第9章 概率初步 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版·新教材）

第九章考点梳理与复习 考点一 事件的分类 【训练目的】建立对“随机现象”的初步认知，培养抽象能力。 1.在下列事件中，是不可能事件的是 A.投掷一枚硬币，正面向上 B.从只有红球的袋子中摸出黄球 C.任意画一个圆，它是轴对称图形 D.射击运动员射击一次，命中靶心 2.新考法〔跨学科〕下列成语描述的事件为必然事件的是 A.空中楼阁 B.水中捞月 C.日出东方 D.刻舟求剑 训 3.一个不透明袋子里有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子里随机摸出2个球。 下列事件中，是随机事件的是 A.摸出2个黑球 B.摸出2个白球 C.摸出的球中有一个是红球 D.摸出的球中有一个是白球 4.“太阳从西方升起”这一事件是 事件。(“必然”或“不可能”或“不确定”) 考点二事件的可能性 【训练目的】建立随机思维，理解事件发生可能性的客观存在与大小差异。 5.小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”。那么，小 9 颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为 A.“正面朝上”的可能性大 B.“反面朝上”的可能性大 C.两者的可能性相同 D.无法确定 6.任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是 A.朝上面的点数是3 B.朝上面的点数是奇数 C.朝上面的点数小于2 D.朝上面的点数小于3 7.新考法〔跨学科)估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：①瞎猫碰到死耗子；②镜花水月；③种 瓜得瓜，种豆得豆。将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 量 考点三用频率估计概率 【训练目的】建立“随机性”与“规律性”的联系，理解概率的统计定义。 8.在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f,该事件的概率为P。下列说法正确 的是 () A.试验次数越多，∫越大 B.f与P都可能发生变化 C.试验次数越多，f越接近于P D.当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 9.做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 0.512 0.517 0.519 0.521 0.520 m ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计 “正面向上”的概率是0.520； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是 1558次。 其中合理推断的序号是 A.②③ B.①③ C.①② D.①②③ 10.数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有 0301频室 4个白球，3个红球，2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别。 0.25 0.20 从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球 05 0.10 的颜色最有可能是 0.05 A.黑球 B.红球 Q次数 C.黄球 D.白球 11.新素材〔科学技术〕二维码是移动设备上流行的一种编码方式。如图是一个边长为10的 可▣ 正方形二维码，为了估计图中黑色部分的面积，在此二维码上进行大量重复掷点试验，发 ■ 现点落在黑色部分的频率稳定在0.6左右，则二维码中黑色部分的面积约是 12.如表所示为某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的 数据： 试验的种子数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1906 4748 发芽频率m 0.94 0.955 0.95 b 0.953 0.9496 n (1)表中的a= ,b= (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是 ；(结果精确到0.01) (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估计需要准备多少粒种子进行发芽培育？ 考点四计算概率 【训练目的】掌握概率计算的基本方法，理解概率的数学意义。 主题情境校园问答请完成第13~14题 13.七年级一班共有40名同学。在一次数学课上，老师提问后要求同学举手回答，结果有30名同学举 手，其中男生10名、女生20名。若老师在举手的同学中随机选择一名同学回答问题，恰好选中女 生的概率是 () B号 c n号 ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·11· l4.新考法〔跨学科〕在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是 0 15.一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一 样)，昆虫停在阴影部分的概率为 16.新情境〔实际情境〕一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数 字中选中一个翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出抽到“手机”奖品的可能性的大小； (2)每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻。若第一次没有抽到“手机”奖品，请求出第二次抽 到“手机”奖品的可能性的大小； (3)请你根据题意设计翻奖牌背面的奖品（包含手机、微波炉、球拍、电影票、谢谢参与），使得最后 抽到“球拍”的可能性大小是号。 2 3 笔记本电影票谢谢 参与 4 6 手机 球拍 微波 7 8 9 球拍 手机 球拍 翻奖牌正面 翻奖牌背面 17.如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方 格最多能埋藏1颗地雷。小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏 着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A)。 (1)若小明踩在图中9×9个小方格中的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 (2)若小明在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，则踩中地雷的概率是 (3)为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是 应踩在A区域外的小方格上？并说明理由。 ·12· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 考点五游戏的公平性 【训练目的】运用概率知识判断和分析实际问题，理解公平性的数学本质。 主题情境游戏时光请完成第18~19题 欢迎参加今日的“游戏挑战”，请你运用所学知识，完成以下两个有趣的游戏规则分析题。 18.甲和乙正在进行一场公平性对决。他们约定：轮流掷一枚质地均匀的骰子，如果掷出的点数是奇数， 甲获胜；如果是偶数，乙获胜。这个游戏对甲、乙来说是 的。（填“公平”或“不公平”) 19.如图是一个被等分为8个扇形的转盘，3个扇形涂成红色，3个扇形涂成蓝色，其余2个扇形涂成白 色。小颖和小琪想利用这个转盘做游戏，若转盘指针指到红色区域，则小颖赢；若转盘指针指到白 色区域，则小琪赢。你认为这个游戏公平吗？请说明理由。 红 白 蓝 蓝 蓝 20.新情境〔实际情境〕为推进校园垃圾分类智能化普及，学生会计划选派一位同学参与社区数字化宣 传实践。由于名额有限，小明和小亮只能选择一人参与。小红提议采用一个基于抽卡算法的数字 决策方案：从正面印有1,2,3,4,4,5,6,7的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一 张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去。 (1)求抽到印有4的卡片的概率； (2)你认为这个规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并修改规则，使其对双方 都公平。 !所以∠ABP=20°，∠CDP=30°。 此时t>50,而40<50，所以此情况不存在。 因为AB∥CD∥MN, 综上，当CD与AB平行时，时间t的值为4或40。 所以∠BPN=∠ABP=20°，∠DPN=∠CDP=30°。 11.假12.∠AFN=140(答案不唯一) 所以∠EPF=∠BPN+∠DPN=20°+30°=50°。 13.60°或120°【解析】如图1， 9.C【解析】如图，标注，点M。 因为∠ABC=120°，CD'∥AB, 所以∠BCD'=180°-120°=60°； D D'----- .D" B 由折叠的性质，得∠B'FE=∠BFE=23°， 图1 图2 ∠EMB'=∠EMB", 如图2，因为∠ABC=120°，CD"∥AB, 所以∠BFB'=2∠BFE=46°。 所以∠BCD”=∠ABC=120°。 因为AD∥BC, 综上，加工后拐角∠BCD的度数是60°或120°。 所以∠EMB'=∠BFB'=46°，∠DEF=∠BFE=23°。 14.180°【解析】因为AB∥EF,所以∠2+∠B0E=180°。 所以∠EMB”=46°。 所以∠B0E=180°-∠2。 因为A"E∥B"M,所以∠A"EM+∠EMB”=180°。 同理可得∠C0F=180°-∠3。 所以∠A"EM=134°。所以∠A"EF=134°-23°=111°。 因为点0在EF上，所以∠B0E+∠1+∠C0F=180°。 10.D小斗提示：需要对可能存在的情况进行分类讨论。 所以180°-∠2+∠1+180°-∠3=180°， 即∠2+∠3-∠1=180°。 【解析】如图1，AB与CD在EF的两侧时， 15.x+y-z=90【解析】如图，过点C,D分别作CG∥ ∠ACD=180°-60°-6t°=(120-6t)°， AB,DH∥AB, ∠BAC=100°-t°=(100-t)°。 要使AB∥CD,则∠ACD=∠BAC, B 即120-6t=100-t,解得t=4。 C----…G H --------D 此时(180°-60)÷6°=20，所以0<t<20; E 一F E 所以AB∥CG∥DH∥EF。所以∠ABC=∠BCG=x°， ∠GCD=∠CDH,∠HDE=∠DEF=z°。 因为∠CDH+∠HDE=∠CDE=y°， ∠GCD=∠BCD-∠BCG=90°-x°， 图1 图2 图3 所以90°-x°+z°=y°，即x°+y°-z°=90°。 如图2，CD与AB都在EF的右侧时， 所以x,y,z之间的数量关系为x+y-z=90。 ∠DCF=360°-6t°-60°=(300-6t)°， 16.①②④ ∠BAC=100°-t°=(100-t)°， 17.解：(1)假命题。理由如下： 要使AB∥CD,则∠DCF=∠BAC, 两个边长不相等的等边三角形不全等。 即300-6t=100-t,解得t=40。 (2)假命题。理由如下： 此时(360°-60)÷6°=50，所以20<t<50; 如图，∠AOB=∠COD,有公共顶点O,但不是对顶角。 如图3，CD与AB都在EF的左侧时， ∠DCF=6t°-(180°-60°+180）=(6t-300)°， ∠BAC=t°-100°=(t-100)°。 要使AB∥CD,则∠DCF=∠BAC, 即6t-300=t-100,解得t=40。 18.解：(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直 ·48· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 线，那么这两条直线互相平行。 又因为CF∥MN,所以∠CDM=∠DCF=63°。 (2)已知：如图，CD⊥AB于点M,EF⊥AB于点N。 因为AB∥CD,所以∠ABC+∠BCD=180°。 求证：CD∥EF。 因为∠BCD=108°，所以∠ABC=72°。 E 所以∠ABE=∠CBE-∠ABC=63°。 (3)对。理由如下： 因为CF∥BE,所以∠BCF+∠CBE=180°。 D 所以∠BCF+∠ABC+∠ABE=180°。 证明：因为CD LAB,EF⊥AB, 因为AB∥CD, 所以∠CMN=∠ENB=90°。所以CD∥EF。 所以∠ABC+∠BCD=180°。 19.解：已知：如图，AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点 所以∠ABC+∠BCF+∠DCF=180°。 G,H,GM平分∠EGB,HN平分∠GHD。 所以∠ABE=∠DCF。 求证：GM∥HW。 因为CF∥MN,所以∠CDM=∠DCF。 证明：因为AB∥CD,所以∠EGB=∠GHD。 所以∠CDM=∠ABE。 因为GM平分∠EGB,HN平分∠GHD, 选做题 所以LEGM=3∠ECB,LCHN=2∠cHD。 解：因为乙英语第一，乙至少得3分，且总分为9分， 所以科目不会多于7科，且每科第一名至多得8分。 所以∠EGM=∠GHN。所以GM∥HN。 又因为甲总分为22分，所以考试科目不少于3科。 M 因为三人共得了40分，而每科分配得分情况相同， 所以考试科目数应是40的约数。 因为3,6,7都不是40的约数， H D 所以只可能是4科或5科。 若是4科，每科共为10分，按名次分配应有4种，分别为 20.解：已知0CD两直线平行，内错角相等 (7,2,1),(6,3,1),(5,4,1),(5,3,2)。因为甲共得22 AOC OCD CF内错角相等，两直线平行 分，且至多有3科第一（英语不是第一），所以后三种情况 不成立。因为即便是3科第一，1科第二，总分也达到不了 两直线平行，同旁内角互补 22分。 21.解：(1)因为8-6=2,3-1=2，且8≠3， 又因为乙得9分且英语第一，如果按(7,2,1)分配，即便其 所以8631是双减数。 他3科都是最后一名，得1分，总分也超过9分，所以以上 此时(8631)=86-31=55。 几种情况不能成立。 (2)是真命题。理由如下： 若是5科，每科共为8分，按名次分配应有两种，分别为 设千位数字为a,十位数字为b,则百位数字为a-2,个 (5,2,1)和(4,3,1)。而后一种也不能成立，原因仍然是 位数字为b-2,且a≠b。 不能与甲得22分吻合，所以只有(5,2,1)符合题意。 所以双减数A=1000a+100(a-2)+10b+(b-2)。 按照这种分配方案，乙的得分情况是5,1,1,1,1；甲的得分 根据题意，得 情况是5,5,5,5,2，且得2分的科目只能是英语，所以数学 N(A)=10a+(a-2)-[10b+(b-2)]=11(a-b), 第二名只能是丙。 所以N(A)能被11整除。 第九章考点梳理与复习 22.解：(1)平行于同一条直线的两直线平行 1.B2.C3.B4.不可能5.C6.B7.②①③ (2)因为CF∥BE,所以∠BCF+∠CBE=180°。 8.D 因为∠CBE=135°，所以∠BCF=45°。 9.A【解析】当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率 因为∠BCD=108°， 是0.512，“正面向上”的概率不一定是0.512，故①错 所以∠DCF=∠BCD-∠BCF=63°。 误；②③正确。 10.C【解析】观察统计图可知，该球的频率稳定在0.20 理由：踩在A区域内不踩中地雷的概率为8.2=3 84 左右，.∴.抽到该球的概率为0.20。 4 :抽到白球的概率为4+3+2+=0.4， 踩在A区域外不踩中地雷的概率为1,98_8 81-9-9 3 :38 抽到红球的概率为4+3十2+=0.3， 4<9, .小明的第二步应踩在A区域外的小方格上。 2 抽到黄球的概率为4+3+2+1=0.2， 18.公平【解析】任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等 可能结果，其中掷出的点数是奇数的结果有3种，是偶数 1 抽到黑球的概率为4+3+2+=0.1， 的结果也有3种，所以掷出的点数是奇数的概率为。 = .该种球的颜色最有可能是黄球。 11.60 2,掷出的点数是锅教的桃率为后7，即甲赢与乙流 12.解：(1)1910.954【解析】a=200×0.955=191,b= 的概率均为2，所以这个游戏对甲、乙来说是公平的。 954=0.954。 1000 19.解：这个游戏不公平，理由如下： (2)0.95【解析】随着试验种子数的增加，发芽频 ~P(小颖赢)=名，P(小琪赢)=4 率稳定在0.95， ∴.任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率是0.95。 P(小颖赢)>P(小琪赢)。 (3)9500÷0.95=10000(粒)， .小颖赢的可能性大，这个游戏不公平。 20.解：(1)因为8张卡片中，有2张是印有4的， 答：估计需要准备10000粒种子进行发芽培育。 13.D【解析】老师提问后要求同学举手回答，结果有 所以P(抽到印有4的卡片)=冬=子 30名同学举手，其中男生10名，女生20名， (2)不公平。 :P(恰好选中女生的概率)=10+20=3 202 理由：根据题意，得P(小明去)=名，P(小亮去)= 9 小斗总结 随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数 因为号<名，所以不公平。 所有可能出现的结果数 修改规则如下：从印有1,2,3,4,4,5,6,7的8张卡片 中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；抽 到所印数字比4小的卡片，小亮去；抽到印有4的卡片 16解：（①）由题图可得，辅到手机"奖品的可能性是号。 则重新抽。（答案不唯一） (2)由题意可得，第二次的抽取机会一共有8种可能， 第九章学业水平测试 第二次抽到“手机”奖品的结果有2种， 1.B2.C 即第二次抽到“手机”奖品的可能性是？=】 3.C【解析】小.样本容量是60，某一个数的频率是0.5， 8=4 ..该数出现的频数为0.5×60=30。 (3)设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、 4.D5.A6.D7.B 微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张。（答案不唯一） 8.B【解析】有10枚决议球，其中白决议球x个，绿决 17.解：(1)9 【解析】小明如果踩在题图中9×9个小方格 议球2x个，其余为黑决议球，.黑决议球有(10-3x) 中的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是0 个。摸到维决议球的桃阜为合-号，接到黑决议球的 19 概率为10-3x 100 (2)子【解析】若小明在区域A内围着数字2的8个 ,确保仲裁对双方舰船公平， 方块中任点一个，则球中地雷的能率是号日 =10-3x,解得x=2。 :.5 10 (3)小明的第二步应踩在A区域外的小方格上， 9.B【解析】指针指向的可能情况有6种，而其中“指针 所落扇形中的数大于3”有3种， .事件“指针所落扇形中的数大于3”发生的概率为 P(抽到写有“传统体育”的卡片)-8号。 31 6=2 答：抽到写有”传统体育”的卡片的概率为子。 小斗总结 " 求概率，找准两点：①全部情况的总数：②符合条件的情况数 19.解：(1)3 【解析】由题图可得，抽到“纸巾”奖品的概 目。二者的比值就是其发生的概率。 率是号- 10.B【解析】由题图2可估计指针落入优胜奖区域的概 率为0.2，∴.转盘中优胜奖区域的圆心角∠AOB的度数 2号 【解折1由题意，丹日-子 近似为0.2×360°=72°。 (3)设计九张翻奖牌中有四张写着太阳伞，其它的五张牌 1.令12.写13.三等奖 中纸巾、牙刷各一张，谢谢参与三张。（答案不唯一） 20.解：(1)根据表中数据计算，得a=1964÷2000= 14.不公平【解析】234,243,342,324,423,432，在这6个 0.982,b=2949÷3000=0.983。 数中，有4个偶数，有2个奇数。 (2)随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合 偶数占总数的各-号，奇数占总纸的号宁 21 格的频率在0.98附近波动，故任意抽取的一顶是合格 21 品的概率估计值是0.98。 “了≠3，心这个游戏规则不公平。 (3)用样本数据估计总体，得49000÷0.98=50000（顶）。 15.6【解析】由题意知，揆出方块的频率越来越接近， 答：该厂估计要生产50000顶头盔。 21.解：(1)由题意，可列算式(+0.5)+(-0.8)+ 则摸到其他花色的频率约为号，所以袋中纸牌的张数 (-0.4)+(+1.5)+(-0.3)+(+1.1)=+1.6(m), 为12÷号=18，则a=18-12=6。 ∴.七年级一班的获胜机会较大。 (2)七年级一班想要获胜，第7次移动至少要向七年级 16号【解析】当“回”位于格子A时，小明连续点击两 一班方向移动的距离为2-1.6=0.4(m)。 22.解：(1)我认为以上两位同学的想法是错误的。 次按钮，则有等可能四种结果： 理由：转盘被等分为12个扇形，自由转动转盘，当转盘 ①两次都向左移动，则“心”落在E处； 停止时，指针落在不同扇形的可能的结果共有12种， ②先向左再向右，则“心”回到格子A; 这些结果是等可能的。其中红色扇形有2个，黄色扇 形有3个，空白扇形有7个，所以指针停留在这三个区 ③先向右再向左，则“⊙”回到格子A； 域的结果不是等可能的，指针落在红色区域的概率是 ④两次都向右移动，则“⊙”落在C处。 所以当“心”位于格子A时，小明连续，点击两次按钮， 合-石。因此小杰的想法是结误的： 转盘是均匀的，无论前面转动结果如何，再转一次，结 “⑨”回到格子A的概率是。 果都不会受到前面的影响，指针落在黄色区域的概率 17.解：测试箱中有5个白色球，3个黑色球，2个红色球， (1)是随机事件。(2)是随机事件。(3)是不可能事 音-子。因此小领的想法是结误的。 件。(4)是必然事件。(5)是不可能事件。 (2)不公平。 18.解：(1)有“传统节日”“传统艺术”“传统体育”的卡 只要把一个空白区域的扇形标注成红色即可。（答案 片共30张，写有“传统节日”的卡片有8张，写有“传统 不唯一) 艺术”的卡片有14张， 红 ∴P(抽到写有传统艺术”的卡片)货名。 答：抽到写有“传统艺术”的卡片的概率为3 (2)由题可知原来“传统体育”的卡片有30-8-14=8 (张)，再放入写有“传统体育”的卡片10张， ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·49·