专项素养巩固训练卷(十二) 新定义试题 -【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（人教版·新教材）

这是一份初中数学期末专项培优课件，聚焦新定义试题，涵盖定义新概念、新方法、新法则、新运算、新图形五种类型，提供典型题目及解析，为学生构建从理解到应用的学习支架。 资料特色突出核心素养培养，通过“关联解”“作差法”等实例，引导学生用数学眼光抽象概念，用数学思维推理运算，用数学语言表达关系。助力教师高效教学，提升学生应对创新题型的能力，尤其适合九年级学生备战期末及升学考试。

专项素养巩固训练卷(十二) 新定义试题 初中同步培优卷 类型一　定义新概念 1. (2025山东临沂临沭期末,★★☆)给出如下定义:能使方程 (组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不 等式(组)的“关联解”.例如:方程3x-2=1与不等式x+4>0,方程 的解x=1使得不等式x+4>0也成立,则称x=1是方程3x-2=1与不 等式x+4>0的“关联解”.解答下列问题: (1)方程2x+2=0与不等式(组):①x- < ;②3(x-1)≤-6;③ >3; ④ 中,有“关联解”的是_______(只填序号). 初中同步培优卷 (2)如果x=3是关于x的方程2x-m=0与不等式1+2(x-m)≤n的 “关联解”,求n的取值范围. (3)若方程x-2y=3与不等式组 有“关联解”,求x+2y的 取值范围. 初中同步培优卷 解析    (1)解方程2x+2=0,得x=-1. 解不等式x- < ,得x<2,故不等式①与方程2x+2=0有“关联解”. 解不等式3(x-1)≤-6,得x≤-1,故不等式②与方程2x+2=0有 “关联解”. 解不等式 >3,得x>7,故不等式③与方程2x+2=0没有“关联解”. 解不等式组 得1<x<5,故不等式组④与方程2x+2=0 初中同步培优卷 没有“关联解”. 故答案为①②. (2)∵x=3是关于x的方程2x-m=0与不等式1+2(x-m)≤n的“关 联解”, ∴2×3-m=0,∴m=6, ∴不等式为1+2(x-6)≤n,∴x≤ . ∵x=3,∴3≤ ,∴n≥-5. 初中同步培优卷 (3)∵x-2y=3,∴x=3+2y, ∴x+2y=3+2y+2y=3+4y. ∵方程x-2y=3与不等式组 有“关联解”, ∴ ∴0.25<y<2, ∴1<4y<8,∴4<3+4y<11,∴4<x+2y<11. 初中同步培优卷 类型二　定义新方法 2. (2024安徽亳州利辛月考,★★☆)小明在比较 与 的大小 时,采取了一种不同的方法,写出如下的解题过程:因为 - =  - =- ,所以 - <0,所以 < . (1)这种比较大小的方法通常称为作差法,过程中由 - <0得 到 < ,即由a-b<0得到a<b的依据是___________________. 初中同步培优卷 (2)利用上述方法比较7- 与 的大小. (3)利用上述方法比较3a-1与2a+1的大小. 解析    (1)不等式的两边都加上同一个数,不等号方向不变. (2)7- - =7- -3=4- , ∵3< <4,∴4- >0,∴7- > . (3)∵(3a-1)-(2a+1)=a-2, ∴当a-2=0,即a=2时,3a-1=2a+1; 当a-2>0,即a>2时,3a-1>2a+1; 当a-2<0,即a<2时,3a-1<2a+1. 初中同步培优卷 类型三　定义新法则 3. (2024山东威海中考,★★☆)①定义新运算:在平面直角坐 标系中,{a,b}表示动点从原点出发,沿着x轴正方向(a≥0)或负 方向(a<0)平移|a|个单位长度,再沿着y轴正方向(b≥0)或负方 向(b<0)平移|b|个单位长度.例如,动点从原点出发,沿着x轴负 方向平移2个单位长度,再沿着y轴正方向平移1个单位长度,记 作{-2,1}.②加法运算法则:{a,b}+{c,d}={a+c,b+d},其中a,b,c,d 为实数.若{3,5}+{m,n}={-1,2},则下列结论正确的是 (   ) B A. m=2,n=7　　    B. m=-4,n=-3 C. m=4,n=3　　    D. m=-4,n=3 初中同步培优卷 解析　由题意得,3+m=-1,5+n=2, ∴m=-4,n=-3.故选B. 初中同步培优卷 类型四　定义新运算 4. (2025云南昆明期末,★★☆)对于有理数x,y,定义一种新运 算f,规定: f(x,y)=  (1)求f(3,4)的值. (2)若关于正数m的不等式组 恰好有3个 整数解,求k的取值范围. 初中同步培优卷 解析    (1)∵3<4,∴f(3,4)=4+3×3=13. (2)  ∵3m>3m-1, ∴f(3m,3m-1)>7可变形为3m+2(3m-1)>7,解得m>1. 当-2m-1≥-m时,解得m≤-1, 此时不等式组 无解,不合题意; 初中同步培优卷 当-2m-1<-m时,解得m>-1,此时f(-2m-1,-m)≥7k+4可变形为-m+ 3(-2m-1)≥7k+4,解得m≤-k-1, ∴-1<m≤-k-1, ∴原不等式组变形为  ∵原不等式组恰好有3个整数解, ∴原不等式组的3个整数解为2,3,4, ∴4≤-k-1<5,解得-6<k≤-5. 初中同步培优卷 类型五　定义新图形 5. (2025山东临沂临沭期末,★★☆)在平面直角坐标系中,对 于点P(x,y),若x,y均为整数,则称点P为“整点”.特别地,当  (其中x≠0,y≠0)的值为整数时,称“整点”P为“超整点”,已 知点P(2a-3,a+2)在第二象限,若点P为“超整点”,则点P的坐 标是___________.     (-1,3)     初中同步培优卷 解析　因为点P(2a-3,a+2)在第二象限, 所以 解得-2<a< . 因为点P为“超整点”,所以2a-3及a+2为整数,则a为整数,所 以a=-1或0或1. 当a=-1时, =- (舍去); 当a=0时, =- (舍去); 当a=1时, =-3. 所以点P的坐标为(-1,3). 初中同步培优卷 6. (2025安徽合肥期末,★★★)阅读理解:从∠α(90°<∠α<180°)的顶点出发,在角的内部作一条射线,若该射线将∠α分得的 两个角中有一个角与∠α互为补角,则称该射线为∠α的“分 补线”.如图,点O在直线AB上,OC,OD在直线AB上方,且OC⊥ OD,射线OE是∠BOC的“分补线”. (1)若∠AOC=32°,且OE在∠COD内部,则∠COE=______, ∠DOE=_______. 初中同步培优卷 (2)若OE平分∠AOD,求∠BOD的度数. (3)若OF是∠BOE的平分线,OG是∠AOD的平分线,请直接写 出∠EOF与∠COG的数量关系. 初中同步培优卷 解析    (1)32°;58°. 详解:如图,射线OE是∠BOC的“分补线”, ∵∠COE+∠BOC=180°,∠AOC+∠BOC=180°, ∴∠COE=∠AOC=32°, 初中同步培优卷 ∵OC⊥OD,∴∠COD=90°, ∴∠DOE=90°-∠COE=58°. (2)如图, ∵OE是∠BOC的“分补线”, 初中同步培优卷 ∴∠COE+∠BOC=180°, ∵∠AOC+∠BOC=180°, ∴∠COE=∠AOC, ∴∠AOE=2∠COE. ∵OE平分∠AOD, ∴∠DOE=∠AOE=2∠COE. ∵∠COE+∠DOE=90°,∴∠COE=30°,∴∠AOC=30°, ∴∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=60°. 初中同步培优卷 (3)∠EOF+∠COG=45°或∠EOF=2∠COG. 详解:①当∠BOE+∠BOC=180°时,如图1, ∵∠AOC+∠BOC=180°,∴∠AOC=∠BOE. ∵OF是∠BOE的平分线,OG是∠AOD的平分线, ∴∠EOF= ∠BOE= ∠AOC, 初中同步培优卷 ∠AOG= ∠AOD= (∠AOC+∠COD)= ∠AOC+45°, ∴∠COG=∠AOG-∠AOC= ∠AOC+45°-∠AOC=45°- ∠AOC, ∴∠COG+∠EOF=45°. ②当∠COE+∠BOC=180°时,如图2, 初中同步培优卷 ∵∠AOC+∠BOC=180°, ∴∠COE=∠AOC= ∠AOE. ∵∠BOE=180°-∠AOE,OF是∠BOE的平分线, ∴∠EOF= ∠BOE=90°-∠AOC, 由∠EOD=90°-∠COE易得,此时OF,OD重合,同理可得∠COG =45°- ∠AOC,∴∠EOF=2∠COG. 综上,∠EOF+∠COG=45°或∠EOF=2∠COG. 初中同步培优卷 $