专项突破5 三角形的内角和与外角和的四种常见应用-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（华东师大版·新教材）

这是一份初中数学期末培优课件，聚焦三角形内角和与外角和的四种常见应用，包含直接计算、与三角板直尺结合、折叠问题、平行线结合等题型，通过14道各地期中模拟例题及解析，构建学习支架，助力学生突破几何计算难点。 资料特色突出，融合数学核心素养，以三角板摆放、折叠实验等情境培养数学眼光，通过推理过程训练数学思维，用符号表达和模型构建提升数学语言能力。如三角板求角题直观呈现空间关系，折叠问题深化逻辑推理，能帮助学生掌握解题技巧，为教师教学提供丰富实例与方法参考，特别适合九年级学生备考复习，强化高频考点应对能力。

专项突破5　三角形的内角和与外角和的四种常见应用 初中数学培优课堂  　直接计算求角的度数 1.(2025河南洛阳洛龙期中)如图,BD是∠ABC的平分线,AD⊥ BD,垂足为D,∠DAC=20°,∠C=38°,则∠BAD= (　　　)   A.50°　　　    B.58°　　　    C.60°　　　    D.62°     B     初中数学培优课堂 解析　∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC, ∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=180°-90°-∠ABD=90°-  ∠ABC,∵∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC=180°,∠DAC=20°,∠C =38°,∴∠ABC+38°+ +20°= ∠ABC+148°=180°, 解得∠ABC=64°,∴∠BAD=90°- ×64°=58°.故选B. 初中数学培优课堂 2.(2025山西晋中三模)如图,在△ABC中,BD是AC边上的高,CE 是∠ACB的平分线,BD、CE交于点F.若∠AEC=80°,∠DFC=5 2°,则∠ABC的度数是 (　　　)   A.28°　　　    B.38°　　　    C.42°　　　    D.62°     C     初中数学培优课堂 解析　由题意可得∠FDC=90°,∴∠FCD=90°-∠DFC=90°-52°= 38°,由题意可知∠ECB=∠DCF=38°,∴∠ABC=∠AEC-∠ECB= 80°-38°=42°.故选C. 初中数学培优课堂 3.(2025重庆八中一模)如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,F为BC 上一点,BE⊥AF于点E,CD⊥AF交AF的延长线于点D,∠ABE= 20°,则∠ACD=___________.       70°     初中数学培优课堂 解析　∵BE⊥AF于点E,∴∠AEB=90°,∴∠BAE=180°-∠AEB -∠ABE=180°-90°-20°=70°,∵∠CAB=∠CAD+∠BAE=90°,∴ ∠CAD=90°-70°=20°.∵CD⊥AD,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=180°-∠ADC-∠CAD=180°-90°-20°=70°. 故答案为70°. 初中数学培优课堂 4.(2025河南南阳桐柏期中)如图,D是△ABC的边BC上一点,∠B= ∠BAD,∠ADC=80°,∠BAC=70°. (1)求∠B的度数. (2)求∠C的度数.   初中数学培优课堂 解析    (1)∵∠ADC是△ABD的一个外角,∴∠ADC=∠B+∠ BAD,又∵∠ADC=80°,∠B=∠BAD,∴∠B= ∠ADC= ×80°=40°. (2)∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-70°=70°. 初中数学培优课堂  　与三角板或直尺结合求角的度数 5.(2025河南信阳期中)如图,已知在△ABC中,∠A=40°,将一块 直角三角板放在△ABC上,使三角板的两条直角边分别经过 点B,C,直角顶点D落在△ABC的内部,则∠ABD+∠ACD=  (　　　)   A.90°　　　    B.60° C.50°　　　    D.40°     C     初中数学培优课堂 解析　∵∠A=40°,∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°,∵∠ BDC=90°,∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°,∴∠ABD+∠ACD =140°-90°=50°.故选C. 初中数学培优课堂 6.将一副三角板按照如图所示的方式摆放在直尺上,则∠1的 度数为____________.       105°     初中数学培优课堂 解析　如图,   易知∠2=45°,∠3=30°,∴∠2+∠3=75°,∴∠4=180°-75°=105°, ∵直尺的两条长边平行,∴∠1=∠4=105°. 初中数学培优课堂  　利用折叠求角的度数 7.(2025河北邯郸月考)如图,将△ABC沿AE折叠,使点C落在边 BC上的点D处,且AD恰好是△ABE的角平分线,若∠BAC=60°, 则∠C= (　　　)   A.70°　　　    B.60°　　　    C.50°　　　    D.40°     A     初中数学培优课堂 解析　由折叠可得∠ADE=∠C,∠DAE=∠CAE,∠AEC=90°, ∵AD为∠BAE的平分线,∴∠BAD=∠DAE,∴∠BAD=∠DAE =∠CAE,∵∠BAD+∠DAE+∠CAE=∠BAC=60°,∴∠BAD=∠ DAE=∠CAE=20°,∵∠AEC=90°,∴∠C=180°-∠AEC-∠CAE= 180°-90°-20°=70°.故选A. 初中数学培优课堂 8.(2025辽宁沈阳南昌中学期中)如图,在三角形ABC中,∠C=60°, ∠B=30°,D是BC上一点,将三角形ABD沿AD翻折得到三角形 AED,AE交射线BC于点F,若DE∥AC,则∠BDA=(　　　)   A.120°　    B.135° C.110°　　　    D.150°     A     初中数学培优课堂 解析　∵∠C=60°,∠B=30°,∴∠BAC=90°,由折叠可得∠E=∠ B=30°,∠BAD=∠EAD,∵DE∥AC,∴∠CAE=∠E=30°,∴∠ BAE=∠BAC-∠CAE=60°,∴∠BAD=∠EAD=30°,∴∠BDA=18 0°-∠B-∠BAD=120°.故选A. 初中数学培优课堂 9.(2025四川内江隆昌知行中学期末)如图,在三角形纸片ABC 中,∠A=65°,∠B=70°,将∠C沿DE折叠,使点C落在△ABC外的 点C'处,若∠1=30°,则∠2的度数为________.   120° 初中数学培优课堂 解析　如图,∵∠A=65°,∠B=70°,∴∠C=180°-65°-70°=45°,由 折叠可得∠C'=∠C=45°,∴∠3=∠1+∠C'=75°,∴∠2=∠C+∠ 3=120°.故答案是120°.   初中数学培优课堂 10.(2025吉林四平双辽期中)将△ABC按如图所示的方式翻 折,DE为折痕,若∠A+∠B=130°,则∠1+∠2=___________°.       100     初中数学培优课堂 解析　∵∠A+∠B+∠C=180°,∠CDE+∠CED+∠C=180°,∴ ∠A+∠B=∠CDE+∠CED,∵∠A+∠B=130°,∴∠CDE+∠ CED=130°,∴∠BED+∠ADE=360°-130°=230°,由折叠可得∠ BED=∠B'ED,∠ADE=∠A'DE,∴∠B'ED+∠A'DE=230°,即∠1 +∠CDE+∠2+∠CED=230°,∴∠1+∠2=230°-130°=100°.故答 案为100. 初中数学培优课堂  　与平行线的性质结合求角的度数 11.(2025四川成都实验外国语学校期中)如图,AB∥CD,∠ HGF=89°,∠GHF=33°,则∠AEM的度数为(　　　)   A.56°　　　    B.58°　　　    C.66°　　　    D.68°     B     初中数学培优课堂 解析　∵∠HGF=89°,∠GHF=33°,∠GHF+∠HGF+∠HFG= 180°,∴∠HFG=180°-∠GHF-∠HGF=58°,∵AB∥CD,∴∠ AEM=∠HFG=58°.故选B. 初中数学培优课堂 12.【跨物理·光学】(2025河南漯河舞阳模拟)如图,一束平行 于主光轴的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束经过光 心O的光线相交于点P,F为该凸透镜的焦点.若∠1=150°,∠3= 50°,则∠2的度数为 (　　　)   A.20°　　　    B.25°　　　    C.30°　　　    D.35°     A     初中数学培优课堂 解析　由题意得∠1+∠PFO=180°,∵∠1=150°,∴∠PFO=30°, ∵∠3=∠PFO+∠POF,∠3=50°,∴∠POF=20°,∴∠2=∠POF= 20°. 故选A. 初中数学培优课堂 13.(2025重庆沙坪坝凤鸣山中学月考)如图,CD为△ABC的角 平分线,点E、F、G分别在△ABC的边BC、AB、AC上,连结 EF、DG,EF∥CD,∠1=∠2. (1)试说明DG∥BC. (2)若∠B=80°,∠EFD=100°,求∠AGD的度数.   初中数学培优课堂 解析    (1)∵EF∥CD,∴∠1=∠BCD, 又∵∠1=∠2,∴∠BCD=∠2,∴DG∥BC. (2)∵∠EFD是△BEF的一个外角,∴∠EFD=∠B+∠1,∵∠ EFD=100°,∠B=80°,∴∠1=∠EFD-∠B=20°,∵EF∥CD,∴∠ BCD=∠1=20°,∵CD平分∠BCA,∴∠BCA=2∠BCD=40°,∵ DG∥BC,∴∠AGD=∠BCA=40°. 初中数学培优课堂 14.已知直线l1∥l2,直线l3分别交l1,l2于点A,B,点C在直线l2上且 在点B的右侧,点D在直线l1上且在点A的左侧,E是直线l3上的 动点,且不与A,B重合,设∠DAB=α,∠BEC=β. (1)如图①,当点E在线段AB上,且CE⊥l3,∠ECB=30°时,α=_____ _____°. (2)如图②,当点E在线段BA的延长线上,且∠ECB=60°时,请写 出α,β之间的数量关系,并说明. (3)如图③,分别作∠EBC和∠FEC的平分线,交点为G,则∠G= _________(用含α,β的代数式表示). 　　　　　     　     　     初中数学培优课堂          解析    (1)∵CE⊥l3,∴∠CEB=90°, ∵∠ECB=30°,∴∠ABC=60°, ∵l1∥l2,∴α=∠ABC=60°.故答案为60. 初中数学培优课堂 (2)α+β=120°.∵l1∥l2,∴∠EBC=α,∵∠EBC+∠ECB+β=180°, ∠ECB=60°,∴∠EBC+β=180°-∠ECB=120°,∴α+β=120°. (3)∵l1∥l2,∴∠EBC=α,∵BG平分∠EBC,EG平分∠FEC,∴∠ EBG= α,∠CEG= (180°-β)=90°- β,∴∠BEG=90°+ β,∵在 △EBG中,∠G+∠EBG+∠BEG=180°,∴∠G+ α+90°+ β=180° ∴∠G=90°- .故答案为90°- . 初中数学培优课堂 $