精品解析：湖南常德市临澧县第一中学2025-2026学年高一下学期第一次阶段性考试数学试卷

临澧一中高一下学期第一次阶段性考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（ ） A. B. 6 C. －6 D. 2. 复数满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 5. 在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 是方程的一个复数根 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 当时，求与夹角为 C. 若在方向上的投影向量的模为，则或 D. 若与夹角为钝角，则的取值范围是 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，，且，则__________. 13. 在中的三个内角的对边分别为，重心为，若，则=________． 14. 已知是同一平面上的3个向量，满足，且向量与的夹角为，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 17. 已知在中，为中点，，，. （1）若，求； （2）设和的夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 19. 如图，扇形ABC是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点P在弧BC上（不与B，C重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直于点Q，街道PR与AC垂直于点R，线段RQ表示第三条街道．记． （1）若点P是弧的中点，求三条街道的总长度； （2）通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化； （3）由于环境的原因，三条街道每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中高一下学期第一次阶段性考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（ ） A. B. 6 C. －6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将复数化成复数的代数形式，根据纯虚数的定义即可求解. 【详解】依题意，复数，因为为纯虚数，所以且，解得. 故选：C. 2. 复数满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的模的几何意义可得复数在复平面内的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆即可求解. 【详解】设复数，则对应点的坐标为， 所以 所以复数对应的点到的距离为， 故复数在复平面内的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆， 故当点运动到与轴的交点，且向上的位置时，此时最大，最大值为 故选：C 3. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【详解】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 4. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得. 【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上， 由，即的角平分线与边垂直， 所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形. 故选：B 5. 在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果. 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 6. 任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将化为三角形式，再根据棣莫弗定理化简求值，即得答案. 【详解】 ， 故选：C 7. 已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最小值. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、， 设点，则，，， 所以，， 则， 当且仅当，时，取最小值. 故选：B. 8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，求得，得到，再由为锐角三角形，求得，结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，可得，且， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以， 因为为锐角三角形，则满足，可得， 由正弦定理得， 又因为，所以，可得，可得. 故选：B． 二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 是方程的一个复数根 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算、共轭复数的概念、复数的几何意义等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C正确； 对于D，将代入方程的左边，得， 所以不是该方程的根，故D错误． 故选：ABC． 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 当时，求与夹角为 C. 若在方向上的投影向量的模为，则或 D. 若与夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算求解判断A，根据向量垂直的坐标运算求解判断B，根据投影向量的坐标公式列式求解判断C，根据向量夹角的坐标运算列不等式求解判断D. 【详解】对于A，向量，且，所以，则，故A错误； 对于B，时，，则，所以与的夹角为，故B正确； 对于C，由已知在方向上的投影向量的模为， 所以，解得或，故C正确； 对于D，若与夹角为钝角，则且与不共线， 所以且，故D错误. 故选：BC 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项. 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，结合及题中条件即可求解. 【详解】∵，∴. ∵，， ∴， ∴，∴. 故答案为：. 13. 在中的三个内角的对边分别为，重心为，若，则=________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形重心性质，得出，再结合三边一角用余弦定理即可求出结果. 【详解】由三角形重心性质知，又， 所以， ， . 故答案为：. 14. 已知是同一平面上的3个向量，满足，且向量与的夹角为，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】向量最值问题，使用数形结合处理即可求解. 【详解】 如图,不妨设，则四点共圆. 由于，于是. 综上可知的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示即可求解； （2）根据向量减法的坐标表示和向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ∵向量，， ∴，解得. 【小问2详解】 ∵向量，∴. ∵， ∴，解得. 16. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 【答案】（1） （2）15km 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可求； （2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解. 【小问1详解】 由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 【小问2详解】 ，,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 17. 已知在中，为中点，，，. （1）若，求； （2）设和的夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】（1） （2）证明如下： ∵为的中点， ∴， 由平面向量数量积的定义可得， ∴， ∵、均为非零向量， ∴，即. （3）点为线段的中点 【解析】 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 19. 如图，扇形ABC是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点P在弧BC上（不与B，C重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直于点Q，街道PR与AC垂直于点R，线段RQ表示第三条街道．记． （1）若点P是弧的中点，求三条街道的总长度； （2）通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化； （3）由于环境的原因，三条街道每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值． 【答案】（1） （2），不会随的变化而变化. （3）最大值为（万元) 【解析】 【分析】（1）易知平分，可得，即可得求得各街道长； （2）写出，的表达式，利用余弦定理可得，为定值； （3）结合各街道单位效益可得经济总效益为，利用辅助角公式可求出最大值. 【小问1详解】 根据题意可得若点P是弧的中点，可得， 此时，， 而，由余弦定理可得， 即可得； 所以三条街道的总长度为； 【小问2详解】 在中可得，同理， 利用余弦定理可得 ； 可得 因此街道的长度为定值，不会随的变化而变化. 【小问3详解】 依题意可得这三条街道每年能产生的经济总效益为： ，其中； 当时，的取值最大， 最大值为(万元). 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $