精品解析：2025届上海市崇明区高三二模数学试题

上海市崇明区2025届高三二模数学试卷 2025.03 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 不等式的解集为____________． 2. 已知复数（i为虚数单位），则__________． 3. 已知全集，集合，则__________． 4. 求直线与直线的夹角为________. 5. 已知，则__________． 6. 函数的最小正周期是，则_______． 7. 某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位为87，则___________. 8. 在中，若，其面积为，则__________． 9. 若，则_______. 10. 已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是__________． 11. 已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则__________． 12. 已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为__________． 二、选择题 13. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 15. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 16. 数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 已知． （1）是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； （2）若且，解关于x的不等式． 19. 某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示． （1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率； （2）根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17，最低温度为9，当天的温差为8记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温； （3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9的天数，求X的分布列及期望． 20. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点． （1）若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标； （2）若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离； （3）若抛物线上存在定点使得满足题意的点、都有，求、满足的关系式． 21. 已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． （1）若，判断点是否具有性质，并说明理由； （2）若，证明：线段上的所有点均具有性质； （3）若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市崇明区2025届高三二模数学试卷 2025.03 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解绝对值不等式得公式求解即可. 【详解】，所以， 可得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2. 已知复数（i为虚数单位），则__________． 【答案】# 【解析】 【分析】由复数的乘法即可求得答案. 【详解】 故答案为： 3. 已知全集，集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由集合运算求出，然后得到. 【详解】，∴， 故答案为： 4. 求直线与直线的夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角为， 故答案为：． 5. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【详解】，∴. 故答案为： 6. 函数的最小正周期是，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】因为函数的最小正周期是，则. 故答案为：. 7. 某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位为87，则___________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据百分位数计算方法，结合茎叶图可得. 【详解】由题意知，则第四位数为87，结合茎叶图可知. 故答案为：7 8. 在中，若，其面积为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而求出的值. 【详解】已知，，代入面积公式可得： 则，可得：.  根据余弦定理为，可得 则.即， 把代入可得：，即.  由于为边长，可得. 故答案为：. 9. 若，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】令求解即可. 【详解】令，则，即. 故答案为： 10. 已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析分段函数的单调性，由题意得到对应结论，然后建立不等式组，求得实数a的取值范围. 【详解】∵二次函数开口向下，是极大值， 一次函数，当时，函数是单调函数，没有极值点， 要想函数有两个极值点，则这两个极值点为和， 又∵函数在上单调递减，∴在上递增. ∴，∴. 故答案为： 11. 已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线得定义过点作准线的垂线，可构造直角三角形，由此可得，再在中由余弦定理可得，接着利用双曲线的定义可求，最后利用共焦点求得. 【详解】由题意可知，， 如图，过点作准线的垂线，垂足为，则， 则，得， 在中由余弦定理可得， ，即， 则由双曲线的定义可得，得， 则 故答案为： 12. 已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为__________． 【答案】968 【解析】 【分析】根据子集中元素的个数分类，每一类都利用组合数计数，再剔除不满足定义的子集，最后根据分类加法计数原理求值即可. 【详解】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素， 按子集中元素的个数分类， ①当元素个数为2时，不满足定义的子集有： ，共9个； 此时满足定义的子集有个， ②当元素个数为3时，不满足定义的子集有： ，共8个； 此时满足定义的子集有个， ③当元素个数为4时，不满足定义的子集有： ，共7个； 此时满足定义的子集有个， ④当元素个数为5时，不满足定义的子集有： ，共6个； 此时满足定义的子集有个， ⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有： ，共5个； 此时满足定义的子集有个， ⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有： ，共4个； 此时满足定义的子集有个， ⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有： ，共3个； 此时满足定义的子集有个， ⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有： ，共2个； 此时满足定义的子集有个， 综上所述，满足题意的子集共有个. 故答案为：968. 二、选择题 13. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，不妨取，，，，则，B错； 对于C选项，取，则，C错； 对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：D. 14. 已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出母线长和底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意可知，圆锥的母线长和底面圆的直径均为， 所以圆锥的侧面积为. 故选：A. 15. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出事件、事件以及事件发生的概率，再根据事件与事件独立的性质来求解的值. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币次，所有可能的结果有种. 事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上”，其对立事件为“次都是正面朝上或次都是反面朝上”，包含的情况有种，所以. 根据对立事件概率之和为，可得.  事件表示“次中至多有一次正面朝上”，即“次中没有正面朝上（全是反面朝上）”或“次中有一次正面朝上”. “次中没有正面朝上”的情况有种；“次中有一次正面朝上”，从次中选次为正面朝上，有种情况. 所以事件包含的情况共有种，则.  事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，即“次中有一次正面朝上”，有种情况，所以.  因为事件与事件是独立的，所以，即. 可得：.展开得：.即. 当时，，，等式不成立； 当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立. 所以.  故选：C. 16. 数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】现根据等差数列的通项公式和周期数列的定义，得到，然后对选项逐一分析即可. 【详解】, 取，则公差， 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为，此时，三个元素合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为， 又，此时也是三个元素，合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为，此时也是三个元素，合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 由于是质数，角度间隔无法分解为更小的对称单元，余弦值的对称性不足以将个不同角度映射为个不同值， 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：由底面为正方形，得，又平面， 于是平面，而平面，则，同理， 又平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得. （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，点为的中点，在中，，点为的中点，同理， 在中，，因此， 在直角中，， 由（1）知平面，则平面，于是点到平面的距离为 设点到平面的距离为，由，得，解得， 所以点到平面的距离为. 18. 已知． （1）是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； （2）若且，解关于x的不等式． 【答案】（1）存在实数，使得函数是偶函数 （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义可求解. （2）先根据对数函数的单调性和定义域列出不等式组；再结合且，分类讨论即可求解. 【小问1详解】 存在实数，使得函数是偶函数. 要使函数有意义，须满足，即， 显然，即，函数的定义域. 当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数. 当时，， 函数的定义域为，对于任意的，都有， 并且 因此函数是一个偶函数 综上所述，存在实数，使得函数是偶函数 【小问2详解】 由，得 所以且①． 由①得，. 因为且， 所以当时，， 当时，. 综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 19. 某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示． （1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率； （2）根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17，最低温度为9，当天的温差为8记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温； （3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9的天数，求X的分布列及期望． 【答案】（1） （2）18 （3）X的分布列为： X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式，用事件包含的样本点个数除以总样本点个数来计算概率； （2）根据方差公式列出关于的方程，然后求解； （3）根据随机变量的分布列，利用期望公式计算期望. 【小问1详解】 设“从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”为事件A，连续统计三天共有12个样本点，事件A共有4个样本点，所以 【小问2详解】 4月1日至4日这4天温差分别为9、8、9、9， 因此，设4月14日的温差为x， 则4月11日至14日这4天温差分别为8、9°C、8、x， 因此， 解得，因此，4月11日这天最高气温是18． 【小问3详解】 从3月31日至4月13日，一天温差不超过9的共有11天，高于9的共有3天 X可能取值为0，1，2. ，， 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 随机变量X的期望. 20. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点． （1）若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标； （2）若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离； （3）若抛物线上存在定点使得满足题意的点、都有，求、满足的关系式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用抛物线的定义可求出点的值，由此可求出点的坐标； （2）设，则，根据点在轴上，可求出的值，可得出点的坐标，可求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果； （3）分析可知，直线斜率必然存在，设其方程为，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据可得出关于的等式，消去即可得出结果. 【小问1详解】 设，因为点在抛物线上， 所以点到抛物线的焦点的距离等于它到抛物线的准线的距离， 所以，则，所以，故点的坐标是. 【小问2详解】 设，则，由题意，所以， 所以点的坐标为，则， 所以，直线的方程为，即直线的方程为， 所以原点到直线的距离为. 【小问3详解】 设，若直线的斜率不存在时，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 所以，直线斜率必然存在，设其方程为， 代入中，得， 设、，则，， 因为，且， 所以， 显然，，则， 所以 故，即． 由题意，得，因此. 21. 已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． （1）若，判断点是否具有性质，并说明理由； （2）若，证明：线段上的所有点均具有性质； （3）若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 【答案】（1） 点具有性质，理由如下： 设，因为， 所以曲线在点Q处的切线方程为：， 将点坐标代入，得：，所以或2 即函数的图像上存在与P不同的一点， 使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，故点具有性质； （2） 证明： 设 函数的图像在Q处的切线方程为：① 当时，点P在函数的图像上， 将代入①式，得：② 令，则 所以关于q的方程②必有实数解，且 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质； 当时，点P不在函数的图像上， 将代入①式，得：③ 令，则 所以当时，关于q的方程③必有解， 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质， 综上所述，线段上的所有点均具有性质； （3） 证明：设， 函数的图像在Q处的切线方程为： 必要性：若点具有性质，则点应满足方程 令，则由，得：， 当时，，当时，， 故函数在时取得最小值 因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标，因此， 即. 充分性：当时，令 对于函数，当q趋向时，趋向， 又，故关于q的方程必然有解， 即存在点使得直线PQ是函数的图像的切线， 所以点具有性质 综上所述，“点具有性质”的充要条件是“”. 【解析】 【分析】（1）设，然后写出经过的切线方程，将代入求解，即可判断； （2）设，然后写出经过的切线方程，按是否在分类讨论，代入切线方程，得到关于的方程，证明其有解即可； （3）设，然后写出经过的切线方程，然后按照充分必要性的推出关系，分别证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $