专题03 期中真题百练通关（72题18大压轴题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材苏科版

专题03 期中真题百练通关（72题18大压轴题型） 题型1 幂的混合运算 题型10 乘法公式的新定义运算 题型2 幂的运算新定义问题 题型11 平移的综合问题 题型3 利用幂的运算比较大小 题型12 轴对称的综合问题 题型4 幂的有规律运算问题 题型13 折叠的分类讨论问题 题型5 整式乘法无关型问题（几何类） 题型14 旋转的综合问题 题型6 多项式乘法的规律性计算 题型15 二元一次方程组的含参问题 题型7 运用乘法公式进行运算综合 题型16 整体法解二元一次方程组 题型8 乘法公式与几何图形综合 题型17 二元一次方程组的实际应用综合 题型9 乘法公式中的配方法求最值 题型18 二元一次方程组的新定义问题 题型一 幂的混合运算（共4小题） 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若与为同类项，求代数式的值． 【答案】10 【分析】本题主要考查了幂的运算，同类项的定义，解题的关键是掌握各运算法则． 先进行幂的运算，再根据同类项的定义得出，然后代入求值即可． 【详解】解：． 因为与为同类项， 所以， 所以． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）计算：．（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【分析】本题主要考查幂的混合运算， 先计算负整数幂和整数幂的计算，然后再计算乘除法即可． 【详解】解： 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的除法运算，实数的加减运算，解题的关键是熟练掌握相关的幂的运算法则， 根据有理数指数幂的运算法则进行计算或化简即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 题型二 幂的运算新定义问题（共4小题） 5．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 【答案】(1)2；4； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义计算即可． （2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可． （3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：2；4； （2）解：∵若，，， ∴，，， ∴， ∴． （3）解：∵（k为奇数）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为奇数时,． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）定义：如果（，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（，）．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题以新定义题型为背景，主要考查了数的乘方的计算能力，解题的关键是理解定义． 根据定义理解，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确即可． 【详解】解：①∵， ∴，该选项正确，符合题意； ②∵， ∴， 解得，该选项错误，不符合题意； ③由得，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； ④令，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ∴正确的选项有：①③④， 故选：C． 7．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为．所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)填空： ①________； ②，，，则a，b，c之间的数量关系为________； (3)计算：． 【答案】(1)4， (2)①3；② (3)2 【分析】（1）根据有理数的乘方及新定义运算即可求解； （2）①设，，则，，根据新定义运算即可求解； ②根据新定义运算可得，，，再计算得到，据此计算即可得到； （3）先计算，设，，则原式化为；根据新定义运算可得，，进而建立和的关系求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4，； （2）解：①由题意设，，则，， 则， ∴，即； ②∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即a，b，c之间的数量关系为； （3）解：， 设，， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， ∴，∴， ∴，即． 8．规定新运算：（其中m，n为正整数）．例如：若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)①25；②3 (2) 【分析】（1）①利用新运算的规定进行运算即可；②将变换为，再利用新运算的规定解答即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出的幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：①， ． ②， ． （2）解：依题意，得， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，本题是新定义型题目，连接并熟练应用新运算的规定是解题的关键． 题型三 利用幂的运算比较大小（共4小题） 9．（2025七年级下·全国·期中）已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握灵活运用幂的乘方法则． 逆用幂的乘方法则，把各个幂写成指数是2的幂，然后比较底数的大小，从而比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴, 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【详解】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 11．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 【答案】(1)3 (2)相等 (3)4 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法和除法运算等知识点． （1）先由幂的乘方得到，再由同底数幂的乘法运算法则得到，则，解方程即可； （2）将化为，再由幂的乘方化简比较即可； （3）设，则，设，则，再根据通过幂的运算性质推导求值． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：，故相等； （3）解：设，则， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 所以，即． 12．（24-25七年级下·江苏南京·期中）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题 (1)比较大小：______（填写、或） (2)比较与的大小（写出具体过程） (3)已知，求的值 【答案】(1) (2)，见解析 (3)972 【分析】（1）根据同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，即可进行解答； （2）将根据幂的乘方的逆运算，将与转化为同指数的幂，再比较大小即可； （3）根据同底数幂乘法的逆运算，将转化为，再根据积的乘方的逆运算，整理为含有和的性质，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）∵，，， ∴． （3）原式 =972． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算法则和逆运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则及其逆运算法则． 题型四 幂的有规律运算问题（共4小题） 13．（24-25七年级上·重庆·期中）阅读材料：根据乘方的意义计算： 例如1： 例如2： (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）___________； (3)用（2）的规律计算： 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，解题的关键是找出规律，进行简便计算． （1）根据积的乘方的逆运算直接求解即可得到答案； （2）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案； （3）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意可得， 故答案为：； （3）解：             ． 14．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下的长方形．并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．    (1)规律探究：如图1所示，第8个正方形的边长为________ (2)如图2所示，相应长方形的周长如表所示， 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 周长 6 10 16 x y 若按此规律继续作长方形，则________，________； (3)拓展延伸：按一定规律排列的一列数：，，，，，，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数且，猜想x、y、z满足的关系式是________． 【答案】(1)21 (2)26；42； (3) 【分析】（1）根据题干中的规律求解即可； （2）分别表示出①-③中周长的计算方法，发现规律求解即可； （3）根据题意得出这一列数的底数均相同，连续三个数x、y、z，最后一个数的指数等于前两个数的指数的和，利用同底数幂的乘法即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得：第6个正方形的边长为：3+5=8， 第7个正方形的边长为：5+8=13，第8个正方形的边长为：8+13=21， 故答案为：21； （2）①的周长为， ②的周长为， ③的周长为， ∴④的周长为， 第⑤个的周长为：； 故答案为：26；42； （3）根据题意得：这一列数的底数均相同，连续三个数x、y、z，最后一个数的指数等于前两个数的指数的和， ∴x、y、z满足的关系式为：； 故答案为：． 【点睛】题目主要考查数字规律探索，同底数幂的乘法，理解题意，找出相应规律是解题关键． 15．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了整式的规律探究，同底数幂的乘法．理解题意，推导一般性规律解题的关键． （1）由题意知，； （2）由题意知，第个等式为，然后利用同底数幂的乘法的逆运算求解证明即可； （3）由题意知，，则； （4）令，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 由题意知，； ∴第个等式成立； （3）解：由题意知，， ∴， ∴； （4）解：令， 则， ∴， 解得，， ∴． 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）（1）填空：、、… （2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式：　 　； （3）直接计算：　 　； （4）利用（2）中发现的规律计算：． 【答案】（1）0、1、2；（2）；（3）2；（4）． 【分析】（1）根据有理数的乘方和零次幂的性质计算即可； （2）结合（1）中式子的规律，即可写出第n个等式； （3）根据（2）中式子的规律，即可计算； （4）逆用（2）中发现的规律计算即可． 【详解】解：（1），，， 故答案为：0、1、2； （2）由题意得，第n个等式为：； 故答案为：； （3） ， 故答案为：2； （4） ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的乘方运算，零次幂的性质，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律并能够应用规律． 题型五 整式乘法无关型问题（几何类）（共4小题） 17．（25-26七年级上·四川内江·期末）【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）根据多项式不含项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，则可求出，进而可得到答案． 【详解】解：（1） ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 18．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把m看作字母，合并同类项后得，再令的系数为0，即可求出m的值； （2）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，得出，即可求得a与b的关系． 【详解】解：（1），， ． 的值与x的取值无关， ， 解得； （2）设，由图可知，， ． 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与x的取值无关， ， ． 19．（24-25七年级下·四川内江·期末）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 20．（24-25七年级下·江苏·期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． (1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值． (3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解； （3）由图得，，，由线段和差求出，，分别求出，，由多项式不含某一项的条件即可求解； 掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，多项式不含某一项的条件为这一项的系数为零，多项式混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由图得 ； 故答案：； （2）解：，， ， 解得：； （3）解：由图得： ， ， ， ， ， ， ， S的值与无关， ． 题型六 多项式乘法的规律性计算（共4小题） 21．（25-26七年级下·山东青岛·期中）观察下列各式： ； ； ； … (1)你能否由此归纳出一般性规律：______； (2)根据以上规律解决： ①； ②，则______． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据题干中给出的等式，即可得出规律； （2）①将原式化为，利用规律求解即可；②根据规律得到，进而得到，再进行计算即可. 【详解】（1）解：由题意可知：； （2）解：①原式 ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，. 22．（24-25七年级下·四川达州·期中）利用规律计算 (1)计算并观察下列各式： 　　； 　　； 　　； (2)从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格． （ ）； (3)利用你发现的规律计算： 　　； (4)利用该规律计算 ． 【答案】(1)，， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则计算即可得； （2）根据（1）的规律即可得； （3）根据（2）发现的规律即可得； （4）将原式变形为，根据（2）发现的规律计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：观察（1）可知， 第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 则； （3）解：由（2）中规律可知，； （4）解：原式， ． 23．（24-25七年级下·江苏常州·期中）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如． (1)请你写出和的展开式： (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期______． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； 【答案】(1)； (2)三 (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，掌握“杨辉三角”揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，是解决问题的关键． （1）由题中所给杨辉三角形，由各项系数的有关规律即可得到和的展开式； （2）由（1）可得的展开式，则，从而得到除以7余1，即可得到答案； （3）由题中令，则，从而令，则，即可得到答案． 【详解】（1）解：由杨辉三角规律，可得： ；； （2）解：同（1）可得， ∴ ， ∴除以7余1， ∵今天是星期二， 再过天是星期三； （3）解：由题意可知，令，则， 令，则， ． 24．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…… 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： (1)计算：________．（） (2)若（（，是常数），则________，________． (3)若（x，y是常数），则________，_______． (4)如果把的展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是________． (5)直接写出式子的值． 【答案】(1)1 (2)    (3)    (4) (5) 【分析】本题主要考查了“杨辉三角”的规律以及二项式展开式的应用．充分理解“杨辉三角”的规律与二项式展开式之间的联系是解题的关键． （1）由任何非零数的0次幂均为1可得答案； （2）（3）通过观察前面给出展开式的项数和系数的规律知与的展开式的相关情况 ； （4）由“杨辉三角”的规律继续向下可写出按照a的降幂排列展开式，进而可知第三项的系数是36； （5）根据前面的规律将给定的式子转化为的形式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，任何非零数的0次幂均为1， ∴1； （2）解：由“杨辉三角”的规律及表可知有五项，系数分别为1，4，6，4，1，即，故，； （3）解：由“杨辉三角”的规律可知有六项，系数分别为1，5，10，10，5，1，即，故，； （4）由“杨辉三角”的规律可知有十项，按照a的降幂排列展开式为，故展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是36； （5）解：原式 ． 题型七 运用乘法公式进行运算综合（共4小题） 25．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）下面计算正确的是（     ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用； 先将原式变形为符合平方差公式的形式，再利用公式计算判断选项即可． 【详解】解：∵， 又∵平方差公式为，令，， ∴原式， ∴故选：C． 26．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式，通过凑出的形式逐步化简连乘式，进而计算出的值． 【详解】解：∵， ∴ 则． 故选：D． 27．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式，将103表示为100与3的和进行计算； （2）先将5化为6-1，再连续应用平方差公式逐步化简式子． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】第（1）题：核心技巧是凑整 + 完全平方公式，将接近整百的数拆分，简化计算；第（2）题：核心技巧是构造平方差公式，通过将 5 转化为 6−1，连续使用平方差公式，实现 “连锁化简”． 28．（25-26七年级下·江苏·期中）设，，．若，则（   ） A．27 B．24 C．22 D．20 【答案】A 【分析】观察到，，三个表达式之间存在连续整数关系，可将、用表示，再代入 已知等式求解． 【详解】解：∵ ， 将、代入 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用与代数式的整体代换，解题关键是通过观察变量间的连续关系，将、转化为含的表达式，从而简化计算． 题型八 乘法公式与几何图形综合（共4小题） 29．（24-25七年级下·江苏·期中）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（）． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求，的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点C是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，求出的面积（用S，m表示）． 【答案】（1），； （2），； （3）4051； （4） 【分析】（1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用（1）中推导公式求得以及，得到以及，再利用平方差公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用（1）中推导公式进行计算，即可解答； （4）设，，则，，然后利用（1）中推导公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）图1：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为， ． 图2：左下角的正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为：， ． 故答案为：，． （2）∵，， ∴，， , ，． ． （3）设，， 则， ， ． ． （4）设，，则，， ． 30．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式：______； (2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (3)若，，求的值； (4)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用． （1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a、b的正方形的面积可得； （2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （3）利用，代入求值即可； （4）延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为，结合已知条件分别表示出阴影部分的图形和的表达式，再将二者相加，结合，，即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）解：在图1中，由图可知，， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． （2）解：在图2中，由图可知，，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：． （3）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴． （4）解：如图，延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为， ∵正方形边长为m，正方形边长为n，E为的中点， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， 即阴影部分面积的和为6． 31．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【答案】（1）见解析；（2）①；②3；（3）；（4） 【分析】（1）根据大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和证明完全平方公式； （2）①利用完全平方公式变形计算即可求解； ②设，，求得，，再利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （4）利用（3）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， 大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：； （2）①∵，，， ∴， ∴； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ， 故答案为：； （4）解： ． 【点睛】此题考查了完全平方公式与图形面积，平方差公式与图形面积，完全平方公式的运用，平方差公式的运用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． 32．（24-25七年级下·江苏·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为______． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）12；（2）；（3）16 【分析】本题主要考查了乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键． （1）仿照例题，设，，利用完全平方公式进行求解即可； （2）仿照例题，设，，利用完全平方公式进行求解即可； （3）根据正方形的边长表示出相关线段的长度，设，，利用完全平方公式表示出，然后利用作差法求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， 故答案为：12； （2）设，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是， ， ， ， ， ， ，． 题型九 乘法公式中的配方法求最值（共4小题） 33．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ∵，∴， ，即：当时，的最小值为1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最小值． (2)知识迁移：如图，在中，，，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题主要考查了完全平方公式，利用完全平方公式求最小值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）利用完全平方公式求最小值即可； （2）根据面积之差列出等式，然后利用完全平方公式求最小值即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 当时，的最小值为． （2）解：根据题意得， ，（）， ∵， ∴， 当时，， ∴当时，S有最小值，最小值为20． 34．（24-25七年级下·江苏南京·期中）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)5 (3)时，最大值为16． 【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值； （3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值； 【详解】（1）解：原式 =； 故答案为： （2）， ， ， 解得：， 、、是 的三边长， ， 又是整数，； 边长的最小值是5； （3） ， ，； ， 当 时, 即 时，取得最大值为16． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 35．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等问题中都有着广泛的应用．例如：若代数式，利用配方法求M的最小值； ， ∵，， ∴ ∴当时，代数式M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)若代数式，求N的最大值； (3)已知，求以a，b为边长的等腰三角形的周长． 【答案】(1)9； (2)N的最大值为5； (3)等腰三角形的周长为40． 【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可； （2）先提出负号，再配成完全平方，即可得答案； （3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a，b，的值，从而利用等腰三角的两腰相等即可求解． 【详解】（1）解：∵a2+6a+9=（a+3）2， 故答案为：9； （2）， ， ∴N的最大值为5； （3）解：， ， ， ， ，， ∴当以等腰三角形的腰长，因为，此时不能构成三角形，当以等腰三角形的腰长，以为底时，等腰三角形的周长为． 【点睛】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键． 36．（24-25七年级下·江西九江·期中）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 【答案】解决问题：（1）；是“完全数”（2）4或；探究问题：（3）；（4）；拓展结论：1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． 解决问题（1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； 探究问题（3）根据即可求解； （4）根据，即可求解； 拓展结论：根据题意可得即可求解； 【详解】解：解决问题：（1）4是“完全数”，理由：因为； 是“完全数”，理由：因为； 故答案为：；是“完全数”． （2）， ，或， 或， 故答案为：4或； 探究问题：（3）， ，， ； 故答案为：． （4）， 由题意得：， ； 拓展结论：， ； 当时，最小，最小值为1． 故答案为：1． 题型十 乘法公式的新定义运算（共4小题） 37．（2025七年级上·全国·期中）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据定义将化为，解方程即可得到答案； （2）根据定义得到，再由的值与无关，得到方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ，即， 解得； （2）解： ， ， 的值与无关， ， 解得， ． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键． 38．（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”． (1)求，的“和方差数”． (2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值． (3)若，，求，的“和方差数”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，完全平方公式的应用．掌握“和方差数”的定义是解题的关键； （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义，可得，即，再将其代入中所求代数式计算即可； （3）根据题意，可知，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即：，， ∴； （3）解：∵， 又，， ∴． 39．（24-25七年级下·重庆石柱·期中）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是_______，第个“智慧数”是________ 【答案】 【分析】本题考查了新定义，平方差公式的应用．根据新定义，利用平方差公式，找到，之间的关系，列举出结果，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时， 由产生的“智慧数”为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，， 当时， 由产生的“智慧数”为：24，32，40，48，56，64，72，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：35，45，55，65，75，85，， 当时， 由产生的“智慧数”为：48，60，72，84，， 当时， 由产生的“智慧数”为：63，77，91，， 当时， 由产生的“智慧数”为：80，96，， 综上，将上述产生的“智慧数”从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，56，57，60，63，64，65，68，69，，∴第3个“智慧数”是，第个“智慧数”是， 故答案为：，． 40．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______； (2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； (3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)，的最小值为1； (3)当时，S为“完美数”． 【分析】本题考查完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用配方法，将其配成完美数，可求出最小值； （3）根据完全平方公式，将其配成完美数，可求的值． 【详解】（1）解：25是“完美数”，将它写成（，是正整数）的形式为：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∴的最小值为1； （3）解：， ，是整数， ，也是整数， 要使S为“完美数”， ∴， 解得：， ∴当时，S为“完美数”． 题型十一 平移的综合问题（共4小题） 41．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平移，由已知可得中间重叠部分长方形的周长为，由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长，即可得甲、乙的周长和为，进而得到甲的周长为，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵大长方形的周长为52，阴影部分①和②的周长之和为40， ∴中间重叠部分长方形的周长为， 由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长， ∴甲、乙的周长和为， ∵甲和乙的周长相等， ∴甲的周长为， ∴正方形甲的边长为， 故答案为：． 42．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，将正方形、正方形、正方形放入长方形中，其中，，已知长方形的周长和中间正方形的边长，将图中四块阴影部分记为甲、乙、丙、丁，则下列可以求出的是（    ） ①乙的周长；②甲、乙的周长和；③丙、丁的周长差；④甲、乙、丙、丁的周长和 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，平移的性质，设，，依题意，根据题意得出各线段的长，根据平移的性质分别求四块阴影部分的周长，即可求解． 【详解】解：设，，依题意， 乙的周长为：，故①正确； ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴丁的周长为： 丙的周长为： ∴丙、丁的周长差为，故③正确； ②甲、乙的周长和为，不是定值，故②不正确 根据平移可知，④甲、乙、丙、丁的周长和为，故④正确； 综上所述，正确的有①③④ 故答案为：①③④． 43．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，平移的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知先求得的邻补角的度数，得到即可得结论； （2）分两种情况讨论，过G作的平行线，利用平行线的性质定理，平移的性质和平行公理的推论即可求解； （3）分三种情况讨论，分别过点作的平行线，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可求解． 【详解】（1）证明：∵，的度数是的3倍少． ∴，， ∴， ∴． （2）解：当点G在F下方时，过点作， 根据平移，得， ∴， ∴， ∴； 当点G在F上方时，过G作， 根据平移，得， ∴， ∴； ∵； 综上所述，的度数为或． （3）解：①当点N在D左侧时，过M作， ∵， ∴， ∴； ∵，， ， ∴； ∴； ∴； ②当点N在D右侧时，如图，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； ③当点N在D右侧时，如图，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ， 综上所述，或或． 44．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形ABC中，，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 根据的平移过程，分点E在BC上和点E在BC外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在BC上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ， ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， 故选： 题型十二 轴对称的综合问题（共4小题） 45．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 46．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）（1）如图（1），已知和线段，求作一点，使，并且点到的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）： （2）如图（2）， （a）分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、， （b）若，则的周长为___________． 【答案】（1）见解析 （2）（a）见解析 （b） 【分析】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质． (1)作的平分线，作线段的垂直平分线，射线与直线交于点，点即为所求作的点； (2)(a)分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、； (b)因为点关于、的对称点、，，，所以可得：的周长． 【详解】(1)解：如下图所示， 作的平分线， 则射线上的点到的两边距离相等， 作线段的垂直平分线， 则直线上的点到、的距离相等， 射线与直线交于点， 点即为所求作的点； (2)(a)解：如下图所示： 分别作出点关于、的对称点、， 连接，分别交、于点、； (b)解：点关于、的对称点、， ，， 的周长， ， 的周长． 故答案为：． 47．（24-25七年级下·江苏·期末）综合与实践 【课本再现】 （1）问题：在直线的同侧，有两个点，在直线上确定一个点，使最短． 作法：如图，作点关于的对称点，连接交于点，点即为所求． 发现： 理由：因为点三点共线，所以， 又根据轴对称性质可知___________，所以 【实验验证】 （2）光行最短原理：光在同一介质中反射传播，它所行的路径一定是最短路径． 实验操作：如图所示，把光源放于点处，使得光线经镜面后反射． 发现：调整光线方向，当入射光线经过点时，反射光线恰好经过点，作法线，可以验证光的反射定律：反射角等于入射角． 理由：由（1）可知，， 又， ……， ． 请补充上述证明过程． 【实验探究】 （3）如图所示，在长方形中，点是边上的一点，光线从点射出，经平面镜，两次反射后恰好经过点．经观察，实验小组猜想，请证明这个猜想． 【实验拓展】 （4）如图所示，在长方形中，点是边上的点，光线从点射出，经平面镜三次反射后经过边上的点．经测量，实验小组猜想，请证明这个猜想． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据轴对称性质，得到，解答即可． （2）根据垂直的定义，余角的性质，对称的性质解答即可． （3）根据同旁内角互补，两直线平行证明即可． （4）延长二线交于点M，延长二线交于点N，得到 ，证明，从而得到 ，证明即可． 本题考查了长方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：因为点三点共线，所以， 又根据轴对称性质可知，所以 故答案为：． （2）解：由（1）可知，， 又， ， ． （3）解：根据（2）的结论，得， ， 同理可证，， ， 又长方形， ， ， ． ． （4）证明：延长二线交于点M，延长二线交于点N， 根据题意，得， 由长方形， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， 同理可证，， ， 根据反射原理，得， 由长方形， ， ， ， ， ． 48．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)在直线上找一点P，使得最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作轴对称图形以及轴对称的性质； （1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）连接，与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，点P即为所求． ∵和关于对称， ∴， ∴， 当三点在一条直线上时最短为． 题型十三 折叠的分类讨论问题（共4小题） 49．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为2，则C点表示的数是_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查数轴上点的表示、数轴上点的特征，根据数轴上的距离表示点的数字是解题的关键． 首先根据点B表示的数分别是，点A落在射线上且到点B的距离为2即可表示出对折后点A表示的数可以为8或12，再根据点C为中点即可求得点C表示的数． 【详解】解：∵点B表示的数分别是，点A落在射线上且到点B的距离为2， ∴对折后点A表示的数可以为8或12， ∵点C为折点， ∴点C为中点， ∵点A表示的数分别是， ∴点C表示的数为或 ∴点C表示的数为或， 故答案为：或． 50．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在长方形中，，点为边上一点，连接，将翻折得到，折痕为；将翻折得到，折痕交长方形的边于点，其中，记，，． (1)当，时，求的值： (2)当时， ①如图2，若平分，求的值； ②当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，角的和差，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据折叠可得，，根据角的和差即可解答； （2）①用表示出，列方程即可解答； ②分两种情况，即在左侧或右侧，分别列方程即可解答． 【详解】（1）解：由折叠可得，，\ ； （2）解：①根据折叠可得，， ， ， ， 平分， ，即， 解得 ②当在右侧，如图， ， 可得，， 根据， 可得， 解得， ； 当在左侧，如图， ， 可得，， 根据， 可得， 解得， ； 综上，的值为或． 51．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，，，则称和互为“互优角”．（本题中所有角都是大于0°且小于的角） (1)若和互为“互优角”，当时，则______度． (2)如图1，将一长方形纸片沿着翻折，点在线段上，点在线段上，点落在点处，若与互为“互优角”，则求的度数． (3)如图2，点在边上，点和点关于的对称点为点和点，且点、点和点在一直线上，则与是否可能互为“互优角”，若可能请求出此时大小，若不可能请说明理由． 【答案】(1)5或125 (2)或 (3)与能互为“互优角”； 【分析】（1）根据“互优角”定义列式计算即可； （2）设，根据折叠得出，则，根据“互优角”定义列出方程，解方程即可； （3）设，根据折叠得出，，分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵和互为“互优角”， ∴， ∴， 解得：或； （2）解：设， 根据折叠可得：，则， ∵与互为“互优角”， ∴， ∴， 解得：或， 即或． （3）解：与能互为“互优角”； 设， 根据折叠可得：， ， 当在左侧时， ， ∵与互为“互优角”， ∴， 即， 解得：或， 当时，，不符合题意舍去； ∴此时； 当在右侧时， ， ∵与互为“互优角”， ∴， 即， 解得：或， 当时，，不符合题意舍去； 当时，，不符合题意舍去； ∴此时； 综上，． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，新定义运算，几何图形中角的计算，绝对值方程，解题的关键是理解定义，注意进行分类讨论． 52．（25-26七年级上·广东湛江·期末）综合与探究 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探究过程． 【探究发现】 （1）课上，老师提出问题：如图1，点O是线段上一点，点C，D分别是线段，的中点．若，求线段的长．下面是小泽根据老师的问题进行的分析及解答过程，请你将其补全． 未知线段     已知线段… 因为C，D分别是，的中点， 所以，____， 所以________， 因为， 所以_____．    【知识迁移】 （2）小泽举一反三，发现有些角的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2．已知，是内部的一条射线，，分别是，的平分线，求的度数．请尝试解决该问题． 【拓展延伸】 （3）接着老师又提出这样一个问题：如图3，现有一张长方形纸片，点E在边上，点F在边上，连接．将对折，得折痕，若在上存在另一点G，连接，将对折，得折痕，且，请直接写出的度数． 【答案】（1），，，10；（2）；（3）的度数为或 【分析】（1）根据题干给出的思路作答即可； （2）根据角平分线的定义表示出和，然后根据进行计算即可得解； （3）根据折叠的性质，角的和差定义分两种情况计算即可． 【详解】解：（1）因为点，分别是线段，的中点， 所以，， 所以， 因为， 所以． 故答案为：，，，10； （2）因为分别是，的平分线， 所以，， 所以， 因为， 所以； （3）由折叠的性质，得,． 分两种情况：如图1，当点在点的左侧时， 因为，所以， 所以； 如图2，当点在点的右侧时， 因为， 所以． 所以． 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，角的和差定义，线段的计算，线段中点定义，线段的和差计算等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 题型十四 旋转的综合问题（共4小题） 53．（25-26七年级上·河北衡水·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动：已知，是一条射线，射线，分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则__________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点转动时，则的度数是否发生变化？请判断并说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点按顺时针方向转动，转动的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 【答案】（1）；（2）的度数不发生变化，见解析；（3）或 【分析】（1）先利用两角的差求得，再用角平分线的意义分别求得，，从而可利用两角的和求得； （2）利用角平分线的意义分别得出，，从而可利用两角的和求得，以此说明的度数不会发生变化； （3）根据射线绕点按顺时针方向转动，转动的角度不超过，分在的外部、在的内部两种情况讨论，分别画出图形，求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：的度数不发生变化． 理由：∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴的度数不会发生变化，始终为； （3）解：射线绕点按顺时针方向转动，转动的角度不超过， 分两种情况： ①如图1，当在的外部时， ∵， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②如图2，当在的内部时， ∵， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 54．（25-26七年级上·福建龙岩·期末）数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为___________； (2)如图2，在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点逆时针旋转一个角度． ①当为直角时，求的度数； ②在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由其中任意两边组成的角时，请求出旋转角的度数． 【答案】(1) (2)①或；②或或 【分析】本题主要考查三角板中角的计算，角平分线的有关计算，旋转的性质，正确理解题意和画图是解题的关键． （1）根据平角的定义即可得出答案； （2）①根据平角的定义及角的和差，分两种情况即可得出答案； ②分为当平分时，当平分时，当平分时三种情况画图进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图1，， ． 故答案为：； （2）①如图，当三角板绕点逆时针旋转到此位置时，， ，， ， ； 如图，当三角板绕点逆时针旋转到此位置时，， ，，， ， 则的度数为或； ②如下图，当平分时， 则， ， ； 如下图，当平分时， ， ； 如下图，当平分时， ，， ， ， ， 综上所述，旋转角的度数为或或． 55．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一直角三角板CDO，（）从边CO与直线AB重合的位置（如图1）开始围绕点O按顺时针方向旋转，旋转速度为每秒2度，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板CDO在直线AB上方时． ①当时，__________，__________； ②__________时，OC平分； ③求当t为何值时，的度数是度数的2倍； (2)当三角板CDO围绕点O按顺时针方向旋转一周的过程中，若直线AB将分成2∶3两部分时，直接写出满足条件的所有t的值． 【答案】(1)①40，80； ②30；③50 (2)72或78或162或168 【分析】本题考查旋转角度与时间的关系、角度和差关系．围绕直角三角板绕点O顺时针旋转展开，需结合旋转速度、角度和差关系及分类讨论思想解题． （1）利用旋转速度确定旋转角度，结合平角、角平分线定义及角度倍数关系列方程求解； （2）考虑直线分割的不同位置（或参与分割），分情况列方程求解． 【详解】（1）①三角板绕点顺时针旋转，速度为每秒度，旋转时间秒，因此旋转角度为． 由于初始时与直线重合，旋转后等于旋转角度，即． ②已知，且（平角定义），因此： ． ③当直角三角板在直线上方时 ， ， 解得：， 答：①40、80，②30，③当t为50时，的度数是度数的2倍; （2）如图，当射线将分成2∶3两部分时， 若，则 所以， 解得：， 若，则 所以， 解得：，如图，当射线将分成2∶3两部分时， 若，则 所以， 解得：， 若，则 所以， 解得：， 综上所述，t的值为72或78或162或168 56．（25-26七年级上·上海普陀·期末）已知一副三角板按如图的方式拼接在一起，边、与直线重合，其中，． (1)求图1中的度数． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，其中． ①当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． ②是否存在？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或 ②或 【分析】本题考查了几何图形中的角度的计算、一元一次方程的几何应用、旋转的性质，解决本题的关键运用数形结合和分类讨论思想． (1)根据平角的定义可知，又因为，，即可求出的度数； (2)①分平分和平分两种情况求解； ②分在左侧、在右侧、在下方三种情况求解． 【详解】（1）解：由图可知， ，， ； （2）①解：，， ， 当平分时，如下图所示， 可得：， ， ； 当平分时，如下图所示， 可得：， ； 旋转角为或； ②解：，， ， 当在左侧，旋转角为时， 可得：，， ， ， (不符合题意)； 当在右侧，旋转角为时，如下图所示， 可得：，， ， ， ； 当在的下方，旋转角为时， 可得：，， ， ， ； 综上所述，旋转角的度数为或. 题型十五 二元一次方程组的含参问题（共4小题） 57．已知是关于的方程的一个解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则的值为______． 【答案】 【分析】根据方程，对的取值范围进行分类讨论，求解出可能的值， 再结合，得出，将的值代入，取使为整数所对应的的值即可． 【详解】解：∵是关于的方程， 由绝对值的几何意义， 表示的是所代表的数到和的距离为， 当时，得， 解得，即； 当时，此时，故不存在对应的值； 当时，得， 解得，即； 故的值为或， ， 上下相加得， 即， ∵方程组的解为整数， 当时，，不满足题意要求， 当时，，满足题意要求， 故的值为． 58．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组：． （1）若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为______； （2）若该方程组无解，则a，b需要满足的条件为______． 【答案】 6 且 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握好解的意义与方程组无解的条件是解题关键． （1）由x与y互为相反数得，，代入第一个方程求出a的值； （2）根据二元一次方程组无解的条件，即两方程中的系数之比等于的系数之比，但不等于常数项之比，列出关系式求解． 【详解】解：（1）∵x与y互为相反数， ∴， 代入第一个方程得，， ∴； （2）， 当方程组无解时，未知数的系数对应成比例，但不与常数项成比例， 即， 由得，， 由得，， 解得， 故需要满足的条件为且。 故答案为：（1）6；（2）且． 59．（25-26七年级下·重庆·期中）若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 通过消元法得到，由y为正整数可知为6的正约数，代入验证x是否为正整数，从而确定符合条件的a值，并求其和． 【详解】解：原方程组为： 得： 得：， ， ∵ y为正整数， ∴为6的正约数，即， ∴ a的值为：， 分别代入求x： 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合； 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合． ∴符合条件的整数a为0和2，其和为． 故选：D． 60．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是________． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则 【答案】①③④ 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的各个结论是否成立．根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解： 当这个方程组的解，的值互为相反数时， 即， 两方程相加，得， ， 解得；故正确； 当时，原方程组可化简为 解得 方程， 左边可化为：， 右边可化为：， 所以左边右边， 故错误； 可得：， 即， 所以无论取什么实数，的值始终为，故正确； 由知， ，故正确； 故答案为． 题型十六 整体法解二元一次方程组（共4小题） 61．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 【答案】(1)B (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． （1）根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， （2）仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （3）首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （4）根据新定义，列出关于的方程组，得出，进而根据新定义得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ 62．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 63．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数满足求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①-②可得，由①+②可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组则________，________． (2)已知关于的二元一次方程组若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组，整体思想的运用； （1）将两个方程相加或相减，即可求解； （2）利用加减消元法即可求出，根据题意，即可求解． 【详解】（1）解： ∴得，； 得， ∴， 故答案为：，． （2）解： 得，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 64．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）先阅读，再解决下面的问题． 解方程组：时， 由①，得， 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得，所以方程组的解为．我们把这种方法称为“整体代入法”．请用整体代入法解决下面的问题： (1)解方程组：； (2)若，则 ． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整式的加减运算，已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，把代入，解得，然后求出，即可作答． （2）先整理原式，把代入，进行化简求值，即可作答． 【详解】（1）解： 由得， 把代入得 ∴ ∴， 把代入③，得， 解得； ∴方程组的解为； （2）解： ， 把代入， 得． 故答案为：1 题型十七 二元一次方程组的实际应用综合（共4小题） 65．（25-26七年级下·全国·期中）某校综合与实践小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告，请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用一元一次不等式组解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行” 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 项目 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积/m2 2 1.5 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元 问题一 求该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各自的费用 问题二 若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，求出占地面积最小的方案 【答案】问题一：该小区新建1个地上充电桩的费用为0.2万元，新建1个地下充电桩的费用为0.3万元．问题二：该小区共有4种建造方案．方案1：新建40个地下充电桩，20个地上充电桩；方案2：新建41个地下充电桩，19个地上充电桩；方案3：新建42个地下充电桩，18个地上充电桩；方案4：新建43个地下充电桩，17个地上充电桩；问题三：占地面积最小的方案是新建43个地下充电桩，17个地上充电桩． 【分析】（1）问题一可通过设未知数，根据两种新建方案的费用列出二元一次方程组，求解得到单个充电桩的费用； （2）问题二需设地下充电桩数量，结合资金限制和数量要求列出一元一次不等式组，求出整数解后确定建造方案； （3）问题三根据占地面积公式，结合一次函数的增减性，求出占地面积最小的方案． 【详解】解：问题一：设该小区新建1个地上充电桩万元，新建个地下充电桩万元． 根据题意，得 解得 答：该小区新建个地上充电桩的费用为万元，新建个地下充电桩的费用为万元． 问题二：设新建个地下充电桩，则新建个地上充电桩． 根据题意，得 解得． 又∵为正整数， ∴． ∴该小区共有种建造方案． 方案：新建个地下充电桩，个地上充电桩； 方案：新建个地下充电桩，个地上充电桩； 方案：新建个地下充电桩，个地上充电桩； 方案：新建个地下充电桩，个地上充电桩． 问题三：方案的占地面积为； 方案的占地面积为； 方案的占地面积为； 方案的占地面积为． ∵， ∴在问题二的条件下，占地面积最小的方案是新建个地下充电桩，个地上充电桩． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题关键是通过设未知数，结合实际条件建立数学模型，再根据方程、不等式的解法求解． 66．某超市销售四种包装饮用水，销售方式如下表所示： 种类 销售方式 矿泉水 3元/瓶，12瓶起售，购买13-24瓶每瓶9折，25-36瓶每瓶8折，37及以上折 纯净水 每瓶2元，每满30瓶送5瓶． 碱性水 25元/箱（10瓶），满14箱送1箱，仅按箱售卖，不单独售卖． 酸性水 32元/箱（12瓶），单独售卖3元/瓶． （1）若小云需购买12瓶同种包装饮用水，从划算角度考虑，你推荐她购买_______． （2）小腾手中有100元，若要用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多（四种都要买）则购买量最多的水的种类为_______（以上两空均填水种类的名称）． 【答案】 纯净水 矿泉水 【分析】本题考查方案选择问题，理解题意并正确计算是关键． （1）计算12瓶每种饮用水的总价，并进行比较； （2）由于酸性水单价较高，故先考虑只购买一瓶，然后考虑碱性水的数量．确定碱性水和酸性水购买数量后，根据剩余的钱，对矿泉水的购买数量进行分类讨论，比较不同方案的购买总数，得出结论． 【详解】解：（1）若买矿泉水，共需元； 若买纯净水，共需元； 若买碱性水，则需要买2箱，共花费元，因需购买12瓶，故不符合题意； 若买酸性水，刚好一箱，共需32元． ∵， ∴买纯净水； （2）设矿泉水购买a瓶，纯净水购买b瓶，碱性水购买c箱，酸性水购买d瓶， 由题意可知，每种饮用水都要买，故，，，． 酸性水单价较高，故只购买一瓶． 当时，剩余元， ①当时，则剩余元，全部买纯净水，可买瓶． 所有饮用水的数量为瓶； ②当时，矿泉水单价变为元， ∴， ∵和都是正整数， ∴必须为10的倍数， 又∵， ∴，此时， 所有饮用水数量为瓶； ③当时，矿泉水单价变为元， ∴， 同理②可知，必须为5的倍数， 又∵，即， ∴，此时， 所有饮用水数量为瓶； ④当时，，不满足题意． 当时，剩余元， ⑤当时，则剩余元，无法全部购买纯净水，故买4瓶纯净水和多买1瓶酸性水． 所有饮用水数量为瓶； ⑥当时，由②可知，， ∵，不满足题意， ∴当时，矿泉水无法购买超过12瓶． 当时，最少购买量：，不满足题意； 综上所述，方案③用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多，购买量最多的水的种类为矿泉水． 故答案为：纯净水；矿泉水． 67．小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见表1），另有一张该商店的五一促销海报（见表2） 表1 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 表2 五一优惠大促 众倡导绿色节能，“国补”不孤单!★ 活动时间: 5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补”国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务! (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【分析】（1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 68．（2025七年级下·全国·期中）根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于元 仅一种卡纸有余料剩余 2分 合格 低于元 两种卡纸均有余料剩余 1分 (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸． A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做小灯笼个．已知一张A、B卡纸可分别做小灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于元）． 【答案】(1)A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做3面小旗子 (2)①需要A卡纸3张，B卡纸15张或A卡纸6张，B卡纸10张；最低采购费用为元；②A卡纸张有6张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，6张做小灯笼（答案不唯一） 【分析】本题考查了其他问题(二元一次方程组的应用)，方案问题(二元一次方程组的应用)等知识，解题关键是理解题意，找准等量关系列出方程． （1）设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面，再建立方程组解题即可； （2）①设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张，可得，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张，此时费用为，设A卡纸张有m张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有n张做小旗子，张做小灯笼，再建立方程组可得答案． 【详解】（1）解：设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子， 则有， 解得， ∴A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做3面小旗子； （2）解：设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张， 则， ∴， ∴， ∵x，y为正整数， ∴或， ∴需要A卡纸3张，B卡纸15张或A卡纸6张，B卡纸10张； ∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元， 当时，则费用为（元）， 当时，则费用为（元）， ∴最低采购费用为元； ②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸． ∴尽可能多买A卡纸， 当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张， 此时费用为， 设A卡纸张有m张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有n张做小旗子，张做小灯笼， ∴， 解得：， ∴A卡纸张有6张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，6张做小灯笼． 题型十八 二元一次方程组的新定义问题（共4小题） 69．（24-25七年级下·江苏南通·期中）规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得方程的“共轭二元一次方程”为， 由题意，得， 解得， 故答案为：，． （2）解：由二元一次方程组为“共轭方程组”， 得， 解得， 故， 故此“共轭方程组”的共轭系数为． 70．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）定义运算：．数轴上点P从表示数m的点出发，以每秒2个单位向正方向运动，同时点Q从表示数n的点出发，以每秒1个单位向正方向运动．点P对应的数为p，点Q对应的数为q，运动时间为t秒． (1)若，求的值． (2)若，，，求运动时间t的值． (3)若，运动秒时，，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)11或15或 (3)或 【分析】（1）根据点P从出发，速度为每秒2单位，向正方向运动，可求得，再根据点Q从出发，速度为每秒1单位，向正方向运动，可求得，从而可求得； （2）先用t分别表示出p与q，从而可根据定义用t表示出，再当时，分，两种情况分别求解，当时，分，两种情况分别求解即可； （3）当运动秒时，，，根据，得出（①），（②），根据，得出（③），根据，得出（④），再得出（⑤），然后根据，联立⑤、③求得一组解，；，联立⑤和④求得第二组解：，． 【详解】（1）解：因为点P从出发，速度为每秒2单位，向正方向运动， 所以， 因为点Q从出发，速度为每秒1单位，向正方向运动， 所以， 当， 时， ； （2）解：因为，， 所以， ， 所以 因为， 所以， 当时， ， 若，即， 则， 解得：， ，符合； 若，即， 则， 解得：， ，符合； 当时， ， 若，则， 解得：，符合； 若，则， 解得：，不符合， 综上所述，t的值为11或15或； （3）解：当运动秒时，，， 因为， 所以， 所以或， 因为， 所以（①）， （②）， 若， 则， （③） 若， 则， 所以（④） 而由①得：（⑤） 情况一：， 由⑤得： 由③得： 令，则， 所以（）， （）， 将代入， 得 若，则，无解； 若，则， 解得：，符合； 将代入， 得， 将，代入， 得， 所以得一组解，； 若，则，无解； 情况二：，联立⑤和④， 所以， 所以或， 当时，无解； 当时，解得： 将代入， 解得：， 将，，代入， 得， 解得：， 所以得第二组解：，． 【点睛】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，动点问题（一元一次方程的应用），三元一次方程组的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 71．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：的“船山方程”． 则； 由得： 则：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：由题意可知，的“船山方程”为：， 联立方程组得， 得：，即， ∵， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 把，代入①得：， 解得：， ∴． （3）解：∵， ， ∵与其“船山方程”所组成的方程组为， 解得：， 将代入方程中，得， 即，， ∴ ． 72．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程和为“关联方程”． (1)若关于x的方程与方程是“关联方程”，求a的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，设两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值； (3)若关于x的方程和是“关联方程”，求b的值． 【答案】(1)25 (2)或 (3)2 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用、解二元一次方程组的应用． （1）根据“关联方程”的定义求解即可； （2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到关于的二元一次方程组，解方程组即可； （3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答． 【详解】（1）解：解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“关联方程”， ∴方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得； （2）解：根据题意，可得或， 解两个二元一次方程组，可得或， ∴的值为或； （3）解：解方程，可得， 解方程，可得， ∵关于的方程和是“关联方程”， ∴， 解得． 1．新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 【答案】(1)2；4； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义计算即可． （2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可． （3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：2；4； （2）解：∵若，，， ∴，，， ∴， ∴． （3）解：∵（k为奇数）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为奇数时,． 2．若，则_________ ． 【答案】或2 【分析】根据幂运算结果为1的三种不同情况，利用零指数幂的性质和有理数乘方运算法则分类讨论求解，即可得到的值. 【详解】解：分三种情况讨论： （1）当指数为0，底数不为0时，根据零指数幂的性质，任何非零数的0次幂等于1，可得 解得，且，即，符合题意； （2）当底数为1时，1的任意次幂都等于1，可得， 解得，此时，符合题意； （3）当底数为时，， 解得，此时，不符合题意，舍去. 综上，的值为或． 3．比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则（），将不同的幂转化为同底数或同指数的形式进行比较是解题的关键． （1）将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数大小； （2）将三个幂转化为底数相同的形式，再比较指数大小． 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴； （2）解：，，， ， ， ． 4．的个位数字是____ 【答案】6 【分析】先在原式前乘，原式的值不变，再反复利用平方差公式化简原式，最后根据的正整数次幂的个位数字的循环规律求解． 【详解】解： ，个位为， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ……， 以此类推，可知的正整数次幂的个位数字按每个一循环， ， 的个位数字与的个位数字相同，为． 5．数学中有很多等式可以利用图形的面积来表示，请根据以下图形，解决问题． (1)观察图1，请你写出，，之间的关系 ； (2)利用图2，解决问题：已知，求的值； (3)利用以上结论，解决问题：若，求的值． 【答案】(1) (2)18 (3)37 【分析】（1）观察图形并根据面积关系即可解答； （2）由图2可得，再代入相关数据即可解答； （3）设，则、，由以及，从而得到，最后代入相关数据即可解答． 【详解】（1）解：由图1可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积比小正方形的面积多4个面积为的矩形，即． （2）解：由图2可知：， ∴， ∵， ∴． （3）解：设，则， ∴， ∵， ， ∴， ． 【点睛】掌握数形结合思想和整体代入思想是解题的关键． 6．已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 【答案】D 【分析】先对代数式整体变形乘2再除以2，配方变形后则有，根据已知条件算出 ，，的值，最后代入分解后的算式中求解即可． 【详解】解： ， 根据已知条件可得： ，，， ∴ 原式． 7．对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算及平方差公式，关键是对定义的理解；根据定义可得关于的表达式，再结合得到的关系式，最后根据为整数，求出的最小值． 【详解】解：∵“最简平方差”对应“最佳分解数”， ∴； 同理， ∵， ∴，即， ∴， ∵、均为整数，且由， ∴ 当时，； 当时，； 因此的最小值为， 故答案为：． 8．如图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是_____． 【答案】 【分析】利用平行线的性质可得出和，再结合及，即可求出． 【详解】解：图①中，四边形为长方形，， ∴， ∴， ∴， ∴图②中， ∴图③中． 9．取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 【答案】(1)或 (2)的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用垂直和旋转的性质求解即可； （2）由旋转性质依次分析不同情况，作出图形，由平行线的性质求出旋转角度即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，令与的交点为， ， ， ， ； ②如图，延长交于点， ， ， ； 综上可知，的度数为或； （2）解：三角板绕点依顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转一周停止． 当三角板的一边与平行时，分下列情况讨论： ①，如图， ， ，即旋转角为， 秒； ②，如图，令与的交点为， ， ， ，即旋转角为， 秒； ③，如图， ，即旋转角为， 秒； ④（第二次平行），如图， ， 旋转角为， 秒； ⑤（第二次平行），如图， 同（1）②理可得：， 旋转角为， 秒； ⑥（第二次平行），如图所示： ， 旋转角为， 秒． 综上， 的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 10．若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】将待求方程组变形，换元后可得到与已知方程组结构相同的同解方程组，结合已知方程组的解即可求出目标方程组的解． 【详解】解：将两边同时除以2， 变形可得， 令， 则方程组可化为， 该方程组与原方程组系数完全相同，为结构相同，故其解的形式也相同， 已知原方程组的解为， 因此可得， 即，解得． 11．如图1，有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号的卡片，其中Ⅰ型卡片和Ⅱ型卡片分别是边长为、的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形． (1)若选取1张Ⅱ型卡片和4张Ⅲ型卡片，则应取 张Ⅰ型卡片才能用它们拼成一个新的正方形（不重叠且无缝隙），新的正方形的边长是 （用含，的代数式表示） (2)若只取4张Ⅲ型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种卡片（Ⅳ型），由此可验证的等量关系为 （用含，的等式表示） (3)若选取1张Ⅳ型卡片和4张Ⅲ型卡片按图3的方式不重叠且无缝隙地放在长方形框架内，已知的长度为，的长度可以变化，若图中两个阴影部分（长方形）的周长相差，求Ⅲ型卡片的面积． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形的边长相等结合题意，即可求解； （2）根据两种方式得出图2的面积，即可求解； （3）根据题意设，分别表示出上面阴影部分的周长和下面阴影部分的周长，分类讨论，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解：∵Ⅰ型卡片和Ⅱ型卡片分别是边长为、的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形 ∴若选取1张Ⅱ型卡片和4张Ⅲ型卡片，则应取张Ⅰ型卡片才能用它们拼成一个新的正方形（不重叠且无缝隙），新的正方形的边长是 （2）解：依题意，图2的面积可以表示为：或； ∴可验证的等量关系为 （3）设， 设右上角的阴影部分周长为，则 左下角的阴影部分周长为，则 又∵即 第一种情况： 解得， 第二种情况： 解得， 12．某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)使加工出的A，B板块恰好用完，能做个礼盒 (3)9 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可； （2）设未知数，列方程组求解即可； （3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 板块 （2）解：由题意可得， ， 解得：， 即有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完， 此时，礼盒的个数为（个）； （3）解：由题意得，， 解得， ∵x、a都是正整数， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，是整数，符合题意， ∵x、a都是正整数， ∴a的最小整数值为9，此时，A、B分别有32块和16块，这样使礼盒制作完毕后的板块恰好用完． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期中真题百练通关（72题18大压轴题型） 题型1 幂的混合运算 题型10 乘法公式的新定义运算 题型2 幂的运算新定义问题 题型11 平移的综合问题 题型3 利用幂的运算比较大小 题型12 轴对称的综合问题 题型4 幂的有规律运算问题 题型13 折叠的分类讨论问题 题型5 整式乘法无关型问题（几何类） 题型14 旋转的综合问题 题型6 多项式乘法的规律性计算 题型15 二元一次方程组的含参问题 题型7 运用乘法公式进行运算综合 题型16 整体法解二元一次方程组 题型8 乘法公式与几何图形综合 题型17 二元一次方程组的实际应用综合 题型9 乘法公式中的配方法求最值 题型18 二元一次方程组的新定义问题 题型一 幂的混合运算（共4小题） 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若与为同类项，求代数式的值． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）计算：．（结果不含负整数指数幂） 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 幂的运算新定义问题（共4小题） 5．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）定义：如果（，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（，）．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为．所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)填空： ①________； ②，，，则a，b，c之间的数量关系为________； (3)计算：． 8．规定新运算：（其中m，n为正整数）．例如：若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值． (2)若，求的值． 题型三 利用幂的运算比较大小（共4小题） 9．（2025七年级下·全国·期中）已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为________________． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 11．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 12．（24-25七年级下·江苏南京·期中）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题 (1)比较大小：______（填写、或） (2)比较与的大小（写出具体过程） (3)已知，求的值 题型四 幂的有规律运算问题（共4小题） 13．（24-25七年级上·重庆·期中）阅读材料：根据乘方的意义计算： 例如1： 例如2： (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）___________； (3)用（2）的规律计算： 14．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下的长方形．并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．    (1)规律探究：如图1所示，第8个正方形的边长为________ (2)如图2所示，相应长方形的周长如表所示， 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 周长 6 10 16 x y 若按此规律继续作长方形，则________，________； (3)拓展延伸：按一定规律排列的一列数：，，，，，，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数且，猜想x、y、z满足的关系式是________． 15．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）（1）填空：、、… （2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式：　 　； （3）直接计算：　 　； （4）利用（2）中发现的规律计算：． 题型五 整式乘法无关型问题（几何类）（共4小题） 17．（25-26七年级上·四川内江·期末）【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 18．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 19．（24-25七年级下·四川内江·期末）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    20．（24-25七年级下·江苏·期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． (1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值． (3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系． 题型六 多项式乘法的规律性计算（共4小题） 21．（25-26七年级下·山东青岛·期中）观察下列各式： ； ； ； … (1)你能否由此归纳出一般性规律：______； (2)根据以上规律解决： ①； ②，则______． 22．（24-25七年级下·四川达州·期中）利用规律计算 (1)计算并观察下列各式： 　　； 　　； 　　； (2)从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格． （ ）； (3)利用你发现的规律计算： 　　； (4)利用该规律计算 ． 23．（24-25七年级下·江苏常州·期中）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如． (1)请你写出和的展开式： (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期______． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； 24．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…… 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： (1)计算：________．（） (2)若（（，是常数），则________，________． (3)若（x，y是常数），则________，_______． (4)如果把的展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是________． (5)直接写出式子的值． 题型七 运用乘法公式进行运算综合（共4小题） 25．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）下面计算正确的是（     ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 26．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 27．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用简便方法计算： (1)． (2)． 28．（25-26七年级下·江苏·期中）设，，．若，则（   ） A．27 B．24 C．22 D．20 题型八 乘法公式与几何图形综合（共4小题） 29．（24-25七年级下·江苏·期中）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（）． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求，的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点C是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，求出的面积（用S，m表示）． 30．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式：______； (2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (3)若，，求的值； (4)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 31．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 32．（24-25七年级下·江苏·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为______． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 题型九 乘法公式中的配方法求最值（共4小题） 33．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ∵，∴， ，即：当时，的最小值为1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最小值． (2)知识迁移：如图，在中，，，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 34．（24-25七年级下·江苏南京·期中）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 35．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等问题中都有着广泛的应用．例如：若代数式，利用配方法求M的最小值； ， ∵，， ∴ ∴当时，代数式M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)若代数式，求N的最大值； (3)已知，求以a，b为边长的等腰三角形的周长． 36．（24-25七年级下·江西九江·期中）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 题型十 乘法公式的新定义运算（共4小题） 37．（2025七年级上·全国·期中）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 38．（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”． (1)求，的“和方差数”． (2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值． (3)若，，求，的“和方差数”． 39．（24-25七年级下·重庆石柱·期中）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是_______，第个“智慧数”是________ 40．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______； (2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； (3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由． 题型十一 平移的综合问题（共4小题） 41．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为______． 42．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，将正方形、正方形、正方形放入长方形中，其中，，已知长方形的周长和中间正方形的边长，将图中四块阴影部分记为甲、乙、丙、丁，则下列可以求出的是（    ） ①乙的周长；②甲、乙的周长和；③丙、丁的周长差；④甲、乙、丙、丁的周长和 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 43．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 44．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形ABC中，，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ） A． B． C． D． 题型十二 轴对称的综合问题（共4小题） 45．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 46．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）（1）如图（1），已知和线段，求作一点，使，并且点到的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）： （2）如图（2）， （a）分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、， （b）若，则的周长为___________． 47．（24-25七年级下·江苏·期末）综合与实践 【课本再现】 （1）问题：在直线的同侧，有两个点，在直线上确定一个点，使最短． 作法：如图，作点关于的对称点，连接交于点，点即为所求． 发现： 理由：因为点三点共线，所以， 又根据轴对称性质可知___________，所以 【实验验证】 （2）光行最短原理：光在同一介质中反射传播，它所行的路径一定是最短路径． 实验操作：如图所示，把光源放于点处，使得光线经镜面后反射． 发现：调整光线方向，当入射光线经过点时，反射光线恰好经过点，作法线，可以验证光的反射定律：反射角等于入射角． 理由：由（1）可知，， 又， ……， ． 请补充上述证明过程． 【实验探究】 （3）如图所示，在长方形中，点是边上的一点，光线从点射出，经平面镜，两次反射后恰好经过点．经观察，实验小组猜想，请证明这个猜想． 【实验拓展】 （4）如图所示，在长方形中，点是边上的点，光线从点射出，经平面镜三次反射后经过边上的点．经测量，实验小组猜想，请证明这个猜想． 48．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)在直线上找一点P，使得最短． 题型十三 折叠的分类讨论问题（共4小题） 49．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为2，则C点表示的数是_______． 50．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在长方形中，，点为边上一点，连接，将翻折得到，折痕为；将翻折得到，折痕交长方形的边于点，其中，记，，． (1)当，时，求的值： (2)当时， ①如图2，若平分，求的值； ②当时，请直接写出的值． 51．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，，，则称和互为“互优角”．（本题中所有角都是大于0°且小于的角） (1)若和互为“互优角”，当时，则______度． (2)如图1，将一长方形纸片沿着翻折，点在线段上，点在线段上，点落在点处，若与互为“互优角”，则求的度数． (3)如图2，点在边上，点和点关于的对称点为点和点，且点、点和点在一直线上，则与是否可能互为“互优角”，若可能请求出此时大小，若不可能请说明理由． 52．（25-26七年级上·广东湛江·期末）综合与探究 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探究过程． 【探究发现】 （1）课上，老师提出问题：如图1，点O是线段上一点，点C，D分别是线段，的中点．若，求线段的长．下面是小泽根据老师的问题进行的分析及解答过程，请你将其补全． 未知线段     已知线段… 因为C，D分别是，的中点， 所以，____， 所以________， 因为， 所以_____．    【知识迁移】 （2）小泽举一反三，发现有些角的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2．已知，是内部的一条射线，，分别是，的平分线，求的度数．请尝试解决该问题． 【拓展延伸】 （3）接着老师又提出这样一个问题：如图3，现有一张长方形纸片，点E在边上，点F在边上，连接．将对折，得折痕，若在上存在另一点G，连接，将对折，得折痕，且，请直接写出的度数． 题型十四 旋转的综合问题（共4小题） 53．（25-26七年级上·河北衡水·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动：已知，是一条射线，射线，分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则__________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点转动时，则的度数是否发生变化？请判断并说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点按顺时针方向转动，转动的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 54．（25-26七年级上·福建龙岩·期末）数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为___________； (2)如图2，在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点逆时针旋转一个角度． ①当为直角时，求的度数； ②在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由其中任意两边组成的角时，请求出旋转角的度数． 55．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一直角三角板CDO，（）从边CO与直线AB重合的位置（如图1）开始围绕点O按顺时针方向旋转，旋转速度为每秒2度，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板CDO在直线AB上方时． ①当时，__________，__________； ②__________时，OC平分； ③求当t为何值时，的度数是度数的2倍； (2)当三角板CDO围绕点O按顺时针方向旋转一周的过程中，若直线AB将分成2∶3两部分时，直接写出满足条件的所有t的值． 56．（25-26七年级上·上海普陀·期末）已知一副三角板按如图的方式拼接在一起，边、与直线重合，其中，． (1)求图1中的度数． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，其中． ①当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． ②是否存在？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 题型十五 二元一次方程组的含参问题（共4小题） 57．已知是关于的方程的一个解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则的值为______． 58．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组：． （1）若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为______； （2）若该方程组无解，则a，b需要满足的条件为______． 59．（25-26七年级下·重庆·期中）若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 60．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是________． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则 题型十六 整体法解二元一次方程组（共4小题） 61．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 62．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 63．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数满足求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①-②可得，由①+②可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组则________，________． (2)已知关于的二元一次方程组若方程组的解满足，求的值． 64．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）先阅读，再解决下面的问题． 解方程组：时， 由①，得， 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得，所以方程组的解为．我们把这种方法称为“整体代入法”．请用整体代入法解决下面的问题： (1)解方程组：； (2)若，则 ． 题型十七 二元一次方程组的实际应用综合（共4小题） 65．（25-26七年级下·全国·期中）某校综合与实践小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告，请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用一元一次不等式组解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行” 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 项目 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积/m2 2 1.5 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元 问题一 求该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各自的费用 问题二 若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，求出占地面积最小的方案 66．某超市销售四种包装饮用水，销售方式如下表所示： 种类 销售方式 矿泉水 3元/瓶，12瓶起售，购买13-24瓶每瓶9折，25-36瓶每瓶8折，37及以上折 纯净水 每瓶2元，每满30瓶送5瓶． 碱性水 25元/箱（10瓶），满14箱送1箱，仅按箱售卖，不单独售卖． 酸性水 32元/箱（12瓶），单独售卖3元/瓶． （1）若小云需购买12瓶同种包装饮用水，从划算角度考虑，你推荐她购买_______． （2）小腾手中有100元，若要用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多（四种都要买）则购买量最多的水的种类为_______（以上两空均填水种类的名称）． 67．小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见表1），另有一张该商店的五一促销海报（见表2） 表1 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 表2 五一优惠大促 众倡导绿色节能，“国补”不孤单!★ 活动时间: 5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补”国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务! (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 68．（2025七年级下·全国·期中）根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于元 仅一种卡纸有余料剩余 2分 合格 低于元 两种卡纸均有余料剩余 1分 (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸． A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做小灯笼个．已知一张A、B卡纸可分别做小灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于元）． 题型十八 二元一次方程组的新定义问题（共4小题） 69．（24-25七年级下·江苏南通·期中）规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 70．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）定义运算：．数轴上点P从表示数m的点出发，以每秒2个单位向正方向运动，同时点Q从表示数n的点出发，以每秒1个单位向正方向运动．点P对应的数为p，点Q对应的数为q，运动时间为t秒． (1)若，求的值． (2)若，，，求运动时间t的值． (3)若，运动秒时，，直接写出的值． 71．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 72．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程和为“关联方程”． (1)若关于x的方程与方程是“关联方程”，求a的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，设两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值； (3)若关于x的方程和是“关联方程”，求b的值． 1．新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 2．若，则_________ ． 3．比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 4．的个位数字是____ 5．数学中有很多等式可以利用图形的面积来表示，请根据以下图形，解决问题． (1)观察图1，请你写出，，之间的关系 ； (2)利用图2，解决问题：已知，求的值； (3)利用以上结论，解决问题：若，求的值． 6．已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 7．对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 8．如图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是_____． 9．取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 10．若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是___________． 11．如图1，有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号的卡片，其中Ⅰ型卡片和Ⅱ型卡片分别是边长为、的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形． (1)若选取1张Ⅱ型卡片和4张Ⅲ型卡片，则应取 张Ⅰ型卡片才能用它们拼成一个新的正方形（不重叠且无缝隙），新的正方形的边长是 （用含，的代数式表示） (2)若只取4张Ⅲ型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种卡片（Ⅳ型），由此可验证的等量关系为 （用含，的等式表示） (3)若选取1张Ⅳ型卡片和4张Ⅲ型卡片按图3的方式不重叠且无缝隙地放在长方形框架内，已知的长度为，的长度可以变化，若图中两个阴影部分（长方形）的周长相差，求Ⅲ型卡片的面积． 12．某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $