8.1.2第1课时 三角形的内角和 课件 2025--2026学年华东师大版七年级数学下册

华师大版 七年级 下册 2. 三角形的内角和与外角和 第1课时 三角形的内角和 我的形状最小，那我的内角和最小. 我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 情景引入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 思考：有什么办法可以验证三角形的内角和为 180°呢? 锐角三角形 测量 480 720 600 600＋480＋720＝1800 （学生运用学科工具—量角器测量演示） 剪拼 A B C （小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程） 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 3 1 1 2 2 2 1 3 3 还有折叠的方法 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 探究新知 知识点1 三角形的内角和 验证结论 三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 　 通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？ C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m n C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m n 思考 转换思想 借助平行线的“移角”功能，将三个角转化成一个平角. 知识要点 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 三角形内角和定理 A B C 三角形的内角和等于180°. 几何语言： 在△ABC 中， ∠A +∠B +∠C = 180° 针对训练 　如图，说出各图中∠1 的度数. 30° 105° 1 （2） 80° 50° 1 （1） 22° 1 （3） 50° 45° 68° ∠1 = 180°– 50°– 80° = 50° ∠1 = 180°– 105°– 30° = 45° ∠1 = 180°– 22°– 90° = 68° 2. 已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角. （1）若∠A = 95°，∠B = 40°，则∠C =_____； （2）若∠A :∠B :∠C = 4 : 5 : 9，则∠C =_____； （3）若∠A = 2∠B = 6∠C，则∠B =_____. （1）∠C = 180°–∠A –∠B 45° （2）设∠A = 4x°，则∠B = 5x°，∠C = 9x° ∴ 4x + 5x + 9x = 180 解得 x = 10 90° 54° （3）设∠C = x°，则∠A = 6x°，∠B = 3x° ∴ 6x + 3x + x = 180 解得 x = 18 A C B 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC . 直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边。 直角边 斜边 直角三角形 如图，在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°， ∠A 与∠B 有什么关系？ A C B 知识点2 直角三角形的性质 思考 ∠A +∠B +∠C = 180°. 又∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 180°– 90°= 90°. 由三角形的内角和等于180°，得 直角三角形的两个锐角互余. 文字语言 几何语言 直角三角形的两个锐角互余 如图，在Rt△ABC中， ∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90° A C B 例题讲解 例 1 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的 高，∠1 = 45°，∠C = 65°.求∠BAC 的度数. 1 A C B D 65° 在△ABC 中， ∵∠B + ∠C + ∠BAC = 180° （三角形的内角和等于180°）， ∴∠BAC = 180°– ∠B – ∠C（等式性质）. 解：在 Rt△ABC 中， ∵∠1 + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）， ∴∠B = 90°–∠1（等式性质）. 又∵∠1 = 45°（已知）， ∴∠B = 90°– 45° = 45°（等量代换）. 又∵∠B = 45°（已求）， ∠C = 65°（已知）， ∴∠BAC = 180°– 45°– 65° = 70°（等量代换）. 针对训练 A C B D F E 分析： △ABD 与△BDF 为直角三角形 ∠BFD + ∠FBD = 90° ∠BAD + ∠ABD = 90° ∠BAD = 44° ∠ABD = 46° BE 平分∠ABD ∠FBD = ∠ABD = 23° ∠BFD = 90°–∠FBD 如图，AD⊥BC，BE 是 △ABC 的角平分线，BE、AD相交于点 F，已知∠BAD = 44°，则∠BFD =_____. 67° 我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余. 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ A C B 思考 ∠A +∠B +∠C = 180°. 又∵ ∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 180°– 90°= 90°. 由三角形的内角和等于180°，得 知识点3 直角三角形的判定 文字语言 几何语言 有两个角互余的三角形是直角三角形 如图，在△ABC中， ∵∠A +∠B = 90°， ∴△ABC是直角三角形 A C B 针对训练 如图，在△ABC 中，∠C = 25°，直线 a // b，点 A 在直线 a 上，若∠1 = 75°，∠2 = 40°，则△ABC 按角分类属于_____三角形. 直角 1 A C B a b 2 40° 65° 90° 随堂练习 1. 在一个三角形中，有两个内角度数分别是 25°和 55°，则这个三角形是（ ） 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 无法确定 B 【教材P86练习 第1题】 1 A C B 2 4 3 D E 分析： ∠1 +∠2 =∠3 +∠4 = 180°–∠A = 180°– 40° = 140° 2. 如图，∠A = 40°，则∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =_____. ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 140° + 140° = 280° 280° 【教材P86练习 第2题】 3. 在△ABC中，∠A + ∠B = 80°，∠C = 2∠B. 求∠A、∠B和∠C的度数. 解：∵∠A +∠B = 80°， ∴∠C = 180°–（∠A +∠B）= 100°. ∴∠A = 80°–∠B = 30°. ∵∠C = 2∠B ， ∴∠B = ∠C = 50°. 【教材P86练习 第3题】 4. 在△ABC中，∠B =∠A + 30°，∠C =∠B + 30°. 求△ABC 的各内角的度数. 解：∵∠B =∠A + 30°，∠C =∠B + 30°， ∴∠C = ∠A + 60°. ∴∠A = 30°. ∵∠A +∠B + ∠C = 180°， ∴∠A +∠A + 30°+∠A + 60° = 180°. ∴∠B =∠A + 30° = 60°，∠C =∠A + 60° = 90°. 【教材P86练习 第4题】 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，D、E 分别是边CB、 AB 延长线上的点，∠A = ∠D. 试说明△BDE 是直角三角形. 解：∵∠C = 90°，∴∠A +∠ABC = 90°. 又∵∠A = ∠D ，∠ABC =∠DBE， 在△BDE 中，∵∠D +∠DBE +∠E = 180°， ∴∠E = 180° – (∠D +∠DBE). ∴△BDE 是直角三角形. A C B D E ∴∠E = 180° – (∠A +∠ABC) = 180° – 90° = 90°. 课堂小结 三角形的 内角和 三角形的内角和等于 180° 直角三角形的两个锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 课后作业 $