 【专题】动点型． 【分析】本题涉及的是一道有关等边三角形的性质和勾股定理来解答的数形结合试题，根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形∠B＝60°，所以就可以表示出BQ与PB的关系，要分情况进行讨论：①∠BPQ＝90°；②∠BQP＝90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可． 【解答】解：根据题意得AP＝tcm，BQ＝tcm， △ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°， ∴BP＝（3﹣t）cm， △PBQ中，BP＝3﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则 ∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°， 当∠BQP＝90°时，BQBP， 即t（3﹣t），t＝1（秒）， 当∠BPQ＝90°时，BPBQ， 3﹣tt，t＝2（秒）． 答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形． 故答案为：1或2． 【点评】本题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法． 86．（2025春•肥东县校级期末）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝　45°　 ． 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力． 【分析】连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，最后根据平角的定义可得结论． 【解答】解：连接AD， 由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20， ∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠ACD＝45°， 观察图形可知，△BFC和△CGE都是等腰直角三角形， ∴∠BCF＝45°，∠ECG＝45°， ∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣45°﹣45°﹣45°＝45°， 故答案为：45°． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键． 87．（2024春•太和县校级月考）图①②中的网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点P，A，B，C，D都在格点上． （1）如图①，∠APB的度数为 　135°　 ； （2）如图②，∠DAB+∠CAB的度数为 　45°　 ． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【分析】（1）延长AP交格点于点M，连接BM，证明PM＝BM，△PMB是等腰直角三角形，且∠PMB＝90°，则∠MPB＝∠MBP＝45°，利用邻补角即可得到答案； （2）作点C关于AB的对称点E，连接DE，AE，则∠CAB＝∠BAE，证明△ADE是等腰直角三角形，且∠ADE＝90°，则∠DAE＝∠DEA＝45°，即可得到答案． 【解答】解：（1）延长AP交格点于点M，连接BM， 则，， ∴PM2+BM2＝PB2， ∴△PMB是等腰直角三角形，且∠PMB＝90°， ∴∠MPB＝∠MBP＝45°， ∴∠APB＝180°﹣∠MPB＝135°， 故答案为：135°； （2）作点C关于AB的对称点E，连接DE，AE， ∴∠CAB＝∠BAE， 由勾股定理得到，，， ∴AD2+DE2＝AE2， ∴△ADE是等腰直角三角形，且∠ADE＝90°， ∴∠DAE＝∠DEA＝45°， ∴∠DAB+∠CAB＝∠DAB+∠BAE＝∠DAE＝45°． 故答案为：45°． 【点评】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 88．（2024春•南谯区校级期中）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…这类勾股数的特点为勾为奇数，弦与股相差1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为2m（m为正整数），则股是（结果用含m的式子表示）（　　） A．m2+1 B．m2﹣1 C．2m+2 D．2m+3 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：∵m为正整数， ∴2m为偶数． 设此类勾股数的股是a，则弦为a+2． 根据勾股定理得（2 m）2+a2＝（a+2）2， 解得a＝m2﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 89．（2026•庐江县一模）能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足a2+b2＝c2，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数： 第一类：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）． 第二类：（4，3，5），（6，8，10），（8，15，17），（10，24，26）． （1）任写一组勾股数满足第一类形式为　（11，60，61）（答案不唯一）　 ； （2）假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数　　 ，并证明你的猜想． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【分析】（1）根据第一类每组勾股数的三个数之间的规律可得答案； （2）根据第二类每组勾股数的变化规律，猜想并证明即可． 【解答】解：（1）第一类：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）． 第二类：（4，3，5），（6，8，10），（8，15，17），（10，24，26）． 取第一个数为11，第二个数为60，第三个数为61， ∵112+602＝121+3600＝3721，612＝3721， ∴112+602＝612， 故一组勾股数满足第一类形式为（11，60，61）（答案不唯一）； （2）第二类每组勾股数的第一个数为偶数，记为m，则． 证明：， ， ∴， ∵m为偶数，且m≥4，故和为正整数， ∴是一组勾股数． 【点评】本题考查勾股数，正确进行计算是解题关键． 90．（2025春•庐江县校级期末）观察下列等式： 第1个等式 （22﹣1）2+42＝（22+1）2 第2个等式 （32﹣1）2+62＝（32+1）2 第3个等式 （42﹣1）2+82＝（　42+1　 ）2 第4个等式 （52﹣1）2+102＝（52+1）2 …… …… （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含n（n为正整数，且n＞1）的等式表示上述规律：　（n2﹣1）2+（2n）2 ＝（n2+1）2． 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 【专题】实数；推理能力． 【分析】（1）由题中所给等式的结构特征即可得到答案； （2）根据题中所给等式的结构特征即可得到答案； （3）由（2）中找到的规律，结合题意可得这个直角三角形的直角边2n＝14，从而结合规律得到直角三角形的另一条直角边，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【解答】解：（1）由表格中的数据可知，（42﹣1）2+82＝（42+1）2， 故答案为：42+1； （2）用含n（ n 为正整数，且 n＞1 ）的等式表示上述规律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， 故答案为：（n2﹣1）2+（2n）2； （3）由（2）可知（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， 故存在以n2﹣1、2n为直角边，n2+1为斜边的直角三角形， ∴当有一个直角边为14的直角三角形时 ∵三个整数能构成直角三角形的三条边长， ∴2n＝14，解得n＝7， ∴直角三角形的另一个直角边是72﹣1＝48， ∴这个直角三角形的面积为． 【点评】本题考查的是数字的变化类，勾股数，三角形的面积，熟练掌握寻找规律的方法是解决问题的关键． 91．（2025秋•宿州期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（　　）尺． A．26 B．24 C．13 D．12 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识． 【分析】先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52＝（x+1）2，再解即可． 【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得： x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12， 答：水深12尺， 故选：D． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 92．（2023春•淮南期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【分析】先根据题意求得∠ACB，∠ACB的度数，再求得CB，AC，DE的长，从而利用勾股定理求得AB的长；然后再利用勾股定理求得BD的长，进而利用线段的和差关系，求得CD即可． 【解答】解：如图，∠ACB＝∠BDE＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.4m，DE＝2m． 在Rt△ABC中，AB2.5（m）． ∵AB＝BE， ∴BE＝2.5（m）， ∴BD1.5（m）， ∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米． 故选：C． 【点评】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键． 92．（2025春•瑶海区校级期末）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺，设AC的长度为x尺，可列方程为 x2+22＝（x+0.5）2 ． 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识． 【分析】在Rt△AB'C中，由勾股定理得出方程即可．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 【解答】解：在Rt△AB'C中，由勾股定理得， AC2+B'C2＝AB'2， 即x2+22＝（x+0.5）2， 故答案为：x2+22＝（x+0.5）2． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 93．（2024春•寿县期末）如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm 【专题】计算题． 【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B′，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AB′，如图，由于AC＝24，CB′＝7，然后利用勾股定理计算出AB′即可． 【解答】解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B′，则蚂蚁爬行的最短路径为AB′，如图， AC＝24，CB′＝7， 在Rt△ACB′，AB′25， 所以它爬行的最短路程为25cm． 故选：D． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 94．（2026•庐阳区校级一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是（　　） A． B． C． D． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【分析】过点D作DE⊥CB的延长线于点E，则∠BED＝90°，由∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，可得，∠A＝∠ABC＝45°，进而得到，∠DBE＝45°，即得△BDE为等腰直角三角形，得到DE＝BE，设DE＝BE＝x，由勾股定理得，求出x即可求解． 【解答】解：过点D作DE⊥CB的延长线于点E，则∠BED＝90°， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， ∴，∠A＝∠ABC＝45°， ∴，∠DBE＝45°， ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴DE＝BE， 设DE＝BE＝x，则CE＝4+x，由勾股定理可得： ， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/9 12:31:58；用户：孙圩中学；邮箱：swzx999@xyh.com；学号：50992292 95．（2025春•瑶海区校级期末）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺，设AC的长度为x尺，可列方程为 x2+22＝（x+0.5）2 ． 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识． 【分析】在Rt△AB'C中，由勾股定理得出方程即可．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 【解答】解：在Rt△AB'C中，由勾股定理得， AC2+B'C2＝AB'2， 即x2+22＝（x+0.5）2， 故答案为：x2+22＝（x+0.5）2． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 96．（2024春•濉溪县期末）周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意可知：BD＝12米，BC＝20米，CD⊥BD，AB＝DE＝1.65米， 在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝202﹣122＝256， ∴CD＝16（负值已舍去）， ∴CE＝CD+DE＝16+1.65＝17.65（米）， 答：风筝的垂直高度CE为17.65米； （2）∵风筝沿CD方向下降11米，DE保持不变，如图， ∴此时的C′D＝16﹣11＝5（米）， 即此时在Rt△C′DB中，BD＝12米，有BC′13（米）， 相比下降之前，BC缩短长度为20﹣13＝7（米）， ∴他应该往回收线7米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 97．（2025秋•埇桥区校级月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点之间的距离CA，CB分别为300km，400km，AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内（包括250km）为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若海港C受台风影响，且台风中心移动的速度为20km/h，台风影响海港C持续的时间有多长？（若海港C不受台风影响，则忽略此问） 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【分析】（1）通过勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，利用面积法求出C到AB的距离CD，比较CD与250km的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、250km为半径作圆，交AB于E、F，利用勾股定理求出ED的长度，得到EF的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【解答】解：（1）海港C受台风影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形．∠ACB＝90°， ∵S△ABC， ∴AC•BC＝CD•AB， 即300×400＝500×CD， ∴． 因为以台风中心为圆心周围250km以内（包括250km）为受影响区域，所以海港C受台风影响． （2）设台风中心移动到点E，F处时刚好影响海港C，连接CE，CF，则EC＝FC＝250km， 由勾股定理可得，， ∵ED＝FD， ∴EF＝2ED＝140km． ∵台风中心移动的速度为20km/h， ∵140÷20＝7（h）， ∴台风影响海港C持续的时间为7h． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． 98．（2024春•潜山市期中）我国某巨型摩天轮的最低点距离地面10m，圆盘半径为50m．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时∠POQ＝90°，且小丽距离地面20m． （1）△OCP与△QDO全等吗？为什么？ （2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【分析】（1）分别证明∠QDO＝∠OCP＝90°，∠Q＝∠COP，即可利用AAS证明△OCP≌△QDO； （2）由全等三角形的性质可得QD＝OC，再根据线段之间的关系求出OD＝40m，进而利用勾股定理求出OC＝QD＝30m，则CD＝OD﹣OC＝10m，由此可得两人所在座舱距离地面的高度差为10m． 【解答】解：（1）△OCP≌△QDO，理由如下： ∵QD⊥BD，PC⊥BD， ∴∠QDO＝∠OCP＝90°， ∵∠POQ＝90°， ∴∠DOQ+∠Q＝90°＝∠DOQ+∠COP， ∴∠Q＝∠COP， 又∵OQ＝PO， ∴△OCP≌△QDO（AAS）； （2）∵△OCP≌△QDO， ∴QD＝OC， ∵小丽到点Q，且小丽距离地面20m， ∴BD＝20m， 又∵AB＝10m，OA＝50m， ∴OD＝40m， ∴， ∴OC＝QD＝30m， ∴CD＝OD﹣OC＝10m， ∴两人所在座舱距离地面的高度差为10m． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 99．（2025秋•埇桥区校级月考）动手操作： （1）如图1，把矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点 A′　 重合，点B与点 B′　 重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 【专题】等腰三角形与直角三角形；空间观念；运算能力；应用意识． 【分析】（1）根据对称性即可推出答案； （2）最短距离可以转化为两条直角边分别为30cm，40cm的直角三角形的斜边即可； （3）用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处时，剖面图即为A'C为A'B'的，求出4AC即可． 【解答】解：动手操作：把矩形AA'B'B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点A'重合，点B与点B'重合， 故答案为：A'，B'； （1）如图所示，连接AB'， 这条丝线的最小长度即为AB'的长， 由勾股定理得：AB'50（cm）， 即这条丝线的最小长度是50cm； （2）若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，如图所示： 在Rt△AA'C中，AA'＝30cm，A'C10（cm）， ∴AC10（cm）， 4×1040（cm）． 答：至少需要多少丝线40cm． 【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，几何体的平面展开图，本题重点理解几何体平面展开图的对应点关系以及熟练解直角三角形的综合应用是解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/9 12:31:58；用户：孙圩中学；邮箱：swzx999@xyh.com；学号：50992292 2292 1．俗话说“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”学习过的东西不及时复习就会被遗忘．假设平均每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则平均每天“遗忘”的百分比约为　29.3%　 （参考数据． 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【分析】设每天“遗忘”的百分比为x，根据两天不练丢一半，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设每天“遗忘”的百分比为x， 根据题意得：（1﹣x）， 解得：x10.293，x2（不合题意，舍去）， 即每天“遗忘”的百分比约为29.3%． 故答案为：29.3%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．如图，AB与CD相交于点E，若∠AEC＝60°，AB＝2，CD＝3，则AC+BD的最小值为 　　 ． 【考点】勾股定理；线段的性质：两点之间线段最短．版权所有 【分析】沿CD方向平移CA到DF，可得∠BAF＝60°，AF＝CD＝3，DF＝CA，再作BG⊥AF于点G，连接BF．由“两点之间，线段最短”及勾股定理可得AC+BD的最小值BF的长． 【解答】解：沿CD方向平移CA到DF，作BG⊥AF于点G，连接BF． ∴AF＝CD＝3，DF＝CA，AF∥CD，∠AGB＝∠BGF＝90°． ∴∠BAF＝∠AEC＝60°，AC+BD＝DF+BD． ∴∠ABG＝30°，AC+BD的最小值为BF的长． ∴AGAB＝1． ∴GF＝AF﹣AG＝2，BG． ∴BF． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理的应用．求不在同一条直线上的两条线段和的最小值，通常采用平移的方法整理成含有公共端点的线段，进而根据两点之间，线段最短求解． 3．先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是　1　 ； （2）化去式子分母中的根号：　3　 ；（直接写结果） （3）利用你发现的规律计算下列式子的值：． 【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；分母有理化．版权所有 【分析】（1）根据题意可知与的乘积不含二次根式，即互为有理化因式； （2）利用分母有理化及平方差公式即可得到本题答案； （3）将括号内每个分数进行化简，再相加继而得到，再利用平方差公式即可求出本题答案． 【解答】解：（1）∵， ∴的有理化因式是：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）原式 ＝2027﹣1 ＝2026． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 4．材料1：古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． 阅读上述材料解决下列问题： （1）当三角形的三边长为5、6、7时，这个三角形的面积为　　 ． （2）当三角形的三边长为、、时，这个三角形的面积为　　 ． 【考点】二次根式的应用．版权所有 【分析】（1）用海伦公式，先计算半周长p，再代入公式求面积； （2）用秦九韶公式，代入三边长度逐步化简计算面积． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：． （2）由条件可得： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了海伦公式与秦九韶公式的应用，解题的关键是正确代入公式并进行根式运算． 5．欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法如下：如图，分别以和b为两直角边长作Rt△ABC，然后在斜边AB上截取AD＝AC，则BD的长就是方程x2+ax＝b2的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程x2+ax＝64时，若构造后的图形满足BD＝2AD，则△ABC的面积为　　 ． 【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的应用．版权所有 【分析】根据题意构造以和8为直角边长的直角三角形，再根据BD＝2AD可得BD＝a，即；再运用勾股定理列一元二次方程求得a的值，然后再求△ABC的面积即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax＝64， ∴b＝8， 如图，以和8为直角边长作直角三角形， ∵BD＝2AD， ∴BD＝2AD＝a， ∴， 由勾股定理可得，， 整理得，2a2＝64， 解得：（已舍去负值，不符合题意）， ∴的值为， ∴．即△ABC的面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用、一元二次方程的应用，根据题意正确构造直角三角形是解题的关键． 6.通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形﹣两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？　是　 （填“是”或不是）； （2）若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形是不是奇异三角形，请做出判断并写出判断依据； （3）在Rt△ABC中，两边长分别为a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； 探究：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2． 【考点】勾股定理的逆定理；估算无理数的大小；等边三角形的性质；勾股定理．版权所有 【分析】（1）根据题中所给的奇异三角形的定义、等边三角形的性质判断； （2）根据奇异三角形的定义判断； （3）分c为斜边、b为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断； 探究：根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． 【解答】解：（1）设等边三角形的边长为a， ∵a2+a2＝2a2， ∴等边三角形一定是奇异三角形； （2）∵， ∴该三角形一定是奇异三角形； （3）当c为斜边时，b2＝c2﹣a2＝50，Rt△ABC不是奇异三角形； 当b为斜边时，b2＝c2+a2＝150， ∵50+150＝2×100， ∴Rt△ABC是奇异三角形； ∴a2+b2＝2c2， ∴Rt△ABC是奇异三角形； 拓展：Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴a2+b2＝c2， ∵c＞b＞a， ∴2c2＞b2+a2，2a2＜b2+c2， ∵Rt△ABC是奇异三角形， ∴2b2＝a2+c2， ∴2b2＝a2+a2+b2， ∴b2＝2a2， ∴c2＝3a2， ∴a2：b2：c2＝1：2：3． 故答案为：是． 【点评】本题考查了奇异三角形的定义、等边三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，在解答（2）时要注意分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 82 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $