第8章证明 单元综合达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《第8章证明》 单元综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列语句是命题的是（    ） A．过点A作一条射线 B．连接，并延长至点C C．是锐角三角形吗 D．等角的补角相等 2．对于命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．如果，，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．同位角相等，两直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 4．如图，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．在数学活动课上，老师要求同学们通过折纸的方式过直线外一点作已知直线的平行线（如图1）．小明的折纸步骤如下： 步骤1：如图2，折叠纸张，使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线． 步骤2：如图3，折叠纸张，使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线，则直线即为直线的平行线． 在折纸的过程中蕴含的依据是（　　） ①平角的定义；②垂线段最短；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，同位角相等． A．②④ B．①⑤ C．①③⑤ D．①③④ 7．如图所示，，且平分，若，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 8．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图3是某单车车架的示意图，线段 分别为前叉、下管和立管(点E在上)，为后下叉．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．“两点之间线段最短”是______（填“真”或“假”）命题； 10．将命题“对顶角相等”改为“如果，那么”的形式为：_____． 11．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 12．现有直线和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：________． 13．如图． （1）当_______时，； （2）若，则当________°时，． 14．将直角三角板与直尺按如图方式摆放，则等于________． 15．如图所示，某工程队从点出发，沿北偏西方向修一条公路，在路段出现塌陷区，就改变方向，在点沿北偏东的方向继续修建段，到达点又改变方向，使所修路段，则______． 16．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点．若，则的度数是_____． 三、解答题（满分72分） 17．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例． (1)异号两数相加和为零． (2)若，则． 18．如图，已知，，．求证：． 19．完成下面的证明过程并在括号内填上推理的根据． 如图，已知，，垂足分别为，，． 求证：． 证明：，（已知）， （_______________）． （_______________）． _____（两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， _____（_______________）． （_______________）． （_______________）． 20．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 21．如图，在中，点、点分别是边、上的点，点、点是边上的点，连接、和、，若． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若是的角平分线，，求的度数． (3)同学们，在（2）的条件下，你还可以求出哪些角的度数？（写出一个即可）___________． 22．【问题提出】课堂上，李老师提出了这样一个问题：“已知一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角是什么关系？” 【问题探索】为了解答李老师的问题，小明与小颖分别画出了下面的图形，请你根据这两位同学画的图形，解答下列问题： (1)如图，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 (2)请你根据两位同学所画的图形，分别给出你的结论并说明理由； (3)结合李老师提出的问题，我们可以得到一个结论（请你用语言表述） 23．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了命题的定义，解题的关键是理解命题是能够判断真假的陈述句；根据命题的定义逐一分析各选项，判断其是否为可以判断真假的陈述句，从而确定正确选项． 【详解】解：A、“过点A作一条射线”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； B、“连接，并延长至点C”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； C、“是锐角三角形吗”是疑问句，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； D、“等角的补角相等”是可以判断真假的陈述句，是命题，此选项符合题意． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查假命题的反例，反例需满足命题的条件（），但不满足命题的结论（），据此逐一验证选项即可． 【详解】解：选项A中，，，，，满足，且，满足，不是反例； 选项B中，，，，，满足，且，满足，不是反例； 选项C中，，，，，满足，但，不满足，是反例； 选项D中，，，，，满足，且，满足，不是反例； 能说明原命题是假命题的反例是选项C； 故选C 3．D 【分析】本题考查平行线的判定公理，明确各选项对应的知识点是解题关键． 【详解】解：∵已知，， ∴根据“平行于同一直线的两条直线平行”这一公理，可推出， ∴这个推理的依据是：平行于同一直线的两条直线平行， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、不能判定，该选项不符合题意； 、能够判定，但不能判定，该选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴根据同位角相等，两直线平行，能够判定，该选项符合题意； 、，不能判定，该选项不符合题意． 故选：C． 5．B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据可得，无法判断，，． 【详解】解：∵， ∴，故选项B正确， 无法判断，，．故选项A，C，D不正确， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行线，翻折变换（折叠问题），熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平角定义，角平分线的定义，平行线的判定，逐一分析即可求解. 【详解】解：①∵折叠纸张，使直线与自身重合， ∴两个角加起来是， ②∵使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线， ∴没有体现线段最短， ③使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线， ∴，平分平角 ④折叠纸张，使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线，则直线即为直线的平行线， ∴，同旁内角互补，两直线平行， ⑤∵直线c上方没有线段，故没有体现两直线平行，同位角相等. 故选：D. 7．B 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的定义．熟悉平行线的性质：两直线平行，内错角相等，角平分线的定义：角平分线将一个角分成两个相等的角，是解题的关键． 根据平行线的性质，得到角之间的等量关系，再结合角平分线的定义求出的度数． 【详解】解： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：． 8．C 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：C. 9．真 【分析】本题考查了真命题与假命题，熟练掌握相关的性质是解题的关键．根据线段的性质进行解答即可得． 【详解】解：∵任意两点，连接它们的线段长度小于任何其他路径的长度， ∴两点之间线段最短， ∴该命题为真命题． 故答案为：真． 10．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，是找到相应的条件和结论的关键． 先找到命题的题设和结论，再写成“如果，那么”的形式即可． 【详解】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”， 命题“对顶角相等”写成“如果，那么”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 11． 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 12．同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，同位角相等，两直线平行，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，观察作图过程，得出，又因为是一组同位角，即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行． 【详解】解：依题意， 观察作图过程，得出， ∵是一组同位角， 即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 13． 60 【分析】（1）观察图形可知，与被所截，与是同旁内角，当它们互补时，； （2）要使，与被所截，与是同旁内角，当它们互补时，． 【详解】解：（1）根据“同旁内角互补，两直线平行”，当 时，． （2）若，根据“同旁内角互补，两直线平行”，当 时，，所以 ． 故答案为：①② ． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行），解题关键是准确识别图中的同旁内角，结合判定定理进行推理． 14．/90度 【分析】本题考查了平行线的性质； 过点E作，则，可得，，然后计算即可． 【详解】解：如图，由题意知：, 过点E作，则， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．/92度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意得，，，则有，所以求得，然后通过平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，先根据平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 17．(1)假命题．反例见解析 (2)假命题．反例见解析 【分析】本题主要考查了真命题和假命题的判断， 根据真假命题的定义解答，举出反例即可． 【详解】（1）解：异号两数相加和为零，为假命题．反例：； （2）解：若，则，为假命题，，则． 18．见解析 【分析】根据平行线的判定先证明，再由平行线的性质得，最后由内错角相等两直线平行即可得到答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， ． 19．垂线的定义；同位角相等，两直线平行；；；补角的性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】根据平行线的判定与性质，垂线的定义即可得出答案． 【详解】证明：，（已知）， （垂线的定义）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （补角的性质）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 20．(1)①②；③；理由见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 21．(1)，见解析 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】（1）通过平行线性质将转化为，再结合得到同旁内角互补，从而判定； （2）先由求出，再利用角平分线的性质得到，最后根据平行线同位角相等求出； （3）利用邻补角或平行线性质推导其他相关角的度数． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ， ， ． （2）解： ，， ， 是的角平分线， ， ， ， ． （3）解：根据（2）可知， ． 22．(1)C (2)见解析 (3)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【分析】本题考查平行线的性质； （1）根据平行线的性质证明即可； （2）根据平行线的性质证明即可； （3）由（1）可得，结论为：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 【详解】（1）解：根据小明所画的图形 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 根据小颖所画的图形： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：C． （2）小明：． 理由：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 小颖：． 理由：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 23．（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 学科网（北京）股份有限公司 $