精品解析：2026年天津市南开区九年级一模数学试题

2026年天津市南开区九年级一模 数学学科试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 明长城的总长用科学记数法表示约为，则的原数为（　　） A. 885 000 B. 8 850 000 C. 88 500 000 D. 885 000 000 4. 计算的结果是（ ） A. 5 B. 1 C. D. 5. 的值等于（ ） A. B. C. D. 6. 一个正方形的面积是5，则它的边长在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形为平行四边形，平分交边于点，，垂足为点，若．按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点和点； ②连接，与相交于点， ③连接，则线段的长为（ ） A. 4 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 10. 我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少?设有x人，物品的价格为y钱，可列方程（组）为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，的三个顶点都在一圆上，将绕A点顺时针方向旋转，得到，B，C的对应点分别为点和点，且恰也落在此圆上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 12. 四边形中，，，，，．动点M从点C出发，以的速度沿边运动，过点M作边的垂线交四边形的边于点N；同时动点P从点B出发，以的速度沿边，边运动．规定点N与P相遇时，停止运动．连接，．设运动的时间为．当时，点M，N，P的位置如图所示．有下列结论： ①时，； ②当时，的面积为； ③当时，的最大面积为． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 某校举行《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任选一本书，恰好抽到《九章算术》的概率为_________． 14. 计算的结果为______． 15. 计算的结果等于__________． 16. 将直线向下平移3个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、第四象限，则k的值可以是______（写出一个即可）． 17. 如图，在边长为6的正方形中，点O为对角线的中点．点E在边上，过点C作直线的垂线，垂足为点H，连接． （Ⅰ）线段的长为______； （Ⅱ）F为线段延长线上一点，且，连接，线段与边相交于点G，连接，．若，则的周长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，经过格点A，B，且与网格线相交于点C． （1）线段的长等于__________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出线段绕点A顺时针旋转得到的线段（其中点M与点B对应，点N与点C对应）．请简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 19. 解不等式组，请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_____． 20. 某中学为了解本校女同学定点投篮水平，从该校女生中随机抽取a名女同学进行测试，每人定点投篮五次．根据进球统计的数据结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的众数和中位数分别是______和______； （2）求统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的平均数； （3）若女同学定点投篮五次进球数量不小于3个为“优秀”，该校共有2000名女同学，请估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为多少？ 21. 为的直径，为的切线，为切点，弦，垂足为点，，连接，． （1）如图，若，求和大小； （2）如图，若，，求的半径和的长． 22. 如图，为了求出小山的高度，某学习小组设计了如下方案：点，，依次在同一条水平直线上，在直线上的处和处竖立标杆和，于点，于点，且，和在同一平面内．在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上；在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上．若，测得，，．根据该学习小组测得的数据，计算小山的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 23. 已知小明的家、公园、便利店依次在同一条直线上，公园距离小明家，便利店距离小明家．小明从家出发，匀速步行了到公园，他在公园休息了3，之后他匀速步行了6到便利店，在便利店停留2购买商品后，再匀速步行了3返回家．下图中x（单位：）表示小明离开家的时间，y（单位：m）表示小明离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 小明离开家的时间（单位：） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 540 （2）填空：①便利店到公园的距离为______m； ②小明从便利店返回家的速度为______m/； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； （3）若小明从家出发的同时，小明的妈妈也从家出发，小明的妈妈到达公园后，立即返回家中，恰好与小明同时到家．小明的妈妈全程保持同一速度匀速运动．对于同一个x的值，小明离家的距离为，小明的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，，点C在第一象限，边与x轴相交于点D．点P为x正半轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转和，分别得到线段和线段，连接，得到． （1）填空：如图1，点C的坐标为______，线段的长为______； （2）设，与重叠部分面积为S． ①如图2，若边与边和分别相交于点E和点F，边与边和分别相交于点H和点G．当与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 抛物线（a，b，c为常数，）与y轴相交于点C，且，对称轴与x轴相交于点D． （1）当，时，直接写出点D的坐标和抛物线的解析式； （2）若点和点N均在抛物线上，其中，且点N在第四象限，，．点E和点G分别是线段和线段上的动点，点F为线段的中点，且． ①当时，求抛物线的解析式，并直接写出的最小值； ②当取得最小值为时，直接写出此时抛物线的解析式和点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年天津市南开区九年级一模 数学学科试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，属于应知应会题型，熟知轴对称图形的概念是关键； 根据轴对称图形的定义：将一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，逐项判断即可. 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A. 2. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形成为解题的关键． 根据主视图是从正面看到的图形即可解答． 【详解】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为 ． 故选：C． 3. 明长城的总长用科学记数法表示约为，则的原数为（　　） A. 885 000 B. 8 850 000 C. 88 500 000 D. 885 000 000 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了将科学记数法表示的数化成原数， 科学记数法的原数可通过将a的小数点向右移动n位得到，n为正整数时，移动后需补零． 【详解】解：． 故选：B． 4. 计算的结果是（ ） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据绝对值性质化简绝对值，再计算减法即可得到结果． 【详解】解：， ． 5. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入特殊角的三角函数值，再计算即可得到结果． 【详解】解：． 6. 一个正方形的面积是5，则它的边长在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键． 先求出正方形的边长，再估算出其大小即可． 【详解】∵一个正方形的面积是5， ∴其边长． ∵， ∴． 故选：． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将三点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标后比较大小即可，用到的知识点是反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式计算纵坐标： ， ， ， ∵， ∴． 8. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同分母的分式加减法运算法则：分子直接相加减计算即可． 【详解】解： ． 9. 如图，四边形为平行四边形，平分交边于点，，垂足为点，若．按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点和点； ②连接，与相交于点， ③连接，则线段的长为（ ） A. 4 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】先由角平分线定义、平行四边形性质判断出是等腰三角形，进而由等腰三角形三线合一性质确定点为线段中点；再根据题中尺规作图得到点为线段中点，最后由三角形中位线的判定与性质求解即可． 【详解】解：平分， ， 在中，，则， ， 则为等腰三角形， 在等腰中，由可知点为线段中点， 又根据图中尺规作图可知是线段的垂直平分线，即点为线段中点， 是的中位线， 则． 10. 我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少?设有x人，物品的价格为y钱，可列方程（组）为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题要求根据题意列方程组，设有人，物品价格为钱，根据两种出钱方式中物价不变，分别找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：∵设有人，物品价格为钱， 当每人出8钱，剩余3钱，总出钱数减去剩余钱数等于物价，可得， 当每人出7钱，差4钱，总出钱数加上还差的钱数等于物价，可得， ∴可得方程组 ． 11. 如图，的三个顶点都在一圆上，将绕A点顺时针方向旋转，得到，B，C的对应点分别为点和点，且恰也落在此圆上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由旋转的性质可得，由圆内接四边形的性质可得，再由等边对等角得出，最后由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴． 12. 四边形中，，，，，．动点M从点C出发，以的速度沿边运动，过点M作边的垂线交四边形的边于点N；同时动点P从点B出发，以的速度沿边，边运动．规定点N与P相遇时，停止运动．连接，．设运动的时间为．当时，点M，N，P的位置如图所示．有下列结论： ①时，； ②当时，的面积为； ③当时，的最大面积为． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】对于结论①根据已知条件分别计算时和的长度，然后比较两者是否相等；对于结论②当时，分别确定点M、N、P的位置，进而求出的底和高，最后根据三角形面积公式计算其面积；对于结论③分情况讨论，得到面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可。 【详解】解：已知动点M从点C出发，速度为， 当时，； 动点P从点B出发，速度为， 当时，， ∵， ∴， ∴，结论①正确； 作于点，则四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，，，； ，此时点P在上，且； 过点P作于点H， 则， ∴， ∴，结论②正确； 当， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 当， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 综上，当时，的最大面积为，结论③错误． 综上，正确结论的个数是2个． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 某校举行《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任选一本书，恰好抽到《九章算术》的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的定义，运用直接计算法，解题关键是准确确定所求情况数和总情况数，易错点是混淆情况数导致计算错误，解题思路是根据概率公式 “概率 所求情况数 总情况数” 求解． 【详解】总共有本书，即总情况数为；每本书被抽中的可能性相等，抽到《九章算术》是其中种可能，即所求情况数为，因此概率为所求情况数除以总事件数，即； 故为． 14. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 15. 计算的结果等于__________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用平方差公式和二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：原式=-12-6=6 故答案为6 【点睛】本题考查了平方差公式和二次根式的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16. 将直线向下平移3个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、第四象限，则k的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（）即可 【解析】 【分析】先根据平移规律得到平移后的直线解析式，再根据平移后直线经过的象限确定的取值范围，在范围内取一个符合条件的值即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后， 根据平移规律可得解析式为，即． 平移后的直线经过第二、第三、第四象限， ． ∴k的值可以是（答案不唯一）． 17. 如图，在边长为6的正方形中，点O为对角线的中点．点E在边上，过点C作直线的垂线，垂足为点H，连接． （Ⅰ）线段的长为______； （Ⅱ）F为线段延长线上一点，且，连接，线段与边相交于点G，连接，．若，则的周长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由正方形的性质可得，，由勾股定理得出，再由直角三角形的性质即可得出结果； （Ⅱ）由正方形的性质可得，，由勾股定理可得，，作于点， 证明，得出，，再证明，得出，求出，由直角三角形的性质可得，作于点，则为等腰直角三角形，求出，即可得出，由勾股定理可得，由（Ⅰ）可得，即可得出结果． 【详解】解：（Ⅰ）∵四边形是边长为6正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴； （Ⅱ）∵四边形是边长为6正方形， ∴，， ∴，， 如图，作于点， ， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点，则为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（Ⅰ）可得， ∴的周长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，经过格点A，B，且与网格线相交于点C． （1）线段的长等于__________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出线段绕点A顺时针旋转得到的线段（其中点M与点B对应，点N与点C对应）．请简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】（1） （2）取格点M，连接并延长，与相交于点D，连接并延长，与格线（横）相交于点N，连接． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）根据旋转的性质求解即可； 【小问1详解】 解：根据勾股定理，得； 【小问2详解】 解：取格点M， 使， 连接并延长，与相交于点D， 连接并延长，与格线（横）相交于点N，点M，N即为所求． 简单证明如图所示： 根据直径所对的圆周角是直角得出，根据证明图中阴影部分的两个三角形全等可得出. 19. 解不等式组，请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_____． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【小问1详解】 解：解不等式①，得； 【小问2详解】 解：解不等式②，得； 【小问3详解】 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ； 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为． 20. 某中学为了解本校女同学定点投篮水平，从该校女生中随机抽取a名女同学进行测试，每人定点投篮五次．根据进球统计的数据结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的众数和中位数分别是______和______； （2）求统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的平均数； （3）若女同学定点投篮五次进球数量不小于3个为“优秀”，该校共有2000名女同学，请估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为多少？ 【答案】（1）20，35，1，2 （2）2 （3）估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为人． 【解析】 【分析】（1）根据题意结合众数和中位数的定义求解即可； （2）根据加权平均的定义求解即可； （3）根据样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ； ∵， ∴； 进球数量为1个的人数最多，则定点投篮进球数量数据的众数为1个； 定点投篮进球数量数据的中位数是从小到大排列的第10和11个数， ∴中位数分别是； 【小问2详解】 解：， 这组数据的平均数为2； 【小问3详解】 解：样本中女同学定点投篮进球数量不小于3个的人数为：（人）， ∴， 答：估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为人． 21. 为的直径，为的切线，为切点，弦，垂足为点，，连接，． （1）如图，若，求和大小； （2）如图，若，，求的半径和的长． 【答案】（1），； （2）；． 【解析】 【分析】（1）根据切线定理，得出，再根据垂径定理得到，且，，结合，证明四边形为平行四边形，推出，最后根据圆周角定理即可求解； （2）有（1）得四边形为平行四边形和，求出，，根据求出，设的半径为，即，再根据求出的半径，即可求出． 【小问1详解】 解：∵为的直径，为的切线， ∴，即， ∵弦，且为直径， ∴，且，， ∴； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵由（1）得，四边形为平行四边形， ∴，， ∵由（1）得，， ∴， ∵在中，，， ∴由勾股定理可知， ∵设的半径为， ∴， 在中，，，， ∴由勾股定理可知，解得， ∴的半径为， ∴， ∵， ∴的长为． 22. 如图，为了求出小山的高度，某学习小组设计了如下方案：点，，依次在同一条水平直线上，在直线上的处和处竖立标杆和，于点，于点，且，和在同一平面内．在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上；在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上．若，测得，，．根据该学习小组测得的数据，计算小山的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】小山的高度约为． 【解析】 【分析】连接并延长，与相交于点，证明四边形、、为矩形，推出，再设，根据、结合解直角三角形，求出、，根据，可以求出，最后根据求解即可． 【详解】解：连接并延长，与相交于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵由题意得：， ∴四边形、为矩形， ∴，，， ∴，， ∵设， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 答：小山的高度约为． 23. 已知小明的家、公园、便利店依次在同一条直线上，公园距离小明家，便利店距离小明家．小明从家出发，匀速步行了到公园，他在公园休息了3，之后他匀速步行了6到便利店，在便利店停留2购买商品后，再匀速步行了3返回家．下图中x（单位：）表示小明离开家的时间，y（单位：m）表示小明离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 小明离开家的时间（单位：） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 540 （2）填空：①便利店到公园的距离为______m； ②小明从便利店返回家的速度为______m/； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； （3）若小明从家出发的同时，小明的妈妈也从家出发，小明的妈妈到达公园后，立即返回家中，恰好与小明同时到家．小明的妈妈全程保持同一速度匀速运动．对于同一个x的值，小明离家的距离为，小明的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）54，540，180； （2）①360；②60；③当时，；当时，；当时， （3） 【解析】 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解即可． 【小问1详解】 解：小明从家到公园的速度为， ∴当时，； 当时，小明在公园休息，距离不变，； 当时，小明在便利店停留，距离为； ∴填写表格如下， 小明离开家的时间（单位：） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 54 540 540 180 【小问2详解】 解：①便利店到公园的距离为； ②小明从便利店返回家的速度为； ③当时，； 当时，； 当时，； 【小问3详解】 解：妈妈的分段函数： 去公园，； 回家，； 小明的分段函数： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 1、：，即，无解； 2、：，得，无解； 3、：，得，无解； 4、：，得； 5、：，得； 6、：，得，无解； 综上，x的取值范围为． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，，点C在第一象限，边与x轴相交于点D．点P为x正半轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转和，分别得到线段和线段，连接，得到． （1）填空：如图1，点C的坐标为______，线段的长为______； （2）设，与重叠部分面积为S． ①如图2，若边与边和分别相交于点E和点F，边与边和分别相交于点H和点G．当与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质结合坐标与图形的性质求解即可； （2）①利用等边三角形的性质结合解直角三角形求解即可；找到两个临界点，当点与重合和点恰好在上时，据此计算即可求得t的取值范围； ②分三种情况建立关于t的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：作轴于点， ∵等边的顶点，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：①由（1）得，， 又∵， ∴， ∵线段由绕点P顺时针旋转得到， ∴， ∴，即为直角三角形， 在中，，且， ∴，即， ∵线段由绕点P顺时针旋转得到， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∴， 由（1）可知， ∴； 当点与重合时，与重叠部分不是五边形，此时； 当点恰好在上时，与重叠部分不是五边形，如图， ，， ∴， ∴t的取值范围为； ②当时，如图， 过作于， 同理可得：,轴，， ∴，， ∴， ∴， 当时，重叠部分为五边形，如图， 由①得，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，中，， ∴， 由题意得是等边三角形，且边长为， ∴底边上的高为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 当时，如图，记与的交点为， ， ∴， ∴当时，S的取值范围为． 25. 抛物线（a，b，c为常数，）与y轴相交于点C，且，对称轴与x轴相交于点D． （1）当，时，直接写出点D的坐标和抛物线的解析式； （2）若点和点N均在抛物线上，其中，且点N在第四象限，，．点E和点G分别是线段和线段上的动点，点F为线段的中点，且． ①当时，求抛物线的解析式，并直接写出的最小值； ②当取得最小值为时，直接写出此时抛物线的解析式和点G的坐标． 【答案】（1）， （2）①抛物线的解析式为；的最小值为；②抛物线的解析式为，点G的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求得，过点M，N分别作抛物线对称轴的垂线段，垂足分别为点A和点B，证明，求得，，再利用待定系数法求解即可；作于点，作于点，推出四边形是平行四边形，证明，得到，当共线时，取得最小值，最小值为的长，据此计算即可求解； ②根据①的思路求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线，， ∴抛物线的对称轴为直线，且， ∴点D的坐标为， ∵，， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①∵，，， ∴， 过点M，N分别作抛物线对称轴的垂线段，垂足分别为点A和点B， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∵点，在抛物线上，且， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 作于点， ∵是等腰直角三角形， ∴，是的垂直平分线， 作于点，连接，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵点F为线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴取得最小值是； ②同①作出辅助线， 设， ∵取得最小值为，即， ∴， ∴，解得， ∴， ∵点， ∴， ∴， 由①可知：， ∴，， ∴，， ∵点，在抛物线上，且， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∵和分别是的两条中线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 过点作的平行线，再过点分别作的垂线，垂足分别为，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴点G的坐标为，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $