23.1 《一次函数的概念》知识点讲解&同步练习--2025-2026学年人教版数学八年级下册

23.1 一次函数的概念 函数是刻画运动变化现象中变量之间关系的数学模型。因为运动变化多样，所以函数也有不同的类型。一次函数是一类刻画简单的运动变化的函数。 探究： 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式． （1） 有人发现，在20℃～25℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t（单位：℃）有关．即c的值约是t的7倍与35的差； c＝7t－35（20≤t≤25） （2） 一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得差是G的值； G＝h－105 （3） 某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话xmin的计时费（按0.1元/min收取）； y＝0.1x＋22 （4）把一个长10cm，宽5cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积y（单位：）随x的变化而变化． y＝－5x＋50（0≤x≤10）． 总结： 一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数． 当b＝0时，y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）为y＝kx（k为常数，k≠0），形如y＝kx（k为常数，k≠0）叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数． 例1 1．下列函数中哪些是正比例函数？ （1）y＝2x；（2）y＝x＋2；（3）；（4）；（5）；（6）． 2．已知一个正比例函数的比例系数是－5，写出它的解析式． 3．k为何值时，函数是正比例函数？ 解：由题意得 即k＝－1．答：当k＝－1时，函数是正比例函数． 练习1 1．若是正比例函数，m＝______________ 2．已知函数是正比例函数，则k的值为_________． 3．下列说法中不成立的是（ ）． A．在y＝3x－1中y＋1与x成正比例 B．在y＝－x中y与x成正比例 C．在y＝2（x＋1）中y与x＋1成正比例 D．在y＝x＋3中y与x成正比例 例2 1．下列哪些函数是一次函数，哪些又是正比例函数． （1）y＝－3x－4；（2）；（3）；（4）y＝9x； （5）；（6）；（7）；（8）． 解：（1）（4）（6）（7）（8）是一次函数，（4）又是正比例函数． 2．下列说法正确的是（ D ）． A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数不是一次函数 C．不是正比例函数就不是一次函数 D．正比例函数是一次函数 3．已知函数y＝（2－m）x＋2m－3．求当m为何值时， （1）此函数为正比例函数； （2）此函数为一次函数． 解：（1）由题意，得2m－3＝0，m＝，所以当m＝时，函数为正比例函数． （2）由题意得2－m≠0，m≠2，所以m≠2时，此函数为一次函数． 练习2 1．已知关于x的函数是一次函数，则m的值为________． 2．已知函数， （1）当k________时，它是一次函数； （2）当k＝_______时，它是正比例函数． 检测 1． 已知下列函数：y＝2x＋1；；；s＝60t；y＝100－25x，其中表示一次函数的有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．要使是关于x的一次函数，n，m应满足？ 3．下列说法不正确的是（ ）． A．一次函数不一定是正比例函数 B．不是一次函数就一定不是正比例函数 C．正比例函数是特殊的一次函数 D．不是正比例函数就不是一次函数 4．一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2m/s． （1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式．它是一次函数吗？ （2）求第2．5s时小球的速度． 作业 1． 汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱的油量y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．y是x的一次函数吗？ 2．气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km处，每升高1km，气温下降6℃．高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm处的气温为y℃． （1）当0≤x≤11时，求y与x之间的函数关系式．（2）求当x＝2、5、8、11时，y的值． （3）求在离地面13km的高空处，气温是多少摄氏度？ （4）当气温是－16℃时，问在离地面多高的地方？ 答案 练习1： 1．1． 2．解析：由正比例函数的概念知，且k－2≠0．所以k＝－2．4．D． 3．根据题意得：k＋3＜0，即k＜－3时，y随x的增大而减小，图象经过二、四象限． 练习2： 1、解析：由题意，得 解方程①，得m＝±3．由②，得m≠3．∴m＝－3． 2、解：根据题意得： （1）k＋1≠0，解得：k≠－1．（2）解得k＝1． 检测： 1、 D． 2、 n＝2，m≠2． 3、D． 4、（1）v＝2t，是一次函数；（2）5m/s． 作业： 1．函数关系式为y＝50－5x．自变量x的取值范围是0≤x≤10．y是x的一次函数． 2．解：（1）y＝38－6x（0≤x≤11）． （2）当x＝2时，y＝38－6×2＝26（℃）； 当x＝5时，y＝38－6×5＝8（℃）； 当x＝8时，y＝38－6×8＝－10（℃）； 当x＝11时，y＝38－6×11＝－28（℃）． （3）因为x高于11km时，气温几乎不再变化，所以当x＝13时，气温与x＝11时的气温基本相同，为－28℃． （4）当y＝－16时，－16＝38－6x，解得x＝9．即在离地面9km的地方． 学科网（北京）股份有限公司 $