第5章 一元一次方程 素养提优测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（华东师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元一次方程的概念、解法及应用，通过典型例题与变式训练将方程定义、求解步骤、实际应用等内容串联，构建完整的知识网络。 其亮点在于融入跨学科情境（如物理天平、热传递）和数学文化（《张丘建算经》问题），培养学生用数学眼光观察现实世界，通过新定义题（如min函数）和严谨的解题步骤解析发展数学思维，分层题目设计（★☆☆到★★★）满足个性化复习需求，帮助教师精准教学，提升学生知识应用能力。

第5章　素养提优测试卷 时间：90分钟 满分：120分 初中同步培优卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个选 项符合题意) 1. (2025河南周口期末,★☆☆)下列方程是一元一次方程的有  (         ) ①x+y=1;②x-1=3;③2x2=1;④5x+5=-1;⑤xy=10;⑥2x+4=0;⑦x= 0. A. 3个　　　    B. 4个　　　     C. 5个　　　    D. 6个 B 初中同步培优卷 解析　①x+y=1中含有两个未知数,不是一元一次方程;②x-1= 3是一元一次方程;③2x2=1中含未知数的项的次数为2,不是一 元一次方程;④5x+5=-1是一元一次方程;⑤xy=10中含2个未知 数,不是一元一次方程;⑥2x+4=0是一元一次方程;⑦x=0是一 元一次方程.故一元一次方程有4个.故选B. 初中同步培优卷 2. 【跨物理·天平】(2025河南南阳社旗期末,★☆☆)用“ ” “ ”“ ”分别表示三种不同的物体,它们的质量分别为a, b,c,现用天平称了两次,情况如图所示,下列选项能正确表示天 平从左到右的变化的是 (         )   A. 如果2a=2b,那么a=b　　　    B. 如果a=b,那么2a=2b C. 如果a+b=b+c,那么a=c　　　    D. 如果a=b,那么a+b=b+c C 初中同步培优卷 解析　左边的天平表示的是a+b=b+c,右边的天平表示的是a= c,∴能正确表示天平从左到右的变化的是如果a+b=b+c,那么 a=c.故选C. 初中同步培优卷 3. (2025云南保山腾冲期末,★☆☆)一位同学在解方程5x-1= □x+3时,把“□”处的数看错了,解得x=- ,则这位同学把 “□”处的数看成了 (         ) A. 5　　　    B.  　　　    C. -10　　　    D. 10 D 解析　设“□”处的数为y,则原方程为5x-1=xy+3, 将x=- 代入5x-1=xy+3,得5× -1=y× +3, 解得y=10.故选D. 初中同步培优卷 4. (2025河南安阳期末,★☆☆)下列方程的变形中,正确的是  (         ) A. 方程 - =1可化为3x=6 B. 将方程3x-2=2x+1移项,得3x-2x=-1+2 C. 将方程3-x=2-5(x-1)去括号,得3-x=2-5x-1 D. 将方程 t= 中未知数的系数化为1,得t=1 A 初中同步培优卷 解析    A.由 - =1得5(x-1)-2x=1,整理得3x=6,故本选项正 确;B.将方程3x-2=2x+1移项,得3x-2x=1+2,故本选项错误;C.将 方程3-x=2-5(x-1)去括号,得3-x=2-5x+5,故本选项错误;D.将方 程 t= 中未知数的系数化为1,得t= ,故本选项错误.故选A. 初中同步培优卷 5. (2025山东淄博淄川期末,★★☆)若代数式4x- 的值比  的值大 ,则x的值是 (         ) A. 1　　　    B.  　　　    C.  　　　    D. 2 B 解析　根据题意得4x- = + ,解得x= .故选B. 初中同步培优卷 6. (2025湖北武汉武昌期末,★★☆)已知关于a的一元一次方 程2 025a+m=a-2 025的解为a=3,则关于b的一元一次方程 2 025(b-3)+m=b-2 028的解为 (         ) A. b=3　　　    B. b=6　　　     C. b=0　　　    D. b=-3 B 初中同步培优卷 解析　∵2 025(b-3)+m=b-2 028,∴2 025(b-3)+m=(b-3)-2 025. ∵关于a的一元一次方程2 025a+m=a-2 025的解为a=3,∴关于 b-3的一元一次方程2 025(b-3)+m=(b-3)-2 025的解为b-3=3, ∴b=6.故选B. 初中同步培优卷 7. (2025河南洛阳汝阳期末,★★☆)若关于x的方程4(2-x)+x= ax的解为正整数,则满足条件的所有整数a的个数为 (   ) A. 1　　　    B. 2　　　    C. 3　　　    D. 4 D 解析　∵4(2-x)+x=ax,∴8-4x+x=ax,∴ax+4x-x=8, ∴(a+3)x=8, ∵关于x的方程4(2-x)+x=ax的解为正整数,a为整数, ∴a+3=1或a+3=2或a+3=4或a+3=8,∴a=-2或a=-1或a=1或a=5, ∴满足条件的所有整数a的个数是4.故选D. 初中同步培优卷 8. 【新考向·新定义题】(2025河南南阳唐河期末,★★☆)我 们规定: = - (其中c≠0,d≠0),例如: = - =-  + =0.若 =-2,则x的值为 (         ) A. 1　　　    B. 2　　　    C. 3　　　    D. 4 A 解析　根据题意得 - =-2,∴2x+1+3(x-4)=-6, ∴2x+1+3x-12=-6,∴2x+3x=-6-1+12,∴5x=5,∴x=1.故选A. 初中同步培优卷 9. (★★☆)如果关于x的方程 = 与方程 =2|m|-x的解 相同,那么m的值是 (         ) A. 1　　　    B. ±1　　　    C. 2　　　    D. ±2 D 解析     = ,去分母,得5x-1=14,移项、合并同类项,得5x=1 5,系数化为1,得x=3,把x=3代入 =2|m|-x,得1=2|m|-3,∴2|m|= 4,∴|m|=2,∴m=±2.故选D. 初中同步培优卷 10. 【新考向·数学文化】(2024河北石家庄一模,★★☆)我国 古代数学名著《张丘建算经》中记载:“今有清酒一斗直粟 十斗,醑(xǔ)酒一斗直粟三斗.今持粟三斛,得酒五斗,问清、 醑酒各几何?”意思是说:一斗清酒价值10斗谷子,一斗醑酒价 值3斗谷子,现在拿30斗谷子,共换了5斗酒,问清、醑酒各几 斗?下面是甲、乙各自的解答方案,则 (         ) 甲:设换了清酒x斗,列方程为10x+3(5-x)=30,……. 乙:设用x斗谷子换清酒,列方程为 + =5,……. A 初中同步培优卷 A. 只有甲对　　　    B. 只有乙对 C. 甲、乙都对　　　    D. 甲、乙都不对 解析　甲:设换了清酒x斗,则换了醑酒(5-x)斗, 列方程为10x+3(5-x)=30. 乙:设用x斗谷子换清酒,则用(30-x)斗谷子换醑酒,列 方程为 + =5.∴甲正确,乙错误.故选A. 初中同步培优卷 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 11. (2025山东泰安东平期中,★☆☆)若方程-2(m-2)x|m|-1-1=0是 关于x的一元一次方程,则m的值是_______. 　-2     解析　∵方程-2(m-2)x|m|-1-1=0是关于x的一元一次方程,∴-2(m -2)≠0且|m|-1=1,解得m=-2.故答案为-2. 初中同步培优卷 12. (2025河南平顶山期末,★☆☆)若x=2是关于x的方程mx-n+ 3=0的解,则4m-2n=_______. 　-6     解析　将x=2代入关于x的方程mx-n+3=0,得2m-n+3=0,∴2m-n =-3, ∴4m-2n=2(2m-n)=2×(-3)=-6.故答案为-6. 初中同步培优卷 13. 【学科特色·多解法】(2025重庆南开共同体学校期中,★ ★☆)若关于x的方程3x+2=2x-5的解与方程 (3x+2)= + (x- 1)的解互为相反数,则k的值为_________.     2     初中同步培优卷 解析　【解法一】解方程3x+2=2x-5,得x=-7,解方程 (3x+2)=  + (x-1),得x= .由题意可得 +(-7)=0,解得k=2.故答 案为2. 【解法二】解方程3x+2=2x-5,得x=-7, ∴方程 (3x+2)= + (x-1)的解为x=7, ∴ ×(3×7+2)= + ×(7-1),解得k=2.故答案为2. 初中同步培优卷 14. (2025湖南娄底期末,★★☆)一个两位数的两个数字之和 为6,如果将个位数字和十位数字对调后再加上18,仍得原数, 则这个两位数是__________.     42     解析　设这个两位数的个位数字是x,则这个两位数的十位数 字是6-x,根据题意得10x+(6-x)+18=10(6-x)+x,∴9x+24=60-9x, ∴18x=36,解得x=2,∴6-x=6-2=4, ∴这个两位数为42.故答案为42. 初中同步培优卷 15. 【新考向·新定义题】(2025河南鹤壁期末,★★☆)对于两 个不相等的有理数a,b,我们规定符号min{a,b}表示a,b两数中 较小的数,例如:min{2,-3}=-3.按照这个规定,方程min{x,-x}=-3x -12的解为____________.     x=-3     解析　当x>-x,即x>0时,min{x,-x}=-x,∵min{x,-x}=-3x-12,∴-x =-3x-12,解得x=-6(不符合题意,舍去);当x<-x,即x<0时,min{x, -x}=x,∵min{x,-x}=-3x-12,∴x=-3x-12,解得x=-3. 综上,方程min{x,-x}=-3x-12的解为x=-3.故答案为x=-3. 初中同步培优卷 16. 【跨物理·热传递】(2025湖北荆州期末,★★☆)某饮水机有 温水、开水两个按钮,温水和开水共用一个出水口,温水的温 度为30 ℃,流速为20 mL/s,开水的温度为100 ℃,流速为15mL/s.某学生先接了一会儿温水,又接了一会儿开水,得到一杯 280 mL温度为60 ℃的水(不计热损失),则该学生接温水的时 间为_________s.(物理常识:开水和温水混合时会发生热传递, 开水放出的热量等于温水吸收的热量,即开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度)     8     初中同步培优卷 解析　设该学生接温水的时间为x s, 根据题意可得20x×(60-30)=(280-20x)×(100-60), 整理,得1 400x=11 200,解得x=8, ∴该学生接温水的时间为8 s.故答案为8. 初中同步培优卷 三、解答题(共6小题,共72分) 17. 【学科特色·教材变式P18T2】(16分)解下列方程. (1)(2024新疆中考,★☆☆)2(x-1)-3=x. (2)(2025河南焦作武陟期末,★☆☆)3x+ =3- . 初中同步培优卷 解析    (1)2(x-1)-3=x, 去括号,得2x-2-3=x, 移项,得2x-x=2+3, 合并同类项,得x=5. (2)3x+ =3- , 去分母,得18x+3(x-1)=18-2(2x-1), 去括号,得18x+3x-3=18-4x+2, 移项,得18x+3x+4x=18+2+3, 初中同步培优卷 合并同类项,得25x=23, 系数化为1,得x= . 初中同步培优卷 18. (2025河北廊坊霸州期末,★★☆)(10分)下面是某同学求 解一元一次方程的解题过程. 解方程: -1= . 解:去分母,得3(3x-1)-1=2(5x-7), 第一步 去括号,得9x-3-1=10x-14, 第二步 移项,得9x-10x=-14+3+1, 第三步 合并同类项,得-x=-10, 第四步 系数化为1,得x=10. 第五步 初中同步培优卷 请认真阅读并解决下面的问题. (1)以上求解步骤中,第一步变形的依据是_______. (2)上述解题过程从第_______步开始出现错误,错误的原因 是___________. (3)请帮该同学改正错误,并写出完整的解题过程. 初中同步培优卷 解析    (1)等式的基本性质2. (2)一;等号左边无分母的项漏乘12. (3) -1= , 去分母,得3(3x-1)-12=2(5x-7), 去括号,得9x-3-12=10x-14, 移项,得9x-10x=-14+3+12, 合并同类项,得-x=1, 系数化为1,得x=-1. 初中同步培优卷 19. (2025河北唐山迁安期末,★★☆)(10分)已知M= ,N=  ,当给定x的一个值时,M,N都有唯一的值与之对应.例如: 当x=1时,M= = = ,N= = = . (1)当x=2时,求NM的值. (2)若M-N=1,求x的值. 初中同步培优卷 解析    (1)当x=2时,M= = =2,N= = = - ,∴NM= = . (2)由题意得 - =1, 去分母,得4(3x+4)-5(-2x+3)=20, 去括号,得12x+16+10x-15=20, 移项、合并同类项,得22x=19, 系数化为1,得x= . 初中同步培优卷 20. (2025河南商丘睢阳期末,★★☆)(10分)甲、乙两家超市 以相同的价格出售同样的商品,为了吸引顾客,各自推出了不 同的优惠方案:在甲超市购买商品的金额超出300元后,超出部 分按8折收费;在乙超市购买商品的金额超出200元后,超出部 分按8.5折收费.若顾客所购商品的金额为x(x>300)元. (1)当x为何值时,顾客在两家超市购买商品所付费用一样? (2)若某顾客准备购买500元的商品,你认为他应该去哪家超 市?请说明理由. 初中同步培优卷 解析    (1)由题意可得300+(x-300)×0.8=200+(x-200)×0.85,解 得x=600. 答:当x的值为600时,顾客在两家超市购买商品所付费用一样. (2)若顾客准备购买500元的商品,则他应该去乙超市.理由:当x =500时, 在甲超市购买商品需要付款300+(500-300)×0.8=460(元), 在乙超市购买商品需要付款200+(500-200)×0.85=455(元), ∵460>455,∴该顾客应该去乙超市. 初中同步培优卷 21. (2025山西朔州怀仁期末,★★☆)(12分)综合与探究. 中国古代的“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三 阶幻方,它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相 等.如图所示的是三个不完整的幻方图.   　　　     初中同步培优卷 请根据上面的信息,解答相应的问题. (1)如图①,直接写出字母a表示的数:_______. (2)如图②,求代数式m-3n的值. (3)如图③,根据图中给出的信息,利用方程求出x的值. 初中同步培优卷 解析    (1)5. 详解:设题图①中的中心数为x, 根据题意得7+1+x=3+a+x, 整理,得a=7+1-3,∴a=5. 故答案为5. (2)根据题意得2n+n-1=m+6-1,整理,得m-3n=-6. (3)根据题意可得x+5+4x=x+17,解得x=3,∴x的值为3. 初中同步培优卷 22. 【新课标·应用意识】(2025黑龙江哈尔滨道里期末改编, ★★★)(14分)某学校要开展阅读活动,准备购进科技书和文 学书两种书籍,已知购进科技书60本,且购进的科技书的数量 比购进的文学书的数量的 少10本. (1)求购进的文学书的数量. (2)若科技书的单价和文学书的单价之比是5∶4,且学校购买 科技书和文学书共花费2 340元,求科技书和文学书的单价分 别是多少元. 初中同步培优卷 (3)在(2)的条件下,学校为增大阅读量,准备第二次购进一批同 样的科技书和文学书及书签,计划两种书籍共买156本,且科技 书的数量比文学书的数量的70%多20本,另买60个单价为2元 的书签,学校第二次购买时正好赶上书店庆典,书店推出三种 优惠方案: 方案1:在该书店购买商品的费用,每满500元减80元; 方案2:在该书店购买一张500元的“优惠卡”,所购买的商品 一律七折; 初中同步培优卷 方案3:在该书店每购买3本书籍赠送一个书签,并且消费3 000元以上4 000元以下时,3 000元以上的部分返现金90%. 学校第二次购买时,选择哪个方案最省钱?请说明理由. 初中同步培优卷 解析  (1)购进文学书(60+10)÷ =70÷ =70× =42(本). (2)设科技书的单价是5x元,则文学书的单价是4x元, 根据题意得60×5x+42×4x=2 340,解得x=5, ∴科技书的单价为5×5=25(元),文学书的单价为5×4=20(元). (3)选择方案2最省钱.理由:设第二次购进文学书y本,则第二次 购进科技书(70%y+20)本, 根据题意得y+70%y+20=156,解得y=80, ∴156-y=76,∴第二次购进文学书80本,科技书76本, 初中同步培优卷 ∴在不选择优惠方案时,学校第二次购买两种书和书签的总 费用为25×76+20×80+2×60=3 620(元), 若选择方案1,∵3 620÷500=7(个)……120(元), ∴购买总费用为3 620-7×80=3 060(元); 若选择方案2,则购买总费用为500+3 620×70%=3 034(元); 若选择方案3,易得此时购买书签的费用为2×(60-156÷3)= 16(元), ∵在不选择优惠方案时,第二次购买两种书的费用为25×76+ 20×80=3 500(元), 初中同步培优卷 ∴选择方案3时,购买总费用为3 500+16-(3 500+16-3 000)×0.9 =3 051.6(元), ∵3 034<3 051.6<3 060,∴选择方案2最省钱. 初中同步培优卷 $