专项突破6 易错题专练-【全程复习大考卷】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版·新教材）

专项突破六 易错题专练 易错典例一 下列是二元一次方程的是 A.2x=3 B.2x2=y-1 C.y+=-5 D.x-6y=0 【易错警示】对“二元一次方程（组）”的定义掌握不扎实，忽略关键 条件。 r 变式练习 1.下列方程（组）中：①x+2=0,②3x-2y=1;③y+1=0;④2x-1=1; ⑤ta2-y0 ⑥ 是一元一次方程的是 ,是二元一 x+z=1。 次方程的是 ,是二元一次方程组的是 易错典例二 解方程组 救 2x-y=5, (1) (2) 7+号2=6， l5x+2y=8; 4(x+y)-5(x-y)=2。 【易错警示】(1)用含一个未知数的式子表示另一个未知数后，代入 量 原方程时选错方程，或代入后去括号、移项出错。（2)未通过乘以 系数使同一未知数的系数相等或互为相反数，直接加减导致消元 失败。 变式练习 1.解方程组： 3x+4y=16, x5 r1.1 (1) (2) 2， (3)/2 3=1, l5x-6y=33; 4x+3y=65; (x-3y=2。 都 易错典例三 有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位 数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两 位数。（列方程组解答) 【易错警示】审题不清，未找到题中的关键等量关系，或设未知数与 等量关系不匹配。 变式练习 1.2025年，个人消费者购买单件销售价格不超过6000元的手机、 平板电脑、智能手表（手环）三类数码产品，可享受政府的购新补 贴。小路打算购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑，一 部B品牌平板电脑比一部A品牌手机便宜600元，已知该地区对 A品牌手机每部补贴15%，对B品牌平板电脑每部补贴10%，如 果购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑一共补贴740元， 那么一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑的销售价各是 多少？ 易错典例四 已知命题“如果a=b,那么lal=Ib1”。 (1)写出此命题的条件和结论； (2)写出此命题的逆命题； (3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请 举出一个反例进行说明。 【易错警示】命题必须是“判断一件事情的语句”，任何命题都可写 成“如果…那么…”的形式(“如果”后是题设，“那么”后是结论)； 证明真命题需逻辑推理，否定假命题只需举一个反例。 变式练习 1.命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 (1)请将此命题改写成“如果…那么…”的形式： (2)请配图并写出“已知”和“求证”，并证明过程。 易错典例五 如图，AC∥EF,∠1+∠3=180°。 (1)判断AF与DC是否平行，并说明理由； (2)若AC平分∠FAB,EF⊥BE于点E,∠4=80°，求∠BCD的度数。 D B 【易错警示】几何证明需“图文对应”，符号和文字表述需准确，角、 线段等需用规范符号或顶，点字母标注。 变式练习 1.如图，直线AB与CD被直线EF所截，EF与AB,CD分别交于点 P,0,且A0⊥B0,∠1+∠2=90°。 (1)试说明：AB∥CD; (2)若OB平分∠D0E,∠3=4∠2，求∠OPB的度数。 E 3 ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·39. 易错典例六 用一枚质地不均匀的硬币（正面朝上的概率大于反面），求“掷一次 正面朝上”的概率。 【易错警示】概率计算的核心是“所有结果等可能出现”，若结果发 生的可能性不均等（如质地不均匀的骰子、硬币），则不能直接用 “结果数之比”计算概率。 变式练习 1.如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 60°，90°，210°。让转盘自由转动，求指针停止后落在黄色区域的 概率。 蓝 红 黄 易错典例七 已知a≥b,则一定有-2025a☐-2025b,“口”中应填的符号是 A.≤ B.≥ C.< D.> 【易错警示】不等式两边同乘（或除以）负数时，未改变不等号方向。 变式练习 1.下列不等式变形正确的是 A.由a>b,得a+1<b+1 B.由a>b,得-3a<-3b C.由a>b,得2a<2b D.由a>b,得2a-3<2b-3 2.若关于x的不等式(2-a)x<3可化为x>2a 3 ,则a的取值范围 是 易错典例八 解不等式组： x-3(x-2)<8,① (1)解不等式组 2-1*含， 请按下列步骤完成解答： 2 解不等式①，得 ·40· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 解不等式②，得 原不等式组的解集为 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来。 -4-3-2-1012345 r3x+3>5(x-1),① (2)解不等式组：{ 3 【易错警示】解不等式组时，混淆“公共部分”的判断。 变式练习 1.解下列不等式组： r3x-1<8, r5x-2<3(x-2), (1) (2) 1 3 31 2*-5≥1 2t。 易错典例九 党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，乡村特色产业稳步发展。 某乡村振兴示范点文创商店计划购进A,B两种文创产品进行销 售，A,B两种文创产品的进价和售价如表所示。若该文创商店欲购 进A,B两种文创产品共200件，且这两种文创产品全部售出后总获 利不低于1600元，则该文创商店最少需要购进A种文创产品多 少件？ A B 进价/（元/件） 25 33 售价/（元/件） 35 40 【易错警示】用不等式表示实际问题时，忽略“不等号方向”或“边界 是否取等”。 变式练习 1.小明要从甲地到乙地，两地相距1800米，已知他步行的平均速度 为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过 15分钟的时间从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？ 易错典例十 如图，已知点B,E,C,F在同一条直线 D 上，AB=DE,BE=CF,根据全等三角形 的判定方法，下列能证明△ABC≌ △DEF的条件是 () A.∠ACB=∠DFE B.∠A=∠D C.AC∥DF D.∠B=∠DEF 【易错警示】混淆三角形全等判定定理的条件，误用“SSA”判定 全等。 变式练习 1.如图，点D,E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE,求证： △ABD≌△ACEO ELACG=7∠ACB=70。 AD是BC上的高， ∴.∠EDC=90°-∠ADE=25°。 AF∥BC, .∠AGC=180°-∠BCG=180°-40°-70°=70°。 (2)∠BDC=分LBMD 6.(1)证明：AB=AC,AD1BC, (3)仍成立。理由如下： ∠B=∠DAC=3∠BMC。 AD=AE,.∠ADE=∠AED。 ∴.∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+ .∠BAC=120° ∠EDC=(LEDC+∠C)+∠EDC=2LEDC+∠C。 六∠BAD=∠DAC=2×120°=60°。 又.AB=AC,.∠B=∠C。 AD=AB, :LBMD=2LEDC,即∠EDC=3∠BAD. ∴△ABD是等边三角形。 8.解：(1)= (2)证明：△ABD是等边三角形， (2)=补全理由的过程如下：过点E作EF∥BC,交 ∴.∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD。 AC于点F, :∠EDF=60°， ,△ABC为等边三角形， .∠ADB=∠EDF。 ∴.△AEF为等边三角形。 ∴.∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE。 ..AE=EF,BE=CF。 .∠BDE=∠ADF。 ED =EC, 在△BDE与△ADF中， ..∠D=∠ECD。 ∠DBE=∠DAF=6O°， .∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD, BD=AD, ∠DEB=LECF。 ∠BDE=∠ADF, 在△DBE和△EFC中， ∴.△BDE≌△ADF(ASA)。 .DE=EC, BE=AF。 ∠DEB=∠ECF 7.解：(1)①10【解析】在△ABC中，AB=AC,AD是BC BE=FC, 上的高， ∴.△DBE≌△EFC(SAS)。 ∴∠BAD=∠CAD。 .DB=EF。.AE=DB。 ,∠BAD=20°， (3)点E在AB延长线上时，作EF∥AC,则△EFB为等 .∠BAD=∠CAD=20°。 边三角形， .AD =AE, 如图所示，同理可得△DBE≌△CFE。 ∴.∠ADE=∠AED=80°。 AD是BC上的高， .∠EDC=90°-∠ADE=10°。 ②25【解析】在△ABC中，AB=AC,AD是BC上的高， ∴.∠BAD=∠CAD。 .∠BAD=50°， AB=1,AE=2, ∠BAD=∠CAD=50°。 .BE=1。 .AD =AE, DB=FC=FB+BC=2, .∠ADE=∠AED=65°。 .CD=BC+DB=3。 ·62· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 9.解：(1)AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E, EF=EG,∴.EM=EG。 ∴.AD=BD,AE=CE。 EM⊥AC,EG⊥CD, .AD +DE +AE BD+DE CE=BC=12 .点E在∠ACD的平分线上。 ∴.△ADE的周长为12。 .CE是∠ACD的平分线。 (2)点O在边BC的垂直平分线上。理由如下： (2)在Rt△EAF和Rt△EAM中， 如图，连接A0,B0,C0, TEA =EA, EF EM, M ∴.Rt△EAF≌Rt△EAM(HL)。 .AF=AM。 B E--- 同理证明Rt△ECG≌Rt△ECM(HL), .CG=CM。 OM,ON分别是AB,AC的垂直平分线， ∴.OA=0B,0A=0C。 .AC=AM+CM=AF+CG。 .∴.OB=OC。 专项突破六易错题专练 ∴.点O在边BC的垂直平分线上。 易错典例一D 10.证明：(1)如图，过点E作EH⊥BD于点H, 变式练习1.①②⑤ 易错典例二 2x-y=5,① 解：(1) 5x+2y=8,② 由①，得y=2x-5,③ C D 把③代入②，得 :BE平分∠ABC,EG⊥BA,EH⊥BD, 5x+2(2x-5)=8, .EG=EH。 解得x=2, CE平分∠ACD,EF⊥AC,EH⊥CD, 将x=2代人③，得y=2×2-5, .EF=EH。∴.EG=EF。 解得y=-1。 (2)EG⊥BA,EF⊥AC, x=2, 故原方程组的解为 ∴.∠AGE=90°=∠AFE。 y=-1。 在Rt△AEG和Rt△AEF中， 5x+y=36,① (2)原方程组可化为{ [AE =AE, .-x+9y=2,② LEG=EF, ②×5+①，得46y=46, ∴.Rt△AEG≌Rt△AEF(HL)。 解得y=1, .∴.∠AEG=∠AEF。 把y=1代入①，得x=7。 11.证明：(1)如图，过点E作EM LAC于点M, x=7, 故原方程组的解为 D ly=1. 变式练习 r3x+4y=16,① 1.解：(1) 5x-6y=33,② 点E在∠BAC的平分线上，EF⊥AB, ①×3，得9x+12y=48,③ .EF=EM。 ②×2，得10x-12y=66,④ ③+④，得19x=114, 变式练习 解得x=6, 1.解：设一部A品牌手机的销售价是x元，一部B品牌平 把x=6代人①，得3×6+4y=16, 板电脑的销售价是y元， 解得y=-2· 根据题意，得 x-y=600, 15%x+10%y=740, rx=6, .方程组的解为 1 解得/=320， Y=- 2。 ly=2600。 答：一部A品牌手机的销售价是3200元，一部B品牌 (2) 平板电脑的销售价是2600元。 4x+3y=65,② 易错典例四 把①代入②，得4×"23+3=65， 解：(1)此命题的条件为a=b, 结论为|al=Ibl。 .2(y-5)+3y=65。 (2)此命题的逆命题为如果1al=1b1,那么a=b。 去括号，得2y-10+3y=65, (3)此命题的逆命题是假命题。 解得y=15, 把=15代入①，得x-5255, 当α，b为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等， 如a=2,b=-2时，121=1-21，而2≠-2。 fx=5, 变式练习 .方程组的解为 y=15。 1.解：(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直 1 1 线，那么这两条直线互相平行 (3) 2x-3=1, (2)如图，已知：CD⊥AB于点M,EF⊥AB于点N, x-3y=2, 求证：CD∥EF, 整理，得 3x-2y=6,① 证明：·CD⊥AB于点M,EF⊥AB于点N, x-3y=2,② .∠CMN=∠ENB=90°。 由②，得x=3y+2,③ .CD∥EF。 把③代入①，得3(3y+2)-2y=6, E 去括号，得9y+6-2y=6, 解得y=0, M 把y=0代人③，得x=2, x=2, ·.方程组的解为 y=0。 易错典例五 易错典例三 解：(1)结论：AF∥DC。 解：设原来的两位数的十位上的数字为x,个位上的数字 理由：：AC∥EF,∴.∠1+∠2=180°。 为y, 又∠1+∠3=180°， r10x+y-8x=9, ∴.∠2=∠3。∴AF∥DC。 根据题意，得 3(10y+x)-(10x+y)=1, (2),AC平分∠FAB,∴.∠2=∠CAD。 「x=4 ∠2=∠3，.∠3=∠CAD。 解 b-l. .·∠4=∠3+∠CAD. 答：原来的两位数是41。 .80°=2∠3。∴.∠3=40°。 :EF⊥BE,EF∥AC, 变式练习 .∠FEC=LACB=90°。 3x-1<8,① .∴.∠BCD=∠ACB-∠3=90°-40°=50°。 1.解：(1) x+1 3 <② 变式练习 1.解：(1)A0⊥B0, 由①，得x<3; .∠AOB=90°。 由②，得x>2, .∠A0C+∠2=90°。 故原不等式组的解集为2<x<3。 ∠1+∠2=90°， 5x-2<3(x-2),① (2) .∠AOC=∠1。.∴.AB∥CD。 }-51-3② 1 (2).OB平分∠D0E,.∠D0E=2∠2。 由①，得x<-2; ∠3=4∠2，∠3+∠D0E=180°， 由②，得x≥3， .4∠2+2∠2=180°。.∠2=30°。 故原不等式组无解。 .∠D0E=60°。 易错典例九 AB∥CD, 解：设该文创商店需要购进A种文创产品x件，则需要购 .∠D0E+∠0PB=180°。∴.∠OPB=120°。 进B种文创产品(200-x)件， 易错典例六 由题意，得(35-25)x+(40-33)(200-x)≥1600， 解：因硬币质地不均匀，两种结果可能性不等，需通过多次 试验估计概率，而非直接按等可能计算。 解得x≥662 0 变式练习 x为正整数，∴.x的最小值为67。 1.解：黄色区域的圆心角为90°， 答：该文创商店最少需要购进A种文创产品67件。 黄色区城所占的面积比例为0-行， 变式练习 1.解：设小明需要跑步x分钟， 即转动圆盘一次，指针停在黄色区蚊的概率是4 由题意，得210x+90(15-x)≥1800， 易错典例七 解得x≥3.75，即小明至少需要跑步3.75分钟。 A【解析】根据不等式的性质，a≥b,-2025<0, 易错典例十D ∴.-2025a≤-2025b,即“☐”中应填的符号是≤。 变式练习 变式练习 1.证明：因为AB=AC,所以∠B=∠C。 1.B2.a>2 因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED。 易错典例八 因为∠ADE+∠ADB=∠AED+∠AEC=180°， 解：(1)x>-1x≤2 -1<x≤2 所以∠ADB=∠AEC。 在△ABD和△ACE中， r∠B=∠C, -4-3-2-10 1 4 ∠ADB=∠AEC. r3x+3>5(x-1),① 22s-2-1e5.② LAD=AE. [3 所以△ABD≌△ACE(AAS). 解不等式①，得x<4; 期末综合水平测试 解不等式②，得x≥-2， 1.B2.C 、 所以不等式组的解集为-2≤x<4。 3.C【解析】在△ABC中，∠ABC=82°，∠C=56°， ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·63·