专项素养巩固训练卷(八)三角形的内角和与外角和的几种常见应用-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（华东师大版·新教材）

这是一份初中数学期末专项复习课件，围绕三角形内角和与外角和应用，分“8”字、“A”字、“燕尾”等六种模型，通过例题解析、多解法及项目探究题，构建系统学习支架。 资料特色突出，融合数学眼光（几何直观识别模型）、数学思维（多解法推理）、数学语言（模型公式表达），如“8”字型总结∠A+∠B=∠C+∠D，助力九年级学生掌握解题规律，提升推理能力以应对升学考试，也为教师提供系统复习资源，高效开展期末教学。

专项素养巩固训练卷(八) 三角形的内角和与外角和的几种常见应用 初中同步培优卷 如图所示,根据三角形内角和定理可得∠A+∠B=∠C+∠D,常 运用此关系求角的度数. 类型一 “8”字型 初中同步培优卷 1. (2025青海西宁大通模拟,★☆☆)如图,若∠A=∠B,∠C=50°, 则∠D的度数是 (        ) A. 20°　　　    B. 50°　　　     C. 40°　　　    D. 30° B 解析　由题意得∠A+∠C=∠B+∠D,∵∠A=∠B,∴∠D=∠C =50°.故选B. 初中同步培优卷 2. (2025山东淄博周村期中,★★☆)如图所示的是由线段AB,CD, DF,BF,CA组成的平面图形,∠D=28°,则∠A+∠B+∠C+∠F的 度数为____________.       208°     初中同步培优卷 解析　由题意易得∠BED=∠F+∠B,∠CGE=∠C+∠A, ∵∠BED=∠D+∠EGD,∴∠F+∠B=∠D+∠EGD, 又∵∠CGE+∠EGD=180°,∴∠C+∠A+∠F+∠B-∠D=180°, 又∵∠D=28°,∴∠A+∠B+∠C+∠F=180°+28°=208°.故答案为208°. 初中同步培优卷 3. (2025甘肃兰州五十四中期末,★★☆)如图所示,∠1=50°,则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为____________.       260°     初中同步培优卷 解析　如图, 由题意得∠2=∠D+∠F,∠3=∠A+∠E,∵∠1+∠2+∠3=180°, ∴∠1+∠D+∠F+∠A+∠E=180°, ∵∠1=50°,∴∠D+∠F+∠A+∠E=130°, 初中同步培优卷 ∵∠B+∠C=∠2+∠3,∴∠B+∠C=130°, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=130°+130°=260°, 故答案为260°. 初中同步培优卷 如图所示,根据三角形外角的性质可得∠DBC+∠ECB=180°+ ∠A,常运用此关系求角的度数或推理. 类型二 “A”字型 初中同步培优卷 4. 【学科特色·多解法】(2024广东湛江经开区期末,★☆☆) 如图,在△ABC中,∠A=70°,直线DE分别与AB,AC交于D,E两 点,则∠1+∠2= (        ) A. 110°　　　    B. 140°　　　     C. 180°　　　    D. 250° D 初中同步培优卷 解析　【解法一】∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=70°, ∴∠B+∠C=110°, ∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°,∴∠1+∠2=250°. 【解法二】∵∠A=70°,∴∠A的邻补角为180°-70°=110°, 在△ADE中,已知三角形外角和等于360°, ∴∠1+∠2=360°-110°=250°. 初中同步培优卷 5. (2025山东烟台芝罘期中,★☆☆)如图,∠EAC和∠DCA是 △ABC的外角,若∠EAC=∠DCA=3∠B,则∠B的度数是_______ ____.       36° 解析　由题意易得∠EAC+∠DCA=180°+∠B, ∵∠EAC=∠DCA=3∠B,∴3∠B+3∠B=180°+∠B,∴∠B=36°. 故答案为36°. 初中同步培优卷 如图所示,①根据三角形外角的性质可得∠BOC=∠B+∠A+ ∠C,常运用此关系求角的度数或推理;②根据三角形的三边 关系可得AB+AC>BO+CO,常运用此关系比较线段的大小. 类型三 “燕尾”型 初中同步培优卷 6. 【学科特色·多解法】(2025山东淄博周村期中,★★☆)如 图,已知∠ADC=105°,∠ABC=63°,∠BAD=22°,则∠BCD的度 数为 (        ) A. 15°　　　    B. 20°　　　     C. 22°　　　    D. 42° B 初中同步培优卷 解析　【解法一】如图1,连结AC,∵∠1+∠2+∠ADC=180°, ∠ADC=105°,∴∠1+∠2=75°, ∵∠ABC+∠1+∠BAD+∠2+∠BCD=180°,∠ABC=63°,∠BAD=22°,∴∠BCD=180°-∠ABC-∠BAD-(∠1+∠2)=180°-63°- 22°-75°=20°,故选B. 初中同步培优卷 【解法二】如图2,连结BD并延长到点E,由三角形外角的性质 可得∠ADE=∠ABD+∠A,∠CDE=∠CBD+∠C,所以∠ADC= ∠ABC+∠A+∠C,即105°=63°+22°+∠C,∴∠C=20°.故选B. 初中同步培优卷 7. (2025辽宁沈阳铁西期中,★★☆)如图,点D,E分别在线段 BC,AC上,连结AD,BE交于点F,若∠A=25°,∠B=35°,∠C=70°, 则∠AFE的度数为 (        ) A. 45°　　　    B. 50°　　　     C. 55°　　　    D. 60° B 初中同步培优卷 解析　连结CF并延长到点M(图略), 由三角形外角的性质得 ∠AFM=∠A+∠ACF,∠BFM=∠B+∠BCF, ∴∠AFB=∠AFM+∠BFM=∠A+∠ACB+∠B=25°+70°+35°=130°, ∴∠AFE=180°-∠AFB=180°-130°=50°.故选B. 初中同步培优卷 8. (★★☆)小雅同学设计了一个形状如图所示的零件,其中 ∠A=52°,∠B=25°,∠C=30°,∠E=72°,∠F=65°,则∠D 的度数为 (        ) A. 35°　　　    B. 45°　　　     C. 30°　　　    D. 24° C 初中同步培优卷 解析　如图,延长BE交CF的延长线于点O,交AC于点M, ∵∠BMC=∠A+∠B,∠BOC=∠BMC+∠C, ∴∠BOC=∠A+∠B+∠C=107°, ∵∠BED=72°,∠DFC=65°, ∴∠OED=108°,∠OFD=115°, ∴∠D=360°-115°-108°-107°=30°.故选C. 初中同步培优卷 如图所示,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P,根据三角形内 角和定理可得∠P=90°+ ∠A,运用此关系可以求角的度数或 推理. 类型四 两内角平分线型 初中同步培优卷 9. (2024四川泸州高中附属学校期中,★★☆)如图,在△ABC 中,∠A=84°,点O是∠ABC,∠ACB平分线的交点,点P是∠BOC, ∠OCB平分线的交点,若∠P=100°,则∠ACB的度数是 (         ) A. 42°　　　    B. 60°　　　     C C. 56°　　　    D. 65° 初中同步培优卷 解析　设∠BCP=∠PCO=x,∠BOP=∠COP=y, ∵∠P=100°,∴∠PCO+∠COP=x+y=180°-∠P=80°,∴2x+2y=160°, ∴∠OBC=180°-(∠BOC+∠BCO)=180°-(2x+2y)=180°-160°=20°, ∵BO平分∠ABC,∴∠ABC=2∠OBC=40°, ∵∠A=84°,∴∠ACB=180°-40°-84°=56°.故选C. 初中同步培优卷 10. (2025陕西西安灞桥铁一中滨河学校模拟,★★☆)如图,AD, CE都是△ABC的角平分线,且AD,CE交于点O,∠DAC=30°, ∠ECA=35°,则∠ABO的度数为___________.       25°     初中同步培优卷 解析　∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,∠DAC=30°,∠ECA= 35°,∴∠BAC=2∠DAC=60°,∠ACB=2∠ECA=70°, ∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=50°. ∵△ABC的三条角平分线交于一点, ∴BO平分∠ABC,∴∠ABO= ∠ABC=25°.故答案为25°. 初中同步培优卷 如图所示,△ABC的两外角平分线相交于点P,运用三角形外角 的性质或三角形的外角和可以得出∠P=90°- ∠A,运用此关 系可以求角的度数或推理. 类型五 两外角平分线型 初中同步培优卷 11. (★★☆)如图,已知点A,B分别在∠MON的边ON,OM上(不 与点O重合),AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,直线AD,BC相交 于点C. 初中同步培优卷 (1)如图①,若∠MON=90°,则∠ACB=_______. (2)如图②,在(1)的基础上,∠MON每秒变小10°,经过的时间为t 秒(0<t<9). (i)试用含t的代数式表示∠ACB的度数. (ii)求出当t取何值时,∠O与∠ACB的度数相等. 初中同步培优卷 解析    (1)∵AD平分∠BAN,BC平分∠ABM, ∴∠BAN=2∠CAB,∠ABM=2∠ABC. ∵∠BAN=2∠CAB=∠O+∠OBA,∠ABM=2∠ABC=∠O+∠OAB, ∴∠BAN+∠ABM=2∠CAB+2∠ABC=∠O+∠OBA+∠OAB+∠O, ∴2(∠CAB+∠ABC)=∠O+∠OBA+∠OAB+∠O=180°+∠O= 180°+90°=270°. ∴∠CAB+∠ABC=135°. ∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠ACB=180°-135°=45°. 初中同步培优卷 (2)(i)在(1)的基础上,若∠O每秒变小10°,经过的时间为t秒,则 ∠O=90°-10t°, 则∠ACB=180°-(∠ABC+∠CAB)=180°- (180°+∠O)= 90°- ∠O=90°-  (90°-10t°) =90°-45°+5t°=(45+5t)°. (ii)由题意得90-10t=45+5t,解得t=3, ∴当t=3时,∠O 与∠ACB的度数相等. 初中同步培优卷 如图所示,△ABC的一个内角的平分线和一个外角的平分线 相交于点P,即∠1=∠2,∠3=∠4,由三角形外角的性质可以得 出∠P= ∠A,运用此关系可以求角的度数或推理. 类型六 内角与外角平分线型 初中同步培优卷 12. (2025陕西汉中西乡期末,★★★)如图,在△ABC中,点D在 AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E,∠ADE的平分线交∠ACB 的平分线于点P,交∠ACF的平分线于点Q,CP与DE相交于点G. (1)若∠A=50°,∠B=60°,求∠DPC与∠Q的度数. (2)当∠A=x°时,求∠DPC与∠Q的度数. (3)若△PCQ中存在一个内角的度数等于 另一个内角度数的三倍,求所有符合条件 的∠A的度数. 初中同步培优卷 解析    (1)∵∠A=50°,∠B=60°, ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°, ∵CP平分∠ACB,∴∠BCP=∠ACP= ∠ACB=35°, ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60°,∠PGD=∠BCP=35°. ∵DP平分∠ADE,∴∠PDG= ∠ADE=30°, ∴∠DPC=180°-∠PDG-∠PGD=180°-30°-35°=115°, ∴∠QPC=180°-115°=65°, ∵CP平分∠ACB,CQ平分∠ACF, 初中同步培优卷 ∴∠ACP= ∠ACB,∠ACQ= ∠ACF, ∵∠ACB+∠ACF=180°, ∴∠ACP+∠ACQ=90°,即∠PCQ=90°, ∴∠Q=90°-∠QPC=90°-65°=25°. (2)∵∠A=x°,∴∠ACB+∠B=180°-x°, ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠PGD=∠PCB. ∵DP平分∠ADE,CP平分∠ACB, ∴∠PDE= ∠ADE= ∠B,∠PGD=∠PCB= ∠ACB, 初中同步培优卷 ∴∠DPC=180°-(∠PDE+∠PGD)=180°- (∠B+∠ACB)=180° - (180°-x°)=90°+ x°, ∴∠QPC=180°- =90°- x°, 易得∠PCQ=90°, ∴∠Q=90°-∠QPC=90°-  = x°. (3)设∠A=α,由(2)可知∠QPC=90°- α,∠Q= α,∠PCQ=90°, 可分四种情况讨论: 初中同步培优卷 ①当∠PCQ=3∠CPQ时,3  =90°,解得α=120°,∴∠A= 120°; ②当∠PCQ=3∠Q时,3× α=90°,解得α=60°, ∴∠A=60°; ③当∠CPQ=3∠Q时,90°- α=3× α,解得α=45°, ∴∠A=45°; ④当∠Q=3∠CPQ时,3 = α,解得α=135°, 初中同步培优卷 ∴∠A=135°. 综上,∠A=45°或60°或120°或135°. 初中同步培优卷 13. 【新考向·项目探究题】(2025河南周口太康华夏外国语 学校月考,★★★) 【实践探究】 (1)如图①,在△ABC中,∠A=50°,∠ABC的平分线与△ABC的 外角∠ACD的平分线交于点E,则∠E=_______. (2)如图②,在△ABC中,∠A=50°,延长AB至点P,延长BC至点D, 已知∠ABC,∠ACD的平分线交于点E,∠CBP的平分线与EC 的延长线交于点F,求∠F的度数. 初中同步培优卷 【拓展延伸】 (3)如图③,已知四边形ABCD中,CE是∠BCD的平分线,BF是四 边形ABCD的外角∠ABG的平分线.若∠A=130°,∠D=80°,请 直接写出∠E+∠F的度数.   初中同步培优卷 解析    (1)25°. (2)由题意得∠EBD= ∠ABC,∠FBD= ∠CBP, ∴∠EBF=∠EBD+∠FBD= ∠ABC+ ∠CBP=  (∠ABC+∠CBP)=90°, 由(1)得∠E=25°,∴∠F=180°-∠EBF-∠E=65°. (3)∠E+∠F=195°. 详解:由题意得∠BCD+∠ABC=360°-130°-80°=150°, ∵CE是∠BCD的平分线,BF是∠ABG的平分线, 初中同步培优卷 ∴∠BCE= ∠BCD,∠ABF= ∠ABG, ∴∠E+∠F=360°-∠BCE-∠ABF-∠ABC=360°- ∠BCD-  ∠ABG-∠ABC=360°- (∠BCD+∠ABC)- (∠ABG+∠ABC)= 360°- ×150°- ×180°=195°. 初中同步培优卷 $