第8章 证明 学业水平测试-【全程复习大考卷】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版·新教材）

第八章学业水平测试 (时间：60分钟满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.下列命题中，是假命题的是 A.两点之间，线段最短 B.对顶角相等 C.直角的补角仍然是直角 D.同旁内角互补 2.下列语句中，属于定理的是 A.在直线AB上取一点E B.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C.同位角相等 D.同角的补角相等 3.如图，MC∥AB,NC∥AB,则点M,C,N在同一条直线上，理由是 A.两点确定一条直线 B.在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.平行于同一条直线的两条直线平行 9 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，已知AB∥CD,直线EF分别与AB,CD交于点F,E,则与∠1互补的角共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图，直线AB与直线CF相交于点E,直线CF与直线CD相交于点C,H,G为直线外两点，连接EG, CH,不能作为判定AB∥CD的条件是 () A.∠BEF=∠DCE B.∠AEC=∠DCE C.∠BEC+∠DCE=180° D.∠CEG=∠ECH 主题情境反射、折射平行线请完成第6~8题 6.世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》。书中记载了这样的一段 话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣。”现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的，如图是潜望 镜工作原理的示意图，它所应用的数学原理是 A.内错角相等，两直线平行 养 B.同旁内角互补，两直线平行 C.对顶角相等 D.两点确定一条直线 7.光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化。如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平 行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1=42°，∠2= 16°，则∠CGF的度数是 () A.58° B.48 C.26° D.32 E 空气 E -B 水 H -D G D 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 8.如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE,DF的反向延长线交于 主光轴MN上一点P。若∠ABE=160°，∠CDF=150°，则∠EPF的度数是 (） A.20° B.30° C.50° D.70° 9.如图，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A落在A'处，点B落在B'处。再将得到的图形沿ED翻折，使 点A'落在A"处，点B'落在B”处。若∠BFE=23°，则∠A"EF的度数为 () A.134° B.121° C.111° D.105° 10.如图，直线EF上有A,C两点，分别引两条射线AB,CD,∠BAF=100°，CD与AB在直线EF异侧。 若∠DCF=60°，射线AB,CD分别绕点A,C以每秒1°和每秒6°的速度同时顺时针转动，设时间为t 秒，在射线CD转动一周的时间内，当CD与AB平行时，时间t的值为 () A.4 B.10 C.40 D.4或40 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.命题“无理数都大于0”是 命题。（填“真”或“假”) 12.如图，直线MN分别与直线AB,CD交于点F,E,且∠1=140°，若增加一个条件使得AB∥CD,试写 出一个符合要求的条件 。（写出一个即可) B D 6D B A B 3 D B 0 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 13.如图，一个弯形管道的拐角∠ABC=120°，若工人师傅准备在点C处对管道进行加工拐弯，要保证 拐弯的部分CD与AB平行，则加工后拐角∠BCD的度数是 _0 14.如图，若AB∥EF,EF∥CD,则∠2+∠3-∠1= 0 15.如图，AB∥EF,点C,D为这两条平行线之间的两个点，连接BC,CD,DE,BC⊥CD,设∠ABC=x°， ∠CDE=y°，∠DEF=z°，则x,y,z之间的数量关系为 16.新考法〔跨学科〕“回文诗”即正念倒念都有意思、均成文章的诗，如“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水 流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受。在数学中也有一 类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11,343等。下列几个 命题：①2222是“回文数”；②所有两位数中，有9个“回文数”；③所有三位数中，有81个“回文 数”；④任意四位数的“回文数”是11的倍数。其中，真命题有 。（填序号)》 ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·9 三、解答题（共52分） 17.(6分)判断下列命题的真假，并说明理由。 (1)三个角对应相等的两个三角形全等； (2)有公共顶点且角度相等的两个角是对顶角。 18.(8分)命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 (1)请将此命题改写成“如果…那么…”的形式； (2)请写出“已知”和“求证”，并进行证明。 19.(8分)证明：两条平行线被第三条直线所截，所得同位角的平分线互相平行。请画图，结合图形写 出已知、求证以及证明过程。 20.(8分)科技改变世界，如图1，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线。 图2是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图。 如图2，AB∥CD,OE平分∠AOC,CF平分∠OCD。 求证：∠E0F+∠OFC=180°。 阅读下面的解答过程，并填空。 证明：，AB∥CD(), .∠A0C=∠ )。 .OE平分∠A0C(已知)， ∠c08=人 (角平分线的定义)。 图2 同理，∠0CF=7∠ _0 ∴.∠COE=∠OCF(等量代换)。 ∴.0E∥ ∴.∠E0F+∠0FC=180°( ）。 。10· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 21.（10分)若一个四位正整数P满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位上的数字比个位上的数 字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称P为“双减数”。 将双减数P的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为N(P)。 例如：四位正整数7564。 .7-5=6-4=2,且7≠6， .7564是双减数。 此时N(7564)=75-64=11。 (1)判断8631是否是双减数。若是，请求出N(8631)的值；若不是，请说明理由； (2)命题“对于任意双减数A,N(A)都能被11整除”是真命题还是假命题？说明你的理由。 22.（12分)如图1是小明同学用的一盏台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度。图2 是这盏台灯的示意图，已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度，此时 支架BC与水平线BE的夹角∠CBE=135°，两支架BC和CD的夹角∠BCD=108°。 如何求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数及灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数 呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点C作CF∥BE,则可以得到CF∥MN,其理由是 (2)如图3，根据小明的思路求∠CDM和∠ABE的度数； (3)小明在解题中发现∠CDM和∠ABE的度数永远是相等的，与∠CBE和∠BCD的度数无关。小 明的说法对吗？请说明理由。 K M .M D D 图1 图2 图3 选做题 三名学生进行了若干科目的考试，以考得的名次进行记分。考得第一名得分最多，其次是第二名，第三 名得分最少。各科都是如此记分。已知甲最后得22分，乙最后得9分，丙也是得9分，并且已知乙英 语考试得了第一名，求数学第二名是谁。把y=号代入①，得-2x-4×写=-6，解得x=子 23.解：(1)3【解析】甲同学：通过解方程组得到x,y的表 达式，再代入方程①，可建立关于m的方程，解方程可得 > x=3’ 出m的值，正确； .原方程组的解为 乙同学：②+③，整理后，再结合x+2y=5的整体关 =3 系，直接求出m的值，正确； 20.解：已知：∠B=∠C,且AD∥BC。 丙同学：联立①和③得方程组，解方程组得出x,y,再代 求证：∠EAD=∠CAD。 入方程3x+7y=5m-3,即可求出m的值，正确， 证明：：AD∥BC,.∠EAD=∠B,∠CAD=∠C。 ∴.三位同学的思路都正确，共3个。 ∠B=∠C,∴.∠EAD=∠CAD。(答案不唯一) 3x+7y=5m-3,② 21.解：(1)由题意，得{ b=4, rk=2, (2)Z:2x+3y=8,③ 1-2k+b=0,1b=4。 ②+③，得5x+10y=5m+5,即x+2y=m+1, .直线l的表达式为y=2x+4。 把x+2y=m+1代入方程①，得m+1=5, (2)点B在直线l:y=2x+4上，横坐标是1， 解得m=4。（答案不唯一) .点B的坐标为(1,6)。 第八章考点梳理与复习 ,直线y=x+b与直线y=-4x+a交于点B, 1.A2.D ·方程组=c+6, 的解为=1， 3.①②③ ly=-4x+a ly=6。 4.解：不同意。如图，∠A的两边与∠D的两边分别平行， (3)·A的坐标为(0,4)，且点A关于x轴的对称点为 但∠A与∠D不相等。 P,如图， .P(0,-4)。.AP=4-(-4)=8。 D 6 G 5 B 5.解：当n=0时，n2-n+11=11,是质数； 1245花 当n=1时，n2-n+11=11,是质数； y=4x+a 当n=2时，n2-n+11=13,是质数； -4P 当n=3时，n2-n+11=17,是质数； .SABPC=S△APG+S△APB 当n=4时，n2-n+11=23,是质数。 =分x8×2+7×8x1 因为n2-n+11=n(n-1)+11, 当n=11时，原式=11×10+11=11×11， =12。 所以n2-n+11不是质数。 答：△BPC的面积为12。 所以不能得出对于所有自然数n,n2-n+11的值都是 22.解：(1)设参观历史博物馆的有x人，参观民俗展览馆 质数的结论。 的有y人， 6.C7.B8.C9.C 依题意，得优+y=150, x=30, 解得 10.假【解析】当ab=0时，a=0或b=0或a=b=0,故 L10x+20y=2700, y=120。 命题“若ab=0,则a=b=0”是假命题。 答：参观历史博物馆的有30人，则参观民俗展览馆的11.解：(1)不是命题。 有120人。 (2)是命题。改写为如果两个数互为相反数，那么这两 (2)2700-150×10=1200(元)。 个数的和为0。条件是两个数互为相反数，结论是这两 答：若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款 个数的和为0。 1200元。 (3)是命题。改写为如果a=b,那么a2=b2。 条件是a=b,结论是a2=b2。 所以∠AEB=35°； (4)是命题。改写为如果a2=b2,那么a=b。 条件是a2=2,结论是a=b。 12.C 13.A【解析】①因为∠1=∠3， 6 E 所以b∥c(同位角相等，两直线平行)。 图1 图2 ②因为∠2=∠3，所以b∥c(内错角相等，两直线平行)。 如图2，因为AD∥BC,∠ABC=110°， ③∠1=∠4无法判定b∥c。 所以∠BAD=∠ABC=110°，∠DAE=∠AEB。 ④因为∠2+∠5=180°， 因为AE平分LBAD,所以LDAE=7LBAD=5。 所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)。 14.B【解析】由∠1=85°，∠4=85°，不能判定a∥b。 所以∠AEB=55°。 因为∠3=95°，∠4=85°， 综上所述，∠AEB的度数为35°或55°。 所以∠3+∠4=180°。所以a∥b。 22.2326'【解析】因为南回归线与地面水平线的夹角为 由∠1=85°，∠3=95°，不能判定a∥b。 6634',所以∠CDF=6634'。 由∠2=85°，∠4=85°，不能判定a∥b。 因为M0⊥EF,所以∠ODF=90°。 15.C【解析】因为∠2=∠4，所以AB∥CD。 所以∠0DC=90°-∠CDF=90°-6634'=2326'。 因为∠BAD+∠D=180°，所以AB∥CD。 因为AB∥CD,所以∠B0D=∠ODC=2326'。 因为∠1=∠3，所以AD∥BC。 所以太阳光线与赤道夹角的度数为2326'。 因为∠BAD+∠B=180°，所以AD∥BC。 23.证明：因为∠1+∠3=180°，所以BG∥EF。 16.证明：因为GH⊥CD,所以∠CHG=90°。 因为∠1=∠2，所以AE∥BC。所以∠EAB+∠2=180°。 因为∠2=30°，所以∠3=60°。所以∠4=60°。 因为∠EAB=∠BCD,所以∠BCD+∠2=180°。 因为∠1=60°，所以∠1=∠4。所以AB∥CD。 所以BG∥CD。所以EF∥CD。 17.解：因为AB∥CD,所以∠2=∠3。 24.证明：因为∠1=∠4=105°，∠2=75°， 因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1=∠2=∠3=∠4。 所以∠MAE=180°-105°=75°=∠2，∠2=∠3=75°。 因为∠5=180°-∠1-∠2，∠6=180°-∠3-∠4， 所以AM∥FN,∠3+∠4=75°+105°=180°。 所以∠5=∠6。所以GH∥FE。 所以AB∥CD。 18.D【解析】如图，继续行驶的路线为箭头CD方向。 第八章学业水平测试 必 1.D2.D3.D A B 1156E165 4.D【解析】如图，标注∠2，∠3，∠4和∠5。 C“方 A5入F 4 B 根据题意，得AB∥CD,∠CBE=15°， 所以∠BCD=180°-∠CBE=165°。 21 E3 19.过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 由补角的定义可得∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°。 20.175°【解析】因为AB⊥AG,CE⊥AG,AG⊥FG, 因为AB∥CD,所以∠2=∠5，∠3=∠4。 所以AB∥CE∥FG。 所以∠ABD=∠BDE=120°，∠EFG+∠DEF=180°。 所以∠1+∠5=180°，∠1+∠4=180°。 因为∠DEF=125°，所以∠EFG=55°。 所以与∠1互补的角共有4个。 所以∠ABD+∠EFG=120°+55°=175°。 5.D6.A 21.35或55°【解析】如图1，因为AD∥BC,∠ABC=110°， 7.A【解析】因为AB∥CD,所以∠CGF+∠AFG=180°。 所以∠BAD=180°-∠ABC=70°，∠DAE=∠AEB。 因为∠2+∠1+∠AFG=180°， 所以∠CGF=∠1+∠2=42°+16°=58°。 因为AB平分∠BAD,所以∠DAE=∠BAD=35。 8.C【解析】因为∠ABE=160°，∠CDF=150°， ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·47· 所以∠ABP=20°，∠CDP=30°。 此时t>50,而40<50，所以此情况不存在。 因为AB∥CD∥MN, 综上，当CD与AB平行时，时间t的值为4或40。 所以∠BPN=∠ABP=20°，∠DPN=∠CDP=30°。 11.假12.∠AFN=140(答案不唯一) 所以∠EPF=∠BPN+∠DPN=20°+30°=50°。 13.60°或120°【解析】如图1， 9.C【解析】如图，标注，点M。 因为∠ABC=120°，CD'∥AB, 所以∠BCD'=180°-120°=60°； D D'----- .D" B 由折叠的性质，得∠B'FE=∠BFE=23°， 图1 图2 ∠EMB'=∠EMB", 如图2，因为∠ABC=120°，CD"∥AB, 所以∠BFB'=2∠BFE=46°。 所以∠BCD”=∠ABC=120°。 因为AD∥BC, 综上，加工后拐角∠BCD的度数是60°或120°。 所以∠EMB'=∠BFB'=46°，∠DEF=∠BFE=23°。 14.180°【解析】因为AB∥EF,所以∠2+∠B0E=180°。 所以∠EMB”=46°。 所以∠B0E=180°-∠2。 因为A"E∥B"M,所以∠A"EM+∠EMB”=180°。 同理可得∠C0F=180°-∠3。 所以∠A"EM=134°。所以∠A"EF=134°-23°=111°。 因为点0在EF上，所以∠B0E+∠1+∠C0F=180°。 10.D小斗提示：需要对可能存在的情况进行分类讨论。 所以180°-∠2+∠1+180°-∠3=180°， 即∠2+∠3-∠1=180°。 【解析】如图1，AB与CD在EF的两侧时， 15.x+y-z=90【解析】如图，过点C,D分别作CG∥ ∠ACD=180°-60°-6t°=(120-6t)°， AB,DH∥AB, ∠BAC=100°-t°=(100-t)°。 要使AB∥CD,则∠ACD=∠BAC, B 即120-6t=100-t,解得t=4。 C----…G H --------D 此时(180°-60)÷6°=20，所以0<t<20; E 一F E 所以AB∥CG∥DH∥EF。所以∠ABC=∠BCG=x°， ∠GCD=∠CDH,∠HDE=∠DEF=z°。 因为∠CDH+∠HDE=∠CDE=y°， ∠GCD=∠BCD-∠BCG=90°-x°， 图1 图2 图3 所以90°-x°+z°=y°，即x°+y°-z°=90°。 如图2，CD与AB都在EF的右侧时， 所以x,y,z之间的数量关系为x+y-z=90。 ∠DCF=360°-6t°-60°=(300-6t)°， 16.①②④ ∠BAC=100°-t°=(100-t)°， 17.解：(1)假命题。理由如下： 要使AB∥CD,则∠DCF=∠BAC, 两个边长不相等的等边三角形不全等。 即300-6t=100-t,解得t=40。 (2)假命题。理由如下： 此时(360°-60)÷6°=50，所以20<t<50; 如图，∠AOB=∠COD,有公共顶点O,但不是对顶角。 如图3，CD与AB都在EF的左侧时， ∠DCF=6t°-(180°-60°+180）=(6t-300)°， ∠BAC=t°-100°=(t-100)°。 要使AB∥CD,则∠DCF=∠BAC, 即6t-300=t-100,解得t=40。 18.解：(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直 ·48· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 线，那么这两条直线互相平行。 又因为CF∥MN,所以∠CDM=∠DCF=63°。 (2)已知：如图，CD⊥AB于点M,EF⊥AB于点N。 因为AB∥CD,所以∠ABC+∠BCD=180°。 求证：CD∥EF。 因为∠BCD=108°，所以∠ABC=72°。 E 所以∠ABE=∠CBE-∠ABC=63°。 (3)对。理由如下： 因为CF∥BE,所以∠BCF+∠CBE=180°。 D 所以∠BCF+∠ABC+∠ABE=180°。 证明：因为CD LAB,EF⊥AB, 因为AB∥CD, 所以∠CMN=∠ENB=90°。所以CD∥EF。 所以∠ABC+∠BCD=180°。 19.解：已知：如图，AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点 所以∠ABC+∠BCF+∠DCF=180°。 G,H,GM平分∠EGB,HN平分∠GHD。 所以∠ABE=∠DCF。 求证：GM∥HW。 因为CF∥MN,所以∠CDM=∠DCF。 证明：因为AB∥CD,所以∠EGB=∠GHD。 所以∠CDM=∠ABE。 因为GM平分∠EGB,HN平分∠GHD, 选做题 所以LEGM=3∠ECB,LCHN=2∠cHD。 解：因为乙英语第一，乙至少得3分，且总分为9分， 所以科目不会多于7科，且每科第一名至多得8分。 所以∠EGM=∠GHN。所以GM∥HN。 又因为甲总分为22分，所以考试科目不少于3科。 M 因为三人共得了40分，而每科分配得分情况相同， 所以考试科目数应是40的约数。 因为3,6,7都不是40的约数， H D 所以只可能是4科或5科。 若是4科，每科共为10分，按名次分配应有4种，分别为 20.解：已知0CD两直线平行，内错角相等 (7,2,1),(6,3,1),(5,4,1),(5,3,2)。因为甲共得22 AOC OCD CF内错角相等，两直线平行 分，且至多有3科第一（英语不是第一），所以后三种情况 不成立。因为即便是3科第一，1科第二，总分也达到不了 两直线平行，同旁内角互补 22分。 21.解：(1)因为8-6=2,3-1=2，且8≠3， 又因为乙得9分且英语第一，如果按(7,2,1)分配，即便其 所以8631是双减数。 他3科都是最后一名，得1分，总分也超过9分，所以以上 此时(8631)=86-31=55。 几种情况不能成立。 (2)是真命题。理由如下： 若是5科，每科共为8分，按名次分配应有两种，分别为 设千位数字为a,十位数字为b,则百位数字为a-2,个 (5,2,1)和(4,3,1)。而后一种也不能成立，原因仍然是 位数字为b-2,且a≠b。 不能与甲得22分吻合，所以只有(5,2,1)符合题意。 所以双减数A=1000a+100(a-2)+10b+(b-2)。 按照这种分配方案，乙的得分情况是5,1,1,1,1；甲的得分 根据题意，得 情况是5,5,5,5,2，且得2分的科目只能是英语，所以数学 N(A)=10a+(a-2)-[10b+(b-2)]=11(a-b), 第二名只能是丙。 所以N(A)能被11整除。 第九章考点梳理与复习 22.解：(1)平行于同一条直线的两直线平行 1.B2.C3.B4.不可能5.C6.B7.②①③ (2)因为CF∥BE,所以∠BCF+∠CBE=180°。 8.D 因为∠CBE=135°，所以∠BCF=45°。 9.A【解析】当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率 因为∠BCD=108°， 是0.512，“正面向上”的概率不一定是0.512，故①错 所以∠DCF=∠BCD-∠BCF=63°。 误；②③正确。