精品解析：2025年天津市南开区九年级中考一模数学试卷

2024—2025学年度第二学期九年级质量监测（一） 九年级数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第I卷（选择题共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下列汉字中，能看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 近年来我国海水淡化技术稳步增强，今年我国在这项技术上可达每日2900000吨的技术水平，将数据2900000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是用6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 6. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 3和4之间 C. 2和3之间 D. 1和2之间 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 8. 若点都在反比例函数的图象上，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在中，是边的中点，且．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图②所示）： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心，以长为半径画弧，交线段于点，交线段于点； ③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接，点恰在线段上，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元．有下列结论： ①当定价为70元时，每星期的利润为6000元； ②当定价为65元时，每星期的利润达到最大，最大利润为6250元； ③当每星期利润为6160元时，定价可以为62元或68元． 其中，正确的结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 不透明的袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球、4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出绿色球的概率为_____． 14. 计算：的结果是__________． 15. 计算的结果为_____． 16. 将直线向下平移1个单位长度得到直线，则直线与轴的交点坐标为_____． 17. 如图，在正方形的边上有一点，连接，过点作（点在边右侧），垂足为点，与相交于点，连接，若，点为的中点，且． （Ⅰ）线段的长为_____； （Ⅱ）线段的长为_____． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点均在格点上，以点为圆心作圆，经过点，且与网格线交于点． （I）半径等于_____； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在上画出点，使得为的切线，且．请简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_______________________ 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组．请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得_____； （2）解不等式②，得_____； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_____． 20. 某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：本次调查的家庭个数为_____，图①中的值为_____，统计的这组家庭月均用水量数据的众数和中位数分别是_____和_____； （2）求统计的这组家庭月均用水量数据的平均数； （3）根据样本数据，若该社区共有1000个家庭，估计该社区家庭月均用水量不超过的家庭约为多少个？ 21. 是的外接圆，是的直径，点为上一点，过点作与的延长线交于点，连接与交于点． （1）如图①，若，求和大小； （2）如图②，若恰好切于点，且，求的半径和的长． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔的高度（如图①）．某小组设计了一个方案：如图②，点依次在一条水平线上，，，垂足为点．在处测得信号塔顶端的仰角为，在处测得信号塔顶端的仰角为，测得信号塔底端的仰角为．参考数据：取，取． （1）求线段的长； （2）求信号塔的高度（结果取整数）． 23. 如图①所示，李华的家、公园、超市依次在同一条直线上，公园距离李华家，超市距离李华家．李华从家里出发，匀速步行了到公园，他在公园停留了一段时间，之后他匀速步行了到超市，在超市停留购买商品后，再匀速骑行了返回家．下面图②中（单位：）表示李华离开家的时间，（单位：）表示李华离家的距离．图象反映了这个过程中李华离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 李华离开家的时间（单位：） 4 8 34 52 李华离家的距离（单位：km） 0 （2）填空： ①超市到公园的距离为_____km； ②李华在公园停留时间为_____； ③李华从超市返回家的速度为_____； ④当时，请直接写出李华离家的距离关于时间的函数解析式； （3）当李华离开家时，他的妈妈从超市出发匀速步行了直接返回家中，那么妈妈在回家途中，两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 24. 将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． （1）填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，其中点．点为轴上一动点． （1）若，连接． ①求：点的坐标和抛物线的解析式； ②当时，过点作轴，与抛物线相交于点，过点作，垂足为点．求的最大值，及此时点的坐标； （2）点在抛物线上，连接，当的最小值为时，直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期九年级质量监测（一） 九年级数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第I卷（选择题共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘法运算，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下列汉字中，能看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键． 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合，根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 近年来我国海水淡化技术稳步增强，今年我国在这项技术上可达每日2900000吨的技术水平，将数据2900000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 根据“科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．”解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图是用6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，主视图为： 故选A． 5. 的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的运算及二次根式的乘法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键 将特殊角的函数值代入计算即可 【详解】解：， 故选：C 6. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 3和4之间 C. 2和3之间 D. 1和2之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算、无理数估算大小等知识，熟练掌握二次根式运算法则和无理数估算大小方法是解题关键． 首先计算得，结合，即可获得结果． 【详解】解：， 又∵，即， ∴的值在3和4之间． 故选：B． 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查异分母分式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题关键 先通分，然后计算加减法即可 【详解】解： ， 故选：C 8. 若点都在反比例函数的图象上，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特点，根据题意分别得到，即可求解和，即可比较大小． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 9. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 10. 如图①，在中，是边的中点，且．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图②所示）： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心，以长为半径画弧，交线段于点，交线段于点； ③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故不符合题意； D．一定不成立，故符合题意． 故选：D 11. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接，点恰在线段上，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据旋转的性质可得，则由等边对等角和三角形内角和定理可得，则由平角的定义可得，据此可判断A、B，根据三角形外角的性质和内角和定理，可判断C、D． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴，故B结论正确，符合题意； ∵， ∴与不平行，故A结论错误，不符合题意； ∵，， ∴， ，C结论错误，不符合题意； ， ， ， 与不垂直，D结论错误，不符合题意； 故选：B． 12. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元．有下列结论： ①当定价为70元时，每星期的利润为6000元； ②当定价为65元时，每星期利润达到最大，最大利润为6250元； ③当每星期的利润为6160元时，定价可以为62元或68元． 其中，正确的结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键． 设每涨价元，获得的总利润为元，根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每涨价元，获得的总利润为元， 有题意得：， ， 当定价为70元时，， 每星期的利润为：元，故①正确； 当定价为65元时，， ∵时，的值最大， ∴当定价为65元时，每星期的利润达到最大，最大利润为元，故②正确； 当每星期的利润为6160元时，有， 解得：， ∴定价为元或元，故③正确； 综上所述，正确的个数为3个， 故选：D． 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 不透明的袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球、4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出绿色球的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，从袋子中随机取出1个球，取出绿色球的概率为； 故答案为：． 14. 计算：的结果是__________． 【答案】9a6 【解析】 【分析】积的乘方，等于先把积的每一个因式乘方，再把所得的幂相乘． 详解】解： 故答案为9a6． 【点睛】本题考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15. 计算的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据平方差公式展开，再进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16. 将直线向下平移1个单位长度得到直线，则直线与轴的交点坐标为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题，根据平移规则：上加下减，求出平移后的直线的解析式，令，求出直线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：由题意，直线的解析式为：， ∴当时，， ∴直线与轴的交点坐标为； 故答案为：． 17. 如图，在正方形的边上有一点，连接，过点作（点在边右侧），垂足为点，与相交于点，连接，若，点为的中点，且． （Ⅰ）线段的长为_____； （Ⅱ）线段的长为_____． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（Ⅰ）作交于点，易求，可得，，在根据等腰三角形的性质可得，即可求得的长； （Ⅱ）先求得，可得，根据正方形的性质可得，进而可得，，再根据勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，作交于点， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上性质和定理，合理做出辅助线是解题的关键． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点均在格点上，以点为圆心作圆，经过点，且与网格线交于点． （I）的半径等于_____； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在上画出点，使得为的切线，且．请简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_______________________ 【答案】 ①. ②. 根据网格，找出即可确定点，连接交于点L，连接并延长交为点P即为所求 【解析】 【分析】题目主要考查利用网格作切线及平行线，熟练掌握全等三角形的性质及圆的性质是解题关键． （I）连接，利用网格及勾股定理即可求解； （II）根据网格，找出即可确定点，连接交于点L，连接并延长交为点P即为所求． 【详解】解：（I）连接，如图所示： ∴， 故答案为：； （II）如图所示：点得位置即为所求； 根据网格，找出即可确定点，连接交于点L，连接并延长交点P即为所求， 故答案为：根据网格，找出即可确定点，连接交于点L，连接并延长交为点P即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组．请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得_____； （2）解不等式②，得_____； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_____． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解不等式的方法求解即可； （2）根据解不等式的方法求解即可； （3）在数轴上表示不等式的解集即可； （4）结合数轴确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：． 【小问2详解】 解： 解得：， 故答案为：． 【小问3详解】 解：不等式①和②的解集在数轴上表示出来； 【小问4详解】 原不等式组的解集为， 故答案为：． 20. 某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：本次调查的家庭个数为_____，图①中的值为_____，统计的这组家庭月均用水量数据的众数和中位数分别是_____和_____； （2）求统计的这组家庭月均用水量数据的平均数； （3）根据样本数据，若该社区共有1000个家庭，估计该社区家庭月均用水量不超过家庭约为多少个？ 【答案】（1）50，10，， （2）这组家庭月均用水量数据的平均数为 （3）该社区家庭月均用水量不超过的家庭约为700个 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求中位数，众数和平均数，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）利用用水量的家庭除以所占的比例，求出调查总人数，用的家庭人数除以调查总人数，求出的值，根据中位数和众数的确定方法，求出中位数和众数即可； （2）用平均数的计算方法进行计算即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：； ， ∴， 由图可知：用水的家庭人数最多，故众数为：； 第25个和第26个数据为：，故中位数为：； 故答案为：50，10，，； 【小问2详解】 ； 答：这组家庭月均用水量数据的平均数为； 【小问3详解】 （个）； 答：该社区家庭月均用水量不超过的家庭约为700个． 21. 是的外接圆，是的直径，点为上一点，过点作与的延长线交于点，连接与交于点． （1）如图①，若，求和大小； （2）如图②，若恰好切于点，且，求的半径和的长． 【答案】（1）， （2）的半径为5， 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得，再结合，得出，运用圆周角定理得，即可作答． （2）先由切线的性质得，再证明四边形是矩形，则，运用勾股定理算出，再设的半径为，则，解得，在中，则，即可作答． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：连接，并延长交于一点H，如图所示： ∵恰好切于点， ∴， 由（1）得， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设的半径为， 则， ∴， 解得， 在中，则 ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，矩形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔的高度（如图①）．某小组设计了一个方案：如图②，点依次在一条水平线上，，，垂足为点．在处测得信号塔顶端的仰角为，在处测得信号塔顶端的仰角为，测得信号塔底端的仰角为．参考数据：取，取． （1）求线段的长； （2）求信号塔的高度（结果取整数）． 【答案】（1）线段的长为 （2）信号塔的高度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）设，分别解，表示出的长，根据，列出方程进行求解即可； （2）解，求出的长，再利用求出的长即可． 【小问1详解】 解：设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：线段的长为； 【小问2详解】 解：由（1）知：， 在中，， ∴； ∴； 答：信号塔的高度为． 23. 如图①所示，李华的家、公园、超市依次在同一条直线上，公园距离李华家，超市距离李华家．李华从家里出发，匀速步行了到公园，他在公园停留了一段时间，之后他匀速步行了到超市，在超市停留购买商品后，再匀速骑行了返回家．下面图②中（单位：）表示李华离开家的时间，（单位：）表示李华离家的距离．图象反映了这个过程中李华离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 李华离开家的时间（单位：） 4 8 34 52 李华离家的距离（单位：km） 0 （2）填空： ①超市到公园的距离为_____km； ②李华在公园停留的时间为_____； ③李华从超市返回家的速度为_____； ④当时，请直接写出李华离家的距离关于时间的函数解析式； （3）当李华离开家时，他的妈妈从超市出发匀速步行了直接返回家中，那么妈妈在回家途中，两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）见解析 （2）①；②12；③； （3）两人相遇时离家的距离或． 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）结合函数图象即可得出结果； （2）①根据图象作答即可； ②根据图象作答即可； ③根据图象作答即可； ④分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可； （2）李华妈妈距家的路程与李华离开家的时间的关系式，然后分两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵公园距离李华家，匀速步行了到公园， ∴离开家时，离家的距离为：， 由函数图象得：离开家时，离家的距离为， 填表如下： 李华离开家的时间（单位：） 4 8 34 52 李华离家的距离（单位：） 0 【小问2详解】 解：①根据图象得：超市到公园的距离为：， 故答案为： ②根据图象得：， 故答案为：12． ③根据图象得：， 故答案为：； ④当时，李华的匀速骑行速度为， ∴； 当时，； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 综上：． 【小问3详解】 解：设李华妈妈距家的路程与李华离开家的时间的关系式为， 则，解得：， ∴ 当李华从公园到超市的途中相遇时， ， 解得：， ∴； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 当李华从超市返回的途中相遇时， ， 解得：， ∴； 综上可得：两人相遇时离家的距离或． 24. 将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． （1）填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）过点C作，根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上，根据题意及等腰三角形的判定和性质得出是等腰三角形，然后确定相应图形，找出临界点即可；②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，时，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：如图：过点C作， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 过点D作， ∴， ∴， 当与点重合时， 此时与的交点与A重合，， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点与B重合，， ∴的取值范围为； ②由（1）得出， ∴， ∴， 当时， 如图，重叠部分的面积为， ， ∵，开口向上，对称轴直线， ∴在时，随着的增大而增大， ∴； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ， ∵，随着的增大而增大 ∴在时； ∴当时，； 当时， 如图，重叠部分的面积为， 由①得出是等腰三角形，，，， ∴， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值， ∴在时； ∴在时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ∵，随着的增大而减小， ∴在时，把代入得，把代入得， ∴在时，， 综上：的取值范围为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，其中点．点为轴上一动点． （1）若，连接． ①求：点的坐标和抛物线的解析式； ②当时，过点作轴，与抛物线相交于点，过点作，垂足为点．求的最大值，及此时点的坐标； （2）点在抛物线上，连接，当的最小值为时，直接写出此时的值． 【答案】（1）①，，②， （2）， 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法结合抛物线对称轴公式即可解答；②设交于点Q，将转化为，求出直线的解析式，得到点Q的坐标，建立二次函数关系，利用二次函数的性质即可解答； （2）先求出，确定点在抛物线对称轴左侧，且位于x轴下方，如图，将绕点Q逆时针旋转得到，过点Q作于点H，则，由旋转的性质得：，证明是等腰直角三角形，由对称的性质求出点B的坐标，当与x轴重合时，即三点共线，此时，有最小值，即有最小值，利用建立关于的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：①∵抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，且， ∴ 解得， ∴ 把代入， 解得， ∴， ∵抛物线与轴相交于点和点，且对称轴为直线，且 ∴ 解得； ∴； ②∵，且， ∴， ∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， 如图，设交于点Q， ∵， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 设的解析式为，把，代入 得 解得 ∴的解析式为， ∵，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值为， 此时，， ∴； 【小问2详解】 解：∵抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵，则， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点在抛物线对称轴左侧，且位于x轴下方， 如图，将绕点Q逆时针旋转得到，过点Q作于点H，则， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵点和点关于对称， ∴， ∴， 当与x轴重合时，即三点共线， 此时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵的最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：，则． 【点睛】本题主要考查待定系数法、二次函数的与线段的综合问题、旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，构造等腰直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $