8.1.2 第2课时 三角形的外角及其外角和-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦三角形外角及其外角和，通过基础夯实（如中考题、期中题）、能力提升及微专题“双角平分线模型”，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接内角和知识，构建完整知识脉络。 其亮点在于融入多解法（如三角板叠放题两种思路）、模型总结（双角平分线三类模型）及分类讨论（点E位置不同的∠CDE计算），以推理能力、模型意识培养学生数学思维。学生能提升解题技巧，教师可直接用于分层教学，提高课堂效率。

第8章　三角形 8.1.2　三角形的内角和与外角和 第2课时　三角形的外角及其外角和 8.1　与三角形有关的边和角 初中数学培优课堂  　三角形的外角及其性质 1.(2025四川南充中考)如图,把含有60°角的直角三角板的斜 边放在直线l上,则∠α的度数是 (　　　)   A.120°　　　    B.130°　　　    C.140°　　　    D.150°     D     初中数学培优课堂 解析　由题意得∠α=90°+60°=150°.故选D. 初中数学培优课堂 2.【学科特色·多解法】(2025河南漯河郾城期中)将一副三角 板按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠α的度数是 ( )   A.55°　　　    B.60°　　　    C.65°　　　    D.75°          D 初中数学培优课堂 解析　【解法一】如图1,由题意得∠1=90°-60°=30°,则∠α=4 5°+30°=75°.故选D.  　      【解法二】如图2,根据三角形外角的性质,可得45°=30°+∠2, 所以∠2=15°,所以∠α=90°-∠2=75°.故选D. 初中数学培优课堂 3.(2025吉林长春力旺实验中学一模)如图,AD是△ABC的角平 分线,AE是△ABC的外角的平分线,若∠DAC=20°,则∠EAC= ___________.       70°     初中数学培优课堂 解析　∵AD是△ABC的角平分线,∠DAC=20°,∴∠BAC=2∠ DAC=40°,∴∠B+∠ACD=140°,∴∠EAC= ∠FAC= (∠B+∠ ACD)=70°.故答案为70°. 初中数学培优课堂 4.【学科特色·教材变式P88例2】(2025四川广元苍溪期中)如 图,已知∠A=75°,∠B=25°,∠C=35°,求∠BDC和∠1的度数.   解析　∵∠A=75°,∠C=35°,∴∠BDC=∠A+∠C=75°+35°=110°, ∵∠B=25°, ∴∠1=∠BDC+∠B=110°+25°=135°. 初中数学培优课堂  　三角形的外角和 5.若一个三角形的三个外角度数的比为1∶4∶4,则此三角形 最大内角的度数为___________°.     140     解析　∵三角形的三个外角度数的比为1∶4∶4,∴最小外角 的度数为 ×360°=40°,∴三角形最大内角的度数为180°- 40°=140°. 初中数学培优课堂 6.∠1和∠2是△ABC的外角,若∠A=90°,如图1,则∠1+∠2的 度数为________;若∠A=60°,如图2,则∠1+∠2的度数为_______; 若∠A=α,如图3,则∠1+∠2的度数为______________.                 180°+α         240°     270°     初中数学培优课堂 解析　题图1中∠A的邻补角为90°,根据三角形的外角和为 360°,知∠1+∠2+90°=360°,所以∠1+∠2=270°;题图2中∠A的邻 补角为120°,根据三角形的外角和为360°,知∠1+∠2+120°= 360°,所以∠1+∠2=240°;题图3中∠A的邻补角为180°-α,根据三 角形的外角和为360°,知∠1+∠2+180°-α=360°,所以∠1+∠2= 180°+α. 初中数学培优课堂   7.(2025山西大同二中月考,★★☆)如图,CE是△ABC的外角 ∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E,则∠BAC与 ∠B、∠E之间的关系是 (　　　) A.∠BAC=∠B+∠E B.∠BAC=∠B+2∠E C.∠BAC=2∠B+∠E     B     D.∠BAC=∠B+ ∠E 初中数学培优课堂 解析　∵CE是∠ACD的平分线,∴∠ACE=∠ECD,∵∠BAC= ∠ACE+∠E,∠ECD=∠ACE=∠B+∠E,∴∠BAC=∠B+∠E+ ∠E=∠B+2∠E.故选B. 初中数学培优课堂 8.(2025河南洛阳期中,★★★)如图,在△ABC中,BO、CO分别 平分∠ABC、∠ACB,CE为△ABC的外角∠ACD的平分线,且 CE交BO的延长线于点E,记∠BAC=∠1,∠BEC=∠2,下列结论 错误的是 (　　　)   A.∠1=2∠2　　　     B.∠BOC=3∠2     B     C.∠BOC=90°+ ∠1　　    D.∠BOC=90°+∠2 初中数学培优课堂 解析　∵CE为△ABC的外角∠ACD的平分线,BE平分∠ABC, ∴∠DCE= ∠ACD,∠DBE= ∠ABC,∵∠DCE是△BCE的外 角,∴∠2=∠DCE-∠DBE= (∠ACD-∠ABC)= ∠1,∴∠1=2 ∠2,故选项A正确,不符合题意;∵BO平分∠ABC,CO平分∠ ACB,∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,∴∠BOC=180°- (∠OBC+∠OCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠1) =90°+ ∠1=90°+∠2,故选项C、D正确,不符合题意,选项B错 误,符合题意.故选B. 初中数学培优课堂 9.(2025河南南阳方城期末,★★☆)如图,在△ABC中,∠ABC=1 10°,点D在AC上,将△ABD沿BD折叠,点A落在BC边上的点E 处,若∠EDC=25°,则∠C的度数为_____________.       22.5°     初中数学培优课堂 解析　∵∠ABC=110°,∴∠A+∠C=180°-110°=70°,由翻折可 知∠A=∠BED,∵∠BED=∠C+∠EDC=∠C+25°,∴∠A=∠C+ 25°,∴∠C+25°+∠C=70°,∴∠C=22.5°.故答案为22.5°. 初中数学培优课堂   10.【新课标·推理能力】(2025湖北孝感期中)在△ABC中,∠B =∠C,点D在边BC上,点E在直线AC上,连结AD,DE,∠ADE= ∠AED. (1)如图1,当点D在边BC上运动(不与点B、C重合),且点E在边 AC上时. ①若∠B=50°,∠ADE=64°,则∠CDE=_______;∠BAD=______. ②猜想∠BAD与∠CDE之间的数量关系,并说明你的猜想的 正确性. 初中数学培优课堂 (2)如图2,当点D在边BC上运动(不与点B,C重合),点E在边AC 所在的直线上时,若∠BAD=30°,求∠CDE的度数.  　      初中数学培优课堂 解析    (1)①由题意可知∠B=∠C=50°,∠ADE=∠AED=64°,∴ ∠CDE=∠AED-∠C=64°-50°=14°,∠BAC=180°-2×50°=80°,∠ DAE=180°-2×64°=52°,∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=80°-52°=28°. 故答案为14°;28°. ②猜想:∠BAD=2∠CDE. 如图1, 初中数学培优课堂 ∵∠1+∠B=∠4+∠2,∠4=∠3=∠2+∠C=∠2+∠B,∴∠1+∠B =∠4+∠2=∠2+∠B+∠2, ∴∠1=2∠2,即∠BAD=2∠CDE. (2)如图2,当点E在线段AC上时,由(1)②可知∠CDE= ∠BAD=  ×30°=15°; 初中数学培优课堂        如图3,当点E在线段CA的延长线上时, ∵∠BAE=∠B+∠C=2∠B,∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,∠ ADE=∠AED,∴2∠ADE+∠BAE+∠BAD=2∠ADE+2∠B+∠BAD=180°, 初中数学培优课堂 ∴∠ADE+∠B= (180°-∠BAD)=75°, ∵∠CDE=∠ADE+∠ADC,∠ADC=∠B+∠BAD, ∴∠CDE=∠ADE+∠B+∠BAD, ∴∠CDE=75°+∠BAD=75°+30°=105°. 综上所述,∠CDE的度数为15°或105°. 初中数学培优课堂 微专题　三角形的双角平分线模型 方法解读     三角形的双角平分线模型包括:双内角平分线模型、内外角 平分线模型和双外角平分线模型.通常是运用三角形内角 和、三角形外角的性质进行计算或推理. 初中数学培优课堂 1.如图,在△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分线,且相交于点 O,∠CAB=50°,∠C=60°,则∠DAE和∠BOA的度数之和为  (　　　)   A.115°　　　    B.120°　　　    C.125°　　　    D.130°     C     初中数学培优课堂 解析　∵∠CAB=50°,∠C=60°,∴∠ABC=180°-50°-60°=70°,∵ AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-∠C=30°,∵ AE、BF是△ABC的角平分线,∴∠CBF=∠ABF=35°,∠EAF=25°, ∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°,∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°, ∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°,∴∠DAE+∠BOA= 5°+120°=125°.故选C. 初中数学培优课堂 2.如图,在△ABC中,BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB,且∠BIC =140°,BM、CM分别平分△ABC的外角∠DBC、∠ECB,则∠ BMC的度数是 (　　　)   A.25° 　　　    B.30° C.35° 　　　    D.40°     D     初中数学培优课堂 解析　根据题意得∠ABC+∠DBC=180°,∠ACB+∠ECB=180 °,∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB,BM、CM分别平分∠ DBC、∠ECB,∴∠IBC= ∠ABC,∠CBM= ∠DBC,∠ICB=  ∠ACB,∠BCM= ∠ECB,∴∠IBM=∠IBC+∠CBM= (∠ABC +∠DBC)= ×180°=90°,∠ICM=∠ICB+∠BCM= (∠ACB+∠ ECB)=90°,∵在四边形IBMC中,∠BIC=140°,∠IBM=∠ICM=90 °,∴∠BMC=360°-140°-90°-90°=40°.故选D. 初中数学培优课堂 模型解读 三角形的双角平分线模型 如图1,△ABC两内角平分线相交于点P,则∠P=90°+ ∠A. 如图2,△A1B1C1的内角和外角的平分线相交于P1,则∠P1= ∠ A1. 如图3,△A2B2C2的两外角平分线相交于P2,则∠P2=90°- ∠A2. 初中数学培优课堂             初中数学培优课堂 3.(2025山东德州月考)如图,BA1和CA1分别是△ABC的内角的 平分线和外角的平分线,BA2是∠A1BD的平分线,CA2是∠A1CD 的平分线,BA3是∠A2BD的平分线,CA3是∠A2CD的平分线,… …依此规律,若∠A=α,则∠A2 023的度数为__________.        α     初中数学培优课堂 解析　∵BA1和CA1分别是△ABC的内角的平分线和外角的平 分线,∴∠ABA1=∠CBA1= ∠ABC,∠ACA1=∠DCA1= ∠ ACD,∵∠A=α,∴∠ACD=∠ABC+∠A=2∠CBA1+∠A①,易得 ∠DCA1=∠A1+∠CBA1②,将②×2得2∠DCA1=2∠A1+2∠CBA1, ∴∠ACD=2∠A1+2∠CBA1③,由①③得2∠A1=∠A,∵∠A=α, ∴∠A1= ∠A= α,同理可得∠A2= α,∠A3= α,……,∴∠A2 0 23= α.故答案为 α. 初中数学培优课堂 $