8.1.2 第1课时 三角形的内角和及其推论-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（华东师大版·新教材）

该初中数学课件围绕三角形内角和定理及推论展开，通过基础例题导入，衔接三角形边的知识，以学习支架形式从基础夯实（直接应用定理）到能力提升（角平分线、高综合）再到素养提升，逐步深化角的关系理解。 其亮点在于融入各地期末真题，结合新定义“可爱三角形”、传统文化《周礼·考工记》角度问题及“8字形”推理题，培养学生数学眼光、思维与创新意识。采用分层设计与例题解析，助力学生提升推理能力，为教师提供丰富分层教学素材。

第8章　三角形 8.1.2　三角形的内角和与外角和 第1课时　三角形的内角和及其推论 8.1　与三角形有关的边和角 初中数学培优课堂  　三角形的内角和 1.(2024山西太原清徐二中期末)在△ABC中,若∠A=80°,∠B= 20°,则∠C= (　　　) A.80° 　　　    B.70°　　　    C.60° 　　　    D.100°     A     解析　∵∠A+∠B+∠C=180°,且∠A=80°,∠B=20°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-80°-20°=80°.故选A. 初中数学培优课堂 2.(2025重庆九龙坡期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高, AE是∠BAC的平分线,∠BAC=60°,∠C=70°,则∠DAE的度数 为 (　　　)   A.15°　　　    B.8°　　　    C.10°　　　    D.12°     C     初中数学培优课堂 解析　∵AE是∠BAC的平分线,∴∠CAE= ∠BAC= ×60°=30°,∵AD是BC边上的高,∴∠ADC=90°,∵∠CAD+∠ADC+∠C =180°,∠C=70°,∴∠CAD=180°-90°-70°=20°,∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=30°-20°=10°.故选C. 初中数学培优课堂 3.(2025重庆江津期末)如图,在△ABC中,∠BAC=α,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,则∠BPC的度数为 (　　　)   A. α　　　    B.90°+ α C.90°- α　　 D.α     B     初中数学培优课堂 解析　∵∠BAC=α,∴∠ABC+∠ACB=180°-α, ∴ ∠ABC+ ∠ACB=90°- α, ∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ∴∠PBC+∠PCB= ∠ABC+ ∠ACB=90°- α, ∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°- 90°- α =90°+ α.故 选B. 初中数学培优课堂 4.(2025吉林四平双辽期末)如图,直尺的一边经过三角板DCB 的直角顶点B,若∠C=30°,∠ABC=20°,则∠DEF的大小为______ _____.   50°     初中数学培优课堂 解析　∵∠C=30°,∠ABC=20°,∴∠BAC=180°-(∠C+∠ABC) =180°-(30°+20°)=130°,∴∠DAB=180°-∠BAC=180°-130°=50°, 由题意得EF∥AB,∴∠DEF=∠DAB=50°.故答案为50°. 初中数学培优课堂 5.(2025河南洛阳西工期中)如图,点E、D分别在AB、AC上.若 ∠B=35°,∠C=45°,则∠1+∠2=___________.       80°     解析　∵∠B=35°,∠C=45°,∴∠A=180°-(∠B+∠C)=100°, ∴∠1+∠2=180°-∠A=80°.故答案为80°. 初中数学培优课堂  　三角形内角和的推论 6.(2025重庆七中期中)下列不能判定△ABC是直角三角形的 是 (　　　) A.∠A+∠B=90°　　　      B.∠A+∠B=∠C C.∠A=2∠B=3∠C　　　    D.∠A= ∠B= ∠C     C     初中数学培优课堂 解析    A.∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=90°,∴∠C=180°-9 0°=90°,∴△ABC是直角三角形,故选项A不符合题意; B.∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=∠C,∴∠C= ×180°=90°, ∴△ABC是直角三角形,故选项B不符合题意; C.∵∠A=2∠B=3∠C,∴∠B= ∠A,∠C= ∠A,∵∠A+∠B+ ∠C=180°,∴∠A= °,∴∠B= °,∠C= °,∴△ ABC不是直角三角形,故选项C符合题意; D.∵∠A= ∠B= ∠C,∴∠B=2∠A,∠C=3∠A,∵∠A+∠B+ 初中数学培优课堂 ∠C=180°,∴∠A=30°,∴∠B=60°,∠C=90°,∴△ABC是直角三 角形,故选项D不符合题意.故选C. 初中数学培优课堂 7.(2025河南三门峡期末)如图所示,BD、CE是△ABC的两条 高,∠A=50°,则∠BOC= (　　　)   A.110°　　　    B.120°　　　    C.130°　　　    D.140°     C     初中数学培优课堂 解析　∵BD、CE是△ABC的两条高,∴∠AEC=∠ADB=90°, ∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°,∠ABD=90°-∠A =40°,∠ACE=90°-∠A=40°,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)- (∠ABD+∠ACE)=130°-80°=50°,∴∠BOC=180°-50°=130°. 故选C. 初中数学培优课堂 8.(2025吉林长春月考)如图,在△ABC中,∠BAC=58°,∠C=72°, AD是高,BE是角平分线,且AD、BE相交于点F. (1)求∠DAC的度数. (2)求∠AFB的度数.   初中数学培优课堂 解析    (1)∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,∴∠C+∠DAC= 90°,∵∠C=72°,∴∠DAC=90°-72°=18°. (2)∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=58°,∴∠BAD=∠BAC-∠DAC= 58°-18°=40°,∵∠BAC+∠C+∠ABC=180°,∴∠ABC=180°-58° -72°=50°,∵BE是△ABC的角平分线,∴∠ABF= ∠ABC=25°, ∵∠ABF+∠BAD+∠AFB=180°,∴∠AFB=180°-25°-40°=115°. 初中数学培优课堂   9.(2025河南安阳文峰期末,★★☆)如图,在△ABC中,∠BCA=4 0°,∠ABC=60°.若BF是△ABC的高,且BF与∠BAC的平分线AE 相交于点O,则∠EOF的度数为 (　　　)   A.130°　　　    B.70°　　　    C.110°　　　    D.100°     A     初中数学培优课堂 解析　∵∠BCA=40°,∠ABC=60°,∴∠BAC=180°-∠BCA-∠ ABC=180°-40°-60°=80°.∵AE是∠BAC的平分线,∴∠EAC=  ∠BAC=40°.∵BF是△ABC的高,∴∠BFA=90°.∴∠AOF=90°- ∠EAC=90°-40°=50°.∴∠EOF=180°-∠AOF=180°-50°=130°. 故选A. 初中数学培优课堂 10.【新考向·新定义题】(2025河南省实验中学期末,★★☆) 若在△ABC中,∠B=2∠C,则称△ABC为“可爱三角形”,称∠ A为“可爱角”.现有一个等腰三角形为“可爱三角形”,这 个三角形的“可爱角”应该是 (　　　) A.45°或36°　　　    B.72°或36° C.45°或72°　　　    D.36°,45°或72°     C     初中数学培优课堂 解析　设等腰三角形ABC是这个“可爱三角形”,可分两种 情况讨论: (1)设△ABC三个内角的度数分别为∠C=α,∠A=α,∠B=2α,则α +α+2α=180°,解得α=45°,此时∠A=45°,即“可爱角”是45°; (2)设△ABC三个内角的度数分别为∠C=α,∠B=2α,∠A=2α,则 2α+2α+α=180°,解得α=36°,此时∠A=2α=72°,即“可爱角”是 72°.综上,这个三角形的“可爱角”是45°或72°,故选C. 初中数学培优课堂 11.(2025重庆辅仁中学教育集团期中,★★★)如图,在△ABC 中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点D,且∠EBC= ∠ABC,∠ ECB= ∠ACB,则∠D与∠E的数量关系可表示为 (　　　) A.3∠E-2∠D=180°  B.3∠D-2∠E=180° C.3∠E-2∠D=90° D.3∠D-2∠E=90°     A     初中数学培优课堂 解析　∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点D,∴∠DBC= ∠ ABC,∠DCB= ∠ACB,∵∠EBC= ∠ABC,∠ECB= ∠ACB, ∴∠DBC= ∠EBC,∠DCB= ∠ECB,∵∠D+∠DBC+∠DCB =180°,∴∠D+ ∠EBC+ ∠ECB=180°,∵∠E+∠EBC+∠ECB =180°,∴∠EBC+∠ECB=180°-∠E,∴∠D+ (180°-∠E)=180°, 整理得3∠E-2∠D=180°. 故选A. 初中数学培优课堂 12.【新课标·中华优秀传统文化】(2025山西运城期中,★★ ☆)《周礼·考工记》是中国古代春秋战国时期的技术典籍,其 中记载:“半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú).”意思是 “直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘”,即1宣= 矩,1 欘=1 宣(其中,1矩=90°). 问题:图1为中国古代一种强弩图,图2为这种强弩图的部分组 件的示意图,若∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C=____________°.     22.5     初中数学培优课堂   图1     图2 解析　∵1宣= 矩,1欘=1 宣,1矩=90°,∠A=1矩,∠B=1欘,∴ ∠A=90°,∠B=1 × ×90°=67.5°,∴∠C=180°-90°-∠B=180°-90 °-67.5°=22.5°. 初中数学培优课堂   13.【新课标·推理能力】已知,如图1,线段AB、CD相交于 点O,连结AD、CB,我们把形如图1的图形称为“8字形”.试 解答下列问题: (1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关 系:_______. (2)仔细观察,在图2中,“8字形”的个数为_______. (3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,∠DAB和∠BCD的平分线AP 初中数学培优课堂 和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于点M、N,利用(1) 中的结论,求∠P的度数.(4)当图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与 ∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系?(直接写出结论即可)  图1     图2 初中数学培优课堂 解析    (1)∠A+∠D=∠B+∠C. 详解:在△AOD中,∠AOD=180°-(∠A+∠D), 在△BOC中,∠BOC=180°-(∠B+∠C), ∵∠AOD=∠BOC, ∴180°-(∠A+∠D)=180°-(∠B+∠C), ∴∠A+∠D=∠B+∠C. (2)6.详解:以M为交点的“8字形”有1个,△AMD与△CMP; 以O为交点的“8字形”有4个,△AOD与△COB,△AOM与 初中数学培优课堂 △CON,△AOM与△COB,△AOD与△CON; 以N为交点的“8字形”有1个,△ANP与△CNB. ∴“8字形”共有6个. (3)∵∠D=40°,∠B=36°, ∴∠OAD+40°=∠OCB+36°, ∴∠OCB-∠OAD=4°, ∵AP和CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线, ∴∠DAM= ∠OAD,∠PCM= ∠OCB, 初中数学培优课堂 ∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P, ∴∠P=∠DAM+∠D-∠PCM=∠D- (∠OCB-∠OAD)=40°- × 4°=38°. (4)2∠P=∠B+∠D. 详解:根据(1)中的结论得,∠OAD+∠D=∠OCB+∠B,∠DAM+ ∠D=∠PCM+∠P,∴∠OCB-∠OAD=∠D-∠B,∠PCM-∠ DAM=∠D-∠P, ∵AP和CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线, 初中数学培优课堂 ∴∠DAM= ∠OAD,∠PCM= ∠OCB, ∴ ∠OCB- ∠OAD= (∠D-∠B)=∠D-∠P, 整理得,2∠P=∠B+∠D. 初中数学培优课堂 $