第九章 概率初步（单元自测·提升卷）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 概率初步·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（   ） A．“打开手机，微信有新消息”是必然事件 B．“购买1张中奖率是的彩票中奖”是不可能事件 C．“打开电视正在播放《新闻联播》”是不可能事件 D．“50个人中有2个人的生日相同”是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的定义，需依据三类事件的概念逐一判断选项事件的类型，进而确定正确选项． 【详解】解： “打开手机，微信有新消息”可能发生也可能不发生，是随机事件，不是必然事件， 故A错误． “购买1张中奖率是1%的彩票中奖”可能发生，是随机事件，不是不可能事件， 故B错误． “打开电视正在播放《新闻联播》”可能发生，是随机事件，不是不可能事件， 故C错误． “50个人中有2个人的生日相同”可能发生也可能不发生，是随机事件， 故D正确． 故选：D． 2．下列事件：同位角相等；标准大气压下，水在零下会结冰；任意画一个三角形，内角和是；任意买一张电影票，座号是偶数；在同一个月出生的个人中，至少有两个人的生日在同一天；任意三条线段可以组成一个三角形．其中是确定事件的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了确定事件的定义，掌握确定事件是指必然事件和不可能事件的总称，是解题的关键．根据确定事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：同位角相等只有在两直线平行时成立，否则不一定，是随机事件，不是确定事件； 标准大气压下，水在零下会结冰，是必然事件，是确定事件； 三角形内角和恒为，不是，是不可能事件，是确定事件； 电影票座号可能是偶数或奇数，是随机事件，不是确定事件； 一个月最多天，在同一个月出生的个人中至少两人生日相同，是必然事件，是确定事件； 三条线段需满足三角形三边关系才能组成三角形，是随机事件，不是确定事件． 确定事件有，共个． 故选：C． 3．一个不透明的口袋中装有个蓝球，为了估计蓝球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到蓝球的频率稳定在附近．则的值为（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．由题意可知摸到蓝球的概率为，再根据概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵加入4个红球后，口袋中总球数为个，且摸到蓝球的频率稳定在附近． ∴摸到蓝球的概率为． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 故选：C． 4．盒子里有仅颜色不同的个球，其中红球有个，黄球有个，黑球有个，小甬从中任意摸一个球．下面说法正确的是（   ） A．一定是红球 B．摸出红球可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黄球可能性最小 【答案】B 【分析】本题考查事件发生可能性的大小，根据概率的定义分别计算出摸出不同颜色球的概率然后进行比较即可．解题的关键是掌握：事件发生的概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵盒子里有仅颜色不同的个球，其中红球有个，黄球有个，黑球有个，小甬从中任意摸一个球，则： 摸出红球的概率为， 摸出黄球的概率为， 摸出黑球的概率为， 又∵， ∴摸出红球可能性最大． 故选：B． 5．从整数2，3，4，5中任选2个数相加，其和是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用枚举法求事件的概率，从2，3，4，5中任选2个数，总共有6种组合，和为偶数的组合有2种，即可求出概率． 【详解】解：∵从2，3，4，5中任选2个数，总组合数为6种，具体为：． 和为偶数的是和，共2种． ∴和是偶数的概率． 故选：C． 6．如图是一个边长为2的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率的知识．根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率． 【详解】解：设正方形的边长为2，则圆的直径为2， 故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为， 故选：C． 7．某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖.活动开始前，为检验游戏难度，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 投中的次数 12 27 49 60 70 88 250 510 1000 2500 投中的频率 0.60 0.45 0.49 0.50 0.50 0.55 0.50 0.51 0.50 0.50 则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（结果精确到0.01）（   ） A．0.45 B．0.49 C．0.50 D．0.51 【答案】C 【分析】此题考查了利用频率估计概率，根据大量重复试验中频率稳定于概率的原理，取投掷次数较大时的稳定频率作为概率的估计值． 【详解】解：由频率分布表可知，随着投中次数越来越大，频率逐渐稳定到常数0.50附近， ∴估计投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为0.50． 故选：C． 8．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．掷一个质地均匀的六面骰子，向上的面点数是 D．暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，分别计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．解题的关键是掌握：频率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故此选项不符合题意； B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：，故此选项不符合题意； C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的概率为：，故此选项符合题意； D．暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故此选项不符合题意． 故选：C． 9．一个不透明的盒子内装有2个红球，1个黄球，1个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现从中随机摸出一球，记下颜色后放回搅匀，如此继续．如表是小温前两次摸球的情况，当小温第三次摸球时，下列说法正确的是（    ） 次数 第1次 第2次 第3次 颜色 红球 红球 A．一定摸到红球 B．一定摸不到红球 C．摸到红球比摸到蓝球的可能性大 D．摸到红球、黄球和蓝球的可能性一样大 【答案】C 【分析】此题考查了概率，每次摸球后放回，事件独立，概率不变．计算各颜色球的概率即可判断． 【详解】解：∵总球数为4个，其中红球2个，黄球1个，蓝球1个． ∴第3次摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，摸到蓝球的概率为， ∴摸到红球的概率大于摸到蓝球的概率． 故选：C． 10．图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查列举法求概率，熟练掌握利用列举法求概率是解题的关键． 掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9，共有4种情况，其中当数字之和为8时，棋子跳动到点处，利用概率公式计算即可． 【详解】解：由于、、、， 则掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9， 共有4种情况， 当数字之和为6时，棋子跳动到点处， 当数字之和为7时，棋子跳动到点处， 当数字之和为8时，棋子跳动到点处， 当数字之和为9时，棋子跳动到点处， 因此，棋子跳动到点处的概率是， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．成语“旭日东升”，从数学的观点看，成语中描述的事件是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 【答案】必然 【分析】本题考查了事件的分类．根据事件的定义，必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；“旭日东升”描述太阳从东方升起，是自然规律，必然发生． 【详解】解：“旭日东升”指太阳从东方升起，这是基于地球自转的确定性自然现象，在任何条件下都会发生，因此从数学观点看，它属于必然事件． 故答案为：必然． 12．若抛掷1枚硬币的次数足够多，出现“正面向上”的频率会稳定在一个常数（概率）附近，则这个常数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用概率估计频率，概率公式，根据概率的定义，对于一枚公平硬币，正面向上的概率是等可能事件中的有利情况数与总情况数的比值． 【详解】解：抛掷一枚硬币，所有可能的结果有2种：正面向上或反面向上，且每种结果出现的可能性相等，因此正面向上的概率为，当抛掷次数足够多时，频率会稳定在这个概率附近， 故答案为：． 13．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有 是能发芽的．（精确到个位） 【答案】90 【分析】此题主要考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解答此题的关键是判断出：大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.901左右．根据频率稳定性，当试验种子数较大时，发芽频率趋近于概率，取1000粒时的频率0.901作为概率估计值，再计算种子中能发芽的重量． 【详解】解：由试验数据可知，试验种子数为1000粒时，发芽频率为0.901， 该值可作为发芽概率的估计值． 因此，种子中能发芽的种子重量约为，精确到个位为． 故答案为∶． 14．甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，他们准备了从A到K的13张牌，并规定如果甲抽到7到K的牌，那么算甲胜；如果抽到7以下的牌，那么算乙胜．这个游戏对甲、乙来说， （填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 计算甲获胜和乙获胜的概率，比较两者是否相等． 【详解】解：总牌数为张，甲获胜需抽到至的牌，共张； 乙获胜需抽到以下的牌，共张； 甲获胜概率为，乙获胜概率为，两者不相等，故不公平． 故答案为：不公平． 15．在一个不透明的盒子中装有5个红球和若干个蓝球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，不断重复该实验．统计结果显示，当实验次数较多时，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2左右，则据此估计盒中大约有蓝球 个． 【答案】20 【分析】此题考查了频率估计概率，根据频率估计概率，摸到红球的概率稳定在0.2，利用概率公式求出总个数，然后求出蓝球的个数即可． 【详解】解：∵摸到红球的频率逐渐稳定在0.2左右， ∴摸到红球的概率为0.2， ∴盒子中球的总个数为， ∴估计盒中大约有蓝球（个）． 故答案为：20． 16．若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落下；（2）某人的体温是；（3）（a，b都是实数）；（4）四边形的内角和是；（5）投一次篮球，命中；（6）下雨后出现彩虹． 【答案】（1）（4）是必然事件，（2）（3）是不可能事件，（5）（6）是随机事件 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解∶ （1）（4）是必然事件，（2）（3）是不可能事件，（5）（6）是随机事件． 18．一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 【答案】(1)黑 (2)可以，取出个黑球或放入个红球就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同 【分析】（）根据两种球的数量即可判断求解； （）使两种球的数量相同即可使摸到红球和摸到黑球的可能性相同； 本题考查了可能性大小，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵黑球的数量大于红球的数量， ∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的可能性大， 故答案为：黑； （2）解：取出个黑球或放入个红球，使得两种球的数量相同，就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 19．“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 【答案】(1)打七五折的概率为，打五折的概率为 (2)见解析 【分析】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率的计算方法，可得答案； （2）根据已知条件他俩获得优惠的情况分为两种情况，于是得到结论． 【详解】（1）解：打七五折的概率为，打五折的概率为； （2）解：第一种情况：小红和小明都按七五折付账：（元）． 第二种情况：小红按五折付账，小明按不打折付账：（元） （或小红按不打折付账，小明按打五折付账） 20．如图，现有一个转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6．自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． (1)转出的数字大于6是______事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)小明和小亮一起做游戏，若转出的数字是2的倍数，则小明获胜；若转出的数字是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1)不可能 (2)不公平，见解析 【分析】（1）根据事件的分类解答即可； （2）根据题意，分别求出转出的数字是2的倍数的概率和是3的倍数的概率，然后比较求解即可． 本题考查了事件的分类，简单的概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6 ∴转出的数字大于6是不可能事件， 故答案为：不可能 （2）解：根据题意，转出的数字是2的倍数的可能性有3种， ∴小明获胜的概率为， 转出的数字是3的倍数的可能性有2种， ∴小亮获胜的概率为． ∵， ∴游戏不公平． 21．如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字9的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种， ∴P（转出数字9）； 故答案为：； （2）解：小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 22．口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球（，），没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： (1)①如果摸到红球是不可能事件，请直接写出x和y的值； ②如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，请直接写出x和y的值． (2)在（1）②的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 【答案】(1)①，；②； (2)取走3个白球． 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． （1）①根据不可能事件的定义可得，结合题意可得； ②根据红球与白球的数量的情况即可求解； （2）设取走个白球，根据概率公式列出关于的方程，解出的值即可． 【详解】（1）解：①∵摸到红球是不可能事件， ∴，； ②摸到红球与摸到白球的可能性相等，且， ； （2）解：设取走个白球，放入个红球，则口袋中现在有白球个，红球个， 根据题意得，， 解得， 答：取走3个白球． 23．某店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下： 摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 598 摸到红球的频率 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.299 (1)上表中的_____； (2)通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为_____（结果精确到0.01）； (3)若先从袋子中取出个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则_____； (4)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为．求的值． 【答案】(1)0.28 (2)0.30 (3)9 (4)3 【分析】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）根据表中的数据计算即可； （2）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3，从而得出摸到红球的概率； （3）根据盒子里有9个红球，再根据“摸出黑球”为必然事件，从而得出； （4）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ． 故答案为：0.28； （2）解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为， 故答案为：； （3）解：摸到红球的概率估计为0.3， 盒子里红球的数量为（个）， “摸出黑球”为必然事件， ． 故答案为：9； （4）解：由（3）知红球9个，黑球21个，根据题意得： ， 解得：， 答：的值为3． 24．（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】（1） （2） （3）乙获胜的概率大，理由见解析 【分析】本题考查几何概率的求法，掌握正方形面积和阴影部分面积的计算方法是解题关键． （1）用阴影部分的面积除以总面积即可； （2）用阴影部分的面积除以总面积即可； （3）分别求出两人获胜的概率即可解答． 【详解】解：（1）根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率：； （2）∵图形的总面积为，阴影部分面积为， ∴点P恰好在阴影部分的概率是：； （3）乙获胜的概率大，理由如下： 由图可知：甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：， ∴， 故乙获胜的概率大． 25．小明准备了一枚质地均匀的正二十面体的骰子（如图），已知1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，其余面标有“5”或“6”．因角度问题，小华只能看到部分面，标有“5”的面和标有“6”的面有多少个无法知道．他们通过掷骰子对数字“5”朝上的次数进行统计，结果如下： 掷骰子总次数n 10 20 50 100 200 400 … “5”朝上的次数m 1 4 9 21 39 81 … “5”朝上的频率 0.100 0.200 0.180 0.210 0.195 0.203 … (1)请估计：当n很大时，“5”朝上的频率将会接近______（结果精确到0.1）； (2)估计标有“5”的面有______个，标有“6”的面有______个； (3)小明和小华准备玩游戏：一人掷这个骰子，另一个人猜数，若所猜数字与掷出的数字相符，则猜数的人获胜，否则掷骰子的人获胜．猜数的方法从下面两种中选一种： ①猜“是奇数”； ②猜“是3的倍数”，如果你来猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方法？为什么？ 【答案】(1)0.2； (2)4，6； (3)选择②，理由见解析． 【分析】本题考查利用频率估计概率，游戏的公平性和概率公式，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． （1）利用频率估计概率即可得出答案； （2）根据概率公式即可求出标有“5”的面的个数，再计算标有“6”的面的个数即可； （3）分别求出各种情况下获胜的概率，比较得出答案． 【详解】（1）解：根据已知可得，当n很大时，“5”朝上的频率将会接近0.2； 故答案为：0.2； （2）解：由（1）可知，“5”朝上的概率为0.2， ∴估计标有“5”的面有（个）， ∴标有“6”的面有（个）； 故答案为：4，6； （3）解：选择②；猜“是3的倍数”， 理由：∵P（奇数）， P（是3的倍数）， ∵， ∴猜是3的倍数的获胜概率最大． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 概率初步·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（   ） A．“打开手机，微信有新消息”是必然事件 B．“购买1张中奖率是的彩票中奖”是不可能事件 C．“打开电视正在播放《新闻联播》”是不可能事件 D．“50个人中有2个人的生日相同”是随机事件 2．下列事件：同位角相等；标准大气压下，水在零下会结冰；任意画一个三角形，内角和是；任意买一张电影票，座号是偶数；在同一个月出生的个人中，至少有两个人的生日在同一天；任意三条线段可以组成一个三角形．其中是确定事件的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．一个不透明的口袋中装有个蓝球，为了估计蓝球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到蓝球的频率稳定在附近．则的值为（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 4．盒子里有仅颜色不同的个球，其中红球有个，黄球有个，黑球有个，小甬从中任意摸一个球．下面说法正确的是（   ） A．一定是红球 B．摸出红球可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黄球可能性最小 5．从整数2，3，4，5中任选2个数相加，其和是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 6．如图是一个边长为2的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（    ） A． B． C． D． 7．某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖.活动开始前，为检验游戏难度，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 投中的次数 12 27 49 60 70 88 250 510 1000 2500 投中的频率 0.60 0.45 0.49 0.50 0.50 0.55 0.50 0.51 0.50 0.50 则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（结果精确到0.01）（   ） A．0.45 B．0.49 C．0.50 D．0.51 8．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．掷一个质地均匀的六面骰子，向上的面点数是 D．暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 9．一个不透明的盒子内装有2个红球，1个黄球，1个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现从中随机摸出一球，记下颜色后放回搅匀，如此继续．如表是小温前两次摸球的情况，当小温第三次摸球时，下列说法正确的是（    ） 次数 第1次 第2次 第3次 颜色 红球 红球 A．一定摸到红球 B．一定摸不到红球 C．摸到红球比摸到蓝球的可能性大 D．摸到红球、黄球和蓝球的可能性一样大 10．图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（   ） A． B． C． D．0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．成语“旭日东升”，从数学的观点看，成语中描述的事件是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 12．若抛掷1枚硬币的次数足够多，出现“正面向上”的频率会稳定在一个常数（概率）附近，则这个常数为 ． 13．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有 是能发芽的．（精确到个位） 14．甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，他们准备了从A到K的13张牌，并规定如果甲抽到7到K的牌，那么算甲胜；如果抽到7以下的牌，那么算乙胜．这个游戏对甲、乙来说， （填“公平”或“不公平”） 15．在一个不透明的盒子中装有5个红球和若干个蓝球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，不断重复该实验．统计结果显示，当实验次数较多时，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2左右，则据此估计盒中大约有蓝球 个． 16．若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落下；（2）某人的体温是；（3）（a，b都是实数）；（4）四边形的内角和是；（5）投一次篮球，命中；（6）下雨后出现彩虹． 18．一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 19．“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 20．如图，现有一个转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6．自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． (1)转出的数字大于6是______事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)小明和小亮一起做游戏，若转出的数字是2的倍数，则小明获胜；若转出的数字是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 21．如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 22．口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球（，），没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： (1)①如果摸到红球是不可能事件，请直接写出x和y的值； ②如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，请直接写出x和y的值． (2)在（1）②的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 23．某店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下： 摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 598 摸到红球的频率 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.299 (1)上表中的_____； (2)通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为_____（结果精确到0.01）； (3)若先从袋子中取出个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则_____； (4)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为．求的值． 24．（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 25．小明准备了一枚质地均匀的正二十面体的骰子（如图），已知1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，其余面标有“5”或“6”．因角度问题，小华只能看到部分面，标有“5”的面和标有“6”的面有多少个无法知道．他们通过掷骰子对数字“5”朝上的次数进行统计，结果如下： 掷骰子总次数n 10 20 50 100 200 400 … “5”朝上的次数m 1 4 9 21 39 81 … “5”朝上的频率 0.100 0.200 0.180 0.210 0.195 0.203 … (1)请估计：当n很大时，“5”朝上的频率将会接近______（结果精确到0.1）； (2)估计标有“5”的面有______个，标有“6”的面有______个； (3)小明和小华准备玩游戏：一人掷这个骰子，另一个人猜数，若所猜数字与掷出的数字相符，则猜数的人获胜，否则掷骰子的人获胜．猜数的方法从下面两种中选一种： ①猜“是奇数”； ②猜“是3的倍数”，如果你来猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方法？为什么？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 概率初步·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B C C C C C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．必然 12． 13．90 14．不公平 15．20 16．/ 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】解∶ （1）（4）是必然事件，..........2分 （2） （3）是不可能事件，..........4分 （5）（6）是随机事件．..........6分 18． 【详解】（1）解：∵黑球的数量大于红球的数量， ∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的可能性大， 故答案为：黑；..........3分 （2）解：取出个黑球或放入个红球，使得两种球的数量相同，就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同．..........6分 19． 【详解】（1）解：打七五折的概率为，打五折的概率为；..........3分 （2）解：第一种情况：小红和小明都按七五折付账：（元）． 第二种情况：小红按五折付账，小明按不打折付账：（元） （或小红按不打折付账，小明按打五折付账）..........6分 20． 【详解】（1）解：∵转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6 ∴转出的数字大于6是不可能事件， 故答案为：不可能.........2分 （2）解：根据题意，转出的数字是2的倍数的可能性有3种， ∴小明获胜的概率为， 转出的数字是3的倍数的可能性有2种， ∴小亮获胜的概率为． ∵， ∴游戏不公平．..........6分 21． 【详解】（1）解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种， ∴P（转出数字9）； 故答案为：；..........3分 （2）解：小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的．..........8分 22． 【详解】（1）解：①∵摸到红球是不可能事件， ∴，；..........2分 ②摸到红球与摸到白球的可能性相等，且， ；..........4分 （2）解：设取走个白球，放入个红球，则口袋中现在有白球个，红球个， 根据题意得，， 解得， 答：取走3个白球．..........8分 23． 【详解】（1）解： ． 故答案为：0.28；..........2分 （2）解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为， 故答案为：；..........4分 （3）解：摸到红球的概率估计为0.3， 盒子里红球的数量为（个）， “摸出黑球”为必然事件， ． 故答案为：9；..........6分 （4）解：由（3）知红球9个，黑球21个，根据题意得： ， 解得：， 答：的值为3．..........8分 24． 【详解】解：（1）根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率：；..........4分 （2）∵图形的总面积为，阴影部分面积为， ∴点P恰好在阴影部分的概率是：；..........8分 （3）乙获胜的概率大，理由如下： 由图可知：甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：， ∴， 故乙获胜的概率大．..........12分 25． 【详解】（1）解：根据已知可得，当n很大时，“5”朝上的频率将会接近0.2； 故答案为：0.2；..........4分 （2）解：由（1）可知，“5”朝上的概率为0.2， ∴估计标有“5”的面有（个）， ∴标有“6”的面有（个）； 故答案为：4，6；..........8分 （3）解：选择②；猜“是3的倍数”， 理由：∵P（奇数）， P（是3的倍数）， ∵， ∴猜是3的倍数的获胜概率最大．..........12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 概率初步·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（   ） A．“打开手机，微信有新消息”是必然事件 B．“购买1张中奖率是的彩票中奖”是不可能事件 C．“打开电视正在播放《新闻联播》”是不可能事件 D．“50个人中有2个人的生日相同”是随机事件 2．下列事件：同位角相等；标准大气压下，水在零下会结冰；任意画一个三角形，内角和是；任意买一张电影票，座号是偶数；在同一个月出生的个人中，至少有两个人的生日在同一天；任意三条线段可以组成一个三角形．其中是确定事件的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．一个不透明的口袋中装有个蓝球，为了估计蓝球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到蓝球的频率稳定在附近．则的值为（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 4．盒子里有仅颜色不同的个球，其中红球有个，黄球有个，黑球有个，小甬从中任意摸一个球．下面说法正确的是（   ） A．一定是红球 B．摸出红球可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黄球可能性最小 5．从整数2，3，4，5中任选2个数相加，其和是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 6．如图是一个边长为2的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（    ） A． B． C． D． 7．某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖.活动开始前，为检验游戏难度，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 投中的次数 12 27 49 60 70 88 250 510 1000 2500 投中的频率 0.60 0.45 0.49 0.50 0.50 0.55 0.50 0.51 0.50 0.50 则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（结果精确到0.01）（   ） A．0.45 B．0.49 C．0.50 D．0.51 8．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．掷一个质地均匀的六面骰子，向上的面点数是 D．暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 9．一个不透明的盒子内装有2个红球，1个黄球，1个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现从中随机摸出一球，记下颜色后放回搅匀，如此继续．如表是小温前两次摸球的情况，当小温第三次摸球时，下列说法正确的是（    ） 次数 第1次 第2次 第3次 颜色 红球 红球 A．一定摸到红球 B．一定摸不到红球 C．摸到红球比摸到蓝球的可能性大 D．摸到红球、黄球和蓝球的可能性一样大 10．图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（   ） A． B． C． D．0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．成语“旭日东升”，从数学的观点看，成语中描述的事件是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 12．若抛掷1枚硬币的次数足够多，出现“正面向上”的频率会稳定在一个常数（概率）附近，则这个常数为 ． 13．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有 是能发芽的．（精确到个位） 14．甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，他们准备了从A到K的13张牌，并规定如果甲抽到7到K的牌，那么算甲胜；如果抽到7以下的牌，那么算乙胜．这个游戏对甲、乙来说， （填“公平”或“不公平”） 15．在一个不透明的盒子中装有5个红球和若干个蓝球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，不断重复该实验．统计结果显示，当实验次数较多时，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2左右，则据此估计盒中大约有蓝球 个． 16．若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落下；（2）某人的体温是；（3）（a，b都是实数）；（4）四边形的内角和是；（5）投一次篮球，命中；（6）下雨后出现彩虹． 18．一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 19．“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 20．如图，现有一个转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6．自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． (1)转出的数字大于6是______事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)小明和小亮一起做游戏，若转出的数字是2的倍数，则小明获胜；若转出的数字是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 21．如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 22．口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球（，），没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： (1)①如果摸到红球是不可能事件，请直接写出x和y的值； ②如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，请直接写出x和y的值． (2)在（1）②的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 23．某店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下： 摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 598 摸到红球的频率 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.299 (1)上表中的_____； (2)通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为_____（结果精确到0.01）； (3)若先从袋子中取出个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则_____； (4)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为．求的值． 24．（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 25．小明准备了一枚质地均匀的正二十面体的骰子（如图），已知1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，其余面标有“5”或“6”．因角度问题，小华只能看到部分面，标有“5”的面和标有“6”的面有多少个无法知道．他们通过掷骰子对数字“5”朝上的次数进行统计，结果如下： 掷骰子总次数n 10 20 50 100 200 400 … “5”朝上的次数m 1 4 9 21 39 81 … “5”朝上的频率 0.100 0.200 0.180 0.210 0.195 0.203 … (1)请估计：当n很大时，“5”朝上的频率将会接近______（结果精确到0.1）； (2)估计标有“5”的面有______个，标有“6”的面有______个； (3)小明和小华准备玩游戏：一人掷这个骰子，另一个人猜数，若所猜数字与掷出的数字相符，则猜数的人获胜，否则掷骰子的人获胜．猜数的方法从下面两种中选一种： ①猜“是奇数”； ②猜“是3的倍数”，如果你来猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方法？为什么？ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $