精品解析：上海市崇明区2026届高三下学期第二次模拟考试数学试卷

2025学年第二学期 高三数学 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2．本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1∼6题每题4分，7∼12题每题5分） 1. 集合，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的概念运算. 【详解】由题意得，. 故答案为： 2. 不等式的解为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ，解得， 故不等式的解为． 3. 若复数满足（为虚数单位），则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简求值． 【详解】因为，所以， 所以； 故答案为： 4. 已知向量，，若，则实数____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，由可得即可得解. 【详解】由得， ，. 故答案为： 5. 若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 6. 已知，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求得结果． 【详解】由，则 故答案为： 7. 从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示“取得的牌面是A”，事件B表示“取得的牌的花色是黑桃”，则为______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】计算出，利用条件概率公式进行求解. 【详解】，，故. 故答案为： 8. 在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________． 【答案】2 【解析】 【详解】由正弦定理得，解得. 9. 已知 则 _______. 【答案】5 【解析】 【分析】由题意，为的系数，和的展开式中都包含项，利用二项式展开的通项公式，即可得解. 【详解】由题意，为的系数，和的展开式中都包含项， 故， 故 故答案为： 10. 如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦函数的最值和周期求得圆柱的高和底面半径，进而求得椭圆的长轴和短轴，即可得离心率. 【详解】函数的值域为，最小正周期， 依题意，圆柱的高，设圆柱的底面半径为，则，解得， 椭圆短轴长，即，长轴长，即， 所以椭圆的离心率. 11. 设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先找出两个函数的单调区间的分界点，再进行排序，找到相邻两分界点的最小间距即可 【详解】，由正弦函数的性质得到单调区间的分界点， 相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为； ，令，则， 故单调区间的分界点， 相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为. 两类分界点合并排序，可发现它们交替排列，相邻两个不同类型的分界点的间隔交替为和， 所以两类分界点之间的最小距离为，所以，又，所以a的取值范围是. 12. 已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】取特殊情况结合指数函数与一次函数性质可得，再证明时，对任意的正整数m，n都有恒成立即可得. 【详解】由题意可得，取， 当时，有， 当时，有，故； 若，则当时，指数函数增速会大于一次函数， 故不可能恒成立，故； 综上可得； 下证充分性： 当时，不妨设，则， 故需满足，即， 令，则只需满足数列为非递减数列即可， ， 由，则，， 则， 故数列为非递减数列， 即时符合题意. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分） 13. 在空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案. 【详解】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是, 故选B. 【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角,需要学生熟知异面直线的定义以及性质,考查了转化思想,属于基础题. 14. 下列函数中，在上为严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，是定义在上的偶函数， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A不符合题意； 对于B，是定义在上的偶函数， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，故B不符合题意； 对于C，是定义在上的周期函数， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，故C不符合题意； 对于D， 在上为严格增函数，故D符合题意. 15. 已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可判断A的真假；求点的轨迹方程，判断BCD的真假. 【详解】对于A，因为，所以点轨迹为线段，故A错误； 对于B，设，则由，所以点轨迹为圆，故B错误； 对于C，由， 因为，方程可化为，所以点轨迹为椭圆，故C正确； 对于D，由， ①当且，即时， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ②当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ③当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ④当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； 综上可知点轨迹为四条线段，故D错误. 16. 已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（ ） A. ①②都真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①②都假 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意可知集合为函数的非严格单调递增区间， 不妨令函数，易知, 因此当时，，当或时，， 可知在上单调递增，在和上单调递减， 此时函数满足在上单调递减，满足题意， 即存在函数在处取极小值，且是连续曲线，因此①②都真. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，则可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）由为的中点，可得，再利用等体积法计算即可得解. 【小问1详解】 由直三棱柱性质可得，， 由D，E分别是，的中点，则，， 则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； 【小问2详解】 由，，则， 故为等腰直角三角形，则点到的距离为， 则点到的距离为， 由为的中点，则点与点到平面的距离相等， 故. 18. 2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：时） 频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 同时，对这100名学生的视力进行了检查，将视力达到5．0及以上定为“视力良好”，低于5．0定为“视力一般”，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）： 视力良好 视力一般 合计 活动时间达标（不少于14小时） 40 活动时间未达标（低于14小时） 30 合计 100 （1）从活动时长在和的学生中，按比例分层随机抽样抽取5人进行座谈.若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望； （2）依据的独立性检验，判断是否有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关. 参考公式及数据： ①，其中． ②，，，． 【答案】（1） 0 1 2 （2）有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关. 【解析】 【分析】（1）通过按比例分层随机抽样确定5人各有几人来自和，再确定的可能取值，求得相应概率即可求解； （2）先补全列联表，求得相应，再对比数据即可求解. 【小问1详解】 由于和频率分别为，， 则按比例分层随机抽样，抽取5人进行座谈，有3人来自，2人来自， 由题意的可能取值为0，1，2， , , , 所以的分布列是： 0 1 2 . 【小问2详解】 由题意活动时间达标人数为， 活动时间未达标人数为， 故列联表如下： 视力良好 视力一般 合计 活动时间达标（不少于14小时） 40 20 60 活动时间未达标（低于14小时） 10 30 40 合计 50 50 100 零假设：“视力情况”与“体育活动时长是否达标”无关． 根据列联表数据，计算， 根据小概率值的独立性检验，判断不成立， 所以有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关. 19. 设函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程. （2）对函数求导，判断单调性求出最小值，分两种情况讨论求解不等式恒成立时的范围. 【小问1详解】 时，，对函数求导得. 所以. 所以的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由得. 因为在上单调递增，所以. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 若，令得或，且. 当时，，单调递减， 所以，与在上恒成立矛盾， 综上所述，的取值范围是. 20. 已知椭圆． （1）求椭圆C的离心率； （2）已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标； （3）已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）根据离心率定义直接计算可得； （2）设利用向量关系表示出点坐标，代入椭圆方程即可得解； （3）利用韦达定理表示出点的纵坐标，利用向量共线表示出点的纵坐标，证明和的纵坐标相等即可得证. 【小问1详解】 记椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，所以离心率. 【小问2详解】 由题知，，设，， 因为，， 所以，得， 代入椭圆方程得，解得（负根舍去） 【小问3详解】 易知，当直线斜率为0时，为长轴端点，与右焦点重合，满足题意； 设直线的方程为，， 联立得：， 由得或， 则， 所以，则， 设，因为三点共线，则，， 所以，则， 所以，所以轴. 21. 函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有． （1）若，求实数a的取值范围； （2）是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由； （3）设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数恒小于或等于即可得到取值范围； （2）结合单调性和奇偶性判断出为常值函数，进一步判断不恒成立； （3）根据周期函数性质构建出等式，根据的单调性得到应满足的性质，再结合正弦函数本身的性质进行推导，最后得到为常数 【小问1详解】 为减函数，则即恒成立，所以. 【小问2详解】 因为为减函数，取任意实数，设，则有， 又为偶函数即有，可得， 同时根据单调性由可得，所以 即对任意实数成立，所以为常值函数，设， 则， 当时，不成立，所以不存在满足条件的函数. 【小问3详解】 设函数的正周期为即对任意都有， 因为，根据为减函数可知，所以， 那么有，因为， 所以即，于是可得，从而， 而为减函数，所以在上为常值函数，其中为任意实数， 所以在上为常值函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期 高三数学 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2．本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1∼6题每题4分，7∼12题每题5分） 1. 集合，，则________. 2. 不等式的解为________． 3. 若复数满足（为虚数单位），则_____. 4. 已知向量，，若，则实数____________. 5. 若，，且，则的最小值为________． 6. 已知，则的值为__________. 7. 从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示“取得的牌面是A”，事件B表示“取得的牌的花色是黑桃”，则为______. 8. 在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________． 9. 已知 则 _______. 10. 如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____． 11. 设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________． 12. 已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分） 13. 在空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 下列函数中，在上为严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（ ） A. ①②都真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①②都假 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：时） 频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 同时，对这100名学生的视力进行了检查，将视力达到5．0及以上定为“视力良好”，低于5．0定为“视力一般”，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）： 视力良好 视力一般 合计 活动时间达标（不少于14小时） 40 活动时间未达标（低于14小时） 30 合计 100 （1）从活动时长在和的学生中，按比例分层随机抽样抽取5人进行座谈.若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望； （2）依据的独立性检验，判断是否有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关. 参考公式及数据： ①，其中． ②，，，． 19. 设函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； 20. 已知椭圆． （1）求椭圆C的离心率； （2）已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标； （3）已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴． 21. 函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有． （1）若，求实数a的取值范围； （2）是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由； （3）设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $